Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Сечение аннигиляции виртуальных фотонов ПН высоких энергиях
1. Реджевские процессы и квантовая хромодинамика.. 13
2. Амплитуда высокоэнергетического рассеяния фотонов в низшем порядке теории возмущений 17
3. Следующий порядок теории возмущений
4. Высшие порядки теории возмущений и интегральное уравнение для парциальной волны 30
5. Померанчуковская особенность в КХД в главном логарифмическом приближении 36
6. Явный вид сечения аннигиляции при высоких энергиях 41
7. Вычисление амплитуды испускания глюонов фотонами, входящей в выражение для сечения аннигиляции 46
Глава II. Рассеяние виртуальных фотонов пш промежуточных энергиях
I. Моменты двухфотонной аннигиляции 50
2. Эффективный лагранжиан и степенные поправки для амплитуды рассеяния вперед виртуальных фотонов 54
3. Локальные степенные поправки 58
4. Билокальные степенные поправки четвертой размерности 64
5. Билокальные поправки шестой размерности 69
6. Аналитическое продолжение и билокальные поправки к первому моменту двухфотонной аннигиляции 76
7. Исследование первого момента аннигиляции 79
8. Второй момент Y/ аннигиляции 85
9. Высшие моменты двухфотонной аннигиляции 91
10. Явный вид низших графиков теории возмущений и степенной поправки, связанной с глюонным конденсатом 95
Глава III. Процессы с участием векторных мезонов
1. Вычисление сечения высокоэнергетического рассеяния мезонов из правил сумм КХД 103
2. Определение моментов структурной функции мезона с помощью правил сумм 109
Заключение 116
Приложение
I. Тождество Уорда для корреляторов кварковых частей тензора энергии-импульса 122
2. Низкоэнергетическое соотношение, связывающее матричный элемент оператора тензора энергии-импульса (по виртуальному фотону) с поляризационным оператором 125
Литература 127
- Амплитуда высокоэнергетического рассеяния фотонов в низшем порядке теории возмущений
- Померанчуковская особенность в КХД в главном логарифмическом приближении
- Эффективный лагранжиан и степенные поправки для амплитуды рассеяния вперед виртуальных фотонов
- Определение моментов структурной функции мезона с помощью правил сумм
Введение к работе
В настоящее время квантовая хромодинамика (КХД) является общепринятой полевой моделью сильных взаимодействий. Представление о новом квантовом числе кварков, названном "цветом",было введено в 1972 г. Гелл-Манном в попытках единообразно разрешить множество проблем, стоявших перед традиционной кварковой моделью. Исторически первая из этих проблем связана с симметрией координатной волновой функции кварков в основном состоянии барионов. Введение новой степени свободы позволило предположить, что волновая функция кварков антисимметрична по цвету, а тогда координатная волновая функция симметрична в соответствии с фер-ми-статистикой. Следует отметить, что такое решение проблемы было предложено задолго до Гелл-Манна в ряде работ • » , однако авторы этих работ придавали новым квантовым числам другое физическое содержание. Далее, предсказываемое обычной кварковой моделью отношение R. сечения е+е - аннигиляции в адроны к сечению реакции е+е - [Л ч равнялось сумме квадратов зарядов трех кварков (теоь =Хе .= "V3 ) и было примерно в три раза меньше экспериментально наблюдаемого значения ( Яэ сп -2 ниже порога рождения шарма). Введение девяти кварков (трех различных цветов) позволило устранить это противоре -чиє. Аналогично устранилось противоречие между теоретической и экспериментальной величиной вероятности распада 1Г °— 2 у (также пропорциональной сумме зарядов кварков).
Гелл-Манн также постулировал, что адроны могут иметь только нулевые цветовые квантовые числа. При этом получается, что ме -зоны состоят из кварка и антикварка, а барионы - из трех квар -ков. Точка зрения Гелл-Манна, согласно которой наблюдаемы толь -2 ко "бесцветные" объекты, является в настоящее время общеприня -той, хотя полной количественной теории невылетания цвета еще не построено.
