Содержание к диссертации
Введение
1 Состояние вопроса. постановка задач исследования 9
1.1 Описание объектов исследования 9
1.2 Обзор моделей и методов моделирования электростатических полей 19
2 Математические модели электростатических полей 36
2.1 Постановка основных задач расчета электростатических полей 36
2.2 Банк математических моделей и численных методов для расчета электростатических полей 37
2.3 Модель Максвелла 41
2.4 Математическая модель с использованием скалярного электрического потенциала 42
2.5 Математическая модель на основе интегральных уравнений I и II рода 45
2.6 Математическая модель на основе интегральной формулы Грина 53
2.7 Математическая модель на основе векторного и интегрального тождеств (обобщенная постановка задачи) 54
2.8 Комбинированные математические модели 56
3 Методы моделирования электростатических полей 60
3.1 Метод конечных разностей 60
3.2 Метод конечных элементов 60
3.3 Метод граничных элементов на основе ИУ I и II рода 63
3.4 Метод граничных элементов на основе интегральной формулы Грина 65
3.5 Метод граничных элементов на основе модели электростатического поля электрета 67
3.6 Комбинированные методы 68
4 Структура и алгоритмические особенности программного комплекса 72
5 Примеры применения банка моделей и методов 78
5.1 Экспериментальная проверка некоторых моделей и методов 78
5.1.1 Определение емкости пластин сложной формы 78
5.1.2 Определение плотности заряда термоэлектрета 79
5.2 Моделирование электростатического поля емкостного датчика частоты вращения 80
5.3 Моделирование электростатического поля и расчет характеристик емкостного электромеханического преобразователя 86
5.4 Моделирование электростатического поля и расчет характеристик полоскового волновода 95
5.5 Расчет поля и «плавающих» потенциалов в электростатическом датчике частоты вращения на электретах 106
Заключение 112
Литература 114
Приложение 1
- Обзор моделей и методов моделирования электростатических полей
- Модель Максвелла
- Метод конечных элементов
- Моделирование электростатического поля емкостного датчика частоты вращения
Введение к работе
Современное состояние научных исследований в области анализа электростатических полей характеризуется все более широким использованием численных методов, так как существующие аналитические методы не всегда обеспечивают решение поставленных задач. Стремление учесть возможно большее число факторов, влияющих на формирование поля в электротехнических устройствах (ЭТУ), обуславливает необходимость разработки численных алгоритмов, позволяющих с требуемой точностью произвести расчет двухмерных и трехмерных полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах при сложных формах поверхностей их раздела.
Очевидно, что построение единой универсальной математической модели для анализа полей во всех устройствах практически невозможно. В каждом конкретном случае для исследуемого ЭТУ приходится решать проблему выбора математической модели и метода ее реализации. Для конкретной задачи модель любого типа и любой метод можно так приспособить, что они будут выглядеть предпочтительнее всех других. Но, если инструмент создается для целого класса задач, то при выборе модели и метода можно руководствоваться лишь их внутренними предпосылками для задач того или иного вида, следующими из их достоинств и недостатков. Например, модели в виде интегральных уравнений эффективны для кусочно-однородных сред и труднее реализуются в случае, когда среды неоднородные или нелинейные. В отношении многих моделей и методов упомянутые предпосылки известны. Поэтому их достаточно было лишь систематизировать. Однако для некоторого класса задач вопрос о достоинствах и недостатках известных методов является открытым, а сами модели и методы нуждаются в совершенствовании и модификациях.
Модернизация существующих и создание новых устройств связаны с необходимостью выполнения большого объема вычислений. Учитывая современный уровень развития средств вычислительной техники, эфективным подходом при решении практических задач электротехники является создание
5 программных комплексов, в физическом плане охватывающих широкий круг ЭТУ.
