Фотон-фотонные и фотон-нейтринные процессы в сильно замагниченной электрон-позитронной плазме Румянцев Дмитрий Александрович

Содержание к диссертации

Введение 3

Глава I. Нейтринное рождение лептонных пар во внешнем

электромагнитном поле 16

1. Введение 16

2. Расчет дифференциальной вероятности на основе решений

уравнения Дирака 20

3. Полная вероятность процесса 29

4. Средняя потеря энергии и импульса нейтрино 35

Глава II. Обобщенная амплитуда п-вершиниого однопет левого

процесса в сильном магнитном поле 38

1. Введение 38

2. Общий анализ n-вершинного однопетлевого процесса

в сильном магнитном поле 40

3. Процессы с участием фотонов 43

4. Процесс 77 "~* ^vv 50

4.1. Анализ процесса 77 ~~* ^v& ^в вакууме 50

1. Стандартное электрослабое взаимодействие .. 50

2. Обобщение стандартной модели с нарушенной лево-правой симметрией 52

4.2. Учет влияния внешнего поля на процесс 77 ~^ ^и& 54

4.3. Амплитуда и сечение процесса 77 ~~* ^ ^в модели

с нарушенной лево - правой симметрией 56

4. Проявления процесса 77 ~~*" ^и& в астрофизике 57

5. Влияние замагниченной электрон-позитронной плазмы на процесс 77 ^—* ^v& в модели с нарушенной

лево - правой симметрией 61

5. Процесс 77 ~~> ^у^1 64

Глава III. Расщепление фотона на два фотона в сильно

замагниченной плазме 73

1. Введение 73

2. Вычисление амплитуды 77

3. Дисперсионные свойства и кинематика

расщепления фотона 89

4. Вероятность расщепления фотона в сильно замагниченной

среде 96

Заключение 104

Приложение А 107

Приложение Б 109

Приложение В 112

Приложение Г 114

Литература 118

_4-Введение

В настоящее время установленный факт активного влияния среды на квантовые процессы, протекающие в ней, является одним из стимулов постоянно возрастающего интереса к космомикрофизике - относительно недавно возникшей научной дисциплине, лежащей на пересечении физики элементарных частиц, астрофизики и космологии [1-3]. Одной из задач, решением которой занимается космомикрофизика, является изучение квантовых процессов в экстремальных физических условиях, а именно, в сильных электромагнитных полях и/или горячей плотной плазме. Такие условия могли существовать в ранней Вселенной и реализуются в различных астрофизических объектах, и должны оказывать существенное влияние на протекание квантовых процессов, открывая или значительно усиливая реакции, кинематически запрещенные или сильно подавленные в вакууме.

Изучение процессов с участием элементарных частиц в экстремальных условиях имеет свои особенности. Помимо высоких температур и больших плотностей материи в таких объектах необходимо также учитывать наличие интенсивного электромагнитного поля, которое может генерироваться внутри них. Отметим, что сильное электромагнитное поле может проявлять себя, как среда, которая существенно влияет как на дисперсионные свойства частиц, так и на их взаимодействие друг с другом. Наиболее сильно это проявляется, когда величина напряженности магнитного поля становится больше так назваемого критического значения В_е = тЦе ~ 4.41 10¹³ Гс \

'Мы используем естественную систему единиц c = fi=l.e>0- элементарный заряд.

Такие поля могут генерироваться, в частности, в определенном классе звезд, так называемых магнитаров, к которым относятся, например, повторные источники мягких гамма-всплесков (SGR - soft gamma repeaters), интерпретируемых как нейтронные звезды с магнитными полями ~4х 10¹⁴Гс [4,5]. Одним из таких объектов является источник SGR 1806-20, у которого в 1998 году впервые был измерен не только период, но также и скорость изменения периода со временем [6]. Оценка магнитного поля SGR 1806-20 дала величину 8 х 10¹⁴ Гс. Позднее были обнаружены еще несколько подобных объектов [7,8]. Одним из характерных свойств SGR является их периодическая активность с выбросом энергии ~ 10⁴⁴ эрг, однако 27 декабря 2004 года от SGR 1806-20 наблюдался гигантский выброс энергии ~ 10⁴⁶ эрг, в основном в виде жестких гамма-квантов, почти на два порядка превышающий поток энергии от других известных SGR. Анализ "хвоста" спектра этого излучения, проведенный в недавней работе [9], позволил сделать оценку для полоидального магнитного поля ^ 7 X 10¹⁵ Гс. Отметим также, что к магнитарам относится и ряд так называемых аномальных рентгеновских пульсаров (АХР). В настоящее время уже известно около десятка SGR. и АХР, у которые величина напряженности магнитного поля на несколько порядков превосходит критическое значение В_е. В литературе обсуждаются также возможные механизмы генерации астрофизических магнитных полей с напряженно-стью В ^> В_е (до Ю¹⁷ — 10¹⁸ Гс [10-13]). Отметим, что для нейтронных звезд существует верхняя граница возможных напряженностей магнитного поля (~ 10¹⁸ Гс). Она определяется равенством энергии магнитного поля и гравитационной энергии связи нейтронной звезды. Более сильные стационарные магнитные поля, по-видимому, не могут существовать в

нейтронных звездах.

В условиях ранней Вселенной на стадии электрослабого фазового перехода в принципе, могли бы возникать сверхсильные, так называемые "первичные" магнитные поля с напряженностью порядка 10²⁴ Гс [14] и даже более ~ 10³³ Гс [15]. Существование таких полей на ранней стадии Вселенной объяснило бы, например, наличие крупномасштабных (^ 100 килопарсек) магнитных полей с напряженностью ~ 10~²¹ Гс на современной стадии. Причина возникновения первичных полей и динамика их развития в расширяющейся Вселенной также является предметом интенсивного исследования в настоящее время, см. например, обзор [16] и цитированные там работы.