На следующем этапе цветная калибровочная симметрия была обобщена до локальной симметрии, постулирующей инвариантность действия по отношению к локальным цветовым поворотам а . Как известно, локальная калибровочная инвариантность приводит к появлению взаимодействия между цветными кварками, осуществляемого путем обмена векторными частицами - глюонами (описываемыми теорией Янга-Миллса ). Отметим, что недавнее наблюдение трех -струйных событий в ё е -аннигиляции в адроны в DESY экспери -ментально подтвердило существование глюона а " iUa/#
Дальнейший прогресс в изучении квантовой хромодинамики связан с обнаружением в 1973 г. Гроссом и Вильчеком 11а и, независимо от них, Полицером 12а (см.также /2/ у знаменитого теперь свойства "асимптотической свободы" неабелевых калибровочных теорий (к которым относится и КХД). Асимптотическая свобода является противоположностью нуль-зарядной ситуации- ("реализующейся в квантовой электродинамике 3 " °» 13а ) и означает, что эффективная константа связи убывает на малых расстояниях. Благодаря свойству асимптотической свободы оказывается возможным при -менять методы теории возмущений для описания ряда процессов, в которых по тем или иным причинам существенны малые расстояния (сюда относятся прежде всего т.н. "жесткие" процессы, характе -ризующиеся большой передачей импульса). Это позволило, в част -ности, объяснить приближенный скейлинг, наблюдаемый в глубоко -неупругом лептон-адронном рассеянии /14а/, что явилось веским аргументом в пользу квантовой хромодинамики (см.обзоры /15а -- Г?а/ ).
Последующее развитие КХД во многом было связано с экспериментальным и теоретическим исследованием т.н. "чистых" процессов (т.е. процессов в начальном и конечном состоянии которых отсутствуют адроны). Это связано с тем, что в настоящее время нет количественной теории объединения кварков и глюонов в адроны; поэтому исследование жестких процессов с участием адронов осложняется необходимостью делать какие-либо модельные предположения о распределении валентных кварков в адронах. В то же время экспериментальное и теоретическое изучение чистых процессов в этом смысле проще, так как оно не требует привлечения дополнительных гипотез о структуре начальных (и конечных) адро -нов. К категории чистых относятся прежде всего процессы рассеяния частиц, принимающих участие только в электромагнитных взаимодействиях. При этом "электромагнитная часть" процесса поддается теоретическому описанию в рамках квантовой электродинамики (КЭД) и выступает в роли "пробника" сильных взаимодействий. Теоретически и экспериментально лучше всего исследован простейший из таких процессов - процесс е & - аннигиляции. Изучение е+е --аннигиляции в адроны привело к открытию "очарования" /8a» 9а/ и "прелести" 20а 21а/ к экспериментальной проверке дробности зарядов кварков , а также подтвердило существование глю-она (на основе анализа трехструнных событий 8а "" • V). Исследование е+е" -аннигиляции привело также к проверке гипотезы масштабной инвариантности КХД на малых расстояниях. Много внимания уделялось теоретическому исследованию механизма перехода возникающих в результате е+е - аннигиляции кварка и антикварка в адроны (см.напр. /22а - 24а/). Упомянем также, что изучение правил сумм для 2+е аннигиляции в очарованные частицы позволило оценить фундаментальную характеристику КХД - величину глюо -4 нного конденсата /25 .
Следующим по сложности "пробником", позволяющим изучать более тонкие аспекты сильного взаимодействия, является рассматриваемая в данной диссертации двухфотонная аннигиляция в адроны. Подчеркнем, что если виртуальности обоих фотонов и передачи импульса велики, то ХЇ аннигиляция представляет собой жесткий процесс » а " °а , поддающийся изучению в рамках (современной) квантовой хромодинамики.
Сечение аннигиляции виртуальных фотонов измеряется на встречных е+е пучках путем выделения двухфотонного вклада из полного сечения рассеяния (см.напр. /29а/). При этом двухфотон-ному и аднофотонному механизму образования адронов отвечают резко различные распределения конечных частиц, что и позволяет разделить вклады этих двух процессов в наблюдаемые события. Кроме того, при высокой энергии сечение процесса Х адроны лога -рифмически растет с энергией и значительно превышает падающее с энергией сечение е+е -аннигиляции.
Отметим, что по сравнению с процессами рассеяния адронов двухфотонная аннигиляция обладает рядом особенностей, делающих ее привлекательной для экспериментального исследования / 9а-ЗІа 1. С-четность системы двух фотонов положительна, что поз -воляет изучать С-четные мезоны (такие, как например т0 ) в отсутствие фона С-нечетных состояний ( J0 и т.д.).
2. Как поляризации, так и виртуальности обоих фотонов могут варьироваться (в зависимости от кинематики электронов), что дает возможность более полного изучения двухфотонного взаимо действия по сравнению с чисто адронными процессами.
