Содержание к диссертации
Введение
2. Оценка качества моделей спектрально-временных характеристик случайных процессов 28
2.1. Анализ критериев качества моделей 28
2.2. Построение контрольного спектра (модели) 33
2.3. Выводы к разделу 2 42
3. Структурная оптимизация рабочих моделей 44
3.1. Перераспределение порядков АР- и СС-составляющих 44
3.2. Перераспределение дисперсий АР- и СС-составляющих 48
3.3. Совместная оптимизация порядков и дисперсий АР- и СС-составляющих на примере рабочих моделей радиоотражений 55
3.4. Выводы к разделу 3 61
4. Параметрическая оптимизация рабочих моделей 62
4.К Стробирование коэффициентов рабочей модели с коррекцией дисперсии возбуждающего шума 62
4.2. Стробирование коэффициентов рабочей модели с пересчетом ненулевых коэффициентов 67
4.3. Оптимизация авторегрессионных моделей с неравномерной шкалой квантования коэффициентов 75
4.4. Оптимизация рабочей модели по критерию взвешенного СКО в спектральной области 82
4.5. Выводы к разделу 4 89
5. Характеристики фильтров обработки сигналов при конечной выборке 92
5.1. Сравнительный анализ методов вычисления динамических частотных характеристик параметрических моделей и фильтров 93
5.2. Повышение качества моделирующего фильтра при конечной выборке 98
53. Построение адаптивного обеляющего фильтра на базе рабочей АР-модели 100
5.4. Выводы к разделу 5 107
6. Оптимизация обработки сигналов в классе многоканальных цифровых СС-фильтров 109
6.1. Обобщенная форма уравнения дальности обнаружения 1 10
6.2. Характеристики и критерии синтеза многоканальных фильтров 116
6.3. Модификация метода Кейпона для оценки спектрального динамического диапазона 125
6.4. Синтез алгоритмов многоканальной фильтрации на базе процессора БПФ 130
6.5. Оптимизация числа и расстановки каналов многоканальных фильтров 148
6.6. Повышение точности оценки доплеровской фазы сигнала. Интерполяционный алгоритм оценки фазы 155
6.7. Выводы к разделу 6 166
7. Адаптивные систолические структуры фильтров для подавления помех 169
7.1. Синтез и анализ режекторных фильтров параллельной систолической структуры 170
7.2. Синтез многоканального фильтра для подавления помех 182
7.3. Выводы к разделу 7 187
8. Технико-экономические показатели качества систем цифровой обработки сигналов 188
8.1. Технико-экономическая оптимизация систем ЦОС 1 88
8.2, Анализ влияния квантовании весовых коэффициентов на эффективность подавления помех в СС-фильтрах 189
8.3- Вычислительные алгоритмы анализа эффективности систем ЦОС 195
8.4. Повышение точности при вычислении и обработке сигналов методом сортировки мультипликаций 200
8.5. Выводы к разделу 8 206
9. Практическое применение методов оптимизации моделей и систем обработки сигналов в радиотехнических задачах 209
9.1. Разработка моделей многомодовых радиолокационных помех и рабочих алгоритмов первичной обработки эхо-сигналов 209
9.2. Оптимизация доплеровского БПФ-процессора при неэквидистантных отсчетах обрабатываемого сигнала 217
9.3. Алгоритмы расширения динамического диапазона при спектральном оценивании шумов генераторов 220
9-4- Разработка моделей токов замыкания в сетях 6-10 кВ и
алгоритма ЦОС прибора селекции однофазных замыканий на землю 227
9-5, Разработка моделей кардиоинтервалограмм для программно- аппаратного комплекса функциональной диагностики состояния здоровья 235
9.6. Применение методов спектрального анализа для оценки динамики нагрузки телекоммуникационных сетей 238
9.7. Анализ периода вращения переменных звезд методами параметрического спектрального анализа 243
9-8. Разработка программного комплекса «Стрела» 246
9,9. Выводы к разделу 9 254
Заключение 258
Список литературы
- Построение контрольного спектра (модели)
- Перераспределение дисперсий АР- и СС-составляющих
- Оптимизация авторегрессионных моделей с неравномерной шкалой квантования коэффициентов
- Модификация метода Кейпона для оценки спектрального динамического диапазона
Введение к работе
Актуальность темы определяется необходимостью синтеза радиотехнических систем (РТС) и устройств цифровой обработки сигналов в условиях априорной неопределенности статистического описания сигналов и помех, малого интервала наблюдения, недостаточного для получения качественных оценок параметров. Современное решение задачи синтеза РТС, в силу перечисленных причин, должно опираться на принципы системного подхода, статистические методы, использование критериев нида «сложность-эффективность» и должно быть технологичным с вычислительной точки зрения.
Общей характерной особенностью радиотехнических задач в области радиолокации, технической и медицинской диагностики является использование методов узкополосной фильтрации последовательностей ограниченной длины (короткой выборки).
Сам термин «короткая выборка» должен быть определен количественно. В зависимости от постановки задачи в различных источниках ему дается разное определение. В вычислительной математике под ним понимается выборка, для которой корреляционная матрица свободно размещается в ОЗУ с произвольным доступом, В математической статистике короткой считается выборка, длина которой соизмерима с интервалом стационарности процесса и недостаточная для получения статистических оценок параметров. В радиолокации короткой считается выборка, по которой трудно статистическими методами извлечь информацию о параметрах лоцируемых объектов. Последнее определение близко к принятому в цифровом спектральном оценивании, где короткой на основании известной теоремы о выборке принято считать выборку, при анализе которой требуемое спектральное разрешение SF имеет тот же порядок, что и величина обратная длине выборки (1/ЛО [І] В дальнейшем будем использовать данное понимание термина «короткая выборка».