При анализе конкретных процессов в магнитном поле важны соотношения между тремя основными физическими параметрами. Один из них - это величина еВ, характеризующая интенсивность поля, другим важным параметром является масштаб энергий Е начальной частицы или частиц. Наконец, третьим параметром является масса заряженного фер-миона. В нейтрино-электронных процессах это, очевидно масса электрона. Нейтрино-фотонные процессы идут через фермиоштую петлю, где, в принципе, присутствуют все фундаментальные заряженные фермио-ны. Однако основную роль здесь также играет электрон, как частица с максимальным удельным зарядом е/т_е, наиболее чувствительная к воздействию внешнего поля. В большинстве случаев нас будут интересовать магнитные поля, превышающие критическое значение В_е — т^/е. Однако в ряде астрофизических объектов возможна ситуация, когда это условие не выполняется. Поэтому целесообразно рассматривать два предельных случая, в которых расчеты квантовых процессов во внешнем

ку-

поле значительно упрощаются.

Предел относительно слабого поля.

Так называют предельный случай, когда энергия частицы является максимальным физическим параметром, Е² ^> еВ. Это условие можно переписать в релятивистски инвариантной форме. Отметим, что релятивистская инвариантность понимается здесь в узком смысле, относительно лоренц-преобразований вдоль поля (если мы говорим о присутствии только магнитного поля без электрического). Наличие двух ковариантов, тензора поля F^ и 4-им пульса частицы рР — (Е,р), позволяет, наряду с полевым инвариантом

e²F^F^ = e²{FF) = -2е²В², (0.1)

построить динамический инвариант

е%Р^Р„_рр^р = e²(pFFp) = е²В²Е² sin² #, (0.2)

где в - угол между импульсом частицы р и направлением поля В. Инвариант (0.2) чаще всего используется в обезразмеренном виде

Таким образом, условие "слабости" поля принимает вид

[e²(FF)f²<.e²(pFFp). (0.4)

Легко видеть, что условие (0.4) автоматически выполняется в случае скрещенного поля, в котором полевой инвариант строго равен нулю, (FF) — 0. Это позволяет производить вычисления в пределе (0.4), используя приближение скрещенного поля. Отметим, что

этот предел обладает достаточной общностью. Действительно, если при движении релятивистской частицы в относительно слабом магнитном поле В < В_е динамический параметр х достаточно велик, то в системе покоя этой частицы поле может оказаться заметно выше критического и будет очень близко к скрещенному полю. Даже в сильном магнитном поле В ^> В_е, но при условии, что \ ^ В/В_е, результат, полученный в скрещенном поле, будет правильно описывать лидирующий вклад в вероятность процесса в чисто магнитном поле. Таким образом, расчет в скрещенном поле представляет самостоятельный интерес. Техника вычислений в скрещенном поле была детально разработана А.И. Никишовым и В.И. Ритусом, см. например [17].

Предел сильного поля.

В этом пределе интенсивность поля В является максимальным физическим параметром, еВ ;> Е², или в инвариантной форме

[e²{FF)]^3/2^e²{pFFp). (0.5)

В этом случае электроны находятся только на основном уровне Ландау. Поскольку для таких электронов движение в поперечном к полю направлении становится ненаблюдаемым, это также упрощает вычисления. Значительный вклад в развитие техники вычислений в сильном поле сделали В.В. Скобелев и Ю.М. Лоскутов, построившие так называемую "двумерную электродинамику" [18,19], см. также, например, [20] и цитированные там работы. В работах Н.В.Михеева с сотрудниками была развита ковариантная техника вычислений, позволяющая единообразно исследовать как случай сильного ноля,

так и более общий, когда условие (0.5) не выполняется, см. например [21,22].

По-видимому, первыми исследованиями нейтрино - электронных процессов во внешнем электромагнитном поле были работы, посвященные "синхротронному" излучению нейтринных пар є —> еиР [23] и нейтринному рождению электрон - позитронных пар и —> ие~е⁺ [24]. Анализ проводился в ситуации относительно слабого магнитного поля, когда энергия начальной частицы является доминирующим параметром, Е² > еВ, что, как уже отмечалось, соответствует приближению скрещенного поля. Позднее указанные процессы исследовались в том же приближении в работах [17,25-32]. В работах [28,29] процесс v —» ve~e⁺ также исследовался при произвольных значениях магнитного поля и, в частности, в пределе сильного поля еВ ^> ЕІ, когда электрон и позитрон могут рождаться только в состояниях, соответствующих основному уровню Ландау.

Среди квантовых процессов, свойства которых существенно, а иногда принципиально меняются под воздействием сильного внешнего магнитного поля, особый интерес представляют петлевые процессы, где в конечном и начальном состояниях присутствуют только электрически нейтральные частицы, такие, как нейтрино и фотоны. Воздействие внешнего поля на такие процессы обусловлено, во-первых, чувствительностью заряженных виртуальных фермионов к влиянию поля, при этом, как уже отмечалось, основную роль здесь играет электрон - частица с максимальным удельным зарядом е/т_е. Во-вторых, сильное магнитное поле существенно меняет дисперсионные свойства фотонов, а значит, и их кинематику.

Исследование двухвершинных петлевых процессов такого типа, к которым относятся поляризационный оператор фотона во внешнем поле, распады 7 —> vv_} v --» wy и т.д., имеет длительную историю. Поляризационный оператор фотона во внешнем магнитном иоле исследовался в начале 70-х в работах [18,33-35], см. также [36]. Фотон-нейтринные процессы v —> wy, 7 — vv изучались в случаях как сильных, так и относительно слабых полей, а также в общем случае в работах [21,37-48].