3. Увеличивая виртуальность одного из фотонов , мы будем наблюдать непрерывный переход от поведения при малых описываемого векторной доминантностью (см.напр. /4а/) к "квазискейлинговому" поведению при больших CL /жь/т
Процесс двухфотонной аннигиляции в адроны также представляет большой интерес с теоретической точки зрения (см. обзоры /8, 30а, 31а/). Это связано прежде всего с тем, что обычно вклад в наблюдаемые сечения рассеяния от процессов, протекающих на малых расстояниях маскируется эффектами, происходящими от взаимодействий на больших расстояниях. Такая ситуация, например, имеет место в случае глубоконеупругого лептон-адронного рассеяния, где жесткая часть процесса обусловлена малыми расстояниями и ( в силу асимптотической свободы) поддается исследованию с использованием теории возмущений /J-Ia» a/f а мягкая часть процесса описывается феноменологически. Напротив, процесс %$" аннигиляции протекает целиком на малых расстояниях (если виртуальности фотонов и массы образующихся адронов велики и одного порядка /7, 26а - 2da/ g соответствии с этим сечение двухфотонной аннигиляции пропорционально сумме четвертых степеней зарядов кварков (§ v- Z i (подобно тому, как сечение ё€ - аннигиляции в адроны пропорционально сумме квадратов зарядов (см. обсуждение выше). Далее, из сравнения сечений аннигиляции продольно и по -перечно поляризованных виртуальных фотонов появляется возмож -ность экспериментально подтвердить полуцелый спин кварка (см. напр. /30а/).
Далее, при сильно различающихся виртуальностях рассеиваемых фотонов мы имеем процесс глубоконеупругого рассеяния на (виртуальном или почти реальном) фотоне. Сечение этого процесса оказывается вычислимым до конца в рамках КХД (см. /32а/ для реального фотона). При этом вычисленное сечение не определяется только низшей диаграммой теории возмущений, что дает уникальную возможность точного экспериментального определения эффективной константы связи в КХД. К сожалению, при современных энергиях и виртуальностях фотонов разница между сечением, вычисленным в главном логарифмическом приближении (ГЖІ), и сечением, соответствующим низшей диаграмме, маскируется степенными поправками. Изучение степенных поправок к сечению %)f аннигиляции является одной из основных задач данной диссертации.
Большой интерес с теоретической точки зрения представляет также исследование в рамках КХД фотонной аннигиляции при высоких энергиях. Как известно, высокоэнергетическая асимптотика амплитуды рассеяния вперед определяется положением и характером померона - самой правой особенности в плоскомти комплексного момента 9 . Изучение асимптотики аннигиляции виртуальных фотонов в области не очень высоких энергий позволяет, в принципе, проверить предсказание КХД для померанчуковской особенности (в главном логарифмическом приближении). Напомним, что ранее величина сечения $ $ аннигиляции при высоких энергиях оценивалось с помощью гипотезы факторизации полюсов Редже /33а ф Это пред -сказание соответствует масштабной инвариантности сечения отно -сительно переменной, пропорциональной отношению квардрата энергии фотонов к произведению их виртуальностей (см.напр./10, 34а/), что приводит к величине сечения, параметрически меньшей предсказания КХД.
Настоящая диссертация посвящена изучению процесса анниги -ляции фотонов с отрицательными виртуальностями Гэ при высокие и промежуточных энергиях. Описание этого процесса в рамках КХД представляет особенный интерес в связи с недавними эксперимен -тами по двухфотонному рассеянию в DESY /29а/. Отметим, что в опытах DESY один из фотонов почти реален, однако измерение сечения аннигиляции сильно виртуальных фотонов планируется в ближайшее время.
В первой главе диссертации рассматривается процесс аннигиляции виртуальных фотонов при высоких энергиях (много больших, чем массы фотонов); во второй главе этот же процесс изучается при промежуточных энергиях (порядка фотонных масс). Используя результаты первых двух глав, в третьей главе мы получаем пред -сказания для сечения рассеяния О мезонов при высоких энергиях и для моментов структурной функции Р мезона.