Известен ряд работ, посвященных проблемам обработки сигналов, свя занным с короткой выборкой. Так, в [2] изложен метод восстановления спектра по конечному множеству экспериментальных данных, спектр которых функционально связан с истинным спектром интегральным уравнением Фредгольма 1 рода с сильно осциллирующим ядром. В [3] получены адаптивные алгоритмы распознавания многомерных нормальных измерений при коротких обучающих выборках,
В конкретных прикладных задачах математические и имитационные модели сложно построить непосредственно на основе непредставительных выборочных данных. Поэтому на основе первичной, так называемой фактографической, информации, как правило, производится редукция исходных данных с целью извлечения информативных параметров (Data Mining). Для этого требуется не только развитый математический аппарат, но и глубокое изучение предметной области позволяющее использовать априорные сведения об исследуемом процессе [4, 5J. Речь идет об обработке числовой (не текстовой) информации для выявления наиболее информативных с точки зрения исследователя параметров спектральной плотности мощности (СПМ) процесса. Данное направление имеет большое научно-практическое значение в сфере IT (информационных технологий) и является одним из аспектов актуальной проблемы извлечения информации (Data Mining). Как правило, информацию, имеющуюся в стохастических данных, можно разделить на структурную и случайную (порядок и хаос) [6],
Создание модели, отражающей основные свойства исследуемого процесса является важным этапом разработки РТС, влияющим на ее качественные характеристики. Использование параметрических моделей продуктивно в задачах радиотехники благодаря возможности качественно и количественно описать случайный процесс, представленный выборочными данными. Определяя параметры, можно формировать стохастическую модель порождения наблюдаемых данных. Тем самым параметрические модели позволяют достигать одной из главных целей статистики - представление данных в сжатом виде. В [7J применяется математическая модель локационных сигналов на базе корреляционной функции, использующая формирующий фильтр. В [8: 9] качестве формирователей сигнала подстилающей поверхности рассматриваются АРСС-фильтры, синтезированные по аналоговому прототипу с дальнейшей минимизацией СКО по отношению к известной СПМ симплекс-методом Нелдера-Мида. Процедура формирования радиолокационного изображения подстилающей поверхности с использованием критерия минимума среднеквадратичной ошибки и с низким влиянием шума рассмотрена в [10]. Автором [1 1] предложена модификация метода высокого разрешения сигналов на основе метода наименьших квадратов без использования АР-моде/ж, Показано, что метод более устойчив, чем АР-методы при негауссовом шуме и нсэквидистантных отсчетах сигнала, но по объему вычисления он в несколько раз уступает им. Для синтеза модели авторегрессии и скользящего среднего по экспериментальным данным в [12J получено выражение финальной апостериорной плотности вероятности оцениваемых параметров случайного процесса. Особенностью применения указанных методов является представление процессов, формирующих скользящее среднее, в виде вектора состояния, описываемого линейным стохастическим разностным уравнением. Условные оценки зтого вектора состояния зависят только от наблюдаемого процесса и неизвестных параметров модели. Время-частотное представление медицинских сигналов рассмотрено, например, в [13].
В рассматриваемом круге задач синтеза и анализа радиотехнических систем типичны процессы с многомодовыми спектрами [14} 15, 16, 17]. В ряде научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ автором исследованы энергетические спектры Р(/Т) эхо-сигналов в радио (рис. Ы) и оптическом (рис. 1.2) диапазонах, а также диагностических сигналов в системах релейной защиты электрических подстанций (рис, 1.3) и кардиоинтерва-лометрии, представленные на рис. 1.4 как функции относительных частот/Г. Сплошными линиями показаны мгновенные спектры, пунктиром - СПМ.
СПМ отражений от рассеивающей неоднородной среды в оптическом диапазоне Р(Л 0,75
0,5
0,25
0 F,T F2T FjT F,T 0,5
Рис. 1.2
Несмотря на внешние различия представленных сигналов, для описания их СПМ в некоторых случаях можно использовать аддитивную функцию с компонентами в виде процессов с одномодовыми спектрами. Каждая из мод описывается положением FjTs шириной dFjT. Кроме того, как будет показано в дальнейшем, важными являются спектральный динамический диапазон , и параметры формы отдельных мод.
Одной из наиболее простых и очевидных моделей дискретных радио-сигналов х(/)т широко применявшихся в практических задачах, видимо, можно считать комбинацию действительных гармонических компонент;
м где к, - весовой коэффициент, определяющий долю у-ой компоненты; -центральная частота у -ой спектральной компоненты (моды); ф) - начальная фазау-ой гармонической компоненты. Поскольку реально наблюдаемые выборочные данные носят стохастический характер и при их анализе необходимо применение статистических методов, детерминизм гармонической модели частично устранялся введением случайной начальной фазы компонент и добавлением шумовой компоненты. Процесс с равномерно распределенной на периоде фазой имеет пулевое математическое ожидание и коэффициенты корреляции;
1 А{ I } \
В более общем случае процесс, представленный суммой М комплексных экспонент вида:
х(/)=Х &хр[\(2$іТ+ф,)], м характеризуется коэффициентами корреляции rt = Х у ехр(і27г/"/Г).