Диссертационная работа посвящена построению банка математических моделей электростатических полей и численных методов, разработке на его основе программного комплекса для решения на ЭВМ ряда задач электростатики. Такой комплекс позволяет в значительной степени заменить физические эксперименты на численное моделирование и, в итоге, сократить сроки, повысить качество проектирования новых ЭТУ. Использование банка обеспечивает сокращение времени и повышение точности расчета характеристик устройств различного назначения за счет рационального выбора модели и метода в каждом конкретном случае и применения модифицированных численных алгоритмов.
Научная новизна. Новыми научными результатами, полученными в диссертационной работе, являются: математическая модель, позволяющая осуществлять расчет двухмерных и трехмерных электростатических полей, созданных зарядами электретов; методика дискретизации расчетной области для МГЭ, основанная на использовании корней многочленов Лежандра, Чебышева, применение которой дает возможность уменьшить размерность системы алгебраических уравнений по сравнению с равномерной дискретизацией при одинаковой точности решения; алгоритм КМКГЭ с применением интерполяционных полиномов для аппроксимации потенциалов, позволяющий повысить точность моделирования электростатических полей; методика нахождения распределения плотности электрических зарядов на противоположных сторонах поверхностей тонких незамкнутых проводников сложной формы в кусочно-однородных средах.
Практическая ценность результатов работы состоит в создании программного комплекса для расчета электростатических полей и характеристик ЭТУ различного принципа действия, в котором практически реализован подход на основе банка моделей и методов. В рамках данного комплекса рациональный выбор математической модели и численного метода для рассматриваемого ЭТУ происходит на основе информации о типе и принципе действия устройства, геометрии и электрических свойствах среды. Разработанный программный продукт может быть полезен как в научных и инженерных расчетах, так и в учебных целях.
Апробация работы. По основным результатам работы сделаны доклады на конференциях аспирантов и сотрудников ЮРГТУ (НПИ), 41 и 47 Международных научных коллоквиумах (Технический Университет Ильменау (Германия), 1996г., 2002г.), Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 1997 г.), II Международной научно-практической конференции (Новочеркасск, 2001 г.).
Публикации. По результатам работы опубликовано 6 печатных работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка литературы и приложений. Ее содержание изложено на 137 страницах и проиллюстрировано 49 рисунками и 3 таблицами.
В первом разделе диссертационной работы определен класс рассматриваемых ЭТУ (емкостные датчики частоты вращения, емкостные электромеханические преобразователи, полосковые волноводы), сделан обзор моделей и методов расчета электростатических полей с указанием их достоинств и недостатков, сформулирована цель и задачи исследования.
Во втором разделе диссертационной работы в наиболее общей постановке сформулированы задачи электростатики, предложен банк математических моделей и численных методов, обеспечивающий рациональный выбор модели и метода для расчета электростатического поля ЭТУ на основе информации о типе и принципе действия устройства, его геометрии и электрических свойствах среды. При этом выбранная математическая модель определяет метод ее численной реализации. Банк содержит: модель Максвелла, модель с использованием скалярного электрического потенциала, модель на основе
7 интегральных уравнений (ИУ) I и II рода, модель на основе интегральной формулы Грина, модель на основе векторного и интегрального тождеств, комбинированные модели.
При исследовании электростатических полей емкостных электромеханических преобразователей, в конструкциях которых используются тонкие металлические полоски, пластины или незамкнутые оболочки, возникает необходимость знать распределение заряда на этих проводящих поверхностях. Метод, с помощью которого может быть исследован вопрос о распределении зарядов по поверхностям тонких незамкнутых проводников, изложен в работе Гринберга Г.А. [26] для некоторых частных случаев: проводящих пластин, расположенных в плоскости, разделяющей два диэлектрических полупространства; тонкой проводящей сферической оболочки; цилиндрических пластинок в плоскопараллельном поле. На основе рассмотренной теории область применимости метода распространена на бесконечно тонкие незамкнутые проводники сложной формы, находящиеся в кусочно-однородных средах.