Как мы уже отмечали, сечение высокоэнергетического рассеяния виртуальных фотонов обычно оценивалось феноменологически с помощью гипотезы факторизации полюсов Редже (оценку см. напр. в /30а/). Первая глава диссертации содержит вычисление этого сечения в рамках КХД (в главном логарифмическом приближении). При этом мы определяем также (в ГЛП) положение и характер самой правой особенности в плоскости ъ -канального комплексного момента, задающей поведение амплитуд рассеяния бесцветных частиц в КХД при высоких энергиях. Метод изучения высокоэнергетического поведения амплитуд рассеяния в неабелевых калибровочных теориях с хоггсовским механизмом возникновения массы был развит в основном в работах фграева, Липатова, Фадина /И"" 3? 35а и других авторов /Зба-39а/, в работе /35а/ получено уравнение, описывающее амплитуду высокоэнергетического рассеяния массивных векторных бозонов и фермионов в главном логарифмическом приближении. Первая глава диссертации, основанная на совместной работе автора и Л.Н.Липатова 4 (см. также обзор /15/ ) содержит распространение упомянутого метода на случай квантовой хромоди-намики. В этой главе получены следующие новые результаты:
I. Показано, что уравнение, описывающее высокоэнергетическое поведение амплитуд рассеяния в массивных калибровочных тео -8 риях 35а/ допускает переход к безмассовой теории (КХД) в случае рассеяния бесцветных частиц (что отвечает самосогласованности уравнения);
2. Демонстрируется, что амплитуда высокоэнергетического рассеяния произвольных адронов в КХД факторизуется (в плоскости прицельных параметров) в главном логарифмическом приближении;
3. Оценены положение и характер самой правой особенности в плоскости комплексного момента с учетом асимптотической свободы;
4. Сечение аннигиляции виртуальных фотонов в адроны при высокой энергии вычислено в явном виде (в ГЛП). При этом амплитуда Jfjf аннигиляции пропорциональна отношению энергии к боль -шей из виртуальностей фотонов (с точностью до логарифмических множителей). Таким образом, мы получаем полное сечение, параметрически большее, чем при оценках на основе гипотезы факторизации полюсов Редже (в рамках которой сечение обратно пропорционально произведению виртуальностей фотонов);
5. В главном логарифмическом приближении вычислено инклюзивное сечение перехода реальных фотонов в очарованные адроны при высокой энергии.
Во второй главе диссертации сечение аннигиляции виртуаль -ных фотонов исследуется в области промежуточных энергий (порядка фотонных виртуальностей). При этом мы вычисляем интегралы от сечения по энергии с определенным весом (см. §1 гл.2), которые контролируются поведением теории на малых расстояниях. Эти ин -тегралы аналогичны моментам структурных функций глубоконеупруго-го рассеяния, и мы называем их моментами )Г аннигиляции. Как мы уже отмечали, при больших отрицательных виртуальностях фотонов амплитуда yjf аннигиляции определяется в основном низшими графиками теории возмущений (см. напр. /30а, 31а/). При промежуточных виртуальностях фотонов (гГъё ) следует ожидать, что фотонная амплитуда определяется суммой низших графиков теории возмущений и степенных поправок, обусловленных наличием кваркового 40а/ и глюонного 25а конденсата в вакууме. Техника вы -числения степенных поправок была разработана Вайнштейном, Захаровым и Шифманом применительно к поляризационному оператору фотона & • и затем неоднократно использовалась для анализа корреляторов различных токов (см. напр. /16-18, 41а-44а/). При этом на основе правил сумм 9» 45а были определены массы низ-колежащих резонансов в исследуемом канале. В недавнее время с помощью той же техники найдены волновые функции мезонов % а также мезонные формфактори при промежуточных переданных им -пульсах /48а-50а/. в этих работах исследуются процессы, в которых все характерные расстояния малы, что дает возможность ис -пользовать для вычисления степенных поправок стандартное операторное разложение Вильсона Ха/ #
Важным обстоятельством является тот факт, что в случае процессов с нулевым переданным импульсом операторное разложение Вильсона неприменимо 52а . Действительно, характерные расстояния в этом случае не малы, и поэтому разложение соответствующей амплитуды в ряд по локальным операторам бессмысленно. Таким образом, стандартная техника вычисления степенных поправок неприменима в случае процессов с нулевой передачей импульса в каком-либо канале. Отметим, что в мировой литературе существуют по -пытки вычислить степенные поправки к таким процессам, игнорируя приведенные возражения, (см. напр. вычисление /а для нуклона в работе ооа ). При этом учитывается лишь часть степенных поправок, отвечающая вкладу в амплитуду от той области, где все характерные расстояния малы, а степенные поправки от области больших расстояний в соответствующем канале опускаются.
В случае процессов с нулевым переданным импульсом для вычисления степенных поправок более удобным оказывается метод эффективного лагранжиана (см. напр.обзор /45а/). Этот метод поз -воляет с хорошей точностью вычислить низшие степенные поправки к амплитуде рассеяния вперед виртуальных фотонов °» » 52а . Отметим, что способ вычисления степенных поправок к процессам с нулевой передачей импульса, предложенный в диссертации, является универсальным и может быть использован для вычисления разнообразных статистических характеристик адронов. В частности, с помощью этого метода в совместной работе автора и А.В.Юнга найдены магнитные моменты барионов в рамках КХД а (этот результат не включен в диссертацию). Упомянем также, что применение вышеописанного метода к исследованию второго момента структурной функции нуклона позволяет определить доли импульса, уносимые кварками и глюонами в нуклоне (результат принадлежит А.В.Колес-ниченко).
