Содержание к диссертации
Введение
2. Сравнительный анализ схем ГЗА
2.1 Классификация схем построения ГЗА
2.2 ГЗА для одномерного сканирования
2.3 Схемы ГЗА с параболическим цилиндром
2.4 ГЗА на основе фокусатора, двухзеркалыше схемы
2.5 Эффективность использования зеркала в одиозеркальных
2.6 Выводы по разделу 2
3. ГЗА на основе рефлектора фокусатора
3.1 Лучевая структура поля с фокальной линией. Уравнение поверхности фокусатора
3.2 Варианты схем ГЗА на основе зеркала-фокусатора
3.3 Оптимальный фокусатор. Синтез ГЗА с фокусатором на основе геометрической оптики
3.4 Характеристики излучения ГЗА с фокусатором. Симметричная схема
3.5 Эксперимент
3.6 ГЗА с модифицированным фокусатором
4. Алгоритм синтеза рефлекторов зеркальных антенн с контурными диаграммами направленности
4.1 Общие замечания
4.2 Сплайновый метод параметризации рефлектора
4.3 Формирование модели требуемой КДН
4.4 Нелинейный метод наименьших квадратов
4.5 Стратегия синтеза
4.6 Вычисление градиента диаграммы 58
4.7 Минимаксная оптимизация 60
4.8 Пример. Синтез КДН России 63
5. Число степеней свободы в задаче синтеза КДН и способ быстрой аппроксимации диаграммы 70
5.7 Постановка задачи 70
5.2 Число степеней свободы в задаче синтеза контурной диаграммы направленности
5.3 Статистический анализ поля антенны в дальней зоне 78
5.4 Практический алгоритм 82
5.5 Примеры использования метода быстрой аппроксимации 84
6. Ограничения на КИП однозеркальных ГЗА 91
6.1 Минимальное количество управляемых элементов. Формализм подсчета числа степеней свободы 92
6.2 Число независимых лучей однозеркальной ГЗА 94
7. Синтез ГЗА с использованием алгоритма формироания профилированного рефлектора 96
7.1 Метод наименьших квадратов 96
7.2 Минимаксная оптимизация 97
7.3 Пример 1. ГЗА с одномерным прямолинейным сектором сканирования 100
7.4 Пример 2. ГЗА с криволинейным сектором сканирования 111
Заключение 115
Приложение
- ГЗА для одномерного сканирования
- Варианты схем ГЗА на основе зеркала-фокусатора
- Нелинейный метод наименьших квадратов
- Число степеней свободы в задаче синтеза контурной диаграммы направленности
Введение к работе
История создания радиосистем, в которых используется электрическое перемещение луча, насчитывает более полувека. За эти десятилетия разработано большое число систем, как радиолокационных, так и связных, в которых используются станции с широким сектором обзора на основе многоэлсментных фазированных антенных решеток. Однако ввиду высокой стоимости многоэлементных ФАР для решения ряда практических задач созданы и используются также и станции с электрическим сканированием в ограниченном секторе, в которых применяются более дешевые антенны с меньшим количеством управляемых элементов.
Одним из типов антенн, обеспечивающих электрическое сканирование (или формирование связки лучей) в ограниченном секторе углов, являются гибридные антенны. В них соединены оптическое устройство, формирующее луч, и облучатель в виде фазированной решетки, позволяющий осуществлять электрическое сканирование. В случае, когда в качестве оптического устройства используется зеркало, система называется гибридной зеркальной антенной (ГЗА). При этом, применение собирающего зеркала позволяет увеличить КУ антенны, но ограничивает сектор сканирования.
Рис. 1.0.1 ГЗА с параболическим зеркалом
Хорошо изученной является ГЗА, схема которой показана на Рис. 1.0.1. Ее рефлектор — параболическое зеркало. Облучатель — двумерная фазированная антенная решетка (ФАР), немного смещенная из фокуса в сторону рефлектора. Подобная система позволяет сканировать в двух плоскостях.
Однако, в ряде радиосистем достаточно использовать сканирование только в одной плоскости. Использование двумерной решетки в данном случае является избыточным.
В качестве примеров систем с одномерным сканированием можно указать следующие.