Одним из наиболее интенсивно обсуждаемых трехвершиниых процессов является превращение фотонной пары в пару нейтрино - антинейтрино, 77 ~* ^и&. История исследований этого процесса насчитывает уже более 40 лет [49-64]. Согласно теореме Гелл-Манна [49], в случае безмассовых нейтрино, реальных фотонов, и в локальном пределе слабого взаимодействия через векторные и аксиальные заряженные токи амплитуда процесса строго равна нулю. При любом отклонении от условий теоремы Гелл-Манна возникает ненулевая амплитуда: в случае массивных нейтрино [50,51], при учете нелокальности слабого взаимодействия через W - бозон [52-54], если один из фотонов [55] или оба фотона [56-58] находятся вне массовой поверхности. Еще одно отклонение от теоремы Гелл-Манна, при котором процесс 77 ~~* vv также возможен, реализуется, когда в эффективном лагранжиане нейтрино - лептонного взаимодействия нейтрино меняет киральность. При записи лагранжиана в форме нейтральных токов к этому приводит связь скалярных и псевдоскалярных токов. Наконец, воздействие внешнего магнитного поля также может катализировать данный процесс, если величина поля имеет масштаб критического значения В_е = vnr_eje.

Как в вакууме, так и в сильном магнитном поле у процесса 77 ~^ vv

имеется конкурирующий канал с дополнительным фотоном, 77 ~~^{> v}^l-> несмотря на лишний фактор а [20,65-74]. Дело в том, что в вакууме, в случае стандартного нейтрино-электронного взаимодействия трехфо-тонный процесс не имеет сильного подавления, как двухфотонпый. В сильном магнитном поле трехфотонный процесс имеет дополнительное усиление.

Еще один трехвершииный петлевой процесс, в течение многих лет находящийся в поле внимания теоретиков - расщепление фотона на два фотона в магнитном поле и плазме, 7 ~~+ 77? который в вакууме запрещен теоремой Фарри. В магнитном поле этот процесс рассматривался целым рядом авторов (см., например, обзор [75], где можно найти подробный список ранних статей), среди относительно недавних работ укажем [76-84]. В частности, в работах [79,80,85,86] было показано, что учет дисперсионных свойств фотонов в сильном магнитном поле существенно меняет кинематику процесса, и, как следствие, соотношение вероятностей различных поляризационных каналов. Распространение фотонов в электрон-позитронной плазме без учета влияния внешнего поля изучалось в работах [87,88]. Влияние замагниченной плазмы на процесс расщепления фотона также изучалось в целом ряде работ [89-93]. Однако в этих работах совместный анализ влияния замагниченной плазмы как на дисперсионные свойства фотонов, так и на изменение амплитуды расщепления фотона не проводился.

Отметим, что при решении ряда принципиальных задач о взаимодействии частиц с электромагнитным полем большое значение приобрел метод, в котором влияние внешнего поля учитывается не посредством теории возмущений, а на основе точных решений уравнения Дирака во

внешнем электромагнитном поле. В квантовой релятивистской теории число случаев, когда уравнение Дирака решается в аналитическом виде, невелико: задача о движении электрона в кулоновском поле (атом водорода), в однородном магнитном поле, в поле плоской электромагнитной волны и в некоторых случаях комбинации однородных электрического и магнитного полей. Расчет конкретных физических явлений предполагает использование диаграммной техники Фейнмана со следующим обобщением: в начальном и конечном состояниях заряженный фермион находится во внешнем поле и описывается решением уравнения Дирака в этом поле, внутренние линии заряженных фермионов соответствуют пропагаторам, построенным на основе этих решений. Данный метод полезен тем, что с его помощью можно анализировать процессы в полях большой напряженности, когда учет влияния поля по теории возмущений уже невозможен. В силу устойчивости вакуума в сверхсильном магнитном поле можно рассматривать процессы в полях с напряженностью, значительно превышающей критическое значение В_е,

Описанный выше метод оказался эффективным при исследовании ряда процессов, идущих в сильных электромагнитных полях и имеющих прикладное значение, таких, как /^-распад в поле интенсивного лазерного излучения, квантовые эффекты при прохождении ультрарелятивистских заряженных частиц через монокристаллы, и другие.

Вместе с тем, нельзя не учитывать влияние на квантовые процессы такой компоненты внешней активной среды, как горячая и плотная плазма, присутствие которой в астрофизических объектах является типичной ситуацией. В сочетании с внешним магнитным полем плазма может существенно изменить условия протекания реакций с участием фотонов и

нейтрино. А именно, возможно кинематическое изменение каналов реакций (открытие новых или закрытие существующих). С другой стороны, электрон-позитронная плазма может как усиливать, так и подавлять амплитуды процессов. Такое двойственное действие плазмы будет обусловлено, в первую очередь, соотношением между параметрами плазмы (температурой Г и химическим потенциалом ц), величиной магнитного поля и характерными импульсами частиц, участвующих в реакции. В обсуждаемых астрофизических объектах (SGR, АХР) Т < 1 МэВ, (л ~ О, т.е. реализуются такие условия, когда среди всех физических параметров, характеризующих электрон-позитроиную плазму, полевой параметр является доминирующим. Упрощенно можно охарактеризовать данные условия следующим соотношением: еВ ^$> fi²,T².

Существует последовательный метод учета влияния плазмы на квантовые процессы, основанный на использовании техники функций Грина (см., например, обзор [94]). При этом непосредственное построение функций Грина для конкретной макроскопической системы может производиться двумя способами. Первый способ, называемый еще формализмом реального времени, является наиболее универсальным и состоит в том, что строится временная функция Грина с использованием диаграммной техники Келдыша [95], причем получаемые при этом уравнения для гри-новских функций аналогичны по своему смыслу кинетическим уравнениям. Второй способ, известный, как представление мнимого времени, позволяет построить температурные функции Грина на основе диаграммной техники, применяемой в квантовой теории поля [96,97]. Способ учета влияния плазмы, используемый в настоящей диссертации, наиболее близок по своей основе формализму реального времени. Суть его состоит в

том, что рассматриваются когерентные рассеяния нейтральных частиц (фотонов, нейтрино и т.п.) на реальных электронах и позитронах среды без изменения их состояния (рассеяние "вперед"). Этот способ эквивалентен методу функций Грина, но значительно упрощает вычисления.