Вторая глава диссертации, основанная на работах »»{ содержит следующие результаты:
1. Предложен способ вычисления степенных поправок к амплитудам процессов с нулевой передачей импульса в одном из каналов.
2. В явном виде получены выражения для вклада низших диаграмм теории возмущений и степенных поправок, определяющих моменты % j$ аннигиляции при виртуальностях фотонов .
3. В главном логарифмическом приближении вычислена асимптотика графиков теории возмущений и низших степенных поправок (для моментов }СУ аннигиляции), соответствующая глубоконеупру-гому рассеянию на виртуальном фотоне.
4. Для первого и второго моментов структурной функции виртуального (а также реального) фотона получено соотношение, связывающее их с поляризационным оператором фотона.
Третья глава диссертации посвящена непосредственно приме -нению полученных в первых двух главах результатов к исследованию процессов с участием векторных мезонов. При этом используется метод правил сумм, предложенный в работах Вайнштейна, Волошина, Захарова, Новикова, Окуня и Шифмана (см. обзор /45а/) примени -тельно к описанию процессов с участием очарованных частиц. В дальнейшем этот метод был обобщен на процессы с участием обычных адронов 25а и с тех пор неоднократно использовался для описания разнообразных физических процессов в рамках КХД (см.напр. /16-18, 22, 41а-50а, 52а-54а/).
В третьей главе диссертации с помощью метода правил сумм оценивается полное сечение высокоэнергетического рассеяния ? --мезонов и моменты структурной функции О -мезона. Напомним, что обе эти величины не поддаются прямому экспериментальному наблюдению в настоящее время. Для полного сечения рассеяния мезонов общепринятым считается значение, получаемое на основе им-цгльсного приближения ЯВ/. Для структурной функции § -мезона в рамках кварковой модели получается, что она должна совпадать со структурной функцией 5С -мезона (которую можно извлечь из анализа процесса рождения н+ -пар /55а/).
Третья глава диссертации основана на результатах работ/ (см. также обзор /15/) и содержит следующие новые результаты:
I. Исходя из сечения YK аннигиляции, вычисленного в первой главе, с помощью правил сумм получена оценка полного сечения высокоэнергетического рассеяния Р -мезонов, согласующаяся с предсказанием аддитивной кварковой модели.
2. На основе метода правил сумм получены выражения для моментов структурной функции мезона. Это позволяет сделать качественное предсказание относительно формы структурной функции валентного кварка в § мезоне.
В Приложении выведено используемое в гл.2 тождество Уорда для корреляторов кварковых частей тензора энергии-импульса 1Ь» 4da, о а/ а также низкоэнергетическое соотношение, связывающее матричный элемент оператора полного адронного тензора энергии--импульса по фотону с производной от поляризационного операто -ра / /.
Амплитуда высокоэнергетического рассеяния фотонов в низшем порядке теории возмущений
Рассмотрим амплитуду рассеяния света на свете в главном логарифмическом приближении (ГЛП) и начнем с вычисления нашей амплитуды в низшем порядке теории возмущений. Для устранения инфракрасных расходимостей в отдельных диаграммах удобно перейти сначала к теории с нарушенной симмет -рией, в которой посредством механизма Хиггса придается масса Л всем глюонам и скалярным частицам, а затем перейти к пределу И -» 0 . Как известно, в этом пределе все физические резуль -таты перестают зависеть от (Ч 5a . Лагранжиан такой теории с нарушенной симметрией (в унитарной калибровке) имеет вид - : Все вычисления будут вестись дисперсионным методом, путем восстановления амплитуд по мнимой части в S - и и-каналах. Заметим, что вклад графиков рис.2, за исключением теоретико-группового множителя 7 0.iQ2 qia 2 и множителя, возни -кающего из-за дробности электрического заряда кварков, совпадает с вкладом аналогичных графиков для рассеяния света на свете в КЭД, вычисленным в работах /25, 57а/. Здесь мы повторим некоторые существенные моменты этого вычисления.
Формула (6) дает скачок X i5 10 на правом разрезе. Ска -чок J.w J-0 на левом разрезе ( с-канальная мнимая часть) да -ется диаграммами рис.2 с заменой начальной частицы на конечную и, как легко заметить, он равен скачку на правом разрезе при VL. В шестом порядке теории возмущений по й вклад в S -канальную мнимую часть, пропорциональный stn,s , происходит от диаграмм рис.5 и рис.8 (см. ниже). Рассмотрим сначала вклад от пятичастичного промежуточного состояния (рис.5, б) (ср. /II/ ) Как известно,т в этих графиках имеет кинематическую природу и набирается от мультиреджевской области ei l и «( «l (здесь e(;cl и $ $ - судаковские параметры векторов кик1 соответственно). В дальнейшем будет показано, что инфракрасная расходимость при I- - V , иыехщаяся в графиках рис.5, сокращается с соответствующей расходимостью в графиках рис.8 (заметим, что при k;к -з О, fy интегралы сходятся вследствие калибровочной инвариантности).
