Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Оценка параметров сигналов в радиотехнических системах 13
1.1. Содержание задач измерения параметров сигналов
1.2. Оценка случайных параметров
1.2.1. Байесовские оценки случайных параметров
1.2.2. Минимаксный метод
1.3. Оценка неслучайного параметра
1.3.1. Граница Крамера-Рао
1.3.2. Оценки по максимуму правдоподобия
1.3.3. Интервальное оценивание -
1.4. Потенциальная точность измерения параметров -
1.5. Метод Прони и его модификации
1.5.1. Модификация МНК
1.5.2. Модификация Битти
1.6. Разложения на основе анализа собственных значений. Метод пучка матриц
1.7. Задачи исследования
Глава 2. Исследование потенциальной точности параметрической аппроксимации одномерных сигналов 57
2.1. Оценка потенциальной точности разложения сигналов по методу Прони для модели без учёта начальной фазы 58
2.2. Точность разложения сигнала по методу Прони для модели сигнала с учётом начальной фазы 69
2.3. Точность аппроксимации метода пучка матриц 78
2.4. Использование метода Прони в задачах радиолокации 83
2.5. Выводы 86
Глава 3. STRONG Исследование потенциальной точности параметрической аппроксимации двумерных
сигналов STRONG 87
3.1. Модификации метода Прони для двумерных сигналов (модификация 1) 88
3.2. Оценка потенциальной помехоустойчивости двумерного метода Прони 90
3.3. Модификация метода Прони для двумерных сигналов на основе линейно-разностного уравнения (модификация 2). 99
3.4. Модификация метода пучка матриц для двумерных сигналов 108
3.5. Выводы 111
Глава 4. Исследование эффективности методов оценки параметров разложения экспоненциальной модели 113
4.1. Повышение точности аппроксимации сигнала по методу Прони для модели сигнала без учёта начальной фазы 113
4.2. Повышение точности аппроксимации сигнала по методу Прони для модели сигнала с учётом начальной фазы 117
4.3. Сравнение точности модификаций двумерного метода Прони 122
4.4. Повышение точности двумерного метода Прони второй модификации 124
Заключение 128
Литература 130
Приложение 1 141
- Оценка случайных параметров
- Точность разложения сигнала по методу Прони для модели сигнала с учётом начальной фазы
- Оценка потенциальной помехоустойчивости двумерного метода Прони
- Повышение точности аппроксимации сигнала по методу Прони для модели сигнала с учётом начальной фазы
Введение к работе
При решении задач обработки сигналов зачастую используются параметрические модели при их описании. В ряде случаев это обусловлено спецификой помеховой обстановки. Так, например, при обработке радиолокационного сигнала необходима априорная информация о функциональной модели полезного сигнала, чтобы провести оценку ее параметров по принятой реализации.
Применение традиционных методов обработки радиотехнических сигналов при измерении характеристик гидролокационных излучателей и приемников не учитывает ряд специфических особенностей измерительных систем гидроакустики.
Достаточно эффективным средством борьбы с переотражениями является переход к импульсному зондированию и регистрации отклика до прихода первого сигнала, отраженного стенками бассейна. При таком методе, однако, удается зарегистрировать только часть сигнала на ограниченном временном интервале, в то время как для расчета его спектральных характеристик необходим весь сигнал.
Для таких задач целесообразно экстраполировать значения сигнала путем их соответствующей обработки с учетом априорной информации о его структуре, которой может служить параметрическое описание (В.4).
В настоящее время существуют и применяются различные методы аппроксимации экспериментальных данных, отличающиеся выбором базисных функций. Критерий выбора базисных функций обычно основывается на информации о виде исследуемого процесса и удобстве расчета. В тоже время, практически ничего не известно об оптимальности и точности аппроксимации измерительной информации, особенно в задачах экстраполяции экспериментальных данных. Для таких задач наиболее эффективным и распространённым способом параметрического описания служит описание в виде линейной комбинации экспонент, например, в задачах распознавания целей при широкополосном зондировании.
Во многих задачах радиолокации при обработке принятого излучения для параметрического описания данных зачастую пользуются одномерными моделями. Однако некоторые приложения требуют описания исследуемых данных более высокой размерности, например, двумерное параметрическое описание в задачах двумерного спектрального анализа, обработка радиолокационных изображений, например, для оценки двумерных частот. При распознавании цели в радиолокации - определение точек рассеяния (т.н. «блестящие точки»), расположение свойства которых зависит от геометрии цели.