Системы связи через искусственный спутник Земли, находящийся на геосинхронной орбите. Эта орбита наклонена под малым углом по отношению к геостационарной. Для
сопровождения такого спутника достаточно сканирование только в одной плоскости (в секторе порядка 7-10).
Автомобильный радар. Для контроля обстановки на дороге важным является сканирование в горизонтальной плоскости. Уклон дороги можно компенсировать шириной луча.
Радар бокового обзора. Наблюдение ведется перпендикулярно направлению движения. При этом, важна еще возможность изменения ширины луча антенны.
Геостационарный спутник-ретранслятор с многолучевой антенной для обслуживания территорий, имеющих вытянутую форму, например — России.
±в.
Одним из стандартных решений в случае
одномерного сканирования является
использование ГЗЛ с параболическим цилиндром
(см. Рис. 1.0.2). При этом, облучателем является
линейная (а не двумерная) ФАР, расположенная
на фокальной линии цилиндра. Такой подход
Рис. 1.0.2 ГЗЛ с параболическим позволяет снизить количество элементов, по
цилиндром сравнению с плоской решеткой.
Однако в такой схеме ГЗА размер облучающей решетки практически совпадает
с размером зеркала, т.е. является громоздким. При использовании обычных
широконаправленных излучателей (с фазовращателями в каждом канале), решетка
содержит намного больше управляющих элементов, чем это требуется для
сканирования в заданном секторе.
Целью настоящей
работы является построение
ГЗА, облучатель которой —
линейная ФАР — имеет
длину, в несколько раз
меньшею, чем размер зеркала
Рис. 1.0.3 Схема ГЗА (см. Рис. 1.0.3). Такая антенна
позволяет осуществлять сканирование в одной плоскости в ограниченном секторе
углов. При этом, из-за меньшего размера решетки, она содержит меньшее число
излучателей (чем соответствующая система с параболическим цилиндром). Это позволяет снизить стоимость всей системы.
Ключевым для построения таких ГЗА является выбор поверхности рефлектора.
В первой части работы, содержащейся в разделах 2 и 3, для синтеза поверхности используется подход геометрической оптики (ГО) (см. Рис. 1.0.4). При этом, рефлектор представляет собой фокусатор[3] — зеркало, фокусирующее падающую на нее плоскую волну в фокальную линию в несколько раз меньшую, чем размер зеркала.
Рис. 1.0.4 Фокусатор
Во второй части, отраженной в разделах с 4 по 7, для формирования рефлектора ГЗЛ используется алгоритм синтеза контурных диаграмм направленности (КДН). При этом, в качестве контурной рассматривается диаграмма, постоянная в секторе сканирования, и равная нулю вне него. Зеркало синтезируется таким образом, чтобы парциальная диаграмма каждого элемента решетки совпадала с требуемой контурной диаграммой.
Основные положения, выносимые на защиту
Рассмотрена задача синтеза гибридных зеркальных антенн для радиосистем, сканирующих в одной плоскости в ограниченном секторе углов. Предложено использовать в качестве рефлекторов таких ГЗЛ зеркала специальной формы — фокусаторы. Такие рефлекторы, обладая двойной кривизной, фокусируют падающее на них излучение в линию меньших размеров, чем само зеркало. Это дает возможность использовать в качестве облучателя линейную антенную решетку малых размеров с небольшим количеством управляемых элементов.
Описан метод выбора параметров схемы ГЗА с фокусатором. Данный метод позволяет при заданных КУ и размере облучающей решетки максимизировать сектор сканирования (с точки зрения ГО).
3) Разработан алгоритм синтеза рефлекторов зеркальных антенн, формирующих
контурную диаграмму направленности(КДН). Алгоритм построен на основе методов
численной оптимизации; его особенности заключаются в следующем:
а) предложено в качестве параметров оптимизации использовать узлы двумерного
кубического сплайна, описывающего поверхность рефлектора;
б) чтобы уменьшить зависимость конечной синтезируемой КДН от начальных
условий (уменьшить вероятность попадания в локальный экстремум) предложено
использовать стратегию синтеза, которая заключается в последовательном
увеличении числа параметров синтеза, и последовательном переходе от более
устойчивого (но менее эффективного) алгоритма наименьших квадратов к более
эффективному (но менее устойчивому) методу минимаксной оптимизации;
в) предложен метод расчета градиента диаграммы по параметрам оптимизации,
существенно сокращающий время вычисления по сравнению с обычным методом
конечных разностей;
г) для уменьшения времени синтеза КДН предложен метод быстрой
аппроксимации ДН зеркальной антенны, сочетающий в себе аппроксимацию по
теореме Котельникова и статистические методы синтеза нейронных сетей.
