Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Двухфотонное рождение нейтринной пары в сильном магнит ном поле 13
1. Введение 13
2. Вершина z/z/77 17
3. Нейтринная светимость фотонного газа 27
Глава II. Расщепление фотона на два фотона в сильном магнитном поле 38
1. Введение 38
2. Кинематика расщепления фотона 42
3. Амплитуда процесса 7 ~^ 77 в сильном магнитном поле . 47
4. Вероятность расщепления фотона 49
5. Обсуждения и выводы 54
Глава III. Затухание фотона в результате рождения электрон-позитронной пары в сильном магнитном поле 57
1. Введение 57
2. Затухание электромагнитной волны в сильном магнитном поле 60
Глава IV. Фотон-нейтринные процессы в сильно замагниченной плазме 69
1. Введение 69
2. Вычисление амплитуды 70
3. Вычисление вероятности процессов 79
Заключение 86
Приложение 89
- Вершина z/z/77
- Кинематика расщепления фотона
- Вероятность расщепления фотона
- Затухание электромагнитной волны в сильном магнитном поле
Введение к работе
В настоящее время одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов физики является космомикрофизика - относительно недавно возникшая научная дисциплина, лежащая на пересечении физики элементарных частиц, астрофизики и космологии [1-3]. Основными объектами исследования космомикрофизика являются ранняя Вселенная и астрофизические объекты, в которых реализуются экстремальные физические условия. Для понимания процессов, которые происходят в таких объектах с одной стороны требуется привлечение теории элементарных частиц. С другой стороны, элементарные частицы - фотоны, нейтрино и космические лучи являются в настоящее время основными источниками информации о наиболее грандиозных явления во Вселенной. Все это дает основание рассматривать раннюю Вселенную и многие астрофизические объекты как гигантские естественные лаборатории физики элементарных частиц, намного превосходящие по своим возможностям наземные ускорители. Именно из астрофизических наблюдений в настоящее время получают наиболее сильные ограничения на свойства как известных, так и гипотетических частиц и на параметры их взаимодействия.
Известны три основных метода, позволяющие использовать звезды в качестве лабораторий физики частиц. Во-первых, звезды - естественные источники фотонов и нейтрино, детектируемых на Земле. Поскольку эти частицы проходят значительные расстояния до того момента, как они попадают в детектор, представляет несомненный интерес исследование эффектов дисперсии и распространения, включая осцилляции нейтрино или аксион-фотонные осцилляции в магнитных полях. Хорошо известно, что расхождение между предсказанными теоретически и полученным
экспериментальным путем спектрами нейтрино [4-6] является наиболее ярким указанием на возможное существование осцилляции и ненулевых масс нейтрино. Эта гипотеза была блестяще подтверждена в эксперименте на тяжелой воде, осуществленном в Солнечной Нейтринной Обсерватории (SNO) в Садбери, Канада [7-9]. В эксперименте измерялись отдельно полный поток нейтрино всех типов от Солнца и поток только электронных нейтрино. Результаты этого эксперимента находятся в полном согласии с так называемой Стандартной Солнечной Моделью [10]. Таким образом, подтверждение гипотезы об осцилляции нейтрино несомненно является одним из самых значительных достижений космомик-рофизика за последнее время.
Во-вторых, поиск фотонов или доступных измерению нейтрино как продуктов распада частиц от удаленных источников также является эффективным методом исследования. Так отсутствие х- и 7-лучей от Солнца дает более строгое (9 порядков), чем лабораторные измерения ограничение на радиационный распад нейтрино. Наиболее жесткое ограничение - отсутствие 7-лучей от SN 1987А - позволяет, например, заключить, что даже vT должны подчиняться космологическому пределу mv < 30 эВ, если только не существуют новые невидимые каналы распада.
В третьих, излучение слабовзаимодействующих частиц приводит к потере энергии астрофизическими объектами. Эффекты, обусловленные излучением нейтрино уже включены в теоретические описания эволюции звезд. Если бы существовали другие легкие частицы, такие как аксион, или же нейтрино имели новые взаимодействия как, например, предполагаемый магнитный дипольный момент, тогда звезды теряли бы энергию слишком быстро. Сравнение с результатами астрономических наблюде-
ний позволяет получить более жесткие ограничения на новые взаимодействия частиц.