Двумерный спектральный анализ может использоваться при обработке изображений; гидролокационных, сейсмических и радиолокационных сигналов в случае синтезируемой апертуры, а также при анализе интервала повторения радиолокационных импульсов в зависимости от момента их прихода. Обработка двумерных данных приводит к таким проблемам, как увеличение (по сравнению с одномерным случаем) вычислительных трудностей, а также возникновение проблемы распространения многих одномерных методов на двумерный случай. Кроме того, недостатки одномерных методов переходят и на двумерный случай обработки сигнала.
Так же как и в одномерных задачах, при двумерном описании пользуются параметрическими моделями, самая распространённая из которых - двумерный экспоненциальный ряд. Как в одномерном, так и двумерном случаях вопросам потенциальной точности уделено недостаточно внимания. Таким образом, исследование потенциальной точности методов параметрической аппроксимации радиосигналов на ограниченном интервале наблюдения на фоне помех представляет несомненный научный и практический интерес.
Целью диссертационной работы является исследование потенциальной точности аппроксимации радиосигналов с помощью линейной суммы экспонент на ограниченном интервале наблюдения на фоне помех. Поставленная цель достигается решением следующих задач:
1. Теоретический анализ методов оценивания нескольких
параметров радиосигналов на фоне белого гауссова шума.
2. Анализ точности потенциальной точности параметрической аппроксимации сигналов, вычисление границ Крамера-Рао для оценок параметров разложения экспоненциальной модели.
3. Исследование точности аппроксимации по методу Прони и методу пучка матриц для одно- и двумерных сигналов и оценка возможности их последующего уточнения.
4. Исследование возможностей использования метода Прони.
Рассмотрен подход к исследованию потенциальной точности аппроксимации и экстраполяции сигналов линейной комбинацией экспонент на основе функционала правдоподобия. Получены аналитические выражения для границы Крамера-Рао оценки параметров представления сигналов экспоненциальным рядом.
Исследована помехоустойчивость метода пучка матриц и метода Прони и предложен способ повышения точности оценок параметров разложения сигнала.
Исследована потенциальная точность параметрической аппроксимации двумерных сигналов с помощью линейной комбинации двумерных экспонент. Разработаны модификации метода Прони и метода пучка матриц для двумерных сигналов и исследованы их помехоустойчивость. Разработаны способы повышения точности оценки параметров разложения двумерных сигналов с помощью двумерного метода Прони.
Положения, выносимые на защиту.
1. Аналитические выражения границы Крамера-Рао оценки
параметров разложения сигнала, состоящего из двух комплексно сопряжённых экспонент без учёта и с учётом начальной фазы.
2. Аналитические выражения для элементов информационной матрицы Фишера для сигналов, описываемых линейной суммой экспонент.
3. Алгоритм повышения точности аппроксимации сигналов по методу Прони, позволяющий уточнить оценки параметров разложения и сравниться по точности с методом пучка матриц.
4. Оценка границы Крамера-Рао для параметров разложения двумерных сигнала, состоящего из двух комплексно-сопряжённых двумерных экспонент.
5. Алгоритмы построения разложения двумерных сигналов для двумерного метода Прони и двумерного метода пучка матриц.
6. Алгоритм повышения точности аппроксимации двумерных сигналов с помощью двумерного метода Прони. Проведенные исследования позволяют решить ряд практических задач, имеющих важное значение при разработке радиолокационных систем, таких как: распознавания целей в ближней локации, повышение точности измерения параметров и разрешения сигналов, повышение помехоустойчивости работы в условиях действия активных и пассивных помех.
1. Использование неравенств Крамера-Рао при определении потенциальной точности оценки параметров разложения сигналов для оценки оптимальности процедуры.
2. Проведено сравнение двух процедур оценки параметров экспоненциальной модели - метода Прони и метода пучка матриц. Результаты моделирования показали, что погрешность оценок метода пучка матриц ниже в 10-15 раз погрешности оценок по методу наименьших квадратов (МЕЖ) Прони. В тоже время вычислительные затраты для получения оценок данных методов диаметрально противоположны - временные затраты по оценке параметров методом МНК Прони на несколько порядков меньше, чем при использовании метода пучка матриц.