Предложено использовать в качестве рефлекторов ГЗА зеркала, формирующие контурные парциальные диаграммы направленности, главные лепестки которых покрывают заданный сектор сканирования. Показано, что ГЗА, построенная по такой схеме, имеет больший сектор сканирования, чем ГЗА с фокусатором. Дополнительно рассмотрена возможность использования той же ГЗА для сканирования в криволинейном секторе. Данная возможность достигается за счет небольшого изменения поверхности рефлектора.
Рассмотрены ограничения на КИП однозеркальных ГЗА. Получено следующее асимптотическое соотношение
КИП < A/SQ, где А — площадь облучающей антенной решетки, So — площадь зоны зеркала, формирующей луч в секторе сканирования.
Внедрение
Работа является частью научных и инженерных исследований, проводимых АО "РАДИОФИЗИКА" в области создания систем связи и радиолокации с гибридными антеннами и антеннами с контурными диаграммами направленности. Результаты работы были использованы в следующих НИР:
при разработке радиолокатора космического базирования с синтезированной апертурой для мониторинга Земли;
при проектировании спутника ретранслятора Ku-диапазона с КДН на основе профилированного рефлектора для обслуживания территории Южной Кореи;
при разработке автомобильного радиолокатора,
при разработке станции спутниковой связи с гибридной антенной, устанавливаемой на транспортных средствах.
Публикации по теме диссертации
I. L. Vilenko, A. S. Reutov, А. V. Shishlov, "On synthesis of reflector antennas for focusing or scanning in one plane", Proceedings of the XXVIII Moscow International Conference on Antenna Theory and Technology. Moscow, Russia, 22-24 September 1998, pp. 376-379.
A. S. Reutov, A. V. Shishlov, "Focuser-based hybrid antennas for one-dimensional beam steering", Proceedings of 2000 IEEE International Conference on Phased Array Systems & Technology. Dana Point, California, May 21-25, 2000, pp. 411-414.
А. С. Реутов, А. В. Шишлов, "Гибридные зеркальные антенны на основе фокусаторов для сканирования в одной плоскости", Труды LV научной сессии, посвященной Дню Радио, "Радиотехника, электроника и связь на рубеже тысячелетия". Москва 2000, ее. 72-73.
А. С. Реутов, А. В. Шишлов, "Синтез поверхности рефлектора гибридной зеркальной антенны методом формирования контурных парциальных диаграмм для элементов облучающей решетки", Труды молодежной научно-технической конференции "Радиолокация и связь - перспективные технологии". Москва, 14-16 декабря 2001 г., ее. 40-42.
5. А. С. Реутов, А. В. Шишлов, "Особенности поэтапного синтеза рефлекторов
зеркальных антенн с контурными диаграммами направленности, с использованием
стайпового представления поверхности зеркала", Электромагнитные волны и электронные системы, № 2,2003 г., ее. 4-14.
A. S. Reutov, А. V. Shishlov, "Hybrid antennas with shaped re/Jectors for limited beam steering", Proceedings of IV International Conference on Antenna Theory and Techniques, Sevastopol, Ukraine, September 9-12, 2003, pp. 264-267.
А. С. Реутов, А. В. Шишлов, "Метод быстрой аппроксимации диаграммы направленности зеркальной антенны на основе конечного числа отсчетов, используемый в алгоритме синтеза контурных диаграмм ", Электромагнитные волны и электронные системы (в печати, 15 стр).
Апробация
Основные результаты работы докладывались на следующих семинарах и
конференциях:
научно-техническая конференция МФТИ, 2001;
молодежная научно-техническая конференция "Радиолокация и связь -перспективные технологии", Москва, 2002;
семинар общества Попова, ИРЭ, Москва, 2 апреля 2002;
международный семинар, "Квазиоптика и СВЧ электроника", Харьков, 6-7 июня, 2002.
2. Сравнительный анализ схем ГЗА
ГЗА для одномерного сканирования
Для уменьшения фазовых ошибок и, тем самым, расширения сектора сканирования возможны два подхода.
