Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Модели доплеровских сигналов 12
1.1 Введение к главе 1 12
1.2 Интерференционная модель дифференциальной схемы ЛДА 12
1.3 Модели одночастинного сигнала ЛДА. . 16
1.3.1 Случай «малых» частиц , 16
1.3.2 Случай «больших» частиц 20
1.4 Модель многочастичного доплеровского сигнала 23
1.5 Статистическая модель сигнала на выходе фотодетектора 25
1.6 Цифровой алгоритм моделирования сигнала дифференциальной схемы ЛДА 28
1.7 Исследование статистических характеристик модельного сигнала ЛДА.30
1.8 Заключение к главе 1 35
ГЛАВА 2. Методы обработки доплеровских сигналов . 37
2.1 Введение к главе 2'. 37
2.2 Методы оценки параметров одночастинного сигнала ЛДА 38
2.2.1. Алгоритм цифрового спектрального анализа 38
2.2.2. Алгоритм дискретного счета 41
2.2.3. Алгоритм преобразования Гильберта 42
2.2.4. Сравнительная характеристика алгоритмов измерения частоты доплеровского сигнала 46
2.3 Визуализация доплеровских сигналов в двухфазных потоках 47
2.4 Оценка параметров сигналов ЛДА методом вейвлет-анализа. 52
2.4.1 Непрерывное вейвлет-преобразование 52
2.4.2 Цифровой алгоритм дискретизированного непрерывного вейвлет- преобразования 55
2.4.3 Обработка моделей одночастинного и двухчастичного сигналов ЛДА
методом вейвлет анализа 59
2.5 Заключение к главе 2. 62
ГЛАВА 3. Исследование погрешности оценки доплеровской частоты одночастичного сигнала лда методом вей влет-анализа 64
3.1 Введение к главе 3 64
3.2 Потенциальная точность оценки доплеровской частоты одночастичного сигнала ЛДА . 65
3;3 Аналитическая модель вейвлет-спектра одночастичного сигнала 69
3.4 Исследование погрