Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор численных методов и программных комплексов для расчета электрических и магнитных полей 12
1.1. Анализ численных методов расчета электрических и магнитных полей 12
1.2. Анализ современных программ расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей 25
1.3. Выводы по разделу 32
2. Моделирование магнитных характеристик анизотропной электротехнической стали 35
2.1. Материальный оператор для описания магнитных свойств анизотропной электротехнической стали 36
2.2. Постановка задачи обобщения характеристик намагничивания анизотропных ЭТС 44
2.3. Обобщение характеристик намагничивания анизотропных ЭТС 51
2.4. Выводы по разделу 60
3. Комбинированный метод конечных и комплексных граничных элементов для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей 62
3.1. Постановка и вариационная формулировка краевой задачи расчета плоскопараллельного магнитного поля 62
3.2. КМКиКГЭ для расчета плоскопараллельного магнитного поля 66
3.3. Расчет плоскопараллельного магнитного поля, создаваемого постоянными магнитами 81
3.4. Постановка я вариационная формулировка краевой задачи расчета плоскопараллельного электрического поля 85
3.5. КМКиКГЭ для расчета плоскопараллельного электрического поля 89
4. Разработка численно-программного комплекса для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей 101
4.1. Постановка задачи разработки ЧПК и его функциональная модель 101
4.2. Геометрическое моделирование и алгоритмы вычислительной геометрии 104
4.3. Дискретизация расчетной области и построение линий равного потенциала 111
4.4. Структура и программная реализация ЧПК 117
5. Применение численно-программного комплекса для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей 126
5.1. Расчет магнитного поля и параметров магнитной схемы замещения электромагнита 126
5.2. Расчет магнитного поля линейного двигателя с постоянными магнитами 138
5.3. Расчет распределения магнитного поля в мапштопроводе трехфазного силового трансформатора 141
5.4. Расчет электрического поля емкостного датчика 150
5.5. Выводы по разделу 154
Заключение 155
Литература 161
- Анализ современных программ расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей
- Постановка задачи обобщения характеристик намагничивания анизотропных ЭТС
- Расчет плоскопараллельного магнитного поля, создаваемого постоянными магнитами
- Геометрическое моделирование и алгоритмы вычислительной геометрии
Введение к работе
Актуальность темы. Современный этап развития производства характеризуется повышенными требованиями, предъявляемыми к надежности и уровню технико-экономических показателей электротехнических устройств (ЭТУ), а также к срокам и стоимости их разработки и производства, что объясняется наличием конкуренции на рынке ЭТУ и необходимостью постоянного повышения их конкурентоспособности.
Повышение конкурентоспособности ЭТУ может быть обеспечено на стадии их проектирования при анализе и исследовании большого числа вариантов конструкций ЭТУ с целью выбора оптимальной, обеспечивающей необходимые рабочие характеристики, имеющей требуемые технико-экономические показатели, массу, габариты и отличающейся надежностью работы. Кроме того, сокращение сроков и стоимости проектирования обеспечивает снижение себестоимости ЭТУ и, за счет этого, повышение его конкурентоспособности.
Решение задач, возникающих на этапе проектирования ЭТУ, в условиях постоянного расширения их номенклатуры и усложнения конструкций, предполагает использование компьютерного инструментария поддержки конструкторского процесса: систем автоматизированного проектирования и пакетов прикладных программ для электромагнитного расчета ЭТУ. Эффективность использования подобных программных комплексов определяется тем, насколько хорошо они удовлетворяют требованиям, предъявляемым к ним со стороны конструкторов на стадии проектирования. Такими требованиями, в частности, являются:
возможность решения в полном объеме основных задач, возникающих при проектировании и анализе работы ЭТУ;
обеспечение требуемой точности решения задач расчета электромагнитного поля и определения его локальных и интегральных ха-
5 рактеристик;
удобство использования программного комплекса для решения задач, предполагающих многократный расчет электромагнитного поля при изменении тех или иных параметров конструкции устройств и режимов их работы;
приемлемые требования со стороны программного комплекса к имеющимся в распоряжении проектировщика вычислительным ресурсам (быстродействию и объему оперативной памяти компьютера);
сокращение сроков и стоимости проектирования новых устройств с сохранением качества готовой продукции, обеспечивающее снижение себестоимости и повышении конкурентоспособности разрабатываемого ЭТУ.
Анализ программ, реализующих полевые методы электромагнитного расчета ЭТУ, показывает, что существующие программные комплексы (Maxwell, FEMM, Opera, Elcut) недостаточно эффективны для решения возникающих на практике задач проектирования ЭТУ, поскольку их возможности существенно ограничены следующими факторами:
наличием большого количества допущений и идеализации, принимаемых в используемой для компьютерного расчета электромагнитного поля математической модели, что заметно снижает точность расчета поля;
необходимостью проведения большого количества дополнительных вычислительных экспериментов для оценки погрешности, обусловленной принятыми допущениями;
в ряде случаев - невозможностью выполнения оценки погрешности, обусловленной принятыми допущениями, средствами используемого программного комплекса, не прибегая к дополнительному исследованию физической модели или использованию математически
сложных аналитических методов, в силу принципиального характера этих допущений; 4) недостатками используемого для расчета численного метода, как правило, метода конечных элементов (МКЭ), который реализован в большинстве известных пакетов программ расчета электромагнитного поля (возможность расчета поля только в замкнутых областях; необходимость дискретизации всей расчетной области; использование кусочно-линейной аппроксимации искомой функции), которые являются источником дополнительной погрешности при нахождении локальных и интегральных характеристик поля. Перечисленные факторы существенно ограничивают возможности существующих программных комплексов и область их применения для решения практических задач, возникающих на стадии проектирования и анализа работы ЭТУ.
Несоответствие требований, предъявляемых к программному обеспечению со стороны конструкторов, проектирующих ЭТУ, и возможностей существующих программных комплексов (Maxwell, FEMM, Opera, Elcut) делает особенно актуальной проблему построения новых, более точных и эффективных, чем МКЭ, численных методов, путем обобщения и модернизации уже известных методов, а также разработки на их основе численно-программных комплексов (ЧПК), которые позволили бы более точно, по сравнению с существующими программными продуктами, и с меньшими затратами времени и вычислительных ресурсов, решать основной круг задач, возникающих на стадии проектирования ЭТУ.
Анализ численных методов моделирования электромагнитного поля показывает, что наиболее перспективным решением этой проблемы является применение комбинированных методов, сочетающих главные достоинства численных методов, входящих в их состав. Одним из таких методов является комбинированный метод конечных и комплексных граничных элементов
7 (КМКиКГЭ). Эффективность применения КМКиКГЭ обусловлена тем, что этот метод сочетает в себе достоинства комплексного метода граничных элементов (КМГЭ), проявляющиеся при расчете поля и определении его характеристик в ограниченных и неограниченных областях с линейными свойствами среды, с преимуществами использования МКЭ для расчета поля в нелинейных анизотропных средах. Использование КМКиКГЭ в качестве вычислительной основы ЧПК позволяет удовлетворить рассмотренным выше требованиям, предъявляемым к подобным программам со стороны конструкторов ЭТУ, и повысить эффективность применения комплекса для решения задач, возникающих на этапе проектирования ЭТУ. Следует, однако, отметить, что в настоящее время ЧПК, реализующих для расчета электромагнитного поля комбинированные методы (например, КМКиКГЭ) и обеспечивающих возможность решения в полном объеме основных задач, возникающих на этапе проектирования и анализа работы ЭТУ, не существует.
Целью данной работы является развитие комбинированного метода конечных и комплексных граничных элементов, разработка методики построения материального оператора, требующей минимально возможного объема экспериментальных данных, и их реализация в виде численно-программного комплекса для расчета электрических и магнитных полей в нелинейных анизотропных средах.
Для достижения поставленной цели в работе решены следующие основные задачи:
Разработана численная процедура построения материального оператора, описывающего магнитные свойства анизотропной электротехнической стали (ЭТС), по известным характеристикам однонаправленного намагничивания путем их нормализации и обобщения.
Разработана методика применения КМКиКГЭ для расчета плоскопараллельного магнитного поля, создаваемого токами проводимости и
8 постоянными магнитами в присутствии нелинейных анизотропных ферромагнитных тел, и плоско параллельно го электростатического поля, создаваемого зарядами, распределенными на границе проводящих тел и в окружающем их пространстве.
3. На основе КМКиКГЭ разработан ЧПК, позволяющий без изменения
топологических данных геометрической модели выполнять расчет поля ЭТУ
для разных значений их конструктивных параметров, а также расчет поля
устройств мехатроники, характерной особенностью которых является
изменение взаимного расположения элементов магнитных систем.
4. Проведена апробация разработанного ЧПК путем решения задач мо
делирования плоскопараллельного электрического и магнитного полей
различных ЭТУ (электромагнит подвеса, линейный двигатель с постоянными
магнитами, трансформаторы с прямыми и косыми стыками, емкостный
датчик) и определения их локальных и интегральных характеристик.
Методы исследования. В работе использовались: методы теоретической электротехники, теории вариационного исчисления, теории функций комплексного переменного; численные методы решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (МКЭ, КМГЭ, КМКиКГЭ); численные методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений; численные методы нелинейной оптимизации; методы компьютерного моделирования и компьютерной графики.
Достоверность полученных результатов. Достоверность научных результатов и выводов, сформулированных в работе, подтверждается сравнением полученных результатов с результатами расчетов, выполненных с использованием других программ и методов моделирования электромагнитного поля (FEMM, Elcut), с данными экспериментальных исследований, полученными и опубликованными другими исследователями, а также критическим обсуждением результатов работы с ведущими специалистами
9 кафедры «Прикладная математика» ЮРГТУ (НПИ) и кафедры мехатроники Технического Университета г. Ильмеиау (Германия).
Основные научные результаты и положения, выносимые на защиту:
Методика построения материального оператора, описывающего магнитные свойства анизотропной ЭТС, требующая минимально возможного для обеспечения требуемой точности расчета магнитного поля, объема экспериментальных данных.
Технология применения комбинированного метода конечных и комплексных граничных элементов для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей в кусочно-однородных нелинейных анизотропных средах.
Алгоритмы и структуры данных, позволяющие задавать геометрию расчетной области, осуществлять расчет поля комбинированным методом, выполнять постпроцессорную обработку результатов расчета.
Числен но-программный комплекс для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей в кусочно-однородных нелинейных анизотропных средах комбинированным методом конечных и комплексных граничных элементов.
Научная новизна результатов исследования:
Разработана методика построения материального оператора, которая позволяет описывать анизотропные магнитные свойства холоднокатаных ЭТС только по двум известным характеристикам однонаправленного намагничивания: вдоль и поперек прокатки. Использующаяся в методике процедура нормализации кривых намагничивания основана, в отличие от известных методик, на решении задачи минимизации функции двух переменных.
Впервые описана технология применения КМКиКГЭ для расчета магнитного поля, создаваемого токами проводимости и постоянными
10 магнитами в присутствии нелинейных анизотропных ферромагнитных сред, а также для расчета электростатического поля. Проведено исследование единственности решения задачи расчета поля КМКиКГЭ и предложена процедура определения единственного решения.
Разработаны алгоритмы и структуры данных, которые оригинальны тем, что позволяют ставить краевую задачу расчета поля в многосвязной неограниченной области, а геометрическая модель расчетной области имеет возможность параметризации положения ее вершин. Разработанные процедуры позволяют, за счет использования КМГЭ в области с линейными свойствами среды, определять характеристики поля без численного дифференцирования его потенциала и строить максимально гладкие линии равного потенциала.
Разработан программный комплекс, который в отличие от существующих программ использует для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей и определения их локальных и интегральных характеристик КМКиКГЭ.
Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит в разработке специального инструментария — ЧПК для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей в кусочно-однородных нелинейных анизотропных средах, в открытых системах с малыми воздушными зазорами, при возможном изменении геометрии отдельных частей устройства или их взаимного расположения в пространстве, позволяющего с высокой точностью находить локальные и интегральные характеристики поля на стадии проектирования ЭТУ.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: II международной научно-практической конференции «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы» (Новочеркасск, 2001); II международной научно-практической конференции «Компьютерные технологии в науке,
производстве, социальных и экономических процессах» (Новочеркасск, 2001); III международной научно-практической конференции «Моделирование. Теория, методы и средства» (Новочеркасск, 2003); 52-й научно-технической конференции студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ) (Новочеркасск, 2003); международном научно-практическом коллоквиуме «Проблемы мехатроники 2003», (Новочеркасск, 2003 г.).
Разработанный численно-программный комплекс был представлен и награжден дипломом 1-ой степени на Всероссийской выставке-ярмарке научно-исследовательских работ и инновационной деятельности студентов, аспирантов и молодых ученых ВУЗов Российской Федерации «ИННов 2003», (Новочеркасск, 2003 г.).