Начиная с 50-60-х годов и по настоящее время в теории обработки сиг-палов и, в частности, в радиолокации для моделирования радиоотражений широко использовались модели многомерных случайных нормальных процессов [18, 19, 20], плотность вероятностей которых W{\) = {An) N del"1 ЯехрЬхяИ" х/2}, где х - выборочный n-мерный вектор процесса, R и R"1 - прямая и обратная корреляционные матрицы обрабатываемого процесса, а символ н обозначает транспонирование и комплексное сопряжение. Причем для модели белого гауссовского шума (БГШ) R=R =Е - единичная матрица. Вторые моменты распределения (корреляционные моменты) полностью характеризуют статистические параметры исследуемого процесса. Методы спектрального анализа оперируют со СПМ: однозначно связанной со вторыми моментами распределения вероятностей, и потому также содержат исчерпывающую информацию о статистике процесса с нормальным распределением. Таким образом, математическая модель гауссовского случайного процесса требует описания либо корреляционных моментов, либо СПМ, Данное исследование направлено на развитие спектрального анализа как метода математического и имитационно-го моделирования СПМ в условиях неполной информации [21].
Исторически одним из ранних способов описания СПМ случайных процессов было представление ее в виде дробно-рациональной функции:
где к - нормирующий коэффициент,/- относительная частота,/о - центральная частота, А/- ширина спектра флуктуации процесса, 0 - степень связности аппроксимирующего марковского процесса, определяющая параметр формы спектральной моды. Параметр /? наблюдаемой последовательности, как правило, неизвестен, а его оценка затруднена. Часто параметр формы моды определяли априорно, как, например, в модели Баттерворта или Фишбейна. Для учета параметра формы моды в работах многих авторов получила распространение упрощенная модель радиоотражений во временной области в виде весовой суммы односвязного (/ 1) и бесконечносвязапого {p- w) марковских процессов, а также белого гауссовского шума. В этом случае вариация весового множителя ає [0; 1], определяющего долю составляющей бесконеч-носвязаного марковского процесса, позволяет, при одинаковой относительной ширине dFT спектра флуктуации моды, описать более широкий класс унимодальных радиоотражений с различными параметрами формы- Тогда нормированная корреляционная матрица эхо-сигналов представляется в виде весовой суммы [22]:
R=(aR,-+( 1 -а)К.+ЛЕК 1+Л), где R - матрица корреляций при бесконечносвязаном марковском процессе, элементы которой /гП/=ехр{-[л(/-у) Г /2.8-\27rTfo(i-j)}; RP- матрица корреляций при односвязном марковском процессе, элементы которой Rpt=txp{-7t\i-j\dFT-i27rTfo(i-j)}\ Е - единичная матрица;уо ™ центральная частота моды; і - мнимая единица, В данном выражении использована более общая широко применяющаяся модель аддитивного объединения двух различных математических функций (процессов), имеющая аналогию, например, в виде модели засорений Хубера [6, 23].
Принципиальным недостатком такой модели сигнала является одномо-довый характер формы СПМ и непригодность ее для описания многомодо-вых (в спектральной области) процессов с «негладким» спектром. Для такой модели спектральными параметрами сигнала должны быть положение, форма и ширина нескольких максимумов, а также соотношение мощностей всех компонент, включая шумовую компоненту.
Модель многомодового процесса можно представить в виде аддитивного Уг-компонентного процесса, СПМ которого где Afp fij — соответственно ширина спектра флуктуации и степень связности j-ой компоненты аппроксимирующего марковского процесса. Упрощенным аналогом данной модели во временной области является модель, включающая весовую сумму некоторого числа Jc марковских компонент:
Р(Л =
/(1 +Я),
где R[-Jt Rpj — соответственно матрицы корреляцийу-ой компоненты при /?— со и /7 I. Однако при большом числе мод наряду с трудоемкостью такой модели оказывается трудно учесть взаимовлияние компонент.
Ограниченность подобного описания имитационных моделей процессов состоит таже в том, что оно приводит к фильтрам скользящего среднего (СС) [24]. Порядок q СС-фильтров для узкополосных многомодовых процессов оказывается при этом завышенным (д !00), что входит в противоречие с практически имеющейся короткой выборкой. Так, для имитации процессов с корреляционной матрицей Rr порядок моделирующего СС-фильтра сложным образом зависит от ширины моды. Проведенный анализ показывает, что эта зависимость достаточно точно аппроксимируется эмпирической формулой:
q=\XK\\lldFT+\%-dFT+\\ где int[•] - целая часть числа. Данное выражение отражает резкое возрастание порядка СС-фильтра при уменьшении ширины спектра флуктуации формируемого процесса. Противоположный характер имеет зависимость порядков авторегрессионых (АР) фильтров от ширины спектра флуктуации dFT, что позволяет с их помощью хорошо описывать узкополосные процессы при короткой выборке. Такие зависимости для одномодовой СПМ при а=1 и в диапазоне изменения ширины моды СПМ 7=0,03...0,3 приведены на рис. 1.5. Из данного рисунка видно, что порядок АР-фильтра, необходимый для формирования узкополосного процесса (dFT Qt\) многократно снижается по сравнению с требуемым порядком СС-фильтра. В тоже время форма СПМ за пределами моды узкополосного процесса сравниваемых фильтров сущестенно различается. В частности, в [25J приводятся данные о высоком качестве аппроксимации одномодовой СПМ АР-фильтром третьего порядка.