Изучение элементарных процессов в астрофизических условиях имеет свои особенности. Помимо высоких температур и больших плотностей материи в таких объектах, необходимо так же учитывать наличие интенсивного электромагнитного поля, которое может генерироваться внутри них. Отметим, что сильное электромагнитное поле может проявлять себя как среда, которая существенно влияет как на дисперсионные свойства частиц, так и на их взаимодействие друг с другом. Наиболее сильно это проявляется, когда величина напряженности магнитного поля становится больше так называемого критического значения Ве = тЦе ~ 4.41 1013 Гс \
В каких астрофизических объектах могут генерироваться магнитные поля такой напряженности? До недавнего времени считалось, что наиболее сильные магнитные поля существуют в пульсарах - астрофизических объектах, которые ассоциируются с быстро вращающимися нейтронными звездами. У большинства пульсаров наблюдается уменьшение периода вращения со временем, что обычно связывается с потерями кинетической энергии вращения за счет магнитодипольного излучения. Тогда для стандартных параметров нейтронных звезд, М ~ 1.4М, R ~ 106 см, величина магнитного поля на полюсах определяется следующей формулой:
В = 6Ах1019\[рР Гс,
где Р - период вращения пульсара в секундах. Наблюдения показывают, что типичные напряженности магнитного поля у большинства пульсаров не превосходят 10 Гс. Однако в начале 90-х годов была предложе-
1Мы используем естественную систему единиц с=Н=1. е>0- элементарный заряд.
на теоретическая модель генерации магнитного поля внутри нейтронной звезды с величиной напряженности вплоть до 1016 Гс [11,12]. Нейтронные звезды с магнитным полем В ^> Ве получили название "магнита-ры". Такое сильное магнитное поле может сгенерироваться вследствие очень быстрого вращения нейтронной звезды (Р ~ 1 мс) на самых ранних этапах ее образования. Модель "магнитара" была использована для объяснения мощных вспышек гамма- и рентгеновского излучения, происходящих от так называемых мягких повторяющихся гамма-всплесков (SGR). В 1998 году впервые был измерен не только период одного из таких объектов, SGR 1806-20, но так же и скорость изменения периода со временем [13]. Оценка магнитного поля SGR 1806-20 дала величину В с^ 8 10 Гс. Это наблюдение было одним из первых экспериментальных свидетельств в пользу магнитарной модели. Позднее были обнаружены еще несколько подобных объектов [14, 15]. Отметим также, что к магнитарам в настоящее время относится и ряд так называемых аномальных рентгеновских пульсаров (АХР). Еще одним аргументом в пользу магнитарной модели стало недавнее наблюдение детали спектра SGR 1806-20, которая интерпретируется как протонная циклотронная линия [16,17]. Напряженность магнитного поля, которое соответствует данной циклотронной линии, В ~ 1 10 Гс, находится в хорошем согласии с величиной, полученной из оценок, основанных на магнитоди-польном механизме потери кинетической энергии вращения нейтронной звездой. В настоящее время уже известно около десятка SGR и АХР, у которые величина напряженности магнитного поля на несколько порядков превосходит критическое значение Ве. Отметим, что для нейтронных звезд существует верхняя граница возможных напряженностей магнит-
ного поля (> ~ 10 Гс). Она определяется равенством энергии магнитного поля и гравитационной энергии связи нейтронной звезды. Более сильные стационарные магнитные поля по-видимому не могут существовать в нейтронных звездах.
Существует еще один класс астрофизических явлений, в которых, в принципе, может генерироваться сверхсильное магнитное поле. К нему относится процесс взрыва сверхновой типа II. Сверхновые этого типа связывают с молодыми массивными звездами. Поэтому вспышки сверхновых считаются конечной стадией эволюции звезд с массой 8 — ЮМ. На этой стадии в начале происходит коллапс, а затем сброс оболочки с образованием остатка в виде нейтронной звезды или черной дыры. На сегодняшний день предложено несколько механизмов взрыва сверхновой. Одним из них является магниторотационный механизм сброса оболочки сверхновой. Идея этого механизма состоит в том, что сброс оболочки производится магнитным полем быстро вращающейся нейтронной звезды. Процесс происходит в две стадии. На первой из них, в следствие градиента угловых скоростей вращения оболочки образуется тороидальное магнитное поле, которое линейно растет со временем. Длительность этой стадии зависит от скорости вращения нейтронной звезды и от ее начального магнитного поля. Когда магнитное поле достигает напряженности ~ 10 — 10 Гс, происходит магниторотационный взрыв, который ускоряет и сбрасывает оболочку за 0.01 —0.1 с [19,20]. Отметим, что реакции с участием нейтрино, идущие в момент взрыва могут существенно повлиять на скорость "накрутки" и привести к генерации тороидального магнитного поля с еще большей напряженностью [21].