Основное содержание работы отражено в 10 публикациях.
Диссертационная работа состоит из введения, пяти разделов, заключения и списка использованной литературы. Ее содержание изложено на 172 страницах, проиллюстрировано 74 рисунками и одной таблицей. Список литературы содержит 78 наименований.
Анализ современных программ расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей
В настоящее время разработано большое количество прикладных программ, предназначенных для расчета электромагнитного поля. Они отличаются классом решаемых задач, используемым численным методом, способом дискретизации области, структурой программного комплекса, функциональностью препроцессорных и постпроцессорных средств и т.д. Рассмотрим наиболее доступные программы для расчета электромагнитного поля с целью оценки их основных преимуществ и недостатков.
Следует отметить, что ценность любого программного комплекса для конкретного пользователя определяется точностью и скоростью решения задачи расчета поля, удобством работы с программой, а также точностью нахождения интересующих величин (локальных и интегральных характеристик поля и параметров устройств), рассчитанных с его помощью. Величины, наиболее часто подлежащие расчету при решении задач моделирования электромагнитного поля, приведены на рис. 1.3,
Большинство известных программ основано на использовании при расчете поля МКЭ (FEMM, QuickField (Elcut), Maxwell). К настоящему времени наработан многолетний теоретический и практический опыт применения МКЭ в пакетах прикладных программ (ППП) для расчета полей, в САПР ЭТУ и в более крупных программных комплексах, предназначенных для проектирования сложных технических систем, таких как, например,высокоскоростной наземный транспорт на магнитном подвесе [40]. Преимущества МКЭ, отмеченные в п. 1.1, являются основным аргументом в пользу его выбора разработчиками таких наиболее известных комплексных программных решений как, например, Maxwell и ANSYS.
К основным характеристикам программного комплекса можно отнести численный метод, используемый для компьютерного моделирования электромагнитного поля. В п. 1.1 подробно описаны характерные особенности различных численных методов, которые могут быть реализованы в программных комплексах.
Наряду с программами, обеспечивающими возможность решения задач с конкретным физическим содержанием, МКЭ находит применение и в программах, предназначенных для автоматизации проведения математических вычислений, таких как MathCAD, MatLab, Maple и др. В состав этих программ входят также процедуры автоматической триангуляции области и постпроцессорной обработки полученного решения.
Однако комплексам, основанным на МКЭ, присущи и недостатки, которые характерны для этого метода. Прежде всего, они проявляются в сильной зависимости точности получаемого решения от способа дискретизации области. Например, существенным недостатком основанных на МКЭ программ расчета поля является использование кусочно-линейной аппроксимации искомой функции даже в областях с линейными характеристиками среды, что является источником дополнительной погрешности при определении локальных и интегральных характеристик поля и параметров устройств.
В общем случае этот недостаток можно компенсировать увеличением количества конечных элементов и проведением дополнительных численных экспериментов. При этом повышенные требования к быстродействию и объему оперативной памяти ЭВМ удается удовлетворить за счет быстрого развития компьютерной техники.
В то же время в существующих ЧПК остается нереализованной воз можность использования более эффективных, по сравнению с МКЭ, численных методов, позволяющих с высокой точностью осуществлять анализ поля в неограниченных областях, в областях с малыми зазорами между элементами магнитной системы, а также в случаях, когда взаимное расположение элементов системы меняется со временем. Решение этой проблемы позволит снизить требования к математической подготовке пользователя программного комплекса, обеспечит удобство его работы с программным продуктом и, в конечном итоге, повысит эффективность использования комплекса на этапе проектирования электротехнических устройств: для определения их параметров и выбора оптимальной конструкции.
Следует отметить, что большинство разработок, предполагающих использование отличных от МКЭ численных методов, в большей степени являются продуктом научного исследования, чем результатом разработки конкурентоспособного тиражируемого программного обеспечения. Их основными недостатками являются отсутствие современного интерфейса и сопроводительной документации (руководства пользователя), узкий класс решаемых задач, необходимость серьезной математической и компьютерной подготовки пользователя, отсутствие препроцессорных и постпроцессорных средств. Поэтому, несмотря на очевидные преимущества используемых численных методов (например, комбинированного метода конечных и граничных элементов), такие разработки на рынке соответствующего программного обеспечения являются неконкурентоспособными.