Первый — растянуть систему в плоскости сканирования (см. Рис. 2.3.1 в) и сделать точку фокусировки зеркала не точкой, а линией. В результате зеркало станет фокусатором, а облучатель — линейной решеткой. Анализу таких систем и посвящена данная работа.
Второй подход состоит в использовании вспомогательного зеркала (см. Рис.2.3.1 г). Известны схемы ГЗА, в которых для отклоненных лучей строится контррефлектор, компенсирующий фазовые искажения на большом зеркале[8]. Если несколько таких малых зеркал плавно сшить, то получится одно общее зеркало, компенсирующее фазовые искажения для различных положений облучателя. Антенна строиться по принципу многолучевой системы. Каждый излучатель облучает свою часть малого зеркала. Затем энергия переотражается на все большое зеркало. Таким образом, при сканировании "зайчик" бегает по малому зеркалу, а большое используется эффективно (КИП антенны порядка 50-60%). Известны схемы ГЗА, построенные по указанному выше принципу, в которых сектор отклонения луча составляет ±10 [9].
Аналогичный подход связан с использованием бифокальных антенн[ 18-20]. При этом, два фокуса соответствуют двум крайним направлениям сканирования. Промежуточному положению облучателя соответствует промежуточное положение луча.
Применение таких двухзеркальных ГЗА целесообразно в том случае, когда требуется не столько сканирование в одной плоскости, сколько одновременное формирование нескольких лучей (но не всех независимых лучей в секторе сканирования), или сканирование одним облучателем, за счет его механического перемещения[9].
Кроме того, сектор сканирования в двухзеркальных схемах не может быть произвольно большим.
В однозеркальных схемах такого ограничения нет. В ГЗА с параболическим цилиндром сектор сканирования может быть достаточно большим. Сам параболический цилиндр является вырожденным фокусатором. Поэтому не ограничен сектор сканирования и у ГЗА с фокусатором. При этом удобство использования последнего в качестве рефлектора ГЗА заключается в том, что он обладает достаточно большим числом степеней свободы. В двух крайних случаях, когда фокальная линия равна нулю или всему зеркалу, мы получаем симметричный параболоид и параболический цилиндр. В первом случае облучатель очень маленький, но сектор сканирования мал из-за фазовых ошибок. Во втором, пет никаких фазовых ошибок, сектор сканирования может быть любым, но большая решетка, практически равная размеру зеркала. Варьируя длину фокальной линии у фокусатора, можно получить все промежуточные состояния, и выбрать то, при котором сектор сканирования еще достаточно большой, а решетка приемлемо маленькая. Подробно способ выбора параметров описан в разделе 3.3.
Следует сказать так же несколько слов об эффективности использования поверхности зеркала в однозеркальных схемах ГЗЛ. При фиксированном размере облучающей решетки, есть некоторые ограничения на минимальный размер зеркала для того, чтобы сканировать данным лучом в заданном секторе.
Поле на поверхности рефлектора ГЗА формируется небольшой облучающей решеткой (имеет финитный спектр). Кроме того, сам рефлектор ограничен по своим размерам. В результате, на зеркале существует конечное число функций (возбуждений), которые могут эффективно переносить энергию. Это количество примерно равно числу отсчетов по теореме Котельникова, помещающихся на поверхности рефлектора. Именно столько независимых лучей и может сформировать ГЗА в дальней зоне, в секторе сканирования.
Сделаем соответствующие оценки (см. Рис. 2.5.1 а). Для простоты считаем, что зеркало находится в дальней зоне облучателя. Размер телесного угла луча решетки составляет ДО_3 = Я/dx A/dy = Я2/А, где dxdy = А — площадь решетки. Телесный угол, под которым видно зеркало из точки на решетке — S/L2, где L — среднее расстояние между решеткой и зеркалом. Число следов от лучей (отсчетов по теореме Котельникова), помещающихся на рефлекторе N = (S/L2)/(Z2/A)=A.S/(X-L)2. (2.5.1)
Именно столько независимых функций возбуждения имеется на рефлекторе, способных эффективно переносить энергию. Следовательно, столько же независимых лучей формирует ГЗА в секторе сканирования.