3. Разработаны алгоритмы уточнения оценок параметров разложения экспоненциальной модели, позволили по эффективности приблизиться к методу пучка матриц и увеличивающие вычислительные затраты примерно в 1,5 раза по сравнению с первоначальной процедурой оценки.
Методы исследований. Проведённые в работе исследования базируются на применении методов статистической радиотехники, матричного анализа, линейной алгебры. Экспериментальная часть работы основана на статистическом и компьютерном моделировании с использованием языка программирования Фортран-90 и численных методах прикладной математики. Результаты диссертационных исследований нашли применение в работах, поддержанных грантом РФФИ (проект № 08-07-00175 а), в разработках ОАО «НИИ Гидросвязи «Штиль» (г. Волгоград), а также использованы в учебном процессе Волгоградского государственного университета при чтении специального курса «Современные проблемы радиотехники», читаемом магистрантам ВолГУ.
Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и приложений.
Первая глава посвящена обзору методов оценок информационных параметров локационных сигналов. Приводятся различные способы оценок в зависимости от имеющихся априорных данных, проводится их качественное сравнение. Рассматривается вопрос о потенциальной точности оценок информационных параметров сигналов. Кроме того, в главе дается основная информация по параметрической аппроксимации сигналов в виде линейной комбинации экспонент, а также анализируются способы вычисления параметров разложения.
Вторая глава содержит анализ потенциальной
помехоустойчивости параметрической аппроксимации сигналов по методу Прони и методу пучка матриц для случая обработки одномерных сигналов. Рассматривается вопрос оптимальности данных методов. Предлагается алгоритм уточнения оценки параметров экспоненциальной модели.
В третьей главе рассматривается подход к параметрическому анализу двумерных локационных сигналов, основанный на применении разложения по сумме двумерных экспонент. Производится исследование потенциальной точности алгоритмов оценки параметров разложения двумерных сигналов, рассматривается вопрос их оптимальности. Предлагаются процедуры вычисления параметров аппроксимации, а также способы повышения их точности.
В четвёртой главе приведены результаты статистического моделирования рассматриваемых алгоритмов. Предложены способы повышения точности оценок параметров аппроксимаций как одномерных, так и двумерных сигналов. Проводится сравнение эффективности разработанных алгоритмов. В качестве критерия эффективности использовалась среднеквадратическая погрешность оценки параметра и сравнение её с границей Крамера-рао.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Приложения к диссертационной работе содержат теоретические расчёты и громоздкие выкладки при вычислении элементов информационной матрицы Фишера.
Оценка случайных параметров
Предположим, что сигнал не содержит мешающих параметров, т. е. что все его неизвестные параметры являются информационными и подлежат измерению. При этом сигнал оказывается вполне детерминированной функцией аргумента t и измеряемых параметров Д(0 и в его записи х(і,Л(і)) символ v(t) не участвует [2,4,5]. Пусть постоянный на интервале наблюдения информационный параметр является векторной случайной величиной Л =(Я1,Я2,...,Лп), априорная r-мерная плотность вероятности которой WQ(X) известна, причем она не связана с наблюдаемой реализацией y{t) и показывает лишь, с какой частотой следует ожидать появления сигнала х(і,Л(і)) с теми или иными значениями параметра Л [9]. Кроме того, оценку Л следует формировать так, чтобы ее расхождения с истинным значением Л были минимальны, причем Л должна однозначно определяться видом наблюдаемого колебания y(t): i = W0], (1.2) где F[ ] — детерминированный оператор, отображающий множество реализаций y{t) в r-мерное пространство оценок Л = (Л1,Л2,...,Лп) [2,4]. Таким образом, формулирование оптимального в некотором смысле правила оценки Л состоит в отыскании подходящего функционала F[ ].Здесь и далее в формулах будем писать "у" вместо "y(t)" для упрощения записи выражений. Пусть А принимает лишь дискретные значения из конечного множества л,,/12,...,/1м J. Тогда оценить параметр А — значит указать, какой из М возможных детерминированных сигналов хх (t) = x(t, А\), x2(t) = x(t,A2),..., xM(t)-x(t,AM) присутствует в реализации y(t). Следовательно, оценка дискретного параметра А есть просто различение М сигналов, и поэтому можно воспользоваться выражением для среднего риска Ш [2]: где P\At) — априорная вероятность выпадения значения At параметра А , т.