Однако методика определения связности (І цепи Маркова [20], основанная на вычислении переходных вероятностей цепи, требует большого числа выборочных данных и не применима при короткой выборке. Исследователю необходимо разрешать противоречие между адекватностью модели реальному процессу и ее аналитической и вычислительной сложностью. Широкие возможности с точки зрения описания многомодовых процессов в различных приложениях открывает использование комбинации АР- и СС-фильтров (АРСС-фильтров) [26, 27, 28, 29, 30, 3 1, 32, 33, 34], В [35] предложена методика синтеза алгоритма пространственно-временной селекции отраженных на фоне отражений от подстилающей поверхности сигналов с использованием авторегрессионной модели. Алгоритмы ЦОС могут основываться на двух вариантах метода наименьших квадратов - обычном и блоковом. В [36] показано, что блоковая процедура требует значительно меньшего объема памяти. Таким образом, задачи выбора критерия синтеза и определения порядков/?, q АР- и СС-составляющих остаются нерешенными.
Известны также эффективные методы спектрального анализа сигналов: максимума энтропии (ММЭ) Берга [37], максимального правдоподобия (МП) Кейпона [38], Прони [39] а также группа методов, основанных на анализе собственных значений [40, 41], таких, в частности, как метод гармонического разложения Писаренко. Данные методы взаимосвязаны, и каждый из них имеет свою область применения. Метод Берга рассматривается в качестве одного из способов вычисления коэффициентов АР-модели при гауссовском законе распределения, метод Кейпона удобен для получения спектральной оценки на отдельной частоте (опорном направлении). Метод Прони хорошо описывает данные представляемые в виде суммы экспоненциальных компонент, но его точность критична к уровню белого шума, кроме того он не позволяет учесть коррелированные помехи. Известны попытки объедини!ь преимущества непараметрических и параметрических методов. Один из методов повышения разрешающей способности по частоте при обработке ко роткой выборки описан в [42]. Он использует процедуру линейного предсказания, «удлиняющую» сигнал для последующего БПФ.
При короткой выборке наиболее перспективными представляются параметрические методы АРСС и методы, основанные на анализе собственных значений корреляционной матрицы процесса. В связи с этим им уделено наибольшее внимание в данном исследовании. Основные результаты получены на основе оптимизации АРСС-алгоритмов и при использовании метода опорных направлений (Кейпона), а также при использовании непараметрических СС-алгоритмов, реализуемых многоканальными структурами. Перепек- тивно применение АРИСС-алгоритма, включающего дополнительную опера- Щ цию интегрирования среднего и применяемого для нестационарных рядов данных. Однако он требует большого объема данных, что входит в противоречие со спецификой диссертации - короткой выборкой сигнала.
Обнаружение сигналов и оценка его параметров, как правило, производятся в условиях априорной неопределенности. Особенно остро такая проблема стоит при освоении нетрадиционного диапазона частот, исследовании малоизученных объектов, использовании сложных видов модуляции, при анализе телеметрической информации в задачах технической и медицинской диагностики. Проблема дополнительно усложняется тем, что статистические выводы приходится делать на основании анализа выборочных данных недос таточной длины.
Для выделения информационных параметров случайных процессов используются оценки максимального правдоподобия и методы сведения сложной гипотезы к простой [43], 44]. Такой подход соответствует классическим методам статистического приема и обработки сигналов [45, 46], получившим широкое развитие в теории локации [18, 47, 19, 48] и других радиотехнических приложениях. Преодоление априорной неопределенности возможно как в рамках метода, получившего название «адаптивного байесовского подхо- " да» [49], так и методами усреднения целевых функций по вероятностной ме ре, связанной с неизвестными параметрами процессов [18, 19, 235 44],
В семидесятых годах сформировалась теория статистической обработки адаптивной сигналов. Фундаментальные отечественные [49, 50, 51] и зарубежные [52, 53] работы по этой тематике показали, что введение адаптации существенно расширяет диапазон изменения параметров входных процессов, при котором обеспечивается высокая эффективность функционирования систем приема и обработки сигналов. Вместе с тем, адаптация, предполагая оперативную оценку параметров процесса, приводит к существенному усложнению радиосистем и вносит дополнительные ошибки при обработке. Создание практических высокоэффективных устройств адаптивной обработки на базе аналоговой техники проблематично. Цифровая реализация алгоритмов обработки и оценивания сигналов открыла новые возможности в этом направлении. Наибольшее распространение получили методы линейной цифровой фильтрации, которые реализуют векторные и матричные операции [54, 55]. Ряд практических приложений, связанных с обработкой локационных сигналов, характеризуется плохой обусловленностью корреляционных матриц процессов, жесткими ограничениями на разрядность и быстродействие цифровых устройств [56, 57]. При этом реализуются специфические алгоритмы псевдообращения [58] и решается проблема поиска собственных чисел, которой посвящены отдельные монографии, например [59].