Предположим теперь, что система может сформировать полный набор Nbeam ортогональных лучей в секторе сканирования (это не всегда имеет место). Тогда
Рассмотрим предельный случай, когда в качестве рефлектора используется плоскость (см. Рис. 2.5.1 б). Тогда решетка имеет такой размер, который требуется для формирования заданного луча. Обозначим площадь такой решетки через 50.
Предположим, параметры антенны выбраны таким образом, что система имеет то же среднее расстояние L между решеткой и зеркалом, и тот же сектор сканирования.
Варианты схем ГЗА на основе зеркала-фокусатора
Параметр cty , определяющий размер фокальной линии для всего рефлектора, выбирается следующим образом (см. Рис. 3.3.1 б). Если начать монотонно увеличивать ох от 1 до ос, то сначала максимальный угол сканирования 0S возрастает (Рис. 3.3.1 б случай 1), затем достигнет некоторого максимума (Рис. 3.3.16 случай 2), и далее уменьшается (Рис. 3.3.1 б случай 3). В последнем случае, как легко понять, на фокальной линии при максимальном угле сканирования формируется двухлучевое поле, которое нельзя эффективно реализовать с помощью фазового управления в решетке. Оптимальным называем такой фокусатор, у которого (при заданных соо и L ) параметр о обеспечивает максимум угла сканирования. Зависимость таким образом выбранного &к от соон L обозначим как ак =ak[co0,L). Все остальные параметры центрального сечения схемы ГЗЛ на Рис. 3.3.1. а определяются следующем образом 5 = ( = 0-4, = 0), d = 2ak,d0 =2. Функция уі.;К{ т,ч/) описывается уравнением (3.2.4).
Построенную таким образом систему и будем называть оптимальным фокусатором Foe"1" [со0, L). Пусть теперь требуется синтезировать ГЗА с шириной луча Д0_3. Для этого, переиормируем размеры системы. Коэффициентом подобия определим из соотношения для ширины луча л п л Л Д0, «— = — . (3 3 1) В результате, параметры системы следующие: D = f D, D0 = , D0,d = -d,d0= -d0. Шаг элементов облучающей решетки выбирается из условия отсутствия дифракционных порядков в области видимых углов при сканировании: de =A/(l + cos ymax), количество элементов в решетке Ne=d0/de=%-d0/A-(l + coscoma;t). Минимальное число управляющих элементов Nmm=29jAe_i=2ejA-D0% (иногда минимальное число управляющих элементов определяют соотношением Nmn=2Os/A0,j + l, однако для наших целей удобно использовать приведенную выше формулу). Геометрооптическая оценка коэффициент использования управляющих элементов (Element Used Factor) EUF=Ne/Nmn =do/2Do0s-{\+coscomJ.
Отметим ряд ключевых характеристик получаемой антенной системы, которые определяются только Foc"pl (иначе, являются функцией только двух параметров co0,L), и не зависят от длины волны (следовательно, и от ширины луча): геометрический КИП D0/D = D0/D[Foc"r ), максимальный угол сканирования в, =es\Foc"p ), коэффициент использования управляющих элементов (геометрооптическая оценка) EUF = EUF(FOC"/").
Наличие всего двух свободных параметров, определяющих Foc"r означает еще и следующее. Из трех характеристик 0S, D0/D,EUF можно выбрать любые две, и через них выразить третью (сделать это, например, численно). Рассмотрим в качестве независимых параметров 0S и D0/D. Тогда Foc"r = Foc"r (0s,Do/D) И EUF = EUF( , D0/D). На Рис. 3.3.2 а) показан график зависимости EUF от D0/D при различных значениях угла сканирования 9S. С другой стороны угол сканирования 0S можно выразить как функцию параметров D0/D и EUF. Данная зависимость показана на Рис. 3.3.2 б).
Из рисунка видно, что используя большее зеркало (с меньшим КИПом), можно уменьшить количество излучателей в решетке и наоборот.
В каждом конкретном случае разработчик определяет приемлемый КИП антенны. Например, сравнивая стоимость единицы площади зеркала и отдельного излучателя, или исходя из допустимых габаритных размеров системы и т.д.
Выбрав таким образом приемлемое соотношение количества элементов и КИПа антенны (точку на графике зависимости EUF = EUF(D0/D) при заданном 0S) мы определяем всю систему.