е. появления сигнала xt(t) = x(t,At); Р\А = Ак Аі I - условная вероятность получения в качестве оценки А значения Aki при условии, что в сигнале, содержащемся в реализации y(t), параметр А принимает значения A.t; Ж1к - риск несовпадения измеренного значения А = Ак с истинным At. Таким образом, оператор F[ ] в выражении (1.2), минимизирующий сумму (1.3), обеспечит получение оценок, оптимальных по минимуму среднего риска Ш. Такие оценки называют байесовскими [2,5]. При оценке непрерывного случайного параметра А , принимающего значения из континуального множества, измерить параметр А - значит по-прежнему указать, какой именно из возможных сигналов x(t,A), отличающихся друг от друга значением А , присутствует в принятой реализации y{t). Критерий оценки в данном случае получатся при предельном переходе в (1.3) от дискретных переменных к непрерывным [2,4]: где МІ Я, Я) - функция потерь, характеризующая потери из-за отклонения оценки Я от истинного значения Я , W0 ґ Я Я _ условная п мерная плотность вероятности оценки Я при условии, что истинным является значение Я, Я,ЯєІх. Оптимальной (байесовской), оценкой принято считать ту, которая минимизирует средний риск (1.4). Согласно Я ; W Я Я - условная плотность вероятности случайной величины Я при условии, что оценкой является значение Я . Тогда в соответствии с (1.4) [2] Величина Щу] является условным математическим ожиданием функции потерь МІЯ,ЯІ вычисленным для фиксированной реализацииy(t) усреднением по всем возможным значениям параметра Я . Эту величину называют условным средним риском. Очевидно, что оценка, для которой условный средний риск минимален для любой заданной реализации y(t), минимизирует и безусловный средний риск (1.5). Поэтому байесовские оценки можно отыскать из условия минимума выражения (1.6) [2,4,12].
Входящую в выражение (1.6) условную и-мерную плотностьвероятности И (Я ], характеризующую частоту выпадения тех или иныхзначений Я для заданной реализации (1.1), называют апостериорной плотностью вероятности. Для отыскания байесовской оценки следует, прежде всего, выбрать определенную функцию потерь. На практике при высоких требуемых точностях измерения оптимальные оценки мало критичны к виду функции потерь, поэтому рассматриваются следующие наиболее часто используемые разновидности функции потерь [2,4]. 1. Квадратичная функция потерь. Представляет собой квадратичную форму относительного отклонения А - А оценки А от истинного значения параметра Я : где В — любая положительно определенная пхп-матрица; Я - Я л вектор-столбец относительного отклонения Я — Я . При оценке скалярного параметра X [п = \, Х = я) квадратичная функция потерь ШЯД] = Ъ\Я-Я\ , где Ь 0, т. е. является параболой (рис. 1.1). В общем случае {п 1) уравнение (1.7) задает (и+ 1)-мерный параболоид. Продифференцировав правую часть этого выражения по Я и приравняв нулю, с учетом невырожденности матрицы В независимо от конкретного вида последней для оптимальной оценки Я = Яот получим векторного параметра Я . Из (1.8) видно, что байесовская оценка при квадратичной функции потерь есть апостериорное среднее измеряемого параметра. Для отдельных компонентов Я получим следующее выражение тяжести, так как Яірз — центр тяжести апостериорного распределения Wfa\y). Предполагается, что апостериорная плотность вероятности РРдЛр/] имеет отчетливо выраженный глобальный максимум с координатами /и /м»-- !!/» и симметрична по всем координатам л. относительно точек A,fps в пределах отрезков [Яірз -А,12, /lips + A. /2j, / = 1,2,...,/7. Тогда, если побочные максимумы плотности вероятности не превышают ее значений в области Я1, є [Я,.рі, - А. 12, Aips + А; /2J, / = 1,2,...,и, минимум риска (1.12) будет достигнут при Л = Лр 5 / = 1,2,...,и. Таким образом байесовской оценкой окажется оценка по максимуму апостериорной плотности вероятности [2,4,5]: где Aps =ул р5,л рз,...,лр!!) - значение вектора X, при котором апостериорная плотность вероятности достигает максимума. Правило (1.13) можно получить и модифицировав функцию (1.11) до простой функции потерь
Точность разложения сигнала по методу Прони для модели сигнала с учётом начальной фазы
Рассмотрим модель узкополосного сигнала, содержащего кромеамплитуды А0, частоты а 0 и коэффициента затухания Я0 ещё и Так как усреднение по всем реализациям y{t) при аддитивномгауссовым шуме n(i) даёт нам y(t) = x(t,AQ), где Л0— истинный вектор
Аналогично определим остальные элементы матрицы Фишера Ф. Опуская громоздкие вычисления (см. Приложение 1), а также полагаяпараметры сигнала x(t,AQ) взаимно независимыми, получим: Отметим, что в полученных выражениях отсутствует сингулярность, в отличие от работ [24,25], где в выражениях для оценки точности параметров присутствует сингулярность при определённых значениях параметров исследуемого сигнала. Для уменьшения громоздкости выражений рассмотрим узкополосный сигнал, у которого— »1. Тогда выражения для границы Крамера-Рао можно упроститьи они примут следующий вид:
Для сигнала вида (1.33), содержащего N затухающих экспонент (как действительных, так и комплексных), получены аналитические выражения для элементов матрицы Фишера. Ввиду громозкости записи, все вычисления и выражения приведены в приложении 5.