Значительный вклад в разработку классических методов спектрального анализа внесли Блэкман, Тьюки, Дженкинс, Ватте, Томсон. Шустером предложен широко известный метод периодограмм. Слуцкий и Даньелл установили, что флуктуации периодограммы соответствуют ее среднему значению, и выдвинули идею ее сглаживания. Барлеттом предложен метод усреднения по множеству периодограмм. В методе Уэлча данный подход применялся к перекрывающимся сегментам данных и использовано их взвешивание. Значительный шаг вперед сделан Юлом, предложившим использовать линейный регрессионный анализ данных и Уолкером, исследовавшим этим методом за тухающие синусоидальные временные ряды. Существенный вклад внесли в развитие прикладных методов спектрального анализа и теорию ЦОС отечественные ученые Гольденберг, Ланнэ, Кравченко, Коршунов, Лихарев, Свердлик. Развитые е ряде работ алгоритмы, в том числе алгоритмы коррело-граммного и периодограммного спектрального анализа, определяемые в [ 1, 4] как классические, основаны на дискретном преобразовании Фурье (ДПФ) эмпирической корреляционной матрицы или самих данных. Потенциально эффективные при неограниченной длине выборки, они оказываются малоэффективными при ее ограничении. Поэтому, несмотря на высокую вычислительную эффективность использования алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) (без взвешивания или со взвешиванием) [60], данные методы имеют ограниченное применение в задачах анализа СПМ сигналов, представленных малым количеством отсчетов.
Два основных вида оценки СПМ P{f) определяются выражениями [1J:
/ (/)= I г, ехРН2лг/},
P(f)= lim МІ —
Л -l
x(j)exp{-i2iijf}
где rf - коэффициенты автокорреляционной последовательности (АКП), д-(/) -временные отсчеты процесса.
Данные выражения приводят к эквивалентному результату при условии неограниченного увеличения объема выборки. В то же время математические и имитационные модели данных при коротких выборках не обладают достаточной адекватностью наблюдаемому процессу и имеют низкую вычислительную эффективность.
Научно-технический прогресс в области радиолокации [61], технической и медицинской диагностики, связи, астрономии закономерно связывают с внедрением алгоритмов, устройств и систем цифровой обработки сигналов. Преимущества цифровых методов перед аналоговыми реализуются в рамках теории цифровой обработки сигналов, представленной, например, в работах [62, 63]. Еше в [64] отмечалось, что повышение точности выполнения операций в цифровых устройствах является задачей организации алгоритмов вычислений, которая ждет теоретических и прикладных решений. С тех пор в решении данной проблемы наметился ряд новых направлений. Одним из перспективных направлений стало использование операндов переменной длины в рамках нейросетевых структур спецпроцессоров сигналов [65, 66].
Анализ рынка электронных компонентов показывает постоянный рост спроса на цифровые процессоры сигналов со специализированной структурой, основанной на систолических и волновых матрицах [57]. Производители чипов как разработчики аппаратуры ЦОС стоят перед выбором; повышать быстродействие и точность (число разрядов) цифровых процессоров обработки сигналов (ЦПОС) универсальной структуры или совершенствовать организацию вычислений, т.е. алгоритмы обработки сигналов в больших интегральных схемах (БИС) специализированной систолической структуры [57, 67]. Ряд результатов настоящего исследования направлен в более перспективном, на наш взгляд, втором направлении, позволяющем достичь эквивалентного вычислительного эффекта при значительно меньших затратах. Одной из проблем, требующей решения на настоящем этапе развития теории и техники цифровой обработки радиотехнической информации, является создание в условиях противоречивых требований таких алгоритмов, которые позволяют:
• получать качественные оценки СПМ по коротким выборочным данным случайного процесса;
• создавать имитационные модели процессов со спектральными характеристиками, соответствующими процессу-оригиналу;
• строить на основе моделей одноканальные и многоканальные устройства цифрового спектрального анализа сигналов, отличающиеся высокой вычислительной эффективностью в прикладных радиотехнических задачах.
Построение контрольного спектра (модели)
В работе предлагается более продуктивный, на наш взгляд, подход, связанный с понятием "контрольный спектр 1 (КС), при котором процессы генерации рабочей модели и сравнения ее с контрольной моделью (контрольным спектром) могут быть объединены двухэтапной процедурой [78, 79, 80].
Особенность предлагаемой процедуры состоит в том, что контрольная модель формируется из самой обрабатываемой последовательности. В этом случае параметрическая модель, порядок которой равен длине автокорреляционной последовательности, выступает в качестве "парадигмы" исследуемого процесса, контрольный спектр содержит всю информацию о выборке в виде адаптированном как к реальному сигналу, так и к параметрической авторегрессионной модели. Выбор порядка и параметров рабочей модели также оказываются адаптированными к реальному сигналу [81, 82]. Важным является и то, что оценка погрешности при подгонке рабочей модели прово 34 дится в частотной области, что гарантирует "подобность" спектров сравниваемых процессов и более полно соответствует идее спектрального оценивания. "Платой" за положительные качества процедуры синтеза является повышение вычислительной сложности и опасность появления ложных спектральных составляющих вследствие "переопределенности" модели.
Исследуем класс задач при использовании параметрических моделей авторегрессии и скользящего среднего. Математической основой параметрических АР- и АРСС-моделей и основанных на них методов обработки является аппарат стохастических дифференциальных уравнений, близкий к методам динамической обработки сигналов в пространстве состояний. Динамические модели позволяют синтезировать оптимальные линейные и нелинейные фильтры, в том числе адаптивные, для обработки стационарных и нестационарных сигналов, которые также весьма критичны как к яыбору общего порядка, так и порядка каждой из составляющих (АР и СС). Завышение порядка приводит к "переопределенной" АР-модели и возрастанию ошибок моделирования [83], а занижение - к чрезмерно сглаженным спектрам и потере разрешения спектральных линий.