Предложена математическая модель с использованием потенциалов простого и двойного слоев, которая позволяет производить расчет двухмерных и трехмерных электростатических полей и характеристик ЭТУ, содержащих электреты.
В третьем разделе диссертационной работы рассмотрены численные методы, входящие в банк: метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ) на основе ИУ I и II рода, МГЭ на основе интегральной формулы Грина, комбинированный метод конечных и граничных элементов (КМКГЭ).
Для систем, состоящих из проводников и электретов, рассмотрено построение дискретной модели на основе МГЭ. Предложена модификация алгоритма КМКГЭ для расчета электростатических полей в системах, содержащих проводники и нелинейные диэлектрики, взаимное положение которых изменяется, что характерно для большинства емкостных
8 электромеханических преобразователей.
В четвертом разделе диссертационной работы описаны структура и алгоритмические особенности программного комплекса для анализа электростатических полей и характеристик ЭТУ, состоящего из следующих программ, реализованных на объектно-ориентированном языке программирования высокого уровня Borland Delphi версии 6.0:
Программа для расчета плоскопараллельных линейных, нелинейных, анизотропных электростатических полей и характеристик ЭТУ.
Программа для расчета трехмерных линейных электростатических полей и характеристик ЭТУ.
Программа для расчета характеристик емкостных датчиков частоты вращения, емкостных электромеханических преобразователей, симметричных полосковых волноводов.
При проектировании программного комплекса использовались принципы и методология разработки систем автоматизированного проектирования и пакетов прикладных программ. Основная панель с кнопками «быстрого» запуска (программы 1,2) или многоуровневое меню (программа 3) обеспечивают выполнение всех этапов моделирования. Для облегчения работы все кнопки снабжены всплывающими подсказками. Программы содержат файлы справочной помощи с полным руководством пользователя и описанием используемых математических моделей и численных методов.
В пятом разделе диссертационной работы приведена экспериментальная проверка некоторых моделей и методов, рассмотрены примеры применения банка моделей и методов, модифицированных вычислительных алгоритмов для расчета электростатических полей и характеристик ЭТУ различного назначения и принципа действия: емкостных датчиков частоты вращения, емкостных электромеханических преобразователей, полосковых волноводов.
Обзор моделей и методов моделирования электростатических полей
Современное состояние научных исследований в области анализа электростатического поля характеризуется все более широким использованием вычислительной техники, вследствие чего оказывается возможным повысить как степень сложности решаемых проблем, так и точность получаемых данных.
Существующие аналитические методы расчета поля применимы при решении задач в областях простой геометрии с однородной либо кусочно-однородной средой. Для получения аналитических решений иногда упрощают геометрию области и входящих в нее тел, а также изменяют свойства материалов, переходя от реальных, обладающих нелинейными характеристиками, к идеальным, т.е. линейным [25]. Широко используются такие аналитические методы, как метод разделения переменных, метод зеркальных изображений, метод конформных преобразований.
Сущность метода разделения переменных, применяемого обычно тогда,когда поверхности, на которых заданы граничные условия, являются координатными поверхностями в декартовых координатах или в какой-либо системе криволинейных координат (цилиндрических, сферических и т.д.), состоит в том, что подлежащее интегрированию дифференциальное уравнение записывают в соответствующих координатах и пытаются искать частные решения этого уравнения в форме произведения функций, зависящих каждая только от одной из переменных [26].
Идея метода зеркальных изображений заключается в замене влияния границы на приложенное поле простой системой токов или зарядов, расположенной позади граничной поверхности; результирующее поле находят путем суммирования приложенного и отображенного полей [27].
Конформное преобразование наиболее действенный метод аналитического определения полей, описываемых уравнением Лапласа, позволяющий учесть влияние границ гораздо более сложной конфигурации, чем другие аналитические методы. Для того, чтобы поле могло быть определено методом конформного преобразования, необходимо найти уравнение преобразования, связывающее данную конфигурацию границ с некоторой более простой, для которой решение известно или легко находится [27].