Методом статистического моделирования для временной последовательности вида:где А0=5.0, Я0 = —1.0, & 0=50.0, (рп-7г11, At = 0.01, 0[п] -отсчетыбелого гауссова шума. Вид сигнала, формирующего последовательность (2.34), представлен на рис. 2.3. Для получения оценок параметров А, Я, co,q указанная временная последовательность обрабатывалась методом Прони. Для набора статистических данных использовалось 400 реализаций модельного сигнала (2.34) для каждого значения отношения шум/сигнал.
На рис. 2.4 представлена зависимость среднеквадратической погрешности оценки параметров аппроксимации сигнала по методу Прони от отношения шум/сигнал. Из рисунка видно, что полученные значения лежат выше границы Крамера-Рао в среднем на 30-40 дБ. Следовательно, с точки зрения потенциальной точности оценки параметров сигналов, метод Прони не является оптимальным, что позволяет строить дополнительные вычислительные процедуры, уточняющие результаты.
Сравнивая рис. 2.2. и рис. 2.4 заметим, что расположение границы Крамера-Рао для параметров 4 Л примерно одинаковое, отличающееся на 1-2 дБ при одинаковых значениях параметров, т.е. ввод дополнительного параметра рй незначительно повлияло на потенциальную точность оценки остальных параметров. На рис. 2.5 представлена экспериментальная зависимость погрешности аппроксимации сигнала, описывагощего импульсную характеристику гидроакустического преобразователя и состоящего из 5 экспонент (П4.2), от порядка модели для соотношения шум/сигнал 20дБ:погрешности оценки параметров аппроксимации сигнала методом пучка матриц от отношения шум/сигнал, полученные в результате статистического моделирования. Для каждого отношения шум/сигнал использовано по 400 реализаций модельного сигнала (2.34), для которых применялся алгоритм метода пучка матриц, описанный в первой главе.
Из рисунков видно, что погрешность оценки параметров разложения сигнала методом пучка матриц меньше погрешности оценки по методу Прони в среднем на 20-30 дБ.Метод пучка матриц, как и метод Прони может быть использован в такой области, как сверхразрешение в задачах радиопеленгации.
В радиопеленгации в ряде случаев необходимо определить количество источников излучения (или переизлучения), образующих принятый и исследуемый сигнал на ограниченном интервале наблюдения и оценить угловые координаты источников. При этом, считается, что несущие частоты источников одинаковы. К подобным случаям относятся, например, как преднамеренные помехи, создаваемые противником из разных точек пространства работающим радиоэлектронным средством, так и естественные помехи, обусловленные особенностями распространения сигналов в околоземном пространстве и водной среде, приводящими к многолучевости в точке приема. Основной метод борьбы с такими помехами в радиоэлектронных системах с антенными решетками заключается в формировании нулей (провалов) диаграммы направленности в направлениях на постановщики помех. В стационарной помеховой обстановке задача помехозащиты решается применением адаптивных антенных решеток. В условиях нестационарной помеховой обстановки указанный метод борьбы может быть реализован, если предварительно определены число и угловые координаты постановщиков помех. При этом наиболее важными для практики являются случаи, когда параметры указанных источников близки, и традиционные методы обработки и измерения не в состоянии их разрешить и измерить в силу ограничения их разрешающей способности величиной, обратной длине раскрыва, а также эффекта маскирования спектральных линий слабых сигналов боковыми лепестками спектральных линий более сильных сигналов [28].