Процедуру оптимизации модели можно разбить на два этапа; 1) построение контрольного спектра; 2) сравнительный количественный анализ контрольного спектра и спектральных характеристик синтезируемой АРСС-модели [4].
Введение процедуры оптимизации и требования к адекватности модели сопряжены с задачей построения контрольного спектра, который может быть получен на основе аналитического расчета истинного спектра [1], либо синтезирован из экспериментальных данных [81].
Как уже отмечалось, спектральное оценивание на основе выборочных данных при ограниченной статистике затруднено. В практических задачах имеется лишь набор коротких реализаций, по которым нельзя получить исчерпывающее статистическое описание процесса- Эта информация обычно имеет общий неформализованный характер- В этом случае предлагается определять контрольный спектр как АРСС-модель большого (предельно возможного, ограниченного лишь выборкой процесса) порядка п=рл-ц без учета ограничений вычислительного характера [84, 85]. При наличии априорной информации о физических свойствах источников исследуемых сигналов контрольный спектр может быть задан априорно, АРСС-модель описывается линейно-разностным уравнением: Х(0--І ;)Х(/-7)+І6О ( -У)-ІМУ (/-;), (2.1) ;=і ;=о j=n где u{j) - входная возбуждающая последовательность; a{j), b(j), h(j) - коэффициенты полиномов А(2), B(z), H{z) (соответственно), которые имеют вид: .4(z) = i + i o - ; S(z) = ] + i4v ; //(Z) = I + M./)2- . j = \ j = \ j-\ Возбуждающая последовательность u(j) является белым шумом с нулевым средним и дисперсией g [1], Коэффициенты полинома A{z), представляющие собой АР-параметры АРСС-модели, можно найти, решая нормальное уравнение Юла-Уолкера для АРСС-процесса: й(1) r(«? + 1) а{2) = — r(q + 2) Р) r(q + р) r(q) r(q-])- r( ?-/?) + ] rfa + 1) r(q) r(q-p) + 2 ЛЯ + /7)-1 r(q + p) - 2 - r{q) где r(J) - коэффициенты автокорреляционной последовательности исследуемого процесса.
Значения параметров скользящего среднего АРСС-модсли, представляющие собой коэффициенты полинома S(z), не являются решением линейной системы уравнений. Поэтому для моделирования часто используют авторегрессионную модель, полагая q 0. При этом АР-параметры могут быть получены путем решения нормального уравнения Юла-Уолкера:
Перераспределение дисперсий АР- и СС-составляющих
Ввиду кубичной зависимости соответствующей производной целевой функции от искомой переменной целесообразно находить минимум по вели-чинену при помощи численных методов поиска экстремума [89].
Проанализируем нормированные спектры одномодального эхо-сигнала с гауссовской огибающей энергетического спектра, эффективной шириной dFT=0,\ и Я=10" . Параметры контрольной модели г=15, 5=0. Порядки АР- и СС-составляющих неоптимизированной рабочей модели (х 1, у=\) - р— 1, #=2. Пересчет СС-параметров рабочих моделей проведен через аппроксимирующую ЛР-модель второго порядка (т-2). Оптимизированная модель (л"=2т7; у=0 9) построена на базе АРСС с теми же параметрами р, q, т, что и неоптимизированная. Анализ показывает, что нормированное СКО спектров рабочей и контрольной моделей составляет величину 1,47 10"", а оптимизированная рабочая модель уменьшает ошибку по критерию (3.2) в 3,3 раза до 4,4] 10 3,
В случае двухмодовой радиолокационной помехи за счет воздействия стационарного (подстилающая поверхность) и подвижного (гидрометеор) протяженных мешающих объектов, удается получить выигрыш в 1,5...2 раза а СКО по сравнению с аналогичной неоптимизированной рабочей моделью. В таблице 3.4 приведены результаты АРСС-моделирования с параметрами р-2, q=2t т-2 двухмодовой помехи. При этом первая узкополосная мода с относительной шириной с!Р\Т=0,05 и относительной скоростью F\T=0 имитирует радиоотражения от статических мешающих объектов, вторая, более широкополосная (dFjT-O l) спектральная мода отображает неоднородные отражения от подвижных мешающих объектов со средней относительной скоростью FjT-0,25. Относительные мощности мод приняты равными, огибающие спектров мод гауссовскими, Д=10" .
Небольшие различия оптимальной величины у при одномерной {у) и двумерной (х у) оптимизации характерны, как показали статистические эксперименты, для моделирования типичных радииотражений (см. таблицу 3.4). Это подтверждает возможность сведения двумерной оптимизации к двум одномерным задачам.
Таким образом, предложенный подход к оптимизации АРСС-моделей лает возможность улучшить адекватность математического описания стохастических сигналов. Так, при моделировании эхо-сигналов удается улучшить качество моделирования в 1,5...3 раза по критерию (3.2) за счет оптимального перераспределения дисперсий АР- и СС-составляющих рабочей модели.
В данном разделе рассматриваются примеры оптимизации моделей авторегрессии-скользяшего среднего многокомпонентных радиоотражений. Проведена опитмизация порядков с одновременным перераспределением дисперсии авторегрессионной и скользящего среднего составляющих рабочей модели. Проводится анализ эффективности предлагаемого метода оптимизации и оценка достигаемых выигрышей в вычислительных затратах.