Учитывая то, что существующие аналитические методы не всегда могут обеспечить точное решение поставленной задачи, в настоящее время все более актуальной становится проблема разработки общих численных алгоритмов, позволяющих с необходимой точностью произвести расчет полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах при сложных формах поверхностей раздела сред.
Одним из универсальных численных методов решения краевых задач для электростатических полей является МКР. В литературе можно встретить другое название МКР - метод сеток. МКР основан на численном решении уравнений Пуассона или Лапласа [28]. В [25, 29] подробно рассмотрен процесс замены дифференциального уравнения (уравнения Лапласа) кусочно-разностным ана логом, а в [30] рассмотрен МКР для решения внутренних краевых задач электростатики на основе уравнения Пуассона. Использование интегрального соотношения при получении разностных схем для краевых задач, описывающих распределение электромагнитных полей в сложных неоднородных областях, электрофизические характеристики элементов которых резко отличаются, показано в [31]. Примеры численных алгоритмов для решения двухмерных задач МКР в случае нелинейной среды приведены в [32].
Можно выделить следующие основные достоинства МКР [33]:1. Граничные условия могут быть заданы в любой форме как в виде значений самой рассчитываемой функции на границах поля, так и в виде значений производной функции по нормали к границе.2. Сходимость результатов расчета тщательно исследована и обоснована в работах многих математиков по численному интегрированию дифференциальных уравнений (Коллатца, Люстерника, Микеладзе, Милна, Саутвелла и других).3. Метод сеток применим к расчету полей в нелинейных средах при какой угодно заданной аналитически или графически закономерности изменения параметров среды в зависимости от значений и направлений рассчитываемых величин поля.
Однако, несмотря на свою универсальность, реализация МКР может привести к принципиальным трудностям при решении некоторого класса задач [34]:1. Если область, в которой исследуется поле, является неограниченной, то при использовании МКР следует искусственно ограничивать область, что приводит к трудно учитываемым погрешностям и к сомнениям в точности получаемых результатов.2. При сложной форме границы раздела сред возникают трудности, связанные с разностной аппроксимацией краевого условия. Это приводит к тому, что точность метода сеток тем ниже, чем ближе граница раздела сред, а наибольший интерес представляет распределение поля именно у границы раздела сред.
В окрестности граничных поверхностей сложной конфигурации либо применяется сетка с неравномерным шагом и алгебраизация уравнений Максвелла для приграничных шаблонов выполняется с пониженным порядком аппроксимации [35], либо реальные граничные поверхности приближенно заменяются кусочно-прямыми, участки параллельны координатным осям [36]. В обоих случаях точность расчета понижается.
Еще одним недостатком МКР является то, что возможное повышение порядка точности разностной схемы достигается применением более точных квадратурных формул и формул для аппроксимации производных, а это приводит к более сложной системе алгебраических уравнений [37].
В работе [38] для определения характеристического импеданса и фазовой скорости в закрытом полосковом волноводе применяется уравнение Лапласа, для решения которого предлагается МКР. Однако выбранная математическая модель и численный метод не обеспечивают эффективное решение задачи, так как для достижения требуемой точности используется очень мелкая конечно-разностная сетка, что приводит к резкому увеличению размерности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и времени ее решения.