Далее, учет остальных графиков рис.6 приводит к тому, что и А и (fy- kjfy - k ) заменяется на p C -kj - fc J , а учет гра -фиков с присоединением глюонных линий к другим кваркам приводит, как и в случае низшего порядка теории возмущений, к замене на ТС Ni j i) . Мы пренебрегаем интерференцией графиков бе и а, так как из-за наличия лишнего фермионного пропагатора с большой виртуальностью эти графики содержат ма -лость К As (или и /pg ).
Графики, дающие вклад в мнимую часть от четырехчаетичного промежуточного состояния в этом порядке теории возмущений представлены на рис.8. Отметим, что лагранжиан (2) соответствует унитарной калибровке для теории со спонтанно нарушенной симметрией.
Рассмотрим сначала вклад графика типа рис.8.а, получающийся от интерференции диаграммы 9а с соответствующей диаграммой, отвечающей обмену одним глюоном. Будем брать вычеты по о и интегрировать по 6 . Из-за сокращения инфракрасных расходимостей существенные h± « М , и, как легко заметить, логарифмический вклад дает область - - pi« $ « рд d .Вклад, получающийся от интерференции графика 96 с соответствующим одноглюонным графиком, отличается от (21) заменой Spflty Ас) на-$р6\«АяАС).
Заметим, что интерференция графиков 9в и одноглюонного не дает логарифмического вклада по той же причине, что и интерференция графиков бе и а (из-за наличия лишнего фермионного пропагатора с большой виртуальностью).
Как и в низшем порядке, учет графиков с всевозможными присоединениями глюонов к различным кваркам приводит к тому, что Ф /о/ и %Г0ДЛі)в (21) заменяются на Ф л) и Ocj tyg,) соответственно.
Его можно изобразить стянутыми диаграммами рис.Ю. Переписывая так, чтобы оно содержало расходимость только при - k , и, суммируя его с вкладом (20) пятичастичного промежуточного сое -тояния, получим полный вклад в 5 -канальную мнимую часть ам -плитуды в этом порядке теории возмущений:
Померанчуковская особенность в КХД в главном логарифмическом приближении
Обсудим вопрос о самой правой особенности решения уравне -ния (33), которая и определяет асимптотику A(s) при больших s в ГЛП. Для получения асимптотики сечения аннигиляции виртуальных фотонов достаточно рассмотреть уравнение (33) при "Ь-О Уравнение (33) при ts 0 имеет вид ( 2 (34) где Легко проверить, что полную и ортогональную систему собственных функций однородного уравнения (34) образуют функции V 9 " 1 (35) с собственными значениями 60 = - - " Оі У), где (зависимость от к у них, очевидно, произвольная). Здесь +=Г7р , С 0,57- постоянная Эйлера.
В квантовой хромодинамике существует другой механизм, который мог бы изменить характер самой правой особенности. Можно показать, что в ГЛЇЇ характерные перпендикулярные импульсы растут с ростом энергии как lu e pfesH"-2 . Поэтому, начиная с некоторых энергий, могут стать существенными поправки, связанные с изменением заряда с ростом ъ± .
Поскольку при р - fy (или к \\0 при \ = 0) наши формулы теряют силу, естественно в уравнении (44) поставить "стенку" при 0 (т.е. наложить условие ( ) = 0 при f-0 ). Таким образом, мы видим, что при не очень высокой энергии ве -личина сечения аннигиляции обратно пропорциональна большей из виртуальностей фотонов. При сверхвысокой энергии сенение (49) обратно пропорционально произведению фотонных масс; однако в этом случае исходная формула (48), полученная в ГЛП, не оправ -дана. Представляет интерес оценить сечение (49) при одинаковых 2. a z виртуальностях фотонов % = &2. = Q. При этом сечение зависит от виртуальности только через аргумент логарифмов SfLSa"2 ( за исключением тривиальной размерной зависимости Q. . Графики функций Xi ft) и 1/,() приведены на рис.13. На этом же рисунке отложена энергия фотонов в с.ц.и. при Ф — d.fhi . При этой виртуальности сечение растет как S . Зто, по-видимому, означает, что вклад низшего графика теории возмущений (являющийся первым членом унитаризованного выражения для амплитуды) имеет большее отношенре к делу, чем вся сумма главных логарифмов.