Как отмечалось в разделе 1, наиболее широко используемые при синтезе и анализе систем цифровой обработки сигналов имитационные модели локационных сигналов основаны на алгоритме скользящего среднего, что приводит к завышенному порядку моделирующего фильтра и малоэффективному описанию радиоотражений с полимодальным спектром. Избежать избыточных вычислительных затрат позволяет применение АРСС-моделей, кото-рые открывают широкие возможности минимизации вычислительной сложности алгоритмов моделирования реальных сигналов, имеющих сложный спектр [90].
Полимодальные отражения характерны для бортовых и для некоторых типов наземных РЛС. т.к. на входе приемного устройства одновременно могут присутствовать в одном пространственном элементе разрешения отражения от нескольких мешающих и лоцируемых объектов [47]. При этом входной сигнал устройства межпериодной обработки радиолокационной системы (РЛС) удобно представить в виде /V-мерного вектора комплексных отсчетов x={x(0},npH/=0, 1,..., /V[18].
Рассмотрим два характерных примера построения рабочих АРСС-моделей радиоотражений.
Пример 1. В рассматриваемом объеме пространства наблюдаются два мешающих объекта: 1) подстилающая поверхность; 2) гидрометеоры с низкой турбулентностью. Ввиду однородности внутренней структуры мешающих объектов, суммарный спектр содержит две составляющие, соотношение мощностей которых равно 0,5, а параметры мод: F7=0; F2T=0i\5\ dF\T=0,03; dF2T=0,Q5; для первой моды а-0,95, а для второй - 0,9. В отсутствие специально организованной шумовой активной помехи отношение мощностей коррелированной и некоррелированной составляющих мешающего процесса принято А \0
Оптимизация авторегрессионных моделей с неравномерной шкалой квантования коэффициентов
Рассмотренные в предыдущих разделах варианты обнуления малых по модулю коэффициентов АР не исчерпывают возможностей экономии вычислительных ресурсов для хранения (передачи) параметров рабочей модели. Ниже предлагается использование неравномерной шкалы квантования коэффициентов, что в итоге обеспечивает более точное представление АР-коэффициентов, имеющих больший коэффициент влияния на СПМ и их менее точное представление при меньшем коэффициенте влияния. Предлагается методика компенсации ошибки, вызываемой округлением части коэффициентов рабочей модели, позволяющая сохранить ее качество при существенном снижении вычислительных затрат на моделирование. В традиционной структуре построения процессора сигналов использование неравномерной шкалы квантования не дает преимуществ в скорости выполнения операций. Однако, использование процессоров с нейросетевой структурой (например NM6403 разработки НТЦ «Модуль») позволяет при неравномерной шкале квантования повысить быстродействие выполнения операций фильтрации [66, 100].
Линейные АРСС-модели могут быть непосредственно применены в различных системах передачи информации либо в системах, связанных с построением сверхразрешающих спектральных оценок, благодаря высокому качеству, обеспечиваемому при многоразрядном представлении коэффициентов модели. Однако, как уже отмечалось, это требует значительных аппаратурных и вычислительных затрат. Для их сокращения в разделах 4Л, 4.2 предлагалось обнуление части наименьших по модулю коэффициентов моделирующего фильтра и последующий пересчет возникающих ошибок в ос тавшиеся ненулевые коэффициенты. В развитие данного подхода используем неравномерную шкалу квантования коэффициентов рабочей модели. Наиболее просто ввести две шкалы квантования значений модуля коэффициентов5 представленные % и к«х разрядами: точную - для критичной к качеству модели части коэффициентов и грубую - для остальных коэффициентов моделирующего фильтра. Последовательность решения задачи следующая: разделение коэффициентов модели на две группы, выбор параметров квантования, компенсация ошибок грубого квантования методом коррекции коэффициентов более точного квантования.
Наиболее эффективно определять подлежащие грубому квантованию коэффициенты, предварительно минимизируя абсолютную погрешность квантования є. Последняя при использовании арифметики с округлением результата удовлетворяет условию: е - -Л 2 (Л 1 , где А - шаг квантования, к -число разрядов при грубом квантовании коэффициентов. Предварительная минимизация погрешности обеспечивается тем, что грубо квантуются только те коэффициенты а(Д b(J)t для которых ошибка округления не превышает пороговой величины 0Д2 к т:1Х, где (9=0,..0,5 - вспомогательный параметр квантования, определяющий максимально допустимую ошибку округления.
Рассмотрим метод компенсации ошибки округления на примере модели скользящего среднего (СС). Операция округления сводится к тому, что исходный вектор СС-параметров b представляется как сумма вектора Ь0, часть компонент которого округленная, и вектора погрешности еГ: b=b0+en, гд элементы вектора єп являются ошибками округления коэффициентов исходного вектора Ь, Вектор БП определяет погрешность в оценке комплексного спектра модели sr=Fsn, где F-матрица преобразования Фурье с элементами; FQ\l)=exp{-\2KJl/L}, /=0.../,-1,/=0---9, " число вычисляемых отсчетов спектра, а - размерность оптимизируемого вектора коэффициентов.