МКЭ в настоящее время является одним из основных методов структурного анализа в целом ряде областей науки и техники [39-41]. Обзор теории электромагнитного поля с попыткой указать, какие задачи могут быть решены МКЭ, наиболее полно приведен в [41]. В этой работе подробно рассматриваются математические модели для описания электромагнитных полей в коаксиальных линиях, полосковых волноводах и т.д. Следует особо выделить работу [25], где отдельная глава посвящена МКЭ - приводится характеристика метода, одновременно обозначается круг задач, решение которых оптимально можно получить МКЭ. Несколько параграфов раскрывают теорию, связанную с системами алгебраических уравнений (САУ). Далее следует изложение теории расчета дифференциальных характеристик электрических и магнитных полей. Наибольший практический интерес представляет глава, посвященная расчету элек
Модель Максвелла
Электростатическое поле представляет собой частный случай электромагнитного поля, когда источниками поля являются неподвижные электрические заряды. Для анализа электростатического поля применяется общая теоретическая модель - система уравнений Максвелла, в которой полагают
В этом случае основные уравнения электростатики имеют вид [71 ]где Е - вектор электрической напряженности; D - вектор электрического смещения; р - объемная плотность свободного заряда; є - диэлектрическая проницаемость, которая в зависимости от свойств среды может быть тензором или скаляром.
В случае анизотропных сред материальное уравнение, связывающее Е и D, записывается так:где г - тензор, который можно представить в декартовой системе координат матрицей вида
В системе уравнений (2.1) неизвестной функцией является электрическая напряженность Е , которая в случае трехмерного электростатического поля имеет три составляющие - Ех, Е , Ez. Для их однозначного определения при решении прикладных задач должны быть заданы граничные условия, включая условия на границе раздела сред [31]. На границах раздела, сред с различными диэлектрическими свойствами справедливы следующие условия:
На бесконечности векторы Е и D стремятся к нулю (в трехмерных полях) или ограничены (в двухмерных полях).Введение скалярного потенциала дает возможность вывести уравнения, составляющие основу математической теории электростатического поля. Напряженность электрического поля Е определяется через потенциал U выражением [29]так как rot grad U = 0. Зная распределение потенциала, всегда можно определить проекции Ех, Е , Е, на координатные оси. Воспользовавшись вторымуравнением системы (2.1) и (2.4), получаем:
В частном случае однородной среды с постоянной диэлектрической проницаемостью уравнение (2.5) упрощается и принимает вид [29]где А - оператор Лапласа; его координатное выражение [71]: в декартовой системе координатУравнение (2.6) называется уравнением Пуассона. Если в рассматриваемой области р = о, то имеем уравнение Лапласа
Решение уравнения Пуассона может быть получено лишь тогда, когда р задана как функция координат точек во всем пространстве. Решение уравнений (2.6) и (2.7) производится при заданных граничных условиях следующего вида [28]:а) граничное условие первого рода или условие Дирихлегде Г- граница поля; /, - известная (заданная) функция;б) граничное условие второго рода или условие Неймана
Для однозначности решения задают также характер поведения U на бесконечности. Для трехмерного электростатического поля потенциал должен равномерно стремиться к нулю на бесконечности. В случае двух независимых переменных (плоскопараллельное поле) потенциал должен быть ограничен на бесконечности. Требование обращения в нуль на бесконечности в данном случае является слишком сильным, так как при нем задача может оказаться вообще неразрешимой [30].
При внесении в электростатическое поле каких-либо незаряженных диэлектриков, на них возникают электрические заряды. Такое явление получило название поляризации диэлектриков [72]. Эффект поляризации выражается в том, что в объеме диэлектрика возникают диполи с моментами р, различными в разных точках диэлектрической среды.Если число диполей в объеме диэлектрика достаточно велико, то дискретное их распределение может быть заменено непрерывным распределением с объемной плотностью моментов диполей, определяемой выражением [29]
Здесь Pj - сумма векторов моментов диполей, заключенных в объеме дк.Вектор Р носит название вектора поляризации и является функцией точки объема, занятого поляризованным диэлектриком. Потенциал, созданный всем объемом диэлектрика в некоторой точке M(x,y,z), равенВ случае плоскопараллельного электростатического полягде D - область на плоскости, занятая диэлектриком.Выражениям (2.12), (2.13) можно придать несколько иной вид [29]. Для (2.12) имеем
В (2.14) S- поверхность, ограничивающая объем V; Рп - составляющая вектора поляризации, нормальная к S. Формула (2.14) определяет потенциал объемно-поляризованной среды. Такой потенциал представляется в виде суммы потенциалов, из которых один обусловлен поверхностными зарядами, распределенными на S с плотностью a = Рп, а другой - объемными зарядами, заключеннымивнутри диэлектрика и имеющими плотность р = -div Р .Если диэлектрик соприкасается с другим диэлектриком, то на поверхности их раздела возникают заряды, обусловленные поляризацией обоих диэлектриков. Плотность таких поверхностных зарядов на границе раздела двух диэлектриков (рис. 2.4) равна а = (Рп). - (Рп )е.
