Введение к работе
Актуальность темы.
Начало 90-х годов характеризуется резко возросшим интересом и активными разработками в следующих областях: 1. Квантовая теория гравитации и квантовая механика. 2. Топологические квантовые теории поля. 3. Деформации алгебр Ли. 4. Хаос в динамических системах. Данные направления исследований являются одними из наиболее актуальных и имеющих приоритетный характер. Тематика диссертации имеет непосредственное отношение к исследованиям в данных областях.
1. С момента создания понятий и аппарата квантовой механики анализ ее положепий сопровождался рядом проблем фундаментального характера. К их числу относят следующие проблемы: процедура квантования классических систем, нелокальный характер квантовой механики, статистический характер квантовой механики, теория измерений, несовместимость стандартной формулировки квантовой механики и теории гравитации. Первые четыре проблемы рассматривались в разное время и их значение усилилось до решающего характера в связи с разработкой квантовой гравита-шш. Результаты этих исследований мотивируют развитие новых подходов и обобщений стандартной формулировки квантовой механики. В последнее время развиваются несколько подходов, служащих решению различных внутренних проблем квантовой механики. Мы выделим следующие подходы: подход суммирования по историям, нелинейное обобщение Вай-нберга, Ли-изотопический деформационный подход (адронная механика), функциональный подход к квантовой механике па фазовом пространстве. Последние два подхода разрабатываются в представленной диссертации.
Основной контекст исследований в области Лн-изотопических обобщеншї квантовой механики состоит в том, чтобы включить в рассмотрение нега-мильтоновы эффекты посредством дополнительного эрмитова оператора Т. Квантово-механическая система при этом описывается двумя операторами: гамильтонианом Н, ответственным за свободную часть и потенциальную часть взаимодействия, и Ли-изотопическим элементом Г, ответственным за возможную непотенциальную (нелокальную, контактную, неунитарную) часть взаимодействия. Адронная механика является операторной деформацией хвантовой механики. Использование модифицированных коммутационных соотношений, к числу которых относится Ли-изотопическое обобщение, имеет место в формагагзме квантовых групп (квантовых деформаций алгебр Ли), активно изучаемых в последнее время, и при мойаловской деформации скобок Пуассона. Особый интерес формализм адронной механики, позволяющий естественным образом включить в рассмотрение неунитарную эволюцию, вызывает в связи с описанием эффектов квантовой
гравитации, в которой эволюция системы оказывается существенно неунитарной. В частности, Ли-изотопический (Ли-допустимый) подход использовался в недавних работах Д.Эллиса и др. в аспекте изучения следствий теории некритических струн для модификации квантовой механики. Также, формализм адронной механики был развит в приложении методов неравновесной квантовой статистической механики в цикле работ И.Пригожипым и др. и Фронтэ и др. в начале 80-х гг. Приложения адронной механики в теории рассеяния ведут к построению непотешдаальной теории рассеяния, актуальность которой обосновывается необходимостью теоретического описания различных процессов, например, адронизации кварков, в которых проявляются эффекты нелокальности и неунитарности. В целом, предметом Ли-изотопического подхода является изучение особого типа деформаций стандартных математических объектов и физических теорий, а именно, деформаций, сохраняющих алгебраическую структуру (свойство функториальности). Естественно, этот класс деформаций является выделенным и его изучение представляет несомненный интерес и актуальность. Фазово-пространственная формулировка квантовой механики, начиная с оригинальных работ 1927-1949 гг. Вейля, Вигнера и Мойала, которые были мотивированы очевидной причиной реализовать квантовую механику как расширенную версию гамильтоновой механики, а не как несколько резкий шаг к теории операторов, действующих на гильбертовом пространстве, теперь имеют особую актуальность по крайней мере по двум главным причинам. Первая причина состоит в том, что квантовая механика в фазовом пространстве представляет пример теории с некоммутативной геометрией, весьма активно развивающейся в последнее время. Вторая причина состоит в том, что возникающий в результате формализм аналогичен гамильтоновой формулировке классической механики и могут быть использованы методы изучения гамильтоновых систем для изучения квантово-мехаиического хаоса, на который в последнее время приходится пик интереса.