Пусть М сигналов распространяются в среде со скоростью с внаправлениях -кт (рис. 2.10). Суммарный сигнал воспринимается антенной решёткой из N элементов, каждый из которых регистрирует электромагнитное поле по предположению с идеальной точностью. Приэтом считается, что сигнал sm(t,km) является узкополосным впространственно-временном смысле, т.е. интервал корреляции комплексной огибающей сигнала существенно превышает временной интервал между моментами прихода сигнала в наиболее разнесенные точки апертуры приемной антенны. Данное допущение позволяет разделить пространственно-временную обработку сигнала на пространственную и временную, выполняемые в произвольном порядке. Тогда сигнал, измеряемый в пространственной точке zn расположения п-го элемента, определяется выражением
Оценка потенциальной помехоустойчивости двумерного метода Прони
Прони правдоподобия параметра Л; С - некоторая константа; NQ — спектральная плотность двумерного шума. В отличии от одномерного случая для функционала правдоподобия добавляется интегрирование по второй размерности t2 [40,41]. Аналогично одномерному варианту воспользуемся следующим предположением: при отсутствии корреляции параметров А0,ЯІ и & ., и достаточно больших интервалах наблюдения ТХ,Т2 экспоненты вида Тогда эти Найдем её диагональные элементы, т.е. определим неравенство Крамера-Рао каждого из параметров разложения сигнала. Ввиду громоздкости выражений приведём частные значения выражений границы Крамера-Рао для значений параметров Л = 10.0, Л,=-1Д 4=-1-4, ,=50.0, У2=40.0, Л/= 0.01. неравенства приводятся к виду: разложения по предложенному алгоритму, моделировалась двумерная последовательность отсчетов сигнала: х[п,т] = Ae nAt+ mAt cos(u)xnAt + a 2mAt) + [п,т], (3.11) где Л = 10.0, А{=-1.0, Л2 =-1.4, й?! =50.0, tf 2=40.0, Л/= 0.01 -значения параметров, [п,т] - отсчеты двумерного белого гауссова шума. Вид сигнала, формирующего последовательность (3.11), представлен нарис. 3.2. Методом статистического моделирования последовательности (3.11) были получены зависимости среднеквадратической погрешности оценки параметров Л, Я, , от отношения шум/сигнал, представленные на рис. 3.3. Значения отношения шум/сигнал { т„/А0) по оси абсцисс отложены в логарифмическом масштабе. Кроме того, чтобы избежать аномальных ошибок, которые могут возникнуть из-за наличия области со слабым уровнем сигнала (на рис. 1 эта область начинается с 150-200 отсчёта по каждой размерности), с целью регуляризации задачи при численных расчетах временная двумерная последовательность (3.11) ограничивалась значениями п,т \ 50. Значения отсчетов на графиках усреднены по 400 реализациям шума. Здесь же приведены границы потенциальной помехоустойчивости Крамера-Рао, рассчитанные для каждого из параметров. -40 -30 Из рисунков видно, что средиеквадратическая погрешность оценки параметров сигнала (3.11) с помощью двумерного варианта метода Прони лежит достаточно далеко ( 30 дБ) от границы Крамера-Рао, что свидетельствует о потенциальных возможностях совершенствования метода. В начале данной главы предложен вариант двумерного метода Прони, основанного на классическом алгоритме построения оценок параметров модели. Рассмотрим другую модификацию двумерного метода Прони, основанную на построении оценок через решение разностного уравнения. В работе [29] рассмотрен такой подход, обобщая одномерный алгоритм метода Прони на двумерные последовательности данных. В [29] рассматривается финитная последовательность xsl, где s = l,...,S t- 1,...,71, а предполагаемая модель имеет вид: Здесь yn = ехр(«„ + jcou); zm= ехр( Д„ + jo)2m ) - полюса, причём JHo=zo=1 cn,m = А, ехР(Ж,J - комплексные амплитуды, К,} -отсчёты белого гауссова шума. Основная идея алгоритма заключается в том, что по аналогии с одномерным случаем [29], выражение (3.12) является решением некоторого однородного линейно-разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Чтобы определить вид этого уравнения, необходимо сначала определить полином P(y,z), корнями которого являются экспоненты yn,zm; Здесь для полиномов Px(y),P2{z) корнями будут являться экспоненты yn,zm соответственно; а - а 2) = 1, а кроме того atJ = а] а . Используя (3.12) перепишем это выражение с учётом сдвига: Суммы в правой