В последнее время широкое распространение получил МИУ, основанный на идее Г.А. Гринберга о возможности замены реального поля некоторым эквивалентным, образованным зарядами, распределенными по поверхностям проводников и границам раздела однородных диэлектриков. При расчете поля МИУ решение ищется в виде потенциала простого слоя зарядов. Это решение в46 силу физичности постановки задачи удовлетворяет уравнению Лапласа или Пуассона (при наличии объемного заряда). Соблюдение краевых условий обеспечивается введением соответствующих ИУ. Для поверхности проводников записывается условие Дирихле (2.8) в виде ИУ I рода, а для границ раздела диэлектриков - условие непрерывности нормальной составляющей вектора электрического смещения в виде ИУ II рода [28].
Пусть электростатическое поле образовано несколькими проводниками, находящимися в кусочно-однородной среде (рис. 2.5). Проводники могут быть объемными и тонкими незамкнутыми. Все проводники имеют заданный потенциал или заряд. Для расчета поля в области, представленной на рис. 2.5, используем ИУ I и II рода, рассматривая их совокупность как единую математическую модель.
Метод конечных элементов
Аппроксимация поверхностей тел, граничных и краевых условий, особенно при криволинейных поверхностях, представляет собой сложную задачу при использовании МКР. Эта задача решается проще, если расчетная область разбивается на элементы конечного размера. МКЭ можно трактовать как способ аппроксимации непрерывной функции дискретной моделью, представляющей собой множество значений заданной функции в некотором конечном числе точек области ее определения в совокупности с кусочными аппроксимациями этой функции на некотором конечном числе подобластей - конечных элементов. Аппроксимация функции на каждом конечном элементе единственным образом определяется значениями этой функции в конечном числе предварительно выбранных точек [42].
Рассмотрим электростатическое поле, которое в расчетной области описывается уравнением (2.5) и зависит только от двух пространственных координат х, у. В п. 2.7 получено интегральное тождество, соответствующее задаче расчета поля в ограниченной контуром Г области D, при граничном условии первого, второго или третьего рода.
Представим искомую функцию в видепгде (pj(x,y),j=\, 2, .. , п - полная система линейно независимых функций, удовлетворяющих однородным граничным условиям и требованиям гладкости (одновременно система базисных и аппроксимирующих функций) [43].
Так как функция р может быть выбрана произвольным образом, то используем в качестве ф базисные функции из (3.1). Тогда (2.36) с учетом (3.1) преобразуется к виду
Разобьем область D на треугольные элементы. В качестве ф,. выберем финитные функции МКЭ. Тогда вместо (3.1) можно записать
Производную — также можно аппроксимировать с помощью финитныхфункций МКЭ [39]: В (3.3), (3.4) N - количество узлов в области D; N - количество узлов на границе области D. Заменяя U(x,y) и dU/dn(x,y) их выражениями, вместо (3.2) будем иметь
Так как используемые в процессе аппроксимации базисные функции определены кусочным образом с применением различных выражений для разных элементов, из которых составлена область, то входящие в уравнение (3.5) определенные интегралы могут быть получены простым суммированием их вклада по каждому элементу:
Внутреннее суммирование в (3.7), (3.8) ведется по всем узлам, принадлежащим -му элементу, а внешнее - по всем элементам, содержащим узел /. Вычисление интегралов р , p jA), $?jk\ %f\ у]кр приведено в приложении 1.