Развитый в предыдущих параграфах метод позволяет оценить также высокоэнергетическое поведение сечения аннигиляции реальных фотонов в шармовые адроны. В этом случае характерные расе -тояния имеют порядок wё ( №с - масса шармового кварка). Поэтому соответствующая эффективная константа связи o(sc( ) 0,2, что служит оправданием вычислений по теории возмущений.
Кривая, отвечающая асимптотической формуле (63), показана пунктирной линией на рис.14а. Значение сечения при 4-0 с точностью до цветового множителя согласуется с сечением рождения двух е/е -пар в )( -столкновениях в КЭД. Для продольных поляризаций после интегрирования по р аналогичным образом получается следующее выражение:
Эффективный лагранжиан и степенные поправки для амплитуды рассеяния вперед виртуальных фотонов
Как отмечалось в предыдущем разделе, моменты двухфотонной аннигиляции (77) выражаются через коэффициенты разложения ам -плитуды %Y рассеяния вперед (79) в ряд по -s" . Аналогично случаю двухтоковых корреляторов мы ожидаем, что амплитуда рас -сеняия виртуальных фотонов в евклидовой области малых Г дается суммой парвого графика теории возмущений и низших степенных поправок. Ответ для низших графиков теории возмущений (рис.15) получается стандартно (см. 3, 10), а при вычислении степенных поправок мы сталкиваемся с той трудностью, что Т -произведение четырех токов в (79) не раскладывается в ряд по локальным операторам из-за наличия нулевого переданного импульса.
Эффективный лагранжиан (нормированный в точке м ) полу -чается при интегрировании в функциональном интеграле по быстрым полям (с виртуальностями, большими f\ ). При этом получается два типа операторов, построенных из медленных полей. Если все четыре электромагнитные вершины вовлечены в интегрирование по большим импульсам, то получающиеся "четырехтоковые" операторы входят в эффективный лагранжиан с коэффициентами, пропорцио -нальными четвертой степени электрического заряда (81)
Эти вклады в Jfjf амплитуду ACs) происходят от области интегрирования по Х в интеграле (79), где все Х малы . и применимо обычное операторное разложение Т- произведения четырех электромагнитных токов в ряд по локальным операторам.
Вклады второго типа в Jfjf амплитуду получаются от двукрат -ной итерации эффективного лагранжиана. При этом члены е представляют собой корреляторы различных двухтоковых операторов при нулевом импульсе (соответствующем нулевому переданному импульсу в І канале): А иЛ ( ) ) C Cfy) lfj\ Т{0„(х). (84) (о)\ Эти "билокальные" степенные поправки к jfjf амплитуде А(&) происходят от области интегрирования по Х в интеграле (79), где X = jf(Wi) не мало, a CXj_-X2) Q. » так что каждую пару "стянувшихся" электромагнитных токов можно разложить в ряд по локальным операторам независимо. На языке диаграмм это означает
В данном параграфе рассматриваются локальные степенные поправки (83) к амплитуде рассеяния виртуальных фотонов (79), свя -занные с вкладами в наблюдаемые моменты согласно формуле (80). Так как мы ограничиваемые поправками к нашей безразмерной ам -плитуде зависящими от большой виртуальности не сильнее ь1 , то в эффективном лагранжиане достаоччно учесть четырехтоковый оператор четвертой размерности /s 4v и различные кварковые опе раторы шестой размерности типа (Jft /fet) Операторы нечетной размерности Ч и У--+ мы не учитываем, так как из соображений размерности вакуумные средние этих операторов входят в ответ для амплитуды (79) с коэффициентами, пропорциональными массе к кварка ГУ) , и получающийся вклад м Ц- мал (вспомним, что странный кварк дает вклад в амплитуду в весом /4 ). Мы также не учитываем глюонный оператор шестой размерности Я а с / v х (гуд ;и, так как его вклад подавлен множителем (f-f 7Г3 (возникающим от кварковой петли рис.16) по сравнению с вкладом четырехфермионных операторов (коэффициенты при которых представляют собой древесные диаграммы типа рис.19 (см.ниже), ср. 25а ).
Рассмотрим сначала коэффициент %(s;$L ) перед матричным элементом s/ftG M - ОуОМ Гэ в разложении (83), определяющийся диаграммами рис.16. Для его нахождения удобно воспользоваться ковариантной техникой вычислений во внешнем глюонном поле (см. также напр. /60а/ ).. Нулевой член разложения по полю дает ответ для низших графиков (рис.15) теории возмущений (см.формулу (149) 10). Член Чз в выражении (87) после дифференцирования по р. с учетом (88) дает степенную поправку к амплитуде A Cs Q і )} пропорциональную (ы$ &мУ (явный вид этой поправки выписан в 10, см. (152)). При этом интегралы для коэффициентов перед оператором s w сходятся на НІ Ь 1 (что соответствует виртуальностям порядка 2 ) для всех моментов, кроме второго, Интеграл, определяющий коэф-фициент перед оператором ds 3 у для второго момента логарифмически расходится при %, ал -з 0 (что соответствует инфракрасной расходимости по импульсам кварковой петли рис.16) и дает логарифм инфракрасного обрезания fA (см. (153)). В 4 демонстрируется, что эта расходимость сократится с ультрафиолетовой расходимостью в матричном элементе коррелятора "двухтоковых" операторов, построенных из медленных петель (для которого f\ будет верхним обрезанием).