Действительно, параметры Os,D0/D задают Foe" . Далее, для данной ширины луча Д0_3, по формуле (3.3.1) определяем коэффициент подобия . Нормируя на все параметры Foc"r , получаем требуемые параметры антенной системы. Синтез схемы ГЗЛ в плоскости, перпендикулярной плоскости сканирования, осуществляется следующим образом.
Нелинейный метод наименьших квадратов
Альтернативный подход (по сравнению с методами ГО) построения ГЗА заключается в использовании оптимизационных алгоритмов формирования профилированных рефлекторов с контурными диаграммами направленности (КДН).
При этом, сектор сканирования определяет требуемую КДН, постоянную внутри сектора и равную нулю вне него (см. Рис. 4.0.1). Каждый элемент решетки, облучая зеркало, формирует свою парциальную диаграмму направленности. Зеркало ГЗА оптимизируется таким образом, чтобы каждая парциальная диаграмма совпадала с требуемой КДН. По известной теореме[16,17], именно такой набор диаграмм обеспечивает минимальное количество управляемых элементов в решетке возбуждения.
Совпадение парциальных диаграмм с требуемой КДН может быть лишь приближенным. Указанный подход, по сути, определенным образом максимизирует КУ антенны внутри сектора сканирования.
В данном разделе описывается алгоритм синтеза поверхности рефлектора зеркальной антенны, формирующей требуемую контурную диаграмму. В дальнейшем данный алгоритм обобщается на случай многоэлементного облучателя, и используется для синтеза зеркала гибридной антенны, сканирующей в одной плоскости в ограниченном секторе углов.
Относительно синтеза зеркальных антенн с требуемой диаграммой направленности (ДН) следует сказать следующее. Вплоть до 70-х годов XX века подобные задачи решались, как правило, методами геометрической оптики [21-23]. В то же время активно развивалась общая теория синтеза антенн, учитывающая явление дифракции и позволяющая определить поле в апертуре по диаграмме излучения. Наиболее полно эта теория систематизирована в монографиях [25-28]. При этом вопросы реализации поля в апертуре, как правило, не рассматривались. И лишь в последние десятилетия, в связи с быстрым ростом производительности вычислительной техники, стал возможен синтез, обеспечивающий определение конструктивных параметров антенны. В случае зеркальных антенн это означает непосредственный синтез поверхности рефлектора, формирующего требуемую диаграмму направленности, с использованием численных оптимизационных алгоритмов.
У спутниковых антенн связи требуемая диаграмма направленности определяется зоной обслуживания на поверхности Земли. Так как последняя чаще всего имеет сложную контурную форму, то естественно возникает задача о формировании контурной диаграммы направленности (КДН), соответствующей требуемой зоне обслуживания. При этом, по сравнению с обычными круглыми и эллиптическими лучами, КДН позволяет: во-первых, увеличить коэффициент усиления антенны внутри заданного контура; во-вторых, увеличить развязку с другой областью [31,32]. При использовании зеркальных антенн формирование КДН можно выполнить посредством выбора подходящей профилированной поверхности рефлектора.
На данный момент существует несколько достаточно хорошо разработанных численных алгоритмов синтеза подобных рефлекторов [31,33-38]. При этом, особенности каждого алгоритма синтеза КДН существенно определяются методом представления диаграммы направленности зеркальной антенны. В ряде алгоритмов [33,34] исходная задача сводится к поиску фазового возбуждения в апертуре антенны. Эффективность подобного подхода основана на быстром вычислении диаграммы решетки с помощью БПФ.
В данной разделе описывается алгоритм синтеза рефлекторов, формирующих КДН, в котором за основу берется следующий метод расчета ДН зеркальных антенн. Используется модель физической оптики, причем поле антенны представляется в виде интеграла Кирхгофа от токов по поверхности зеркала. При этом, применяется триангуляция поверхности зеркала, а интегрирование производится методом Филона, с использованием линейного представления фазовой функции внутри каждого треугольника [39].
С точки зрения численного анализа, синтез контурной диаграммы направленности можно рассматривать как задачу нелинейной аппроксимации. Для того, чтобы иметь возможность изменять поверхность зеркала, вводится некоторое параметрическое описание рефлектора. Заданный контур зоны обслуживания определяет требуемую (идеальную) контурную диаграмму. Формирование КДН заключается в поиске таких параметров представления рефлектора, при которых диаграмма зеркала наилучшим образом приближает требуемую КДН. Наилучшая понимается в смысле минимизации нормы разности между двумя диаграммами в некотором нормированном пространстве.