2. Топологические квантовые теории поля являются одним из новых направлений в теоретической физике, активно развиваемым с 1988 г. (Э.Виттен). В частности, результаты физических исследований топологических членов в калибровочных теориях поля (инстантонов) привели к созданию математического аппарата изучения топологии четырехмерных многообразий (теория Дональдсона). Представленный в диссертации функциональный Б РСТ-подход к гамильтоновым системам целиком относится к области исследований топологических квантовых теорий поля. БРСТ-подход является одним из наиболее мощных методов построения и анализа когомологических (топологических) квантовых теорий поля, являющихся
объектом весьма интенсивного изучения. В качестве резюме по данному направлению исследований можно сказать, что функциональный БРСТ-метод открыл новые фундаментальные аспекты в изучении гамильтоно-вых систем. Исследования в этом направлении являются весьма актуальными ввиду возможности использования теоретико-полевых функциональных методов для изучения эргодичности, хаоса и анализа интегрируемости гамильтоновых систем.
-
Развитие теории квантовых алгебр берет пачало с работ 1986-1990 гг. Дринфельда, Джимбо, Фаддеева, Тахтаджана, Решетихина. Квантовые алгебры рассматриваются как деформации стандартных (универсальных обертывающих) алгебр Ли. Обратим внимание, что квантовые алгебры являются частными случаями Ли-допустимых алгебр, как показано в 1991 г. Яннуссисом и др. Исследования в области квантовых алгебр и их приложений активно продолжаются в последпее время в рамках развития общей теории деформаций матричных групп Ли, теории представлений квантовых групп, деформированных версий пространств, анализа физических теорий (классическая механика, теория относительности, квантовая механика, теория поля) с деформированными симметриями и/или на фоне деформированных пространств. В этой связи отметим, что формализм Ли-изотопического обобщения естественно относится к классу деформационных теорий. Разработка g-деформировашіого осциллятора в фазовом пространстве включает в себя результаты изучения как фазово-пространственной формулировки квантової! механики, так и квантовых групп и является новой и актуальной постановкой проблемы.
-
Развитие изучения бифуркации и хаоса в широком спектре областей берет свое начало в классической гамильтоновой механике, в которой большое количество систем обнаруживает неустойчивое поведение с признаками сильно неупорядоченной динамики (хаос) при переходе параметров нелинейной задачи через критическое (бифуркационное) значение. Классические результаты Пуанкаре, Колмогорова, Арнольда, Мозера и Синая в области хаоса динамических систем привели к выделению этого круга задач в отдельную область исследований, значение которой существенно возросло с развитием численных методов решения и широким привлечением компьютеров. Особая роль в этой области отводится разработке и использованию строгого математического аппарата для описания богатого мира нелинейных явлений, от нелинейного маятника до нейронных сетей. В настоящее время в этой области активно привлекаются методы статистической физики, функционального интеграла, суперсимметрии. Функциональный подход к гамильтоновым системам имеет важное значение пе только в фундаментальном аспекте как подход, позволяющий глубже изучить свой-
ства динамических систем на фазовом пространстве, но и в прикладном аспекте. Эти два аспекта являются исключительно важными и актуальными с точки зрения развития теоретико-физического и математического аппарата для исследования эргодичности, явлений перемешивания и хаоса в классических динамических системах и явления турбулентности в жидкостях.
Исследования в области анализа феноменологических следствий деформаций метрики Минковского, вектор но-неметрической и финслеровой теории гравитации и полей на их фоне представляют особый интерес и актуальность в аспекте развития дифференциально-геометрического аппарата обобщенных теорий и проверки основ специальной и общей теории относительности.
Цель работы.
Представленные выше актуальные проблемы объединяются темой, предметом изучения которой является функциональный и деформационный подходы к динамическим системам, как к классическим, так и к квантовым.
Целью представленной диссертации является построение и разработка обобщенных теорий на основе функционального и деформационного подходов и исследование в рамках этих теорий гравитационных, классических и квантовых явлений. Важно отметить, что в целом разработка обобщений стандартных теорий и новых подходов являются необходимыми элементами развития теоретической физики, как с точки зрения получения новых результатов, объяснения физических явлений и выработки нового формализма, так н для анализа физических и математических основ устоявшихся теорий.
