Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основы теории мультипликативных характеристических функций 11
1.1. Функциональное преобразование случайных величин 11
1.2. Метод характеристических функций 15
1.3. Необходимые и достаточные условия существования интегрального преобразования Меллина 17
1.4. Основные соотношения и свойства мультипликативной характеристической функции 21
Глава 2. Метод мультипликативных характеристических функций 25
2.1. Анализ вероятностных характеристик случайных величин 25
2.2. Анализ вероятностных характеристик случайных процессов 29
2.3. Обращение мультипликативных характеристических функций 33
2.4. Сравнение математической сложности метода мультипликативных характеристических функций с существующими методами 36
2.5. Центральная предельная теорема для произведения независимых случайных величин 39
Глава 3. Получение распределений комбинаций случайных величин методом мультипликативных характеристических функций 45
3.1. Получение мультипликативных характеристических функций 45
3.2. Получение распределений произведения и частного двух независимых случайных величин 54
3.3. Статистическое моделирование 92
Глава 4. Использование метода мультипликативных характеристических функций в задачах статистической радиотехники 104
4.1. Проверка статистических гипотез 104
4.2. Вычисление вероятности ошибок при проверке гипотез о корреляционной функции 110
4.3. Точное решение для задач оценки эффективности алгоритмов последетекторного обнаружения сигналов 112
4.4. Анализ особенностей практической реализации решающих пороговых устройств 118
4.5. Аппаратурный метод нахождения мультипликативной характеристической функции 120
Заключение 124
Литература 126
Приложения 131
- Метод характеристических функций
- Анализ вероятностных характеристик случайных процессов
- Получение распределений произведения и частного двух независимых случайных величин
- Вычисление вероятности ошибок при проверке гипотез о корреляционной функции
Введение к работе
«Теория вероятностей и теория случайных процессов являются главным математическим инструментом анализа прохождения сигналов в комбинации с помехами в радиосистемах при условии, что вероятностные модели сигналов и помех заданы» [16].
Статистической теории радиотехники посвящено немало работ, таких как [4, 7, 10, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 26, 28, 34, 38, 39] однако вопросы анализа вероятностных характеристик сигналов и помех в пространстве мультипликативных математических операций освещены недостаточно полно, по сравнению с анализом сигналов в пространстве аддитивных операций. Это связано с недостаточным развитием методов анализа вероятностных характеристик в пространстве мультипликативных операций.
Как известно, в теории вероятностей для анализа характеристик случайных величин и случайных процессов используют функцию распределения, плотность распределения вероятностей и характеристическую функцию.
По информативности эти функции равноценны, но для решения различного рода задач удобнее использовать ту или иную функцию. Особенное место среди них занимает характеристическая функция. Она существенно облегчает анализ вероятностных характеристик сумм и разностей случайных величин, а также нахождение моментов распределения. Но ни одна из указанных функций не даёт существенного выигрыша при анализе вероятностных характеристик произведения и частного случайных величин.
Целью настоящей диссертационной работы является развитие методов анализа вероятностных характеристик случайных величин и процессов в пространстве мультипликативных математических операций путём использования свойств мультипликативной характеристической функции [23], порождаемой интегральным преобразованием Меллина.
Преобразование Меллина ранее использовалось для обработки сигналов в условиях априорной неопределённости, в частности при неизвестной длительности сигнала.
Для классификации различного рода объектов, у которых набор информативных признаков зависит от ракурса обзора цели [44].
Для анализа реакции линейных параметрических цепей на входные воздействия [43].
В докторской диссертации Макарова А. М. исследовались комбинации преобразований Меллина, Фурье и Ганкеля для обработки сигналов в условиях существенной априорной неопределённости.
В работах Сапрыкина В. А. указана возможность комплексирования преобразований Меллина и Фурье при обработке радиолокационных сигналов с целью разрешения противоречия разрешающей способности по скорости и по дальности.
В работе [35] преобразование Меллина использовалось для обработки гидроакустических сигналов.
Однако никто из указанных авторов не использовал свойства свёртки, порождаемой преобразованием Меллина для решения задач статистической радиотехники.
Рассмотрим наиболее значимые задачи статистической радиотехники, в которых целесообразно использование развиваемого в диссертации метода мультипликативных характеристических функций.