В описываемом ниже алгоритме весь процесс синтеза КДН разделяется на два этапа. На первом этапе оптимизация проводиться в пространстве L.2 с естественной Евклидовой метрикой. С вычислительной точки зрения, это означает использование в качестве базового алгоритма оптимизации на этом этапе нелинейного метода наименьших квадратов. При этом стратегия синтеза будет состоять в последовательном увеличении степеней свободы рефлектора.
На втором этапе, после того, как мы "свалимся" в окрестность главного экстремума, целесообразно использовать более "тонкие" методы управления диаграммой. Оптимизацию производить в пространстве L„ с нормой, определяемой максимальным отклонением. При этом используется алгоритм минимаксной оптимизации, который существенно менее устойчив, чем алгоритм наименьших квадратов, но позволяет непосредственно задавать параметры контурной диаграммы.
Отличительной особенностью описываемого алгоритма синтеза КДН является то, что он содержит специальную процедуру расчета градиента диаграммы (вместо обычного метода конечных разностей). Данная процедура существенно опирается на физические особенности задачи. Ее использование значительно уменьшает время синтеза контурной диаграммы.
Число степеней свободы в задаче синтеза контурной диаграммы направленности
Вопрос о числе степеней свободы при синтезе контурных диаграмм непосредственно связан со свойствами функций, ограниченных как в пространственной, так и частотной областях. Для большей показательности изложения, мы рассмотрим вспомогательный одномерный пример из теории связи [46,48]. При этом ограниченность функции (сигнала) в пространственной области означает ограниченность во времени, а ограниченность в частотной области — финитный спектр Фурье. Далее, приведенная схема обобщается на интересующий нас двумерный случай диаграммы направленности зеркальной антенны. В данном случае, под функцией подразумевается ДН антенны, а ее финитный спектр соответствует полю в апертуре.
Итак, как известно, функция, имеющая конечный носитель в пространственной области, не может иметь финитный спектр, и наоборот. Тем не менее, многие практически важные функции эффективно ограниченны как пространственной, так и в частотной областях. Например, сигнал, передаваемый через некоторый канал связи. Его спектр ограничен полосой пропускания канала, и, кроме того, сам сигнал физически ограничен во времени. В связи с этим возникает вопрос: насколько хорошо функция может быть передана таким ограниченным по времени и частоте представлением?
Для ответа используем следующие построения[48]. Пусть Р и Рг два оператора ограничения по времени и по частоте, формально определяемые следующим образом РТ/(х) = fix) при х Т, и Рт/(х) = 0 при \х\ Т ,fYo)) = V{fYco) при Н / ,и F{P,.f}(co) = 0 при \о \ Fx (52Л) где F{ }{(о)—оператор преобразования Фурье.
Влияние канала связи на сигнал можно моделировать одновременным действием обоих операторов P,.PTf(x). То, насколько хорошо передаваемый сигнал приближает исходный, определяется выражением Ц -Л-УЦ /\f\ =( г /Л/ /)//1 Оно показывает долю энергии сигнала, которая теряется при прохождении через канал связи (в одномерном случае, под [, (,} понимается норма и скалярное произведение в
Гильбертовом пространстве 2( )) Собственные функции ц/п с Яп близкими к 1 эффективно переносят энергию через канал связи, а энергия, вложенная в остальные у/п — теряется. Это соответствует тому, что через данный канал за время 2Т эффективно можно передать лишь r = 2TFxln бит информации (иначе надо очень сильно увеличивать энергию сигнала). На самом деле, данный пример отражает тот факт, что область временного и частотного ограничения [-Г,Г]х[-/ ,/5]] соответствует 2TFxln степеням свободы.
Таким образом, существует r-2TFxlit (с точностью до ошибки, малой в сравнении с TFXIK) независимых функций, существенно ограниченных по времени [-7,74] и на полосе [- ,/ ]]. При этом, 2TFxln есть площадь [- ,7 (-/ ,/ ] в пространстве (время)х(частота), деленная на единичный фазовый объем 2л.