Практическая реализация МКЭ имеет свою специфику. Граница Г области D может состоять из частей Г,, Г2, на каждой из которых заданы граничныеусловия первого, второго рода (чаще всего эти условия однородные).
Граничные условия первого рода учитываются следующим образом. Интегрирование по расчетной области D производится за исключением тех узлов, в которых заданы эти условия. При этом интегралы у\кр обращаются в нуль, таккак соответствующие им базисные функции cpf и (р равны нулю на той части границы, где заданы граничные условия первого рода.
Если расчетная область обладает симметрией, целесообразно рассматривать ее половину. При этом на оси симметрии будут выполняться нулевые граничные условия второго рода. Полученные уравнения (3.7), (3.8) преобразуются к системам алгебраических уравнений МКЭ относительно неизвестных потенциалов Uj. Такие системы решают на ЭВМ, применяя как прямые, так иитерационные методы. При использовании любого из них стремятся в максимальной мере учесть особенности матриц коэффициентов: их симметричность и полосовую структуру. Учет этих особенностей позволяет не только сократить объем требуемой для хранения коэффициентов памяти ЭВМ, но и значительно снизить число выполняемых ЭВМ операций [25].
В последние годы широкое применение для расчета электростатических полей получил метод, основанный на интегральных уравнениях - МГЭ.
Рассмотрим методику применения МГЭ на примере расчета электростатического поля, образованного несколькими проводниками, среда между которыми кусочно-однородная. Используем следующую математическую модель: для поверхности проводников запишем ИУ I рода (2.15), а для границ раздела диэлектриков - ИУ II рода (2.18). Численное решение ИУ заключается в их ал-гебраизации, то есть сведении к СЛАУ.
Согласно концепции МГЭ [43], границы раздела сред и поверхности проводников покроем сеткой граничных элементов, имеющих вид треугольников, четырехугольников или других геометрических фигур. Интегралы (2.15) и (2.18) заменим суммами интегралов по граничным элементам. Функцию а накаждом элементе будем считать постоянной - она может быть вынесена за знакинтеграла. Далее применим метод коллокации, помещая точки наблюдения М,либо в узлы, либо в геометрические центры граничных элементов, и вычислимполучившиеся интегралы. Тогда уравнение (2.15) сведется к системеа уравнение (2.18) к системе
В (3.9), (3.10) обозначены: /VM - количество граничных элементов на поверхностях проводников; Идюл - количество граничных элементов на поверхностях раздела сред; Nsum = NM + Идиэл;Sj - площадь граничного элемента с номером,/.Поступая аналогичным образом для случая двух независимых переменных, можно записать:7=1При этом
Моделирование электростатического поля емкостного датчика частоты вращения
Рассмотрим емкостный датчик частоты вращения, эскиз которого приведен на рис. 5.3 [16]. Вращающийся ротор с диэлектрической проницаемостью zr = є, є0 окружен снизу и сверху металлическими пластинами заряженного конденсатора 2 и 4, а справа и слева - двумя электродами 1 и 3. Между пластинами конденсатора существует разность потенциалов, равная (U4 -U2) В. При вращении ротора потенциалы электродов 1 и 3 изменяются и называются «плавающими» потенциалами [16]. Изменяется также электрическая емкость датчика.
В схемах с такими датчиками происходит преобразование входной не электрической величины (угла поворота оси ротора) в электрическую выходную величину (частоту, ток, напряжение), функционально зависящую от входной величины [15]. Во многих случаях очень важно знать некоторые электрические характеристики датчиков (емкость, разность потенциалов) для проектирования более сложных устройств. Поэтому сформулируем следующую задачу [84]: осуществить расчет поля емкостного электростатического датчика частоты вращения и определить его емкость и разность потенциалов между электродами в зависимости от положения диэлектрического ротора.