1. Нахождение распределения отношения правдоподобия
Распределение отношение правдоподобия необходимо для вычисления вероятностей ошибок первого и второго рода.
При нахождении распределения отношения правдоподобия, как правило, необходимо находить распределение произведения случайных величин. Если эти случайные величины имеют нормальные или экспоненциальные распределения, то натуральное логарифмирование отношения правдоподобия
упрощает его вид и позволяет применить метод характеристических функций, так как после логарифмирования произведение трансформируется в сумму. Однако, сложности, связанные с обращением характеристических функций не позволяют получать точные выражения распределения отношения правдоподобия в аналитическом виде. В некоторых случаях, для больших выборок применяется теорема Ляпунова, и распределение натурального логарифма отношения правдоподобия принимается нормальным.
Если же выражения плотностей распределения вероятностей перемножаемых случайных величин помимо экспоненты содержат ещё хотя бы одну переменную, то логарифмирование уже не даёт каких либо преимуществ.
Как видно, задача нахождения распределения отношения правдоподобия на практике является весьма сложной. К тому же, как указано в [7], распределения отношения правдоподобия всегда негаусовские независимо от формы взаимодействия сигналов с помехами и типов условных или безусловных плотностей вероятностей.
2. Нахождение плотности распределения вероятностей случайных величин и процессов на выходах умножителей и делителей
Поскольку на практике мы всегда имеем дело со смесью сигнала и помехи, то в задачах анализа характеристик сигналов и задачах его обнаружения на фоне помех обычно рассматриваются вероятностные характеристики указанной смеси, а не параметры самого сигнала. Анализ вероятностных характеристик случайных процессов при их прохождении через различные узлы радиотехнических устройств, как правило, связан со сложными математическими операциями.
Для получения плотности распределения вероятностей произведения (частного) двух случайных величин необходимо вычислять интеграл свёртки от плотностей распределения преобразовываемых случайных величин. Так как во многих радиотехнических устройствах при обработке сигналов используются операции умножения и деления (приложение 1), то возникает необходимость
разработки математического аппарата, позволяющего упростить задачу нахождения вероятностных характеристик сигналов при их умножении и делении.
3. Нахождение моментов распределений
Очень часто, требуется знание о случайной величине или процессе информации в виде моментов распределения. Теория вероятностей позволяет находить моменты любого порядка, но для этого необходимо производить операции интегрирования или дифференцирования, если воспользоваться методом характеристических функций. При нахождении начальных моментов произведения или частного двух и более случайных величин задача уже существенно усложняется, если пользоваться известными методами нахождения начальных моментов распределений.
Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и приложений.
В первой главе изложены известные методы преобразования и анализа случайных величин. Указана методика нахождения плотности распределения вероятностей после функционального преобразования одной и двух случайных величин. Показано, как находится распределение суммы, разности, произведения и отношения двух независимых случайных величин. Кратко изложен метод характеристических функций. Показано удобство использования метода характеристических функций для анализа сумм и разностей независимых случайных величин и вычисления начальных моментов распределения. Описано прямое и обратное преобразование Меллина и его связь с преобразованием Фурье. Показано как определяется мультипликативная характеристическая функция, указаны её основные свойства и связь с известной характеристической функцией.
Во второй главе показано удобство использования метода мультипликативных характеристических функций для вычисления начальных и смешанных моментов распределения любого порядка и анализа произведения и
частного независимых случайных величин. Рассмотрен многомерный случай. Проведён анализ случайных процессов предлагаемым методом. Указаны регулярные методы обращения новой характеристической функции, наиболее интересным из которых является метод, основанный на использовании теоремы Слейтер. При помощи метода мультипликативных характеристических функций доказана центральная предельная теорема для произведения независимых случайных величин имеющих произвольные распределения с указанием условия и скорости сходимости.
Отмечены математические сложности, возникающие при применении метода мультипликативных характеристических функций и известных методов при получении аналитических выражений плотностей распределения произведения и частного случайных величин, а также при вычислении начальных моментов распределений.
В третьей главе получены мультипликативные характеристические функции и выражения для начальных моментов наиболее распространённых в радиотехнике законов распределений. Найдены выражения для начальных моментов и плотности распределения произведения и частного двух независимых случайных величин. Проведено математическое моделирование с целью проверки адекватности полученных результатов.