Таким образом, астрофизические объекты дают нам уникальную воз-
можность исследования квантовых процессов и свойств частиц в экстремальных условиях, в частности, в сильных внешних электромагнитных полях. Однако, расчеты элементарных процессов в таких сильных полях требуют развития новых методов вычислений. В этой связи, при решении ряда принципиальных задач о взаимодействии частиц с электромагнитным полем большое значение приобрел метод, в котором влияние внешнего поля учитывается не посредством теории возмущений, а на основе точных решений уравнения Дирака во внешнем электромагнитном поле. В квантовой релятивистской теории число случаев, когда уравнение Дирака решается в аналитическом виде, невелико: задача о движении электрона в кулоновском поле (атом водорода), в однородном магнитном поле, в поле плоской электромагнитной волны и в некоторых случаях комбинации однородных электрического и магнитного полей. Расчет конкретных физических явлений предполагает использование диаграммной техники Фейнмана со следующим обобщением: в начальном и конечном состояниях заряженный фермион находится во внешнем поле и описывается решением уравнения Дирака в этом поле, внутренние линии заряженных фермионов соответствуют пропагаторам, построенным на основе этих решений. Данный метод полезен тем, что с его помощью можно анализировать процессы в полях большой напряженности, когда учет влияния поля по теории возмущений уже невозможен. В силу устойчивости вакуума в сверхсильном магнитном поле можно рассматривать процессы в полях с напряженностью, значительно превышающей критическое значение Ве.
Описанный выше метод оказался эффективным при исследовании ряда процессов, идущих в сильных электромагнитных полях и имеющих
прикладное значение, таких, как /3-распад в поле интенсивного лазерного излучения, квантовые эффекты при прохождении ультрарелятивистских заряженных частиц через монокристаллы, и другие.
Среди квантовых процессов, свойства которых существенно, а иногда принципиально меняются под воздействием сильного внешнего магнитного поля, особый интерес представляют петлевые процессы, где в конечном и начальном состояниях присутствуют только электрически нейтральные частицы, такие, как нейтрино и фотоны. Воздействие внешнего поля на такие процессы обусловлено, во-первых, чувствительностью заряженных виртуальных фермионов к влиянию поля, при этом основную роль здесь играет электрон - частица с максимальным удельным зарядом е/те. Во-вторых, сильное магнитное поле существенно меняет дисперсионные свойства фотонов, а значит, и их кинематику.
Как известно, физика нейтрино играет определяющую роль в таких астрофизических катаклизмах, как взрывы сверхновых, слияния нейтронных звезд, а также в ранней Вселенной. Вследствие этого большой интерес представляет изучение нейтринных взаимодействий, в частности, нейтрино-электронных и нейтрино-фотонных процессов во внешней активной среде. Наиболее интенсивно обсуждаемыми нейтрино-фотонные процессами являются двухвершинные петлевые процессы 7 -~> vv, v —> vj и процесс двухфотонного рождение нейтрино-антинейтринной пары 77 ~~> vv- Как показывают исследования [42, 44,45] сильное магнитное поле может существенно катализировать данные реакции. Рассматриваемые процессы могут играть существенную роль в процессах взрыва сверхновой или гамма-всплеска в областях, занятых горячей сильно за-магниченной плазмой с малой барионной составляющей.
Еще один петлевой процесс, который в настоящее время бурно обсуждается в литературе - расщепление фотона на два фотона в магнитном поле. Данные процесс может существенно влиять на формирование радиоизлучения у сильно замагниченных нейтронных звезд. Напомним, что модель формирования радиоизлучения пульсара состоит в следующем [22]. У вращающейся замагниченной нейтронной звезды вблизи полюсов генерируется область, занятая сильным электрическим полем, силовые линии которого направлены вдоль силовых линий магнитного поля. Заряженные частицы, ускоряемые эти полем в результате изгибно-го излучения или обратного комптон-процесса излучают высокоэнергичные фотоны. Распространяясь в магнитном поле дипольной конфигурации фотоны в процессе 7 -~> е+е~ могут родить достаточное количество электрон-позитронных пар для формирования плазмы. Радиоизлучение генерируется вследствие возникновения различных неустойчивостей в плазме, например, двух пучковой неустойчивости и т.д. Однако, в случае, когда напряженность магнитного поля нейтронной звезды значительно превышает критическое значение >е, становится существенным процесс расщепления фотона на два фотона в магнитном поле, который может сильно подавить процесс рождения е+е~-пар, тем самым сделав невозможным генерацию радиоизлучения [68,75]. Отметим, что в настоящее время все SGR и АХР, ассоциирующиеся с магнитарами, как раз и относятся к классу "радиотихих" нейтронных звезд, т.е. нейтронных звезд, у которых не наблюдается радиоизлучение. Таким образом, вопрос о роли процесса расщепления фотона в процессе формирования радиоизлучения магнетара до сих пор остается открытым и требует дальнейшего изучения.
Настоящая диссертация посвящена исследованию фотон-нейтринных процессов во внешних электромагнитных полях и плазме. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, четырех приложений и списка литературы.