Настоящая диссертация посвящена исследованию фотон-нейтринных процессов во внешних электромагнитных полях и плазме. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, четырех приложений и списка литературы.

В первой главе рассматривается, в рамках стандартной модели, процесс нейтринного рождения лептонной пары [и — иіІ₂) во внешнем электромагнитном поле. Приводится подробный расчет выражения для вероятности процесса, удобного для численного анализа. Вычисляются средняя потеря энергии и импульса нейтрино за счет рассматриваемого процесса и асимметрия вылета нейтрино.

Вторая глава посвящена общему анализу амплитуды n-вершииного однопетлевого процесса в сильном магнитном поле и приложению полученных результатов к вычислению амплитуд фотон-нейтринных процессов 77 "~* ^vv (в рамках модели с нарушенной лево - правой симметрией) и 77 ~* vvi (^в рамках стандартной модели).

В третьей главе исследуется процесс расщепления фотона -у — 77 в сильно замагниченной плазме, анализируется кинематика процесса и определяются правила отбора по поляризациям. Для разрешенных каналов расщепления вычисляются соответствующие вероятности с учетом дисперсии и перенормировки волновых функций фотонов.

Основные обозначения, используемые в диссертации

Используется 4-метрика с сигнатурой (-| ), а также естественная

система единиц /і=1,с=1,&в = 1.

Элементарный заряд: є — \е\, заряд фермиона: е/.

Тензор внешнего поля: F^, дуальный тензор: F_ap — ^Sap^F^,

Обезразмеренный тензор магнитного поля: ц>_а$ — F_a@/B, дуальный обезразмеренный тензор: ф_ар — \e_Q.p(iv^{$^lv

"У 4-векторов и тензоров, стоящих внутри круглых скобок, тензорные индексы полагаются свернутыми последовательно, например:

(pFFp) = p^aF_a0F^_P5; (FFp)_a = F^F&px (FF) = F_apF?^a.

Безразмерные тензоры Л_а(д — {w)_ap, Л_аіз — (фф)_ар связаны соотношением А_ар - А_ар = д_ар.

В системе отсчета, где имеется только магнитное поле В, направленное вдоль третьей оси, 4-векторы с индексами _L и || относятся к подпространствам Евклида {1, 2} и Минковского {0, 3} соответственно. При этом

Кр = diag(0,1,1,0), 1_ар = diag(l, 0,0, -1).

Для произвольных векторов р^, q^ имеем:

РЇ = (0,рі,Р2,0), # = (ро,0,0,рз),

(pq)_± = (pAq) = p_xq_x + p₂q₂, (pq)„ = {pAq) = p₀qo - РъЧъ-Остальные обозначения те же, что приняты в книге [98].

Глава I

Нейтринное рождение лептонных пар во внешнем электромагнитном поле

Введение к работе

Как уже отмечалось, интенсивное электромагнитное поле делает возможными процессы, кинематически запрещенные в вакууме, такие, например, как нейтринное рождение лептонных пар v — vi~⁺ [ — е, yu, г). Отметим, что в силу специфической кинематики заряженной частицы в электромагнитном поле ~⁺-пара может иметь достаточно большой по абсолютной величине пространственноподобный суммарный импульс, поэтому для ультрарелятивистских нейтрино процесс становится чисто диагональным по аромату нейтрино и нечувствительным к его массе, а также к смешиванию в лептонном секторе.

При этом возможна ситуация, когда при движении релятивистской частицы в относительно слабом электромагнитном поле, F < В_е (F — Е и/или В), так называемый полевой динамический параметр e(p_aF_a^F0_o-p_(T) может оказаться самым большим размерным параметром задачи, здесь р_а - 4-импульс частицы, F_ap - тензор внешнего электромагнитного поля. Тогда в системе покоя этой частицы поле может заметно превышать критическое значение и будет очень близко к скрещенному полю. Следовательно, вычисления в скрещенном поле представляют самостоятельный интерес. Мы будем использовать технику расчетов, развитую в работах А.И. Никишова и В.И. Ритуса, см., например [17].

Исследование процесса нейтринного рождения электрон - позитрон- ных пар в пределе скрещенного поля имеет довольно длинную историю [24-32,42]. Уже в первой из указанных работ [24] была найдена правильная зависимость лидирующего вклада в вероятность от динамического параметра Х-, ₂ _ e²{PFFP) ml в главном логарифмическом приближении, вида ~ х² hix> однако числовой коэффициент был ошибочным. В последующих работах проводилось уточнение этого коэффициента и вычисление пост-логарифмических поправок, которые могут оказаться весьма существенными при не очень большом значении In х-

Следует отметить, что по самой постановке задачи речь может идти только об ультрарелятивистском нейтрино, которое, благодаря кираль-ному характеру его взаимодействия в рамках стандартной модели, существует практически только левополяризованным, даже в том случае, когда его масса отлична от нуля. Это утверждение остается в силе, даже если допустить существование у нейтрино экзотических свойств, которые могли бы приводить в определенных физических условиях к депо-ляризационным эффектам (до сих пор не наблюдавшимся). Непонимание того, что в природе не бывает неполяризованных ультрарелятивистских нейтринных потоков, часто приводило к появлению ошибочного фактора 1/2 в формулах для вероятностей процессов с нейтрино в начальном состоянии из-за нефизического усреднения по его поляризациям, см. например [30,42].

В результатах для вероятности процесса и —» ие~е⁺ в скрещенном поле, полученных в указанных работах, имеются существенные различия. В работе [30], посвященной изучению распада массивного нейтрино Vi ~» i/je~e⁺ {rrii > rrij + 2m) во внешнем поле, также проводилось сравнение различных формул для вероятности процесса , однако в [30] говорится о взаимном согласии результатов, которое, по нашему мнению, отсутствует.