В четвёртой главе представлены прикладные задачи статистической радиотехники, для решения которых целесообразно использование метода мультипликативных характеристических функций. В частности, для нахождения ошибок первого и второго рода при проверке статистических гипотез, для вычисления вероятностей ошибок при проверке гипотез о корреляционной функции. Указаны некоторые проблемы, возникающие при дополнительном логарифмировании отношения правдоподобия. Рассмотрен вопрос аппаратурного вычисления мультипликативной характеристической функции.
Таким образом, проведённые в диссертационной работе научные исследования и результаты представляют собой развитие методов анализа вероятностных характеристик случайных величин и процессов в пространстве мультипликативных математических операций и развивают тем самым теорию статистической радиотехники.
В рамках проведённой в диссертации работы на защиту выносятся:
анализ метода мультипликативных характеристических функций, применительно к задачам статистической радиотехники;
центральная предельная теорема для произведения независимых случайных величин;
результаты анализа вероятностных характеристик произведений и частных случайных величин;
алгоритм нахождения распределения отношения правдоподобия;
сравнение математической сложности метода мультипликативных характеристических функций с существующими методами и проверка адекватности полученных результатов.
Метод характеристических функций
Формула (1.14) представляет собой ни что иное, как свёртку в базисе Фурье, а формула (1.15) - свёртку в базисе Меллина. 1.2. Метод характеристических функций
Одним из побудительных мотивов введения ХФ является трудоёмкость нахождения ПРВ сумм и разностей независимых случайных величин и моментов распределения. При анализе линейных цепей необходимо осуществлять операцию свёртки. Но в тоже время, её можно заменить операциями простого перемножения ПФ от входного воздействия и импульсной характеристики цепи. Это свойство и положено в основу использования ХФ.
Пусть задана комплексная функция е "х, тогда её среднее значениеназывается характеристической функцией случайной величины х. Здесь, и в дальнейшем тк [] будет означать к -ый начальный момент. Если рассмотреть сумму 2-х случайных величин с ХФто ХФ суммы равна их произведению [16]:Используя обратное ПФ, можно найти ПРВ случайной величины:Дифференцируя ХФ можно найти начальные моменты &-го порядка:)
Таким образом, моменты распределения находятся при помощи операции дифференцирования, взамен более трудоёмкой операции интегрирования.
Метод ХФ возможно использовать и в случае статистической зависимости случайных величин, например для двух случайных величин , ихг двумерная ХФ запишется кактогда смешанные моменты этих случайных величин равны 1,2
Это соотношение особенно широко используется для гауссовских случайных величин, так как в этом случае достаточно найти 1 -й и 2-й моменты распределения и коэффициент корреляции.Модуль 0(и) 1, то есть
При условии существования начальных моментов любого порядка ХФ представима разложением в ряд Маклорена [16]:где тк - начальный момент А:-го порядка.
Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, найдем плотность распределения вероятностей суммы случайных величин: Интегральное преобразование Меллина используется в математической физике для решения некоторого класса интегральных уравнений. В радиотехнике его применяют для анализа параметрических линейных цепей [43]. В последнем случае ИПМ играет такую же роль, как и преобразование Лапласа при анализе линейных цепей. Рассмотрим основные свойства ИПМ.
Как известно [24], ИПМ представляет собой интегральное преобразованиепри условии, что функция tkAf(t) є [о, со) в некоторой окрестности (х-у, х + у)точки t - х 0 имеет ограниченное изменение. Это является необходимым и достаточным условием равномерной сходимости ИПМ. Эквивалентная запись условия сходимости может быть представлена в виде полосыДля f{t) обратное ИПМ имеет вид
То есть, в общем случае, без дополнительных ограничений на значение реальной части переменной S, ядро ИПМ не являются самосопряженным.