Существенным недостатком всех известных программ, сужающим область их использования и ограничивающим класс решаемых задач, является невозможность расчета с их помощью магнитного поля в нелинейных анизотропных средах, а также ограничения, функционально накладываемые на постановку задачи. Так, например, расчет поля методом конечных элементов с помощью этих программ можно выполнить либо в нелинейных изотропных средах, либо в анизотропных, но линейных. В случае, когда
Постановка задачи обобщения характеристик намагничивания анизотропных ЭТС
Экспериментальное определение векторных характеристик одноосного намагничивания листовых ЭТС является весьма трудоемкой задачей. Соотношение между векторами индукции и напряженности в широком диапазоне изменения поля может быть установлено в результате специальных измерений на образцах, нарезанных под разными углами к оси прокатки [52]. Особые требования предъявляются к методике измерений, которая должна обеспечивать в области измерений однородность магнитного ноля и заданную направленность вектора магнитной индукции за счет правильного сочетания конфигурации измерительных образцов исследуемой стали, их ориентации относительно осей магнитной анизотропии и способа намагни чивания. Режим перемагничивания образцов должен соответствовать условиям работы шихтованных магнитопроводов ЭТУ, для анализа работы которых предполагается использование векторной характеристики намагничивания, а средства измерения должны быть подобраны в соответствии с задачами измерения.
Указанные требования к методике определения характеристик намагничивания анизотропной ЭТС делают актуальной задачу сокращения объема экспериментальных данных, необходимых для построения материального оператора. Решение этой задачи позволит повысить точность расчета магнитного поля в анизотропных ферромагнитных средах за счет правильного учета анизотропии при минимальном объеме необходимых исходных данных.
Качественное сходство характера магнитной анизотропии различных сталей [52] и наличие общих факторов (режимов перемагничивания, механические воздействия, технологии изготовления), влияющих на формирование их магнитных свойств [48], создают предпосылки для разработки универсальных методов описания характеристик различных анизотропных сталей, обеспечивающих сокращение объема необходимых экспериментальных данных для отдельных марок сталей.
В качестве концептуальной основы таких методов можно использовать обобщение (нормализацию) характеристик намагничивания. В литературе описана возможность обобщения (нормализации) идеальных кривых однонаправленного намагничивания [43, 44] и кривых первоначального намагничивания (основных кривых намагничивания) [44, 45]. В этих работах делается вывод о том, что обобщение экспериментальных характеристик намагничивания может быть достигнуто в результате их преобразования, основанного на принципе геометрического подобия. В этом случае, задача обобщения характеристик (кривых намагничивания), заданных в графическом виде, сводится к определению преобразований, при помощи которых кривые намагничивания разных ЭТС могут быть приведены к некоторой универсальной кривой.
В качестве таких преобразований в работах [43, 44] предлагается использовать операции растяжения (сжатия) эталонной (базисной) кривой по осям напряженности и индукции с коэффициентами ти и тв соответственно, которые подлежат определению. Рис. 2.7 иллюстрирует использование этих операций, а также соотношение точек с и d на кривой намагничивания железа, выступающей в качестве эталонной, и точек а и Ъ на заданной кривой намагничивания стали, приводимой к ней этими операциями. При этом параметры ти и тв связывают пары точек на заданной кривой и на идеальной кривой по STРис. 2.7 - Нормализация идеальных кривых намагничивания
Нормализация основных кривых намагничивания анизотропных ЭТС является более сложной задачей. Эти кривые, вообще говоря, не являются подобными, так как состоят из двух участков [44]. Поэтому нормализация и обобщение основных кривых намагничивания требует применения других подходов.
Переходя от нормализации одной, отдельно взятой кривой намагничивания, к нормализации всего семейства кривых, определяющих векторную характеристику намагничивания, получаем следующую задачу обобщения характеристик намагничивания анизотропной ЭТС.
Необходимо разработать такую методику, которая позволила бы по известной векторной характеристике намагничивания базисной стали Сь и ограниченном объеме экспериментальных данных о магнитных свойствах другой стали С восстанавливать всю векторную характеристику намагничивания стали С.