В первой главе приводится подробный расчет эффективного vv^pf-взаимодействия в сильном магнитном поле, находятся амплитуды процесса 77 ~^ vv Для различных конфигураций поляризации начальных фотонов. Вычисляется вклад в нейтринную светимость процессов 77 ~^ і/і/и]^ ^vv в случае холодного, Т <С те, и горячего, Т ^> те, фотонного газа с учетом дисперсии и перенормировки волновой функции фотонов в сильном магнитном поле.
Вторая глава посвящена изучению расщепления фотона на два фотона 7 -~> 77 в сильном магнитном поле, получены выражения для парциальных амплитуд без ограничения коллинеарности кинематики, вычисляются вероятности расщепления с учетом дисперсии и перенормировки волновой функции фотона в сильном поле.
В третьей главе исследуется затухание электромагнитной волны в присутствии сильного магнитного поля в кинематической области близкой к порогу рождения электрон-позитронной пары, получено решение уравнения Максвелла в околопороговой области, вычислен эффективный коэффициент затухания.
В четвертой главе изучается влияние сильного внешнего магнитного поля на фотон-нейтринные процессы v —> 1/7) vl ~^ v Получены выражения для амплитуд процессов, и вычислены вероятности данных процессов с учетом дисперсии и перенормировки волновой функции фотона в сильно замагниченной плазме.
Вершина z/z/77
В третьем порядке теории возмущений матричный элемент эффективного //77"взаим0Действия описывается двумя фейнмановскими диаграммами, изображенными на Рис.2, где двойная линия обозначает точный пропагатор электрона в магнитном поле. Явный вид пропагатора S(x, у) приводится в Приложении А. Будем рассматривать случай, когда энергии частиц участвующих в реакции много меньше чем масса И- -бозона. Тогда лагранжиан электрон-нейтринного взаимодействия можно записать в виде: где gv = ±1/2 + 2 sin2 6w, дл = ±1/2. Здесь верхний знак соответствует электронному нейтрино [у = z/e), когда в реакции происходит обмен W и Z-бозонами. Нижний знак соответствует /І и г нейтрино, когда присутствует лишь обмен Z-бозонами; ja = v fa{\ + 75) - ток левых нейтрино. Соответствующий диаграммам с -матричный элемент может быть представлен в следующем виде: где a 1/137- постоянная тонкой структуры; q a = (a; , q ), g" = (a;", q") -4-векторы энергии-импульса фотонов с векторами поляризации є а и є" соответственно; /%а - суммарный импульс нейтринной пары с энергиями Е и Е"\ (є у) = єм7м- Не смотря на то, что пропагатор электрона в магнитном поле не обладает трансляционной инвариантностью, S-матричный элемент (1.3) трансляцинно инвариантен, смотри Приложение Б, что приводит к возможности выделения 4-мерной ( -функции, соответствующей закону сохранения энергии-импульса в рассматриваемых фотон-нейтринных процессах. Для того, чтобы это сделать достаточно перейти к новым четырехмерным переменным интегрирования X = z — x Y = х — у что позволяет произвести интегрирование по х в (1.3). Тогда, например, для процесса 77 v 5-матричный элемент может быть представлен в следующем виде образом функция ЛЛ представляет собой эффективный лагранжиан взаимодействия z/z/77 в импульсном представлении где i - тензор магнитного поля х, S (X) - трансляционно-инвариантная часть пропагатора электрона в магнитном поле (см. Приложение А). Интегрирование в формуле (1.5) удобно производить отдельно по продольным, dXodX , и поперечным, dX\dX2, координатам. Интегрирование по продольным координатам дает две ( -функции соответствующие сохранению продольного виртуального импульса в петле. Вычисление интеграла по поперечным координатам сводится к вычислению обобщенных гауссовых интегралов и подробно изложено в Приложении В. В общем случае вычисление вершинной функции при произвольных величинах импульсов частиц и магнитного поля является довольно сложной задачей. Подстановка пропагатора S(X) в формулу (1.4) приводит к чрезвычайно громоздкому выражению в виде трехкратного интеграла по собственному времени. Нахождение предела сильного поля из этого выражения представляется достаточно трудоемким.
Более удобным при вычислениях оказывается использовать разложение пропагатора электрона по обратной величине магнитного поля. В первом приближении трансля 1 В дальнейшем магнитное поле предполагается направленным вдоль третьей оси. ционно-инвариантная часть пропагатора дается формулой [47,48]: П_ = 7j[I + 1(7 7)]) Р = еВ-і индекс _L при 4-векторе означает, что вектор лежит в плоскости, перпендикулярной направлению В, а индекс - указывает на принадлежность вектора пространству (0, 3) 2 . Тогда для произвольных 4-векторов А 7 В 1 где введены матрицы ApV = (ipip) = (fpP(f ApV = (фф)рУ = фрРф построенные из обезразмеренного тензора магнитного поля, Lp v = F /B, и дуального к нему тензора, фрУ = pvpa pa- Матрицы А у и А у играют роль метрических тензоров соответственно в продольном и поперечном подпространствах, и связаны соотношением Подставляя пропагатор Sa(X) в (1.5), после несложного интегрирования получим для ІИ и Пі; следующие выражения: Заметим, что соответствующие шпуры во втором слагаемом выражения (1.9) могут быть преобразованы к шпурам в первом члене. Действительно, произведя над 7-матрицами под знаком шпура операцию зарядового сопряжения, и используя свойства операторов П± (см. Приложение Б) не сложно показать, что шпуры в первом и втором слагаемых формулы (1.9) отличаются только знаком. Таким образом, в пределе сильного поля, (5 щ,(}]_і линейный по полю вклад исчезает. Для выделения следующего, независящего от величины магнитного поля, члена разложения, удобно представить трансляционно-инвариантную часть пропагатора электрона S(X) следующим образом: В амплитуду Л4 величины S±(X), 5 ±(Х) могут входить в десяти независимых комбинациях, которые условно можно разбить на четыре группы: 1) Ь±Ь±Ь±] 2) Ь±Ь±Ь±] 3) Ь±Ь±Ь±] 4) Ь±Ь±Ь±. Заметим, что основной вклад в интеграл по собственному времени в S-(X) дает область т ftl\v\ т2 1- Учитывая, что thr 1 при т 1, несложно видеть, что выражение для S_(X) переходит в асимптотическую формулу (1.8). Для S+(X) и S±(X) основной вклад в интеграл дает область т 1.
В этом случае оказывается возможным проинтегрировать в (1.13), (1-14) по продольным импульсам, и выражения для S+(X) и S±(X) могут быть представлены в следующем виде: Далее используя выражения для интегралов по поперечным координатам, приведенные в Приложении Г, не сложно видеть, что вклад в ин тересующий нас член разложения амплитуды будут давать комбинации: Вычисление части амплитуды, соответствующей комбинации S-S-S-в результате приводит к выражению (1.9), в котором для выделения независящего от величины магнитного поля части амплитуды следует удержать следующий член разложения экспоненты, ехр(—ф±/2/3) — 1-ф±/2р + 0(1//32). Отметим, что в силу калибровочной инвариантности амплитуда рассматриваемого процесса исчезает при стремлении к нулю 4-импульса любого из фотонов. Это позволяет упростить вычисления, рассматривая "регуляризованную" амплитуду где добавочные слагаемые в действительности равны нулю, но амплитуда в виде (1.17) заведомо свободна от ультрафиолетовых расходимостей. Альтернативный путь, приводящий, как мы убедились, к тем же результатам, состоит в использовании аналога регуляризации Паули-Виларса в сильном магнитном поле: где M - энергетический масштаб регуляризации, удовлетворяющий условию /3 М2 m2, q 2, q"2. Дальнейшие вычисления, не смотря на их громоздкость, не представляют принципиальной сложности. Отметим лишь, что вклад в амплитуду, соответствующий комбинации S-S±S± оказывается равным нулю. Окончательные выражения для амплитуды процесса 77 v в пре
Кинематика расщепления фотона
Кинематика рассматриваемого процесса в сильном магнитном поле определяется поляризацией вакуума. Поляризационный оператор фотона Vap описывается диаграммой Фейнмана, рис. 6. Рис. 6: Поляризационный оператор фотона в сильном магнитном поле. Двойные линии означают, что влияние внешнего поля в пропагаторе электрона учтено точно. Тензор Va/3 удобно разложить по его собственным векторам Ьа вместе с 4-вектором qa образуют полный ортогональный базис в 4-про-странстве Минковского. Собственные значения поляризационного оператора содержат вакуумную часть П(д2) и индуцированную полем часть AV , которая подробно исследовалась в целом ряде работ. Выражения для функций AV можно извлечь, например, из работ [76,84,85]: Пропагатор фотона с учетом поляризации в магнитном поле также диагонализуется в базисе (2.2) и может быть представлен в следующей форме: откуда следуют уравнения дисперсии для фотонов Решения уравнения (2.10) в магнитном поле имеют физический смысл только для двух мод Л = 1,2 [76] с векторами поляризации Фотон третьей моды, Л = 3, является нефизическим. Действительно, подставляя выражение для V \q) в уравнение (2.10) можно легко убедиться, что единственным решением данного уравнения является q2 = 0. Это приводит к тому, что волновая функция фотона третьей моды оказывается пропорциональна полной дивергенции, и может быть устранена соответствующим калибровочным преобразованием.