Для определения значения реальной части S воспользуемся следующей теоремой [24].Теорема (о преобразовании Меллина аналитических функций).Пусть f(z), z = re e, - функция, аналитическая в секторе -а 0 (5,О а л, 0 (3 7Г, и пусть cp(z) есть ОЩ j для малых z и ОЩ + J, 5 0, для больших z равномерно в любом угле, внутреннем к - а 0 (3, причём а Ь. Тогда функция, определённая формулой (1.26), аналитична по в полосе а Re{s) b и удовлетворяет условиямдля всякого є 0 равномерно в каждой полосе а Re{S} Ъ, причём имеет место формула
При использовании ИПМ для обработки сигналов важным моментом является выполнение равенства Парсеваля. В [21] была доказана теорема,показывающая, что равенство Парсеваля выполняется при Rej } = —.
Вычисление обратного ИПМ во многих случаях удаётся упростить не используя интегрирование в комплексных пределах, если воспользоваться подходом, применяемым для обратного преобразования Лапласа. Действительногде, e" "ln(/ = COS(M 1П(Ґ))—Іsin(i ln(f)), тогда
Анализ вероятностных характеристик случайных процессов
Выше были изложены основные положения метода МХФ, который в значительной своей части посвящен изучению законов распределения одной случайной величины или системы конечного числа случайных величин. Рассмотрим далее возможность применения метода МХФ к случайным процессам. На рассматриваемые ниже СП не налагаются условия стационарности и эргодичности, если это специально не оговаривается.
Как известно, случайный процесс ,(?) может быть описан одномерной ПРВ Wx{xx,tx) дающей информацию о СП лишь в один момент времени, двумерной ПРВ W2(xl,x2,tl,t2) и многомерной - Wn(xl,x2,...,xn,tl,t2,...,tn) дающей наиболее полную информацию о СП.
Вероятностные свойства случайного процесса можно описать последовательностью МХФ: связанными с плотностями распределения Wx (х,, tl), W2(x1,x2,t],t2), ...,) и -мерными ИПМ.
Во многих практических задачах для быстрой оценки основных параметров СП ограничиваются нахождением таких характеристик случайного процесса, как начальные моменты распределения, которые в общем виде определяются следующим образом:
Связь данной моментной функции с моментной МХФ случайного процесса x(t) очевидна Наиболее распространёнными моментными функциями являются: среднее случайного процесса (или первый момент), дисперсия случайного процесса (или второй центральный момент) и корреляционная функция случайного процесса (смешанный второй начальный момент). Запишем выражения для этих моментных функций и установим их связь с МХФ случайного процесса.31 Исходя из соотношения cjl(t) = m2(t)-mf(t) и выражения (2.15) дисперсию случайного поцесса можно выразить через МХФ следующим образом:
Если необходимо анализировать два и более СП используют совместную плотность распределения. Если случайные процессы ;(/) и r\(t) независимы, то для любых п и т их совместная плотность распределения вероятности запишется как [16]Совместная МХФ, связанная с плотностью распределения ИПМ, будет иметь вид
Для этого совместного распределения может быть определена совместная (взаимная) моментная функция Простейшим совместным моментом распределения является взаимная корреляционная функция двух случайных процессов ;(?) и r\(t):
Если случайные процессы %{і) и r\(t) независимы, то взаимную корреляционную функцию можно записать через мультипликативные ХФ этих процессов, либо, согласно (2.20), через их совместную МХФ:
Из (2.22), согласно (2.16), видно, что взаимная корреляционная функция двух независимых случайных процессов равна произведению их средних значений:где 0 (/,) и aA(t2) - средние значения случайных процессов E,(t) и г(ґ). Как было показано выше, метод МХФ существенно облегчают анализ СВ и СП в мультипликативном базисе. Но более наглядной характеристикой СВ и СП является их плотность распределения вероятностей. В мультипликативном базисе ПРВ находится как обратное ИПМ от МХФ. То есть необходимо вычислить интеграл вида (1.27).
Рассмотрим способы вычисления этого интеграла.1. В простейших случаях, его можно вычислять обычным способом, переходя от мнимых пределов интегрирования к реальным.2. Также для взятия интеграла можно воспользоваться таблицами ИПМ [2, 24, 31, 32]. Сложность такого метода заключается в умении преобразовать имеющиеся интегралы к табличным.3. Но наибольшую практическую ценность имеет метод обращения МХФ основанный на использовании теоремы Слейтер [24]. Рассмотрим подробнее этот способ.