В силу разнообразия изучаемых явлений общая задача представленной диссертации, главным акцентом которой является развитие и обобщение традиционных подходов, разбивается на ряд частных задач. А именно, представленные результаты исследований подразделяются на пять крупных блоков, изложенных в пяти главах диссертации, соответственно следующим тематикам: (1) Обобщения теорій относительности и гравитации; (2) Адронная механика; (3) Функциональный подход к гамильтоновым системам; (4) Функциональный подход к квантово-механическим системам на фазовом пространстве; (5) Непотенциальная теория рассеяния.
Непосредственные задачи в рамках этих тематик разработаны с учетом получения наиболее значимых и характерных результатов. В диссертации перечислены поставленные непосредственные задачи.
Методы исследований, используемые при решении указанных проблем, базируются на глубоком привлечении различных областей математики, а также анализе и пересмотре основ стандартных физических теорий.
Научная новизна к практическая ценность результатов.
Анализ физических следствий в области финслерова обобщения теории гравитации проводился впервые и результаты опубликованы в цикле работ, в которых впервые представлены как разработка расширенного постньютоновского аппарата, так и полный анализ наблюдаемых следствий (классические ППН-тесты, прецессия гироскопа и новые эффекты). Кроме того, предъявлен новый класс обобщенных финслеровых метрик, что представляет ценность в математическом аспекте.
Энергетическая зависимость фундаментальных параметров мезонной Ка-К системы была обнаружена экспериментально и авторами экспериментов (Аронсон и др., Фермилаб, США) был предложен феноменологический подход для описания этой зависимости. Подход, основанный на Ли-изотопическом фипслеровом обобщении, предложен нами впервые. Ценность представленных результатов исследований состоит в последовательном теоретическом анализе и объяснении этого явления на основе использования обобщенной геометрии, которая проявляется в качестве эффективной пространственно-временной геометрии, лежащей в основе рассмотренного в ВКБ-приближении уравнения Клейна-Гордона.
Формулировка Ли-изотопического обобщения квантовой механики, специфика которого состоит во включении негамильтоновых эффектов, естественно требует проверки выполнения принципа Паули, так как используется обобщение алгебры антнкоммутационных соотношений. Доказательство справедливости выполнения принципа Паули в рамках адронной механики было проведено впервые.
Построение суперсимметричного расширения адронной механики было проведено впервые и ценность результатов проявляется в двух аспектах: формулировка новой теории и анализ обобщения суперсимметричной алгебры.
Представленное нами векторно-неметрическое обобщение геометрии Вейля является новым. С точки зрения исследований в области аффинной геометрии пространство с векторной неметричностью является таким же классическим образцом как и известное пространство Вейля. Впервые дана полная классификация типов пространства-времени с векторной неметричностью, проведен анализ квантовой электродинамики на фоне пространства-времени с векторной неметричностью в однопетлевом приближении и получены наблюдательные ограничения.
Предложенная модель интерпретации распада очарованных мезонов является новым подходом к описанию процесса адронизации кварков в рамках квантово-механических терминов, без привлечения геометризации, используемой в других моделях адронизации.
Ассоциированная теория поля в функциональном подходе к классической механике является одним из примеров когомологических (топологических) квантовых теорий поля. Применение современных методов топологических квантовых теорий поля к классическим динамическим (гамильтоновым) системам предложено нами впервые. Оно включает в себя применение БРСТ-подхода к построению теории и изучение специфических свойств теоретико-полевой модели: топологии, суперсимметрии, аномалий, деформации и возмущения, корреляционных функций. Цикл работ в этом направлении дает всесторонний анализ когомологических гамильтоповых систем в современном формализме, использующем современный математический аппарат. Ценность полученных результатов заключается в разработке приложения мощного современного аппарата топологических квантовых теорий поля к гамильтоновым системам. Кроме того, что достигается более глубокое понимание известных классических результатов (Пуанкаре, Арнольд, Колмогоров) по изучению гамильтоновых систем, получены новые результаты. В практическом плане данный подход позволил получить также новые методы изучения эргодичности и хаоса в гамильтоновых системах, что представляет особую актуальность и ценность.