Действительно, вероятность процесса в пределе х ^> 1 можно представить в следующем виде W(v^ve~e⁺) = KW_oX² (Ьх-^1пЗ-7я + л), (1.1) где ^щ —м ' ^(1>2) je ~ 0.577... - постоянная Эйлера, Е - энергия начального нейтрино. Константы К и А, входящие в выражение (1.1), были получены разными авторами в следующем виде, см. таблицу 1. При этом в работах [24,30] вычисление проводилось с учетом электрон - нейтринного взаимодействия только через W - бозон. Для сравнения формулы (1.1) с результатами этих работ нужно положить в ней соответственно Су " С а = 1 [24] и Су — С а = [4г4з| [30]. Потеря фактора т_е/Е в формулах для вероятности статьи [26] является не числовой, а физической ошибкой, так как ведет к утрате релятивистской инвариантности величины EW.

Как уже отмечалось, формула (1.1) для вероятности описывает достаточно частный случай In х ^ 1- В то же время в ряде физических задач реализуется ситуация, когда динамический параметр принимает умеренно большие значения, так что х ^ 1, однако lnx ~ 1- При этом приближение скрещенного поля применимо, но упомянутое условие In у ^> 1 не выполняется, и в формуле (1.1) необходим учет следующих членов разложения по обратным степеням большого параметра х- Содержащиеся в

Таблица 1: Константы К и Д из выражения (1.1), полученные в разных работах перечисленных статьях формулы для произвольных значений \ имеют вид многократных интегралов и неудобны для анализа.

Таким образом, задача вычисления вероятности нейтринного рождения лептонной (электрон-позитронной или мюонной) пары в скрещенном поле при произвольном значении параметра х представляется актуальной. В то же время анализ нейтринного рождения е~е⁺- и ^~/і⁺-пар будет в определенном смысле неполным без рассмотрения процессов с рождением е~д⁺- и е⁺/і~-пар за счет стандартного д-распадного взаимодействия, поскольку последние процессы кинематически более открыты, нежели рождение д~д⁺-пары. В настоящей главе мы приведем найденное нами достаточно простое выражение для вероятности процесса щ — i/j~^, удобное для численного анализа. Основные результаты этой главы опуликованы в работах [31,32].

2 Расчет дифференциальной вероятности на основе решений уравнения Дирака

Мы будем рассматривать случай относительно малых передач импульса, \q²\ <С гпцг. При этом слабое взаимодействие нейтрино с лептонами можно описывать в локальном пределе эффективным лагранжианом самого общего вида ⁼ %1*«Ъ(^СУ + ^САЪ)Ц [^7^а(1 + 75)^] (1-3)

Здесь Су, С а - векторная и аксиальная электрослабые константы

Су = U_inU*_jm~-8_ij8_nm{l-Asm²e_w)_i 1 где индексы г, j нумеруют состояния нейтрино с определенными массами, Ui_n - элементы матрицы смешивания в лептонном секторе. Без учета смешивания, Ut_n ~ <5т (^как уже отмечалось, для рассматриваемого процесса во внешнем поле эффекты смешивания в лептонном секторе несущественны), константы лагранжиана (1.3) для конкретных процессов принимают следующий вид. В случае, когда вклад дает обмен как Z~, так и ЇУ-бозоном, и_е -> v_ce~e⁺, Vp -> и^~^⁺, Су = 1/2 + 2 sin² $_w, C_A = If2. (1.4) Для процессов, где присутствует только обмен ^-бозоном, ^ -*і^^е~^е+> ^ре ~* ^veV>~t*>⁺, Су ~ -1/2 + 2sin² 0_W, С_А = -1/2(1.5) где 6w - угол Вайнберга.

Для процессов обратного /а-распада, где присутствует только W-бозон Up - v_ejj, е⁺, v_e — Vy& /a , C_v = 1, Ca = 1. (1.6)

Используя лагранжиан нейтрино-лептонного взаимодействия (1.3) и решения для электрона и позитрона в скрещенном поле, приведенные в формуле (А.З) приложения А, обобщенные на случай лептонов с массами mi и 7П2 (будем считать, что mi > тг), получаем 5-матричный элемент процесса v(P) —* v{P^f) + #i(p) + h(p') в следующем виде G_F 1 s/2 V2EV2E'V2eV2s'V x / d⁴a;exp Qtp² +-ад (^J - m*)^]{Cv+ад (¹⁺ш *^{] u{}~^pf) где j_a - нейтринный ток, и введены обозначения: Q = Р — P' —p — p' q-p-p, e²(aa) e{qFp) .2xiX2/ m{ rrq^Xq (1.8)

Кроме того удобно ввести следующие инварианты: X_q = 'e²(qFFq)\^1/2 n{qk) 'e²{pFFp)\^1/2 _ x{pk) f ) e²{p'FFp⁽)\^l/2 я{р'к) 'e²{PFFP)V^/2 _ y(Pfc) (1.9)

Выбирая систему отсчета, в которой ^=(^,^,0,0),^=(0,0,-^,0), (1.10) при этом фаза ip и напряженности электрического и магнитного полей и В принимают вид tp= (foe) = k_Q{t-x), = (0, :,0), В = (0,0, В), 6 = В = к_ьа, можем записать (Qx) = (Q₀ - Q_x)t - Q_yy - Q_zz + sip, s = , и интегрирование по координате х удобно заменить на интегрирование по переменной if.