В обозначениях работы [61] фотон моды 1 с поляризацией єа называется (2) продольным (7ц), фотон моды 2 с поляризацией еа - поперечным (7±)-Благодаря дисперсии фотона в магнитном поле он приобретает ненулевую "массу", q = 0, что и определяет кинематику процесса расщепления фотона. На рис. 7 качественно изображены законы дисперсии для фотонов мод 1 и 2 соответственно, как функции q2 от q2. Квадрат "массы"фотона q2 = q2 — q2 на рис. 7 есть расстояние по вертикали от дисперсионной кривой до прямой q = 0. Таким образом, как видно из рис. 7, фотон моды 1 при q2 (т + л/т2 + 2еВ)2 имеет отрицательное и относительно малое значение q . Фотон моды 2 практически везде в области 4m2 q2 {т + \/т2 + 2еВ)2 имеет также относительно малое, но положительное значение q . Это означает, что в случае, когда все три фотона процесса 7 - 77 находятся в данной кинематической области, практически реализуется только коллинеарная кинематика. С другой стороны известно, что в коллинеарном пределе отлична от нуля амплитуда только одного канала, 1 — 2 2, который, однако, закрыт в этой области кинематически (квадрат "массы"начальной частицы меньше суммы квадратов "масс"конечных частиц). Иная ситуация имеет место, когда конечный фотон моды 2 попадает в кинематическую область q2 4m2, где он может иметь большое по модулю отрицательное значение q . В этом случае реализуется существенная неколлинеарность кинематики, что открыва ет новые каналы, запрещенные в коллинеарном пределе. Кроме того, амплитуда разрешенного канала 1 — 2 2, полученная в коллинеарном пределе [72,73], недостаточна для вычисления вероятности процесса.
Таким образом, важную роль в кинематике рассматриваемого процесса играет окрестность точки g2 = 4m , где q велик по модулю. Это обусловлено явлением циклотронного резонанса в поляризации вакуума в присутствии магнитного поля, когда поляризационный оператор имеет особенности корневого типа [76] в точках где виртуальные электрон и позитрон в петле рис. 6 становятся реальными на уровнях Ландау. В пределе сильного поля, когда q$ С е , существенной остается только окрестность низшего резонанса, п = п = О, gf Следует отметить, что корневая особенность поляризационного оператора при g2 = 4т не является характерной только для однопетлевого приближения, а обусловлена финитностью движения электрона и позитрона в плоскости, перпендикулярной магнитному полю [76]. С другой стороны, тот факт, что поляризационный оператор велик вблизи циклотронного резонанса, указывает на необходимость учета перенормировки волновых функций фотонов в этой окрестности В действительности в пределе сильного поля существенной является перенормировка только для фотона моды 2.
Вероятность расщепления фотона
Рассматриваемый процесс является трехчастичным, однако его амплитуда не есть константа, в отличие от ситуации в вакууме, поскольку зависит не только от 4-векторов импульсов частиц, но и от тензора внешнего поля. Поэтому вычисление вероятности не сводится к умножению квадрата где множитель д = 1 — А А" введен для учета возможной тождественности фотонов в конечном состоянии, множители Z\ учитывают возможные большие радиационные "поправки"в окрестности резонанса, сводящиеся к перенормировке волновой функции реального фотона с конкретным законом дисперсии и = co\(q) С учетом свойств амплитуд (2.21)-(2.24) и кинематики процесса 7 77 5 описанной в разделе 2, разрешенными каналами расщепления являются 1 — 2 распадаться на два фотона только в кинематической области q2 = си2 — q2 4:їп2. Однако в этой области для него имеется "древесный "канал 7 - е+ е [88], с существенно большей вероятностью распада закрыт при ио т + лД 2 + 2е , и такой фотон в низшем неисчезающем приближении может распадаться только на два фотона. Следовательно, физический интерес с точки зрения возможных астрофизических приложений [67] представляет вычисление вероятностей расщепления фотона по каналам 1 — 2 2 (разрешенный в коллинеарном пределе) и 1 — 1 2 (запрещенный в коллинеарном пределе). Как видно из (2.25), вычисление вероятности является сложной математической задачей. Мы провели численный расчет вероятности рас щеплення, результаты которого справедливы при и2 sin 9 С еВ {0 -угол между векторами импульса распадающегося фотона q и напряженностью магнитного поля В) и приведены на рис. 9-12. Видно, что при высоких энергиях фотона оба канала дают существенный вклад в вероятность распада, причем "запрещенный"канал 1 — 1 2 доминирует. В асимптотическом пределе т2 С uJ2 sin 9 С еВ для канала 1 — 1 рофизических объектов в настоящее время является модель магнетара, одиночной нейтронной звезды с магнитным полем, напряженность которого может достигать величин порядка 10 — 10 Гс. В магнитном поле такой напряженности, благодаря отсутствию порога реакции у процесса 7 771 может происходить эффективное подавление рождения е+е -пар, необходимых для образования радио излучения. Предполагается, что е+е -пары рождаются в основном за счет процесса 7 е+е , который кинематически открыт при qr Am . Анализ формирования е+е -плазмы с учетом процесса расщепления фотона в сильном магнитном поле был сделан в работе [75]. Было показано, что рождение е+е -пар может существенно быть подавлено только в случае, когда открыты все три канала расщепления 1 — 22, 1 — 11,2 — 12, разрешенные СР-инвариантностью процесса. Авторы отмечают, что не смотря на то, что в пределе слабого магнитного поля разрешен только канал 1 — 22, в сильном магнитном поле это ограничение может не выполнятся и все три канала могут быть открыты. Однако наш анализ показывает, что СР-инвариантность дает ограничения только в случае слабого магнитного поля, когда возможен предел коллинеарной кинематики.