Существуют различные подходы к формулировке квантовой механики на фазовом пространстве: подход Болпа-Кубо, символьный, подход некоммутативной геометрии. Нами установлена и подробно изучена связь этих подходов. Также, в рамках подхода мойаловской деформации скобок Пуассона впервые сформулировано условие квантової! эргодичности. Впервые изучен д-дефоршгрованный квантово-механический гармонический осциллятор в формулировке фазового пространства. Полученные результаты имеют фундаментальное значение для развития фазово-пространствешюй формулировки квантовой механики.
Эти результаты, а также результаты исследований функционального подхода к гамильтоновым системам, использованы нами для разработки Б РСТ-подхода к квантово-механическим системам, что является совершенно новым направлением исследований.
Нами впервые разработана последовательная формулировка непотенци-алыюй квантовой теории рассеяния, основанная непосредственно на изучении решений Ли-изотопических обобщений уравнений Шредингера и Лишшана-Швингера. Полученные результаты обнаружили нетривиальное обобщение формализма стандартной теории рассеяния. Также, впервые последовательно развита непотенциальнах теория рассеяния частиц со спином. Эти результаты имеют непосредственную практическую ценность в качестве модели с точки зрения интерпретации экспериментальных данных различных процессов рассеяния, в которых может проявляться непотенци-
альность взаимодействия.
Развитие формализма непотенциальной квантовой теории рассеяния при ненулевом угловом моменте требует соответствующего обобщения теории полиномов Лежандра и других специальных функций. Полученные результаты по данному обобщению являются новыми и имеют ценность как с точки зрения развития обобщения математического аппарата специальных функций и классических ортогональных полиномов, так и для последующих физических приложений.
Апробация результатов исследований. Результаты работ докладывались на 6-ой Всесоюзной конференции по теоріш относительности и гравитации (МГПИ, Москва, 1984 г.), Всесоюзной конференции по гравитации (Томский государственных! университет, Томск, 1986 г.), Всесоюзной конференции по теории гравитации и калибровочным полям (ФИАН, Москва, 1987 г.), Всесоюзной конференции по теории физических структур (Пущино, Московская область, Россия, 1987 г.), Международной конференции "Frontiers of Fundamental Physics" (Олимпия, Греция, 1993 г.) (приглашенный докладчик), Международной конференции "Symmetry Methods in Physics" (ОИЯИ, Дубна, Россия, 1993 г.) (приглашенный докладчик), тезисы докладов опубликованы в трудах 12 и 13-ой Международных конференциях по теории относительности и гравитации GR-12 (Боулдер, США, 1989 г.), GR-13 (Кордоба, Аргентина, 1992 г.), Международной конференции памяти Лобачевского (Казань, Россия, 1992 г.), XVIII Международном рабочем совещании по Физике Высоких Энергий и Теоріш Поля (ИФВЭ, Протвино, Россия, 1995 г.) (приглашенный докладчик), Международном рабочем совещании по Физике и Математике (Институт Физических Исследований, Монтеродуни, Италия, 1995 г.) (приглашенный докладчик), Международной конференции "Хаос и структуры в нелинейных системах" (Карагандинский ГУ, 1997 г.), многочисленных рабочих совещаний и межвузовских конференций (Томский государственный университет, ФИАН им. Лебедева, Москва, Московский государственный университет, Московский государственный заочный педагогический институт, Карагандинский государственный университет).
По теме диссертации опубликовано 35 печатных работ, из них 5 тезисов докладов и 1 монография (392 стр.), 27 работ опубликовано в западноевропейских и американских изданиях, 23 публикации в рецензируемых изданиях, 14 статей под единоличным авторством, 19 публикаций объемом свыше 0,3 печ.л.
Структура диссертации. Диссертационная работа представлена на 313 страницах и состоит из Содержания, Введения, пяти Глав, Заключения, Списка использованных источников из 437 наименований и 2 таблиц.