Рассмотрим теперь двумерную функцию, представляющую собой диаграмму направленности зеркальной антенны. Обозначим ближнее поле, формируемое антенной в плоскости апертуры, через е(р), где р = (х,у) — координаты в плоскости.
Поле антенны в дальней зоне (ДН антенны) как функцию обобщенных угловых координат р = (u,v) определим следующим образом Е(р) = )/Л \dp cxp{ikpp} е(р) = = \/Л \dx \dy ехр{ік(х и + у v)} е(х, у), -00 -ОО где к = 2п/Л — волновое число.
Нормировка выбрана так, чтобы интегрирование энергии в плоскости апертуры антенны соответствовало интегрированию в пространстве диаграмм, т.е. е(/?)( = J(/?)j. Далее в данном разделе и (у) (если не указывается специально) означают норму и скалярное произведение в двумерном пространстве L2\R2).
Полагаем, что ближнее поле е(р) отлично от нуля только в области апертуры антенны — двумерной области Ар. В качестве апертуры Ар можно выбрать проекцию зеркала на плоскость апертуры, или несколько большую область (чтобы учесть краевые эффекты[24]). В результате диаграмма антенны Е(р), определяемая формулой (5.2.3), имеет финитный спектр Фурье (ближнее поле е(р)), локализованный в Ар.
Предположим теперь, что требуется синтезировать контурную диаграмму, локализованную в некоторой области Qp на плоскости u-v. Для синтеза принципиальное значение имеют функции (диаграммы), которые максимально локализованы в области Qp, и при этом имеют спектр, локализованный в Ар. Действительно, только такие функции (диаграммы) могут возбуждаться апертурой Ар, и использоваться для синтеза контурной диаграммы в области Пр. Аналогично приведенному выше одномерному случаю можно утверждать, что существует лишь конечное число г таких независимых функций. Для его оценки можно использовать следующий подход: поделить объем области Ар х Qp в фазовом пространстве (плоскость апертуры)х(плоскость u-v) на фазовый объем одной степени свободы (в у данном случае это квадрат длины волны X ). Таким образом г = CI-SJ Л2, (5.2.4) где S0,Q — площади областей Ар и Qp соответственно. В соответствии с теоремой
Котельникова для двумерной функции, это число равно количеству функций отсчетов (синфазных лучей, формируемых апертурой Ар), которые помещаются внутри области «р.
Формула (5.2.4) дает лишь примерную оценку числа г. Более строгий математический подход, позволяющий непосредственно определить как число г, так и сам вид этих независимых функций, заключается в следующем. Рассмотрим, аналогично приведенному выше одномерному случаю, операторы ограничения на области Ар и Qp. Обозначим их через РА и Ра соответственно. Определяются они аналогично (5.2.1), с тем различием, что вместо отрезков [-7\Г] и [-/ J,/ j] используются двумерные области Ар и Qp, а вместо одномерного преобразования Фурье—двумерное.
Далее в тексте РА и Рп используются аналогично операторам физических величин в квантовой механике. Они действуют как на сами функции (диаграммы), так и на их спектр (поле в апертуре). При этом, вообще говоря, меняется их вид, но физический смысл всегда один и тот же — ортогональное проектирование на fip и Ар в пространственной и частотной области соответственно.
Аналогично одномерному случаю строиться оператор ?л.п = Л ІЛ» отражающий одновременное ограничение на протяженность функции и се спектр. Оператор QA,п (и его обобщение на случай л-мериого пространства), хорошо известен в функциональном анализе [46,47]. Он имеет отношение к построению систем функций с двойной ортогональностью. Ниже мы кратко перечислить его свойства.
Оператор QA,n — самосопряженный ядерный оператор. Вследствие этого, он обладает счетной системой собственных функций с действительными положительными собственными значениями, стремящимися к нулю \ Л1 Л2 ... Лп 0, 1ітЛ„=0. Причем [46], система { „(р),л = 1...оо} образует ортонормированный базис в L2[A ). Таким образом, собственные числа Лп ведут себя аналогично одномерному случаю на Рис. 5.2.1
Обозначим через Т„(/?) обратное преобразование Фурье от функции у„(р)-Иначе говоря, „(р) — диаграмма, соответствующая возбуждению в апертуре я-й собственной функции Yn(p)- Тогда система №п(р),п = \...о} обладает следующим указанным выше свойством двойной ортогональиости[46]