Перейдем к решению этой задачи. Будем считать известными магнитные характеристики среды, полученные экспериментально под углами р\ кнаправлению оси прокатки и описывающиеся скалярными функциями F(B, j) = f J (B), j = l,Np, Л р - количество таких характеристик. Магнитные свойства анизотропной ЭТС под разными углами к направлению проката определяются в соответствии с ГОСТ 12119-80. Измерение магнитных свойств производится на образцах в аппарате Эпштейна, а сами характеристики опубликованы в справочных изданиях [49].
Для иллюстрации предлагаемой методики нормализации возьмем в качестве базисной стали холоднокатаную анизотропную сталь марки 3413, а в качестве сталей для проверки возможности обобщения их характеристик -аналогичные по магнитным свойствам стали марок 3404, 3405, 3406, 3407, 3408 [49]. Определим параметры нормализации и оценим численно погрешность процедуры нормализации.
Для определения параметров нормализации тн и тв (коэффициентовгеометрических преобразований, приводящих произвольную кривую намагничивания к базисной кривой) в работе [44] используется простой перебор точек, лежащих на исследуемых кривых. Этот способ имеет недостаток, состоящий в том, что значения параметров нормализации
Расчет плоскопараллельного магнитного поля, создаваемого постоянными магнитами
Рассмотрим задачу расчета магнитного поля, создаваемого постоянными магнитами С12 с намагниченностью М, расположенными в неограниченной области Q0 с проницаемостью ц0 в присутствии анизотропных ферромагнитных тел П, (рис. 3.2). Свойства стали в каждой точке магнитной системы D, и области постоянных магнитов Q2, задаются материальными операторами Н - F[Bj и Н — FKI(B} соответственно. (3.51) где Г, и Г2 - границы раздела областей Г21 и Q2 соответственно.
Потенциал поля намагниченности Аи определен только в области Q2 и на ее границе. Для неограниченной области П0 примем
Сформулированная краевая задача сводится к задаче минимизации функционала на подпространстве функций из пространства Соболева W\ (Q0 \JQ.), непрерывных на границе раздела сред Г и удовлетворяющих условию (3.52) на бесконечности, задаваемого равенством: где W(BJ И WU(B) — энергетические потенциалы, определяемые равенствами F(в) = grad w(B) и Fw (В) = grad wv/ (В) соответственно. Справедливость этого доказывается прямым нахождением первой и второй вариации функционалов и учетом необходимого 5р(Л) 0 и достаточного 52р(Л) 0условий минимума аналогично тому, как это было доказано для функционалов (3.9) и (3.10).
Применяя для решения задачи МКЭ и используя в области Q, (J П2приближение искомой функции А{М — А.єі[М)7 получим систему где aSr и йА. - параметры аналогичной СЛАУ (3.22); Аки - значение потенциала поля намагниченности М, определяемое по формуле
Другой подход к моделированию магнитного поля постоянных магнитов, изложенный в работе [60], использует связь намагниченности магнетика М с объемной плотностью молекулярных токов jm, описываемую формулой [58]
В работе показано, что поле постоянного магнита с намагниченностью М — const можно считать эквивалентным полю соленоида с распределенным на его поверхности токовым слоем im. Поле, создаваемое постоянными магнитами, описывается векторным потенциалом:
Выражение (3.57) для векторного потенциала позволяет моделировать постоянные магниты и учитывать создаваемое ими магнитное поле при решении соответствующих краевых задач.
При расчете плоскопараллельного магнитного поля, создаваемого постоянными магнитами (область П.,), в присутствии ферромагнетика(область Q,), расположенными в немагнитной среде (область Q0) (рис. 3.2),будем искать векторный потенциал в области Сі0 в видемагнитного поля, создаваемого токами ini.
Во внутренних точках области 2 = 1 2 векторный потенциал определяется выражением (3.17). Дальнейший расчет поля ведется так же, как и в случае, когда магнитное поле создается токами проводимости J: путем последовательного наращивания плотности тока іт от нуля до величиныкоэрцитивной силы постоянного магнита Нс. На каждом шаге магнитные свойства стали и постоянного магнита задаются материальными операторами Н = F(B\ И Я = FM (в} соответственно.