Снимая интегралы по t,y,z, преобразуем 5-матричный элемент (1.7) к виду Sif — iG_F{2ir)4²{Q_L)5{{kQ)) ^y/2EV2E'V2eV2e х exp

Ш Jd^ й{р)_ЪЬ^зЛСу + СлъН-р') (1.11) і is(p-r³^(ip₀(p² + -ip³) (FFY^vy², (1.12) (1.13) ^г>^

2т{хіХ2

2m? VXi Хг) '

Совершая в интеграле сдвиг по переменной ip, <р -+ (р ~ (р₀, можно избавиться от членов в показателе экспоненты, пропорциональных ip²: sip - rV(2 + д<Л ->stp- -r³*V + A,

5-5 + r³xVo, а величина А, не зависящая от <р, приведет к появлению в S-матричном элементе постоянного фазового множителя, который несуществен. С учетом симметричности пределов интегрирования данная процедура сдвига по ip позволяет выразить результаты через функцию Эйр и:

Ф(у)= dzcos(yz + jV (1.14) о которая удовлетворяет уравнению

Ф"М-уФ(у) = 0. (1.15)

При этом имеющиеся интегралы по <р запишутся в следующем виде: / d^expf-i(s^--r³*V)j = ~^ФЫ> (^1Л6) f (іірірещ>(-і(8ір-^г³я³ір³П - -^2 Ф\у), (1.17) | d^Axp (-^> - irW)) - -^^Ф/'(У)> (1-18)

У = ~ (1-19) Вероятность процесса определяется выражением ins 1 fia Я<РР'У V /і ч W[v -, ,) = _f J |%|² _w -^ ^ (1.20) (2тг)²' ^v ^ ' 2жк₀' Интегрирование с ^-функциями по импульсам одного из лептонов дает

При подстановке матричного элемента следует, как обычно, учесть, что <5²(Q_l = 0) = ^ 6(kQ = 0) ^{Т d}%S²(Q_±)6(kQ){. ..}=*tf-+_q-_p-sk;x2^X_q-Xi}. J Е'- —— - _m2_X2 Для интегрирования по импульсам второго лептона удобно ввести переменные т я и _т=еШ _и=1_₂^ ₍₁.₂₁₎ mXq Xq так что

1^{_ и} 1+и при этом $р 1 Ъп{н f du _г/А/*/^- J Е Х2 Xq -1 —ОО но, как показывает расчет, подынтегральное выражение не содержит зависимости от xL_yL_z область интегрирования по іро конечна и равна к₀Ь_х, т. е. dipQ = ко I dx₀ - к₀Ь_х. Аргумент функции Эйри (1.19) в обозначениях (1.21) имеет вид Xq ГП\ V^^ + l-^^-gCl-A»)), -(1.23) XXqil-v?)) ' mi'

Для вероятности процесса получаем следующее выражение G²_F{C² + С\)т\ Г<$Р'

2(2tt)^{g jrduJdT _{ т2(1 + 3и2) q2 ._{л 2}. I , ^ \ x [Ф(г/)|2 + ^(1 + зи2)[Ф'Ы]2}

3„,₂/V(l + 3t*²) + 2r%r (I-A)²JJ [Ф(г/}]²- r /g²(l + 3u²) (l - а)Л [Ф'Ы]² + Ї2І - \ Ад Л.« / (1 + и²){1 - Л²) + 2«(1 - Л)² - ^и{1 - и²)

Ф(у)Ф^!(у) +

Ж! _{Д cl + с\} к МУ)? + 4ii- (-г²г² [Ф(у)]² + [Ф'(г,)]^: Xq ^V + 4г₄ -J ^ Ф(ї/)Ф'(У) (1.24)

8CVCU «з (і - |(і - а²)(і - „) - ^^) ^ф(у)ф'(г/)+ mf 1 — и² + <.(^(^Гі-а' + ^«-і^^>) Ш]² + &«І* ^{'(г/)І2) ]},} где введены инварианты, построенные из нейтринного тока и тензора *0 = {33 ), Ч = ₄ , г₂ = > гщ гщ . _ e³Re[(qFj)(qFFf)} . .c?]m[(qFj)(qFFj*)] ⁴ ~ т\ і Ч- г _m? e²Im[(gFj)(_gFj*)]^ї5 = ^_t ^ ⁽¹'²⁵⁾

Для вычисления входящих в выражение (1.24) интегралов по переменной т: h= Jdr [Ф(г/)]², Г₂= J drr² [Ф(у)}² , —oo —oo oo oo h = j dr My)? , h = J drt(y)&(y) (1.26) -00 — 00 воспользуемся известными соотношениями для функции Эйри, см. [17], с. 80, 83, формулы (46), (48), (58): у[Ф(у)]²+[Ф'(!/)]² = \^\ЧУ)]\ (1-27) J±_mt + a)f = I J ЧуФ(у), (1.28) / ^Ш ^ ^{+ а)]1} - 2(2^ ( - ^4а) / ^М~^{1 [Ф(( + а)]2} ' > - (1.29) Интегралы (1.26) равны д = Ф1(0, ^ - ^ [-Ф'(С/) - С/Фі(С/)], h = —[-ЗФ'^-І/Ф!(/)], /₄ = -—Ф(<7), (1.30) где обозначено *l(U) = J <1уФ(у), _{и =} "'г-Я^-Ьг-М-^Ьш) ^Х_ч{1-и²)) У 4т? 2

В результате вероятность процесса принимает вид следующего интеграла по импульсу конечного нейтрино _{* +} ³_{^ (Щ}²¹_\чи)~ L(i-«2) ^{w = <*& + cb_du{io}

8(2tt)⁵j5 M +^-^^) q²{l+u²) и - А + _{Ua- ЫЙ (^P -<-»'H-}

Фі(ї/) n(l-u²) -

2 9²(1-3U)' ?⁴{l-3u²) 1 X? \mf _4mf + ^)(^- -Ц(1-^() Ф'(а)_+І4^ і / л \ 8/ї -2п(1-А)²-(1-Л²)(1 + и²)

С?, + СІ /4\^8/3 ( — 1 Ф([/) ^С_{5 .л} 'V ~'^г ^Л и

4(1-«²)2/з V%/ _с² _{+ сі} г₃-2 /Ф(/) + (1.32) (l-n²)V3 VxJ іУ"ф'([/)-^(і-А² + ^)Ф_і(а)

Существует второй способ вычисления дифференциальной вероятности распада v —* vi^, основанный на использовании соотношения унитарности. Этот способ использовался, в случае одинаковых масс ленто-нов, авторами работы [29]. Кроссинг-процессом нейтринного рождения пары v —> v(-~⁺ является реакция превращения нейтрино-антинейтринной пары в лептонную пару vv —» ~⁺'. Как известно, сечение такой реакции связано с мнимой частью амплитуды перехода vv — vv через лептонную (электронную или мюонную) петлю соотношением унитарности (j(vv ^П⁺) =—lmM{vv^vu). (1.33)

Легко видеть, что соотношение (1.33) позволяет найти вероятность процесса v —» i/f~⁺, если произвести в нем дополнительное интегрирование по фазовому объему конечного нейтрино

1 Г $Р' w(v^v-+)E = —^ / -—lmMivv^vv). (1.34)

167Г* J Е'

В результате получим выражение, несколько отличающееся от (1.33) при А = 1, которое, однако, сводится к последнему с помощью интегрального соотношения для функции Эйри

Данное соотношение легко доказывается двукратным интегрированием по частям, с учетом уравнения для функции Эйри (1.15).