Определение моментов структурной функции мезона с помощью правил сумм
В отличие от глубоконеупругого ер- рассеяния, процессы глубоконеупругого рассеяния на мезонах не поддаются пока еще прямому экспериментальному наблюдению. Тем не менее, различные модели структурных функций мезонов широко обсуждаются в литературе (см.напр. /68а-70а/ ). В связи с этим представ -ляется интересным рассмотреть структурные функции мезонов в рамках КХД. Используя метод правил сумм КХД, мы попытаемся "извлечь" моменты структурной функции Р мезона из моментов структурной функции виртуального фотона, вычисленных в предыдущей главе (см. (131), (135), (142)). При этом мы будем рас-сматривать сечение У 0 рассеяния, усредненное по попереч -ным поляризациям как фотона, так и Р мезона. Такое сечение пропорционально структутной функции FV (to) для поперечно поляризованного мезона.
Напомним, что м.э. по виртуальному фотону от полного адронного тензора энергии-импульса с / -kv +" bpv выражается через производную поляризационного оператора: В соответствии с идеологией метода правил сумм для опреде-ления м.э. по О мезону О воспользуемся дисперсионным соотношением для величины 0(р -) (ср./54/). Мнимая часть "трех-точечника" 0 (р «) (см.(160)) содержит двойной полюс S fp -— V o ) с вычетом, пропорциональным «О%$ (см.рис. Зба), а также гладкий фон (в случае V $,0 л ), дуальный низшему гра -фику теории возмущений (при f 2 So - 4.,5 ср. /25а/). Кроме того, ІУУІ О Ср2-) содержит однократный полюс %(р -п д)с вы -четом, пропорциональным м.э. перехода из мезона в высшие состояния (фон) 1 0 \УЬ (см.рис. Збб).
Экспериментальная часть дисперсионного соотношения для трехточечника 0(р ) : двойной полюс (а), однократный полюс (б) и гладкий фон (с). Заметим, однако, что в случае полного тензора энергии-импульса Э uv I — С (так как и К - ортогональные собственные состояния полного гамильтониана), и вычет в простом полюсе нулится. Поскольку для мезонов, состоящих из валентных кварков, м.э. кваркового тензора энергии-импульса приближенно совпадает с м.э. полного ОА / (В НИЗКОЙ точке нормировки /v wf- ), то можно думать, что I /wl I G v 1 » а тогда однократным полюсом в дисперсионном соотношении для О f Ср ) можно пренебречь. Выполняя преобразование Таким образом, глюоны (с импульсами до А w\ ) несут примерно четверть импульса мезона. Эта оценка согласуется с оценкой доли импульса глгоонов на основе гипотезы валентных кварков 2 . Как упоминалось во Введении, для доли импульса, уносимой глюонами в нуклоне, с помощью правил сумм получается аналогичный результат, согласующийся с экспериментом.
Этим же способом можно оценить и высшие моменты структур-ной функции Р мезона, определяемые м.э. С . Соответствующие м.э. операторов 0 по виртуальному фотону имеют вид (ср. (142)):
В Заключении мы напомним основные результаты, полученные в диссертации, и обсудим различные возможности их применения для теоретических и экспериментальных исследований.
В первой главе мы рассмотрели высокоэнергетическое поведение амплитуд в квантовой хромодинамике на примере процесса аннигиляции виртуальных фотонов. Из результатов 4 следует, что амплитуда высокоэнергетического рассеяния произвольных адронов в главном логарифмическом приближении представляется в виде интеграла по поперечным импульсам от факторизованного выражения:
Напомним, что т С -±) -амплитуды испускания виртуальных глю-онов адронами, амплитуда рассеяния обменных глюонов. Для случая у У аннигиляции амплитуда Ф С К±) вычисляется по теории возмущений и дается выражениями (75) и (76). Для произ -вольных адронов вычислить функции Ф ( fc-j.) по теории возмуще -ний не представляется возможным. Тем не менее можно попытаться оценить эти функции с помощью правил сумм (в главе 3 такое вычисление проведено для амплитуды высокоэнергетического рассеяния Р мезонов).