части (3.15) можно рассматривать как полином, определяемый уравнением (3.13), который записан через свои корни, что и обеспечивает в (3.15) равенство нулю. Уравнение (3.15) - это разностное уравнение, однородное решение которого выражается формулой (3.12) [29,30]. Покажем, что уравнение (3.15) можно разделить на 2 независимые части и разрешить по отдельности. Для этого рассмотрим двумерную последовательность xst в следующем виде: Xs,t=Xs,K-XL,,, (ЗЛ6) Здесь K,L = const — некоторые известные значения. Тогда равенство (3.16) можно переписать с учётом модели (3.12) в виде: Далее, получив оценки коэффициентов разностного уравнения (3.15) исходя из выражений (3.17) с помощью классических методов [30], можно определить корни полиномов Рх (у), Р2 (z), подставляя в них уже полученные коэффициенты fl 1)Jfli2) соответственно, причём aQl) = ао2) = 1 Дальнейшая задача по определению комплексных амплитуд Спт сводится к известному алгоритму МНК. Заметим, что рассматриваемая модель (3.12) является обобщённой моделью параметрического разложения двумерного сигнала в ряд по экспонентам, поскольку предполагается для каждой размерности разный порядок разложения. Рассмотрим модель (3.1), отличающуюся от (3.12) тем, что для каждой размерности априори предполагается одинаковое число экспонент. Двумерный ряд (3.1) можно получить из (3.12) при условии М = N, Спт = 0 для пФт, т.е. матрица значений амплитуд Спт станет диагональной. Тогда для модели последовательности с
Повышение точности аппроксимации сигнала по методу Прони для модели сигнала с учётом начальной фазы
Для уточнения найденных параметров можно воспользоваться методом линейной экстраполяции. Заметим, что, используя метод линейной экстраполяции оценки параметров, полученные методом Прони, можно представить в виде:
Таким образом, для повышения точности оценки параметров аппроксимации необходимо сделать следующее: по имеющейся на интервале наблюдения [О, Г] реализации x(t) сигнала строится её аппроксимация по методу Прони, вычисляя оценку параметры разложения Aj tAf,t ,$f \ затем, формируя систему уравнений (4.6) и разрешая её относительно ЛЛ,,ДЛ,,Д& ;,Д р, можно получить оценку действительных параметров Л;, А,, с?у, # (, используя (4.4); взяв за новые значения параметров А, Л, й ;,# , значения Д,Af,й)і,,, полученные на предыдущем этапе, можно повторить процесс вычисления отклонений ДД,АЛ,г,ACDI,Л# , до достижения необходимой точности. Алгоритмможно представить графически следующим образом:
На рис. 4.4 представлена зависимость средне квадратической пофешности оценки параметров аппроксимации сигнала по методу Прони от отношения шум/сигнал для временной последовательности (2.36). Из рисунка видно, что полученные значения можно уточнить с помощью приведенного выше алгоритма на 20-30 дБ.
Здесь также количество итераций /:-4, поскольку данный итерационный процесс быстро сходится и уже после второй итерации заметных изменений значения погрешности не наблюдается. Это можно видеть из рисунка 4.5.
Сравнивая данные зависимости с зависимостями, представленными на рис. 2.6 можно заметить, что разница в точности практически исчезает при использовании уточняющей процедуры для метода Прони. Таким образом, метод Прони с процедурой уточнения позволяет оценить параметры с точностью, практически равной точности оценки параметров разложения методом пучка матриц с разницей примерно в 1 дБ.
Для этого можно воспользоваться способом повышения точности оценки, предложенном в параграфе 4.1, решая систему уравнений (4.3) для каждой одномерной последовательности системы (3.3) модификации метода Прони для двумерных сигналов. А после этого, уточняя тем же способом остальные параметры дополнительной размерности сигнала.Однако при статистическом моделировании применение алгоритма уточнения на начальном этапе приводило к срыву выполнения процедуры и уточнение удавалось получить только на последнем этапе алгоритма Прони, что позволяло получить оценку параметров аппроксимации только для одной размерности сигнала {\,Щ). Поэтому для получения уточнённой оценки других параметров ( , У2 ) в алгоритме Прони для двумерных сигналов проводилась аналогичная замена cs[n\ = ald"l в последовательности (3.1) на с п]-а ", для получения нужных оценок.