3 Полная вероятность процесса

Для интегрирования в выражении (1.33) по импульсу конечного нейтрино введем новые инвариантные безразмерные переменные к, и ф (qFFq) (PFF) ₌ ф = arctg [±e²{PFFP)yiV ^s Y {PFFP)' "(PFP')

Угол ф в системе отсчета, где импульс начального нейтрино Р J_ В, имеет смысл азимутального угла в плоскости, перпендикулярной вектору Р, между проекцией вектора Р' на эту плоскость и направлением магнитного поля. В этих переменных

1 оо 2тг

После интегрирования по ф выражение (1.33) принимает вид -2к^г{1-и²)- к(1 - А) + - ~ "(1-А²) ^-^) + _{Є )} (1-Л²)²-Ф_г((7) -

4/3(!_ „2)1/3 І(2_2Є4-²)(9-и²) +

Ф'(7) - кФі((7) + 4 _т^Ф)

4/3 (1 _ „2)1/. /4\^2/3 + 2^J (1-0(1-А)' _{С* + CJ}^А _U (1.37)

ICvCa _{cf+Щ *V((x)} ⁽¹ _-^)-^)^^)-

Выполняя интегрирование по переменной к_> вероятность процесса можно привести к следующему виду: _Щи^ _{vtA) =} а(Ру^ргщх_ j_iu J_xdx^_{(z) х(138)}

3 + я² 3,_{л 0} , 9(1-А>. + -(1 - Зх) + ^{v ;} (1 + + (l-u²)(l~z) 8^{V ;} 16Ау „1-ї.,, Л 9(1-A²)²(l~u²) / ,l-x_Wi Л ₊ 2— 1п(1 - ,) j + ^ (1 + 4— 1п(1 - ,) j + + -г„о "„, +

9(1-Л)²{5 + ж) 9 С 5-Ьз 3 CVC_A 1 - Л² 3 - х

16Ау 4C²+CJ у ±С^ + С\ Ху 1-х

В выражении (1.38) введены обозначения

1 + Л² 1-А² / 4 \^{2/3 у = ^г+и^Г' z = y{m~ui)(i~x))}

Кроме того в (1.38) введен динамический параметр \ ^в форме, симметричной по массам лентонов: _₂ _ e²(PFFP) X з з

Выражение для вероятности (1.38) можно далее преобразовать к виду однократного интеграла, однако в общем случае, ті ф гп2, получается достаточно громоздкая формула, неудобная для дальнейшего анализа. При одинаковых массах лептонов т\ — гп2 = ті, т. е. для процессов (1.4), (1.5) вероятность можно записать в сравнительно простом виде однократного интеграла _W(_v - vt-t) = ^{F {Cv}₂^ ^{Ші Хе} [чЧитФ(т) х (1.39) . 4 / _т. , 29\ 15 _т. . 47 + і (1 + (1 -и²)Ь(и)) (зз-^(1- г,²)) +

Здесь х] = e²{PFFP)/ml

4 \^2/3 _г, , 1 , 1+г* L(u) = —In \Х^(1 —w²)/ ' 2u 1—гі"

В случае хе ^ 1 ^из выражения (1.39) немедленно получаем формулу для вероятности, содержащую хорошо известное экспоненциальное подавление:

ПХ, « 1) = ^ (3CJ + 13СІ) _Х\ exp (-JL) , ₍₁.40) которая согласуется с соответствующей формулой работы [27].

В случае хг ^ 1 ^из выражения (1.39) нетрудно получить формулу (1.1), где К — 1, А — —29/24, в согласии с результатом [29].

Щхі>1) - 27тгЗД (₄^ln^~2^ln3-7~24j- ^(L41)

Кроме того из выражения (1.39) нетрудно также найти следующий член разложения по обратным степеням параметра хи ^чт0 дает:

0\{С1 + С\)т\_Х²г Г, 1, ₀ 29 у wu_A

1 9 З^тг² 19С&-63СЗ хГ⁵⁶[Г()1^{4 C}v + ^GA _} (1.42) где Т(х) - гамм а-функция, Г(2/3) = 1.354....

Из общего выражения для вероятности (1.38) можно также найти при ближенную формулу для вероятности процесса v —» vt\t2 при т\ фт^.,_ _1Ч G²_F{Cl + C\)rnlmix² Г, - 1, ₉ 29 ⁺ 2СЬТЩ^Ът₂\- ^(ЫЗ)

Из формулы (1.42) видно, что поправочный член ~ Хе У^{же не} имеет универсального характера. Он относительно мал и отрицателен для случая, когда аромат нейтрино совпадает с ароматом заряженного лептона (і/_е —» и_ее~е⁺₁ v_u —* v^pTpi^). Когда ароматы нейтрино и заряженного лептона различны {и^ —* і/^е~е⁺, і/_е —* v_efj,~fi⁺), этот член положителен и относительно велик.