Если ряды сходятся, то функции HA(z) и ZB(l/z) являются функциями гипергеометрического типа, причём переходят друг в друга, если поменять местами -мерный комплексный вектор {а) = ах,а2,...,аА с аналогичным В мерным вектором (b), С-мерный вектор (с) с -мерным (d), а z заменить на 1/z. Эти функции аналитически зависят от комплексных векторов (a), (b), (с), (d) и переменной z. Если некоторые параметры векторов (а) (или (b))совпадают между собой или отличаются на целое число, то векторы (a) -aj((b) -Ьк) содержат нулевые или отрицательные целые компоненты и в силу свойства Г(-я)=оо, л = 0,1,2,... у функций HA(z), Z5(l/z), вообще говоря, могут возникнуть неопределённости типа оо - оо (если особенности числителей гамма-коэффициентов из (2.24), (2.25) не сократятся с особенностями соответствующих знаменателей). Такие случаи называются логарифмическими. Теорема (Слейтер). Пусть где векторы (a), (b), (с), (d) имеют соответственно А, В, С, D компонент я., bk,c,, dm. Тогда, если выполняются следующие две группы условий:Интеграл вида (1.27) от функции (2.26) называется интегралом Меллина-Бернса.
В логарифмических случаях интеграл Меллина-Бернса вычисляется при помощи теории вычетов, но с учётом кратных полюсов или вычисляется интеграл Меллина-Бернса при значениях параметров, близких к «логарифмическим», а затем осуществляется переход к пределу, когда значения параметров устремляются к «логарифмическим» [24]. 4. Для вычисления ПРВ можно воспользоваться комбинацией мультипликативной и аддитивной ХФ. По формуле (2.1) без труда могут быть вычислены начальные моменты распределения по его МХФ, если они существуют. Далее, по формуле (1.22) записывается аддитивная ХФ в виде ряда Маклорена по полученным начальным моментам. Скорость сходимости ряда, то есть выбор минимального числа первых членов разложения в ряд Маклорена, необходимо исследовать дополнительно для каждого отдельного случая, с учётом требуемой точности. Из полученного полинома вида (1.22) при помощи обратного ПФ (1.23) можно получить искомую ПРВ.
Получение распределений произведения и частного двух независимых случайных величин
Воспользовавшись результатами, полученными в разделе 3.1, вычислим плотности распределения вероятностей произведения и частного двух независимых случайных величин для рассмотренных выше распределений. Рис. 3.1. Графики ПРВ произведения двух случайных величин имеющих распределения Накагами Рассмотрим частное двух независимых СВ, имеющих нормальные распределения. МХФ такого отношения в соответствии с (2.9) и (3.1) будет равна ( ЛИнтеграл (3.39) представляет собой логарифмический случай интеграла вида Меллина-Бернса. Для его вычисления воспользуемся теорией вычетов. Подынтегральная функция из (3.39) аналитична всюду в плоскости t, кроме полюсов первого порядка у гамма-функции t = —n, t \ + п, п = 0,1, 2,... Как следует из свойств гамма-функции [24], вычеты функции T[t, \\y в этих полюсах равны соответственно Проинтегрируем по произвольному замкнутому контуру L_N, который содержит участок вертикальной прямой Re{/} = r, разделяющей точки (0,0) и (і, О): 0 г 1, и охватывает лишь некоторое количество N левых полюсов t--n, n = 0,l,2,...,N. Тогда интеграл (3.39) в соответствии с теоремой о вычетах будет равен сумме N первых вычетов (3.40) в указанных полюсах, лежащих внутри контура. Устремим N к + со, предположив, что контур L_N, растягиваясь по мере добавления полюсов t = -п в левую петлю L_m, нигде не приближаясь к этим полюсам на расстояние, меньшее некоторой малой величины є 0. Тогда в пределе получим соотношение Перейдя от переменной у к переменной х окончательно получим Тот же результат можно было получить, воспользовавшись тем, что распределение Накагами при т = — переходит в одностороннее нормальное распределение. Действительно, положив в выражении (3.32) тх=т2=— сразу же получим (3.41). W(x) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 "0 0.5 1 1.5 2 2.5 З 3.5 4 4.5 х Рис. 3.4. График ПРВ частного двух независимых СВ имеющих нормальные распределения при а, = с2 = 1 Распределения Релея и Релея-Райса Рассмотрим произведение двух независимых СВ имеющих распределения Релея. Подставив (3.5) в (2.7) получим МХФ данного произведения: Для нахождения ПРВ такого произведения СВ воспользуемся тем, что распределение Накагами при т = 1 переходит в распределение Релея. Подставим в выражение (3.29) т = \ и получим ПРВ отношения двух независимых СВ имеющих распределения Релея: E- a, a2 В таком виде выражение (3.49) использовать не удобно. Поэтому, при вычислении моментов для некоторого к вырожденные гипергеометрические функции Куммера можно выразить через модифицированные функции Бесселя первого рода. Например, для первого момента получим 1= 2-1 -Л i.