Результаты статистического моделирования представлены на рисунке 4.6. Из рисунков видно, что алгоритм уточнения не всегда позволяет уменьшить среднеквадратическую погрешность оценки параметров, а при определённых значениях соотношения шум/сигнал происходит даже «загрубление» результатов оценки. Одна из возможных причин проявления данного эффекта лежит в самом алгоритме уточнения, поскольку применяется он на последнем этапе получения оценок параметров аппроксимации сигнала, вследствие накопления ошибок на первом этапе оценки параметров двумерным вариантом метода Прони. Кроме того, на результаты моделирования может повлиять выбор конкретной набор параметров модели сигнала.
Как было показано в пункте 3.3 (рисунок 3.4), предложенный алгоритм для двумерного метода Прони не является оптимальным с точки зрения потенциальной точности, поскольку значения погрешности оценки параметров разложения лежат выше границы Крамера-Рао на 20-30 дБ.Для повышения точности предложенного алгоритма можно воспользоваться предложенным во второй главе способом,заключающийся в отыскании добавок Д/4,-, АД,-, Дй ;- - отклонения от действительных значений параметров Аі,Хі,0)і в (4.2), решая системулинейных уравнений (4.3).составленных из S и T отсчетов сигнала x[s,t] относительно коэффициентов а \а с дальнейшим вычислением корней yi,zjполиномов Pl(y),P2(z) производятся действия первых двух этаповодномерного алгоритма Прони, но для двух одномерных последовательностей:где Fu,F2i — некоторые комплексные амплитуды. Применяя к каждому ряду (4.7) алгоритм уточнения параметров разложения можно получить новые значения корней упг,. аметим, что амплитуды Fu,F2i нам неважны. Далее, зная уточнённые оценки корней полиномов Px(y),P2(z) можно уточнить оценку комплексных амплитуд А;, воспользовавшись (4.7):результаты статистического моделирования в виде зависимости среднеквадратической погрешности оценки параметров А,Я1,а 1,Я2,со2 от отношения шум/сигнал безуточнения и с уточнением параметров разложения по двумерному методу Прони, а также по методу пучка матриц в модификации для двумерных сигналов. Рисунки представлены в логарифмическом масштабе.
Из рисунка видно, что, используя предложенный алгоритм можно уточнить оценки параметров разложения двумерного сигнала по методу Прони на 10-30 дБ и приблизиться к границе Крамера-Рао. Кроме того, по точности двумерный метод Прони сравним с двумерный методом пучка матриц. Разница в погрешности между ними по величине составляет порядка 7-8 дБ. В настоящей диссертационной работе исследован ряд вопросов, связанных с потенциальной точностью методов экстраполяции локационных сигналов на ограниченном интервале наблюдения. Подводя краткий итог исследования, отметим следующие основные результаты. 1. Исследована потенциальная точность метода Прони для различных моделей сигнала. Получены аналитические выражения для границы Крамера-Рао, описывающие предельно достижимую точность оценки параметров разложения сигнала в ряд Прони. 2. Исследована потенциальная точность и оптимальность разложения сигнала с помощью метода пучка матриц. Показано, что данный метод эффективнее классического метода МНК Прони. Результаты статистического моделирования показали, что точность оценки параметров разложения по методу пучка матриц в среднем выше точности метода МНК Прони на 20-30 дБ, а расстояние до границы Крамера-Рао составляет примерно 10 дБ. 3. Предложены алгоритмы повышения точности аппроксимации сигналов по методу МНК Прони, показана их эффективность. Алгоритм позволяет повысить точность метода Прони на 10-20 дБ, что сравнивает его по эффективности с методом пучка матриц. 4. Исследована потенциальная точность разложения двумерной последовательности отсчётов в ряд двумерных экспонент для модели, содержащей две комплексно-сопряжённые экспоненты. Получены оценки границы Крамера-Рао, описывающие наивысшую достижимую точность оценки параметров разложения двумерного сигнала. 5. Предложены модификации метода Прони для оценки параметров разложения двумерного сигнала, проведено сравнение точности двух