На графиках рис. 1 и 2 изображены вероятности процессов v —> i/~⁺ в зависимости от динамического параметра в области умереннно больших значений Хе- Из рисунков видно, что в этой области поправочный член ~ Хг скорее ухудшает описание поведения вероятности. Это может объясняться тем, что следующий член разложения по параметру Х(, по-видимому, имеет характер ^ Хе ^-^пХ ^и достаточно велик, однако выделить его представляется затруднительным.

Из рисунков видно также, что величина вероятности, рассчитанная по точной формуле (1.39), при любых xt больше приближенного значения (1.41), например при хе ⁼ 20 - в 1.6 раза для совпадающих и в 2.3 раза для различных ароматов нейтрино и лептона. При хе ^ Ю приближенная формула (1.41) теряет смысл.

Таким образом, при детальном анализе вероятности процесса нейтринного рождения лептон ной пары во внешнем электромагнитном поле

Рис. 1: Зависимость вероятности процесса v —+ vl ⁺ от динамического параметра в области умереннно больших значений xt Д^ля случая, когда аромат нейтрино ), рассчитанной: а) по совпадает с ароматом заряженного лептона (и_е точной формуле (1.39); Ь) по приближенной формуле (1.41); с) по формуле (1.42) с "поправкой" ~ Хе

Рис. 2: Зависимость вероятности процесса v —* vl~⁺ от динамического параметра в области умереннно больших значений хе Д^ля случая, когда ароматы нейтрино и заряженного лептона различны (і^ —> і^е~е⁺, ...), рассчитанной: а) по точной формуле (1.39); Ь) по приближенной формуле (1.41); с) по формуле (1.42) с "поправкой" в области умереннно больших значений параметра xi следует пользоваться полученной нами точной формулой (1.39).

4 Средняя потеря энергии и импульса нейтрино

Следует заметить, что практический интерес для астрофизики имеет скорее не вероятность процесса, а средняя потеря энергии и импульса нейтрино в сильном магнитном поле, которую можно определить 4-вектором Q^a = Е I'dWq^a = (-dE/dt,-dp/dt)E. (1.44)

Его нулевая компонента связана со средней энергией, теряемой нейтрино за единицу времени. Пространственные компоненты вектора (1.44) связаны аналогичным образом с потерей импульса нейтрино за единицу времени.

Мы приведем здесь вектор Q^a в случае одинаковых масс лептонов ті = 7П2 — т-е, т. е. для процессов (1.4), (1.5) и в пределе, когда динамический параметр \е ^ 1 (^т'^е- ^еВ <С Е^вш-в):

4321Г³

Это выражение совпадает с соответствующей формулой статьи [29], с точностью до знака перед членом СуСа-, который в указанной работе ошибочен. Доля энергии, теряемая нейтрино при прохождении магнит- ного поля может быть оценена из (1.45) ш VlO¹⁵ ГсУ ^20МэВ^ VIOkm; _л В Е

5.2 + In R К М (1.46)

ДО¹⁵ Гс 20 МэВ, где Stat - полная энергия, уносимая нейтрино при взрыве сверхновой, ^Ё^\] (2тг)ЗеВД + 0 / \] (2тг)ЗеВД + і) - ^{ЗТу (147)} - энергия нейтрино, усредненная по спектру, T_v -температура нейтринного газа, А есть характерный размер области, где поле меняется несущественно. Здесь мы взяли масштабы энергий и химического потенциала нейтрино (ци = 0), которые считаются типичными для взрыва сверхновой [99,100].

Для сравнения приведем здесь оценку для A/tot в предельном случае сильного магнитного поля еВ ^> E^smO, [29] что значительно больше, чем в случае случае скрещенного поля. Этот факт может оказать существенное влияние на такую интересную астрофизическую характеристику, как асимметрия вылета нейтрино

Л = IfiBJ. (1.49)

ЕііРіі

В пределе еВ <; ЕІ sin в получим для асимметрии следующую оценку ^⁷-¹⁰"⁶(їО^)^7/3(20Жв)^1/3Ш- ⁽¹'⁵⁰⁾

С другой стороны, оценка этого параметра в пределе сильного поля, полученная в работе [29] значительно превышает асимметрию в пределе скрещенного поля. Таким образом в тех областях нейтриносферы, где присутствует относительно слабое магнитное поле, асимметрия вылета нейтрино не будет играть существенной роли.

В настоящей главе рассмотрен, в рамках стандартной модели, процесс нейтринного рождения лептонной пары (и —> vi\fL^ во внешнем электромагнитном поле. Получено сравнительно простое точное выражение для вероятности процесса, удобное для численного анализа. Проанализированы возможные астрофизические приложения рассмотренного процес-

Похожие диссертации на Фотон-фотонные и фотон-нейтринные процессы в сильно замагниченной электрон-позитронной плазме

Фотон-нейтринные процессы во внешнем магнитном поле и плазме Чистяков Михаил Валерьевич

Излучение одного и двух фотонов в процессах рассеяния релятивистских заряженных частиц на изолированных атомах и ионахСоловьев Игорь Анатольевич

Полужесткие (полу)эксклюзивные процессы рождения нейтральных мезонов в столкновениях фотонов высоких энергийИванов, Дмитрий Юрьевич

Тепловые убегающие электроны в плазме солнечной вспышки и их тормозное рентгеновское излучениеДьяконов, Сергей Владимирович

Нелинейные электромагнитные волны в электрон-позитронной плазмеАмиранашвили, Шалва Гулбадович

Заполнение электрон-позитронной плазмой магнитосферы сильно замагниченных нейтронных звездСобьянин Денис Николаевич

Нелинейные эффекты генерации электрон-позитронных пар и ультракоротких импульсов сильными электромагнитными полями в вакууме и плазме Буланов Степан Сергеевич

Рассеяние виртуальных фотонов в квантовой хромодинамике Балицкий Янко Янкович

Расщепление дейтрона при поглощении и рассеянии фотонов в диаграммном подколеЛевчук, Михаил Иванович

Кооперативные нелинейные и стохастические явления в системе экситонов, фотонов и биэкситонов в полупроводникахРотару, Анатолий Харлампиевич