Описанные алгоритмы решения задачи расчета магнитного поля в нелинейных анизотропных ферромагнитных средах, создаваемого токами проводимости и постоянными магнитами, реализованы в виде подпрограмм, входящих в состав разработанного ЧПК для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей. Примеры расчета магнитного поля КМКиКГЭ рассмотрены в п. 5.1 - 5.4.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть в неограниченной области Q0, содержащей диэлектрические вставки Q,, i = p + \,s и проводящие тела Qk, к = \,р, распределены свободные заряды с заданной плотностью р = р(.г,_у) (рис. 3.3). Свойства диэлектриков задаются диэлектрическойпроницаемостью є,, для П;., i = p + \,s и проницаемостью є0 для внешней неограниченной области Q0.
Геометрическое моделирование и алгоритмы вычислительной геометрии
Геометрическая модель расчетной области — это описание геометрии области, содержащее сведения о ее структуре и необходимое для последующего численного расчета поля. В разработанном комплексе для геометрического моделирования используется двумерный вариант метода описания границ [25].
При проектировании геометрии расчетной области используются следующие геометрические элементы: - вершина - точка на плоскости;-ребро — отрезок на плоскости, соединяющий две вершины;-контур — последовательность ребер, ограничивающих некоторую область на плоскости;-блок - область на плоскости, ограниченная одним или несколькими контурами.
Перечисленные геометрические элементы являются базовыми: они используются в геометрических моделях для плоско параллельных задач любого типа (в частности, задач магнитостатики и электростатики). Их применение позволяет моделировать геометрию с использованием односвяз-ных и многосвязных, а также ограниченных и неограниченных областей на плоскости. На рис. 4.4 приведен пример геометрической модели.
Рис. 4.4 - Пример геометрической модели.
Каждый из типов геометрических элементов могут создаваться разны- ми способами. Вершины и ребра могут задаваться либо вручную, либо определяться автоматически как точка пересечения двух ребер. Добавление нового ребра, не пересекающего другие, может повлечь за собой создание Определение контуров и блоков происходит автоматически. Для однозначного определения блоков (односвязиых или многосвязных областей) необходимо задать маркер блока. Маркер блока представляет собой точку на плоскости, принадлежащую блоку (рис. 4.5). Вследствие того, что маркер блока определяет его однозначно, отпадает необходимость хранения в структуре данных геометрической модели конкретных определений контуров и блоков.
Опишем алгоритм автоматического определения контуров и блоков.1. Для заданной геометрической модели строится граф.2. Для построенного графа формируется матрица инциденции. Затем происходит проверка графа на наличие ребер, хотя бы одна из вершин которого не связана с другими ребрами, и их удаление.З.Для заданных маркеров блоков и полученной матрицы инциденции строится система содержащих их замкнутых контуров.4. Построенные контуры проверяются на вложенность по отношению друг к другу.5. Формируется и однозначно сопоставляется маркерам блоков система блоков, как геометрических элементов высшего уровня.6. Производится анализ геометрической модели на наличие неограниченной внешней области и на возможность ее использования для расчета поля.
Рассмотренный алгоритм пригоден для анализа многосвязных областей и реализован как процедура, выполняемая комплексом в случаях, когда это необходимо для дискретизации расчетной области или расчета поля.
Каждый тип геометрического элемента в своем определении опирается на другие, формируя тем самым иерархическую структуру данных с несколькими уровнями. На основе объектно-ориентированного подхода к организации данных для однозначного определения геометрии строится иерархическая структура классов. Ссылки на геометрические элементы выполняются либо их глобальными индексами, либо указателями на занимаемую ими область памяти.
Таким образом, использующийся для геометрического моделирования метод описания границ позволяет отделить топологические данные о структуре области от метрических данных, к которым относятся координаты вершин, сократить их общий объем и упростить управление данными при редактировании геометрической модели пользователем.
Каждый из геометрических элементов любого типа обладает рядом свойств, которые задаются пользователем и позволяют формулировать постановку задачи и/или задавать параметры дискретизации области.
Для геометрических элементов всех типов может быть задано свойство «метка». Метка - это строка символов, находящаяся в однозначном соотношении с ее характеристикой (свойствами), и в отношении «один ко многим» к геометрическим элементам. Подобное отношение позволяет группировать геометрические элементы по их влиянию на постановку задачи. Свойства меток геометрических элементов - это набор числовых данных, определяющих постановку задачи.
К свойствам в магнитостатике будем относить:-набор кривых намагничивания, определяющих нелинейные анизотропные магнитные свойства ферромагнитной области, или постоянная магнитная проницаемость в случай линейных свойств среды;-полный ток через область или его плотность в случае линейных