Рис. 5.3 Эскиз емкостного датчика частоты вращения Перейдем к идеализации нашего объекта, которая позволит построить математическую модель приемлемой сложности. При этом будем учитывать следующие требования к моделям [75]. Модель должна быть достаточно полной для того, чтобы быть полезной для изучения объекта. В то же время, она должна быть достаточно простой для того, чтобы допускать возможность ее анализа известными математическими методами и имеющимися вычислительными средствами. Из большого числа факторов, действующих на изучаемое явление, требуется выделить определяющие, отбросив второстепенные, несущественные.
Для нашей задачи примем следующие допущения:- толщина пластин конденсатора и электродов равна нулю, длина их в направлении оси Oz бесконечна, следовательно, электростатическое поле является плоскопараллельным, то есть все величины, характеризующие поле, зависят только от аргументов х и у; поле будем рассматривать в одном сечении, лежащем в плоскости хОу; - при данных скоростях вращения ротора (до 10000 об/мин) пренебрегаем токами смещения в диэлектрике [76].
В нашем случае для расчета поля целесообразно использовать математическую модель на основе ИУ I и II рода и МГЭ, так как, уравнения составляются только для пластин конденсатора, электродов, границы ротора и, как следствие, сокращается размерность задачи; при вращении ротора не требуется перестраивать сетку граничных элементов; результатом расчета являются величины, непосредственно определяющие вектора поля, то есть, исключается операция численного дифференцирования.
Область, занятую диэлектриком, обозначим , с границей Г, часть плоскости с 80 - S2 (рис. 5.4), то есть рассмотрим кусочно-однородную среду. Заменим кусочно-однородную среду однородной с проницаемостью є = є0 и награнице Г введем простой слой фиктивных зарядов поверхностной плотности а, который должен обеспечить для нормальной составляющей напряженности скачок, определяемый соотношением [34] srE = Е0Е , где (1) и (2) - индексы, соответствующие областям 5, и S2 соответственно.где / - обозначает принадлежность к нижней или верхней пластинам конденсатора (/=2,4); N єГт; МеГ(; U M) - потенциал пластины с номером /;для электродов 1 и 3где j - обозначает принадлежность к правому или левому электроду (/=1,3); М є Гj; UJ(M) - потенциал электрода с номером,/ (неизвестен).
Для определения потенциалов электродов 1 и 3 (задан их заряд) составим 2 дополнительных уравненияВ (5.5) Qj - полный заряд электрода с номером у.
Запишем ИУ II рода для границы диэлектрического ротора Построим дискретную модель для уравнений (5.3)-(5.6) на основе МГЭ и метода коллокации (помещаем точки наблюдения в геометрические центры граничных элементов). Тогда для уравнений (5.3), (5.4) будем иметь:где NSUIII - общее количество граничных элементов в расчетной области; 7V2, N4 - количество граничных элементов на пластинах конденсатора 2 и 4 соответственно; Nx, N3 - количество граничных элементов на электродах 1 и 3; со,.определяются формулой (3.15).
Для уравнения (5.6) будет справедлива дискретная модельгде /Уэл - количество граничных элементов на проводниках; Идиэл - количество граничных элементов на диэлектрике; у/у вычисляются по формулам (3.16); а для уравнения (5.5) дискретная модельВ (5.10) индекс / принимает те же значения, что и в (5.8).СЛАУ, полученная на основе (5.7)-(5.10) имеет размерность Nsum +2. Для расчетов использовались следующие исходные данные [16]: гг = 4,9є0, U2 =0 В, UA= 100 В, диаметр датчика - 0,042 м, геометрия ротора и проводников задана.
На рис. 5.5 приведены зависимости разности потенциалов (t/, -U3) как функции положения ротора 0, полученные МКЭ (1) [16] и МГЭ (2).дают практически одинаковый результат. Но если в МГЭ интегрирование происходит только по границе, то в МКЭ