В сильном магнитном поле кроме обычно рассматриваемого канала 1 — 22, становятся существенными два новых канала 1 — 1 2. Таким образом вывод авторов о возможном эффективном подавлении рождения е+е -пар благодаря процессу расщепления фотона является неверным. С другой стороны, авторы [75] в своем анализе не учитывали неколлинеарность процесса расщепления 7 771 дисперсию и перенормировку волновой функции фотона. Все эти явления становятся существенными в присутствии сильного магнитного поля. Таким образом влияние процесса рас щепления фотона на формирование радио излучения магнетаров требует дальнейшего более детального изучения. В настоящей главе исследовалось расщепление фотона 7 - 77 в сильном магнитном поле. Вычислены инвариантные амплитуды для различных поляризаций фотонов в пределе, когда значение напряженности магнитного поля много больше его критического значения. В кол линеарном приближении выражение для амплитуды канала 1 — 2 2 совпадает с результатом, полученным ранее в работах [72,73]. Из анализа кинематики процесса и полученных амплитуд следует, что неподавленными оказываются четыре канала расщепления: 1 22, 1 — 12,2 — 12,2 — 2 2. Для первых двух каналов, представляющих интерес в астрофизических приложениях, численно найдены вероятности расщепления. В пределе больших энергий начального фотона удалось получить аналитическое выражение для спектра и полной вероятности "распада" фотона по каналу 1 — 1 2. Задача о распространении электромагнитных полей в активной среде возникает при рассмотрении самых различных физических явлений.
Наиболее масштабными и интересными из них являются рождение и эволюция сверхновых и нейтронных звезд, внутри которых плотность вещества может достигать величин порядка ядерных (р 10 — 10 г/см ), а температура нескольких десятков МэВ. Наряду с плотной и горячей материей возможна также генерация сильного магнитного поля, которое в описываемых выше объектах может превосходить на несколько порядков так называемое критическое или швингеровское значение, Ве = rrizefe 4.41 10 Гс. В присутствии интенсивного магнитного поля возможны новые явления, которые могут существенно влиять на динамику развития подобных астрофизических объектов. К одному из таких явлений относится затухание электромагнитного поля в результате рождения электрон-позитронной пары во внешнем магнитном поле. Напомним, что в вакууме процесс 7 е+е кинематически запрещен. Присутствие магнитного поля приводит к изменению кинематики заряженных частиц (электронов и позитронов), что делает процесс рождения электрон-позитронной пары возможным в кинематической области qr = Яо — qi 4mg, где qo - энергия фотона, а дз-компонента импульса вдоль
Затухание электромагнитной волны в сильном магнитном поле
Для описания эволюции электромагнитной волны Аа{х) во времени 1 рассмотрим линейный отклик системы (Ла{%) и поляризованный в магнитном поле вакуум) на внешний источник, который адиабатически включается при t = — оо и в момент времени t = 0 выключается. При t 0 электромагнитная волна будет эволюционировать самостоятельно. Таким образом источник необходим для создания начального состояния. Для простоты рассмотрим эволюцию монохроматической волны. Для этого функцию источника следует выбрать в виде: Зависимость Аа(х) от времени определяется уравнением где Va(i{x — х ) - поляризационный оператор фотона в магнитном поле. Отметим, что для того, чтобы источник в правой части уравнения (3.2) являлся сохраняющейся величиной, daJa = 0, необходимо выбрать ток ja в виде: ja = (0,j), j k = 0. Запаздывающее решение, описывающее эволюцию Аа(х)7 имеет вид: где G Jx—x ) - запаздывающая функция Грина. Она определяется через коммутатор гейзенберговских операторов электромагнитного поля Аа(х) согласно: см. например [96]. Полезно выразить эту функцию через причинную функцию Грина используя следующее соотношением: Эту формулу легко получить, если заметить, что Прибавляя к последнему уравнению комплексно-сопряженное и сравнивая олученное выражение с (3.4), получаем соотношение (3.6). В магнитном поле удобно разложить функцию Грина (3.5) по собственным векторам поляризационного оператора, смотри (2.2): где V (q) - собственные значения поляризационного оператора.