-4N V 2 2а2j А Л Значение последнего выражения для конкретных значений параметров a,, а2, а, и а2 вычислить несложно. Поскольку вычисление обратного ИПМ от выражения (3.48) вызывает затруднения, то воспользуемся связью распределения Релея-Райса с распределением Накагами. Если распределение Релея-Райса имеет параметры jR_R и a, то распределение Накагами аппроксимирует его при параметрах 7= 2 Л-Л,+(ХУ , т,= 1-Л4а (3.50) Таким образом, в общем случае, ПРВ произведения двух независимых СВ имеющих распределения Релея-Райса с параметрами сгл_Л1, a,, JR_R2 и а2 будет иметь вид (3.28), где Gf и, у =1,2 связаны с параметрами перемножаемых СВ соотношениями (3.50). В случае, когда параметры перемножаемых распределений т. совпадают или отличаются на целое число, необходимо воспользоваться формулой (3.29). Построим графики ПРВ полученного распределения с параметрами независимых СВ стд_Д1 = GR_R2 = 1 и различными значениями а, = а2 = а. Выражение (3.52), аналогично (3.49), можно выразить через модифицированные функции Бесселя первого рода. Из (3.52) следует, что все чётные моменты будут отсутствовать. Для нахождения ПРВ полученного распределения также воспользуемся связью распределения Релея-Райса и Накагами. ПРВ будет иметь вид (3.32), где параметры из (3.32) будут связаны с параметрами распределений СВ соотношениями (3.50), аналогично случаю перемножения СВ имеющих распределения Релея-Райса. Построим графики этого распределения при aR_R, = а Л 2 = 1 и Рис. 3.8. Графики ПРВ частного двух независимых СВ имеющих распределения Релея-Райса X2 -распределение Рассмотрим произведение двух независимых СВ имеющих распределения X2. МХФ в этом случае будет равна %2 для различных значений параметра пх-п2-п Рассмотрим частное двух независимых СВ имеющих распределения х2 В этом случае, МХФ будет равна A(S)=r Последний интеграл аналогичен интегралу (3.35), поэтому, воспользовавшись результатами вычисления интеграла (3.35) можно сразу записать выражение для искомой ПРВ: Рис. 3.11. Графики ПРВ произведения двух независимых СВ имеющих показательные распределения при различных значениях параметра а, = а2 = а Рассмотрим частное двух независимых СВ имеющих показательные распределения. МХФ в этом случае будет равна )= Рис. 3.13. Графики ПРВ произведения двух независимых СВ имеющих показательно-степенные распределения для различных значений тх = т2 = т Рассмотрим теперь частное двух независимых СВ имеющих показательно-степенные распределения. МХФ в этом случае будет равна Рис. 3.16. Графики ПРВ частного двух независимых СВ имеющих гамма-распределения для различных значений а, = а2 = а и р, = (32 = 1 Распределение Максвелла Подынтегральное выражение из (3.85) соответствует подынтегральному выражению в (3.27) при т]-т2- , поэтому, с учётом замены переменных и множителя перед интегралом (3.85) можно воспользоваться выражением (3.29) и тогда искомая нами ПРВ равна W{x) = \im Рис. 3.17. График ПРВ произведения двух независимых СВ имеющих распределения Максвелла при а, = о2 = 1 Если рассмотреть частное двух независимых СВ имеющих распределение Максвелла МХФ будет равна ( - \ Подынтегральное выражение из (3.89) равно подынтегральному выражению из (3.60) при и, =4, п2=2, поэтому, с учётом замены переменных, коэффициента перед интегралом (3.89) и тем, что Г(3)=2, воспользуемся уже полученным выражением (3.62): Для вычисления значения интеграла (3.94) воспользуемся теоремой Слейтер. Очевидно, здесь мы имеем логарифмический случай. Поэтому вычислим значение интеграла со значениями параметров близких к особым значениям, а затем осуществим предельный переход, когда значения параметров интеграла (3.94) устремятся к «логарифмическим».