Пересчет ошибки s заключается в отыскании компенсирующего вектора г\ дающего оценку спектра s s близкую к st. Вектор е, формируется с учетом того, что его элементы с номерами, соответствующими округленным коэффициентам, равны нулю. Введем L-мерный всктор-столбец невязок, характеризующий неточность компенсации ошибки округления, проявляющейся в искажении спектра модели: e=Fen-Fe , что формально можно записать как: s-s-Fe1. (4.16)
Критерий качества на основе (4Л 6) сводится к уменьшению квадрата нормы вектора невязок: н- ШІП , (4Л7) Е Экстремум целевой функции (4Л 7) с учетом (4Л 6) является решением системы нормальных уравнений [56]: oPt=(FHF)- FHs или, с учетом ортогональности векторов, составляющих матрицу преобразования Фурье: E upl=A:FHsft (4Л8) где к - нормирующий множитель, равный 1/L,
Решение (4.18) должно быть получено при условии сохранения нулевых элементов вектора є , соответствующих округленным коэффициентам вектора Ь. Выполнить это условие можно используя стробирующее свойство нулей, заключающееся в том, что нулевые элементы вектора є не вносят вклада в результирующий комплексный спектр sf =Fe\
Модификация метода Кейпона для оценки спектрального динамического диапазона
Разработанные в предыдущих разделах методы модельного описания многомодовых процессов позволяют повысить эффективность решения задач структурного и параметрического синтеза многоканальных (спектральных) алгоритмов и устройств обработки сигналов, обеспечивая редукцию поступающих данных в параметры системы обработки- В работе [25] описаны алгоритмы оптимальной обработки сигналов и применение методов АР-моделирования, статистики Кейпона и алгоритма Хаккета. Задача оптимизации объема выборки при оценке корреляционных матриц, используемых для расчета весовых коэффициентов системы обработки сигналов, рассматривалась в [138]. Она возникает, например, при ограниченном времени обработки. Используются максимально правдоподобные оценки корреляционных матриц и оптимизируется число элементов усреднения. В [139] синтезирован алгоритм многоканальной по скорости обработки, использующей информацию о межпериодной корреляционной матрице помех на выходе детектора. В [140] -Я-Д. Ширманом проведен сравнительный анализ эффективности различных методов обработки. Описывается история развития статистической теории разрешения, техники сжатия радиоимпульсов, корреляционной автокомпенсации помех, сверхширокополосной радиолокации и быстрого спектрального анализа. Отмечена неадекватность априорных предположений, используемых в цифровом спектральном анализе (ЦСА), указывается, что отрыв от локационных критериев оптимизации и оценок потенциальных возможностей приводит к ложным спектральным выбросам. Чрезмерная оргого-нализация обработки, в частности алгоритма MUSIC, справедлива только при больших отношениях сигнал-шум. Ставится задача адаптировать методы ЦСА к задачам радиолокации [141]. Материал данного раздела также отражает исследования в этом направлении.
Использование локационных критериев при постановке задачи обна ружепия сигнала целесообразно начинать на этапе обобщения уравнения дальности обнаружения. Для этого ниже сформулированы критерии синтеза и определены структурные особенности многоканальных фильтров, решающих задачу первичной обработки локационных сигналов. Проведен анализ характеристик МФ и влияние на них параметров обрабатываемых сигналов. Проведена оптимизация числа и расстановки каналов МФ БПФ и многоканальных режекторных фильтров по энергетическому критерию- Показано, что снижение точности оценки частоты сигнала в МФ может быть скомпенсировано применением интерполяционных алгоритмов оценки частоты. Синтезированы и проанализированы СС-фильтры параллельной систолической структуры. При заданных ограничениях синтезированы квазиоптимальные алгоритмы и упрощенные алгоритмы, базирующиеся на БПФ с предварительным взвешиванием входной выборки. Развиты методы синтеза МФ. Предложена модификация метода Кейпона, решающая задачу оценки спектрального динамического диапазона обрабатываемого сигнала. Синтезированы и проанализированы режекторные фильтры многоканальной, параллельной и систолической структуры.
Конечной целью доплеровской фильтрации сигналов является обеспечение заданных характеристик обнаружения конечной выборки сигнала. Методика выбора технических характеристик РЛС является одним из средств оптимизации ее параметров [47, 142]. В то же время известные формы уравнения дальности обнаружения не полностью учитывают статистических параметров сигналов и помех или их моделей. Обеспечение необходимой дальности действия РЛС может быть достигнуто различными способами [143], в зависимости от выбора варьируемых параметров, входящих в основное уравнение радиолокации (уравнения дальности обнаружения). Основные системные параметры комплекса радиозондирования взаимосвязаны. Использова ниє известных методик для достижения приемлемых характеристик вынуждает производить многократный пересчет уравнения дальности обнаружения при различных исходных данных [144, 145, 146]. Тем самым разработчик в неформализованном виде пытается провести сравнительный анализ различных вариантов решения. Кроме того, уравнение дальности обнаружения ориентировано на предельный энергетический баланс параметров передающей и приемной систем и не учитывает влияния помех, реально ограничивающих дальность действия РЛС [147, 148, 149]. Влияние мешающих отражений переносится на последующие этапы расчета (синтез системы обработки), что противоречит принципам системного подхода к проектированию [150].
Введем дополнительные параметры в расчетные соотношения [47] и получим обобщенные выражения уравнения дальности обнаружения, учитывающие в модельном виде свойства коррелированных (пассивных) и некоррелированных помех.