Подставляя выражения (3.1), (3.6) в уравнение (3.3), и используя разложения (3.8), (3.9), после несложного интегрирования получаем для А (х) где qa = (go,k). Следует отметить, что интеграл в последней формуле требует доопределения, так как подынтегральное выражение может содержать особенности, которые с одной стороны связаны с нулями знаменателя в (3.10), а с другой стороны с областью определения подынтегральной функции. Для исследования этих особенностей необходимо знать явный вид и аналитические свойства собственных значений, V (q). поляризационного оператора. В пределе сильного поля они могут быть представлены в следующем виде, смотри формулы (2.5 - 2.7) главы II: Отметим, что вклад полюса q2 = 0, происходящего из нормировки базисных векторов Ьа и Ьа і является нефизическим. С учетом явного вида собственных значений поляризационного оператора (3.11)-(3.13) он может быть устранен калибровочным преобразованием после суммирования по поляризациям. Таким образом вклад в решение могут дать только полюса соответствующие уравнениям дисперсии: Как известно для реальных фотонов в магнитном поле физический смысл имеют только две моды Л = 1,2 (см. глава II, второй раздел), с векторами поляризации: зации єіі может распадаться на электрон-позитронную пару, поскольку только собственное значение поляризационного оператора V 2 (q) (3.13) имеет мнимую часть при q2 Am2. Таким образом для анализа временного затухания электромагнитного поля достаточно в выражении (3.10) рассмотреть только слагаемое с Va (х). Для упрощения дальнейших вычислений удобно перейти в систему отсчета, где k = (&i, &2, 0), что всегда можно сделать не нарушая харак ел ел тера внешнего магнитного поля. При этом q = q и вектор поляризации моды 2 принимает вид: еа = (0,0,0, —1). В итоге для Va (х) получаем следующее выражение: Контур интегрирования С в (3.17) определяется аналитическими свойствами V 2 (q) и изображен на рис.10. Функция V 2 (q) является аналитической на комплексной плоскости qo с разрезами вдоль вещественной оси, см. рис.10. В кинематической области \qo\ 2ше собственное значение V \q) вещественно, и в этом случае уравнение (3.14) имеет вещественные корни, которые определяют дисперсию фотона в данной области. с Рис. 10: Контур интегрирования С в комплексной плоскости q0. Крестиками обозначены полюса, соответствующие вещественным решениям уравнения дисперсии (3.14). Штриховкой указаны разрезы вдоль вещественной оси. Для дальнейшего анализа, контур интегрирования удобно преобразовать в контур, изображенный на рис.11. Тогда интеграл (3.17) может быть представлен в форме двух слагаемых первое из которых определяется вычетом в точке qo = и, являющейся решением уравнения дисперсии (3.14). Оно соответствует незатухающему W Выражения (3.19)-(3.22) с учетом (3.16) решают задачу о нахождении временной зависимости волновой функции фотона выше порога рождения пары в присутствии сильного магнитного поля.
Строго говоря, вследствие порогового поведения фурье-образа Fcut(qo) характер временного затухания функции Fcut{t) а значит и волновой функции A ,(t), отличается от экспоненциального. Однако, на протяжении некоторого характерного отрезка времени 2 зависимость волновой функции можно приближенно описать как экспоненциально затухающие гармонические колебания Здесь uet{ и 7eff - эффективная частота и ширина распада фотона соответственно, которые должны быть найдены с использованием (3.19)-(3.22) для каждого значения импульса к, что определяет эффективный закон дисперсии фотона выше порога рожения электрон-позитронной пары. Рис. 12: Зависимость ширины распада от частоты в околопороговой области для значений магнитного поля В = 200Ве. Линия 1 - ширина распада 7 е+е , вычисленная в древесном приближении и содержащая корневую сингулярность; линия 2 - ширина распада полученная из комплексного решения дисперсионного уравнения на втором римановом листе [76]; линия 3 соответствует ширине распада 7eff вычисленной на основе аппроксимации (3.23). 2 Естественно в качестве такого характерного времени выбрать обратную эффективную ширину распада 7 — е+е .