Вычисление вероятности ошибок при проверке гипотез о корреляционной функции
В задаче проверки статистических гипотез о корреляционной функции проверяется гипотеза Я0 о том, что корреляционная функция нормальногослучайного процесса ,(/) с нулевым средним равна B0(t,y), противальтернативы Я,, что его корреляционная функция равна ,(/, у).
Для нахождения вероятности ошибок, необходимо определить функцию распределения логарифма функционала отношения правдоподобия. Хотя логарифм функционала отношения правдоподобия представляет собой бесконечную сумму независимых случайных величин, распределение этой суммы отличается от нормального [17].
Распределение логарифма функционала \nl(x(t)) находится методом характеристических функций, как произведение условных характеристических функций нормально распределённых случайных величин для различных гипотез. Обратным преобразованием Фурье можно далее получить распределение логарифма функционала отношения правдоподобия. Однако эти вычисления представляют в общем случае довольно сложную задачу [17].Применим к этой задаче метод МХФ.
Рассмотрим не логарифм, а сам функционал отношения правдоподобия. В качестве наблюдаемых координат возьмём сами отсчеты хк реализации х(/). СВ лг,,х2,..., xN являются независимыми, нормально распределёнными случайными величинами, имеющими ПРВ
В данной задаче, нам фактически необходимо найти распределение произведения JV независимых случайных величин.
МХФ такого произведения, как было показано выше, будет равна 112По теореме Слейтер, интеграл (4.42) будет равенАмплитудный метод последетекторного обнаружения сигнала имеет на практике очень широкое применение, ввиду его инвариантности ко многим параметрам принимаемого сигнала. Применим метод МХФ для решения задачи оценки эффективности данного алгоритма обнаружения.
В [17] рассматривается оптимальное правило выбора решения о наличии или отсутствии сигнала по реализации огибающей наблюдаемого процесса, представляющего либо нормальный стационарный узкополосный шум с нулевым средним (гипотеза Н0), либо сумму этого шума идетерминированного узкополосного сигнала (гипотеза //,). Однако, там жеговорится, что определить функцию распределения статистики, а следовательно, и вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения в замкнутом виде невозможно.
Применим к решению этой задачи метод МХФ. В этом случае, функции правдоподобия равны [17]:где гк - выборочные значения огибающей, ак - отношение сигнал/шум в к -ый момент времени.
Введём некоторые упрощения. Пусть, отношение сигнал/шум для всех моментов времени будет одинаковым: ак =а, \/к = 1, 2,..., N.
Тогда, если воспользоваться связью распределения Релея-Райса с распределением Накагами [38], выражение (4.45) можно записать в следующем виде:
Для получения решающего правила и вычисления ошибок первого и второго рода будем рассматривать не логарифм отношения правдоподобия, как это принято в литературе, а само отношение правдоподобия.Запишем выражение для отношения правдоподобия.
Вычислим значение (4.48) для слабого сигнала, когда а « 1 Пользуясь соотношениями (4.47) получим:42 2а Л Г (
Цехр 2логарифмирования выражения (4.50), выражения (4.49) и (4.50) можно считать равными. Этот факт говорит о том, что принятая аппроксимация (4.46) справедлива. На основании этого можно записать оптимальное правило выбора решения: если для наблюдаемой выборки г,,..., rN координат огибающей
Выражение (4.51) позволяет получить правила не только для асимптотических случаев слабого и сильного сигналов, как это получено в [17], но и для промежуточных значений отношения сигнал/шум.и отсутствует, если последнее неравенство не выполняется.
Для вычисления распределения отношения правдоподобия воспользуемся методом мультипликативных характеристических функций. Запишем условные мультипликативные характеристические функции:
Выражение (4.60) представляет собой логарифмический случай интеграла вида Меллина-Бернса. Для его вычисления перепишем выражение (4.60) в следующем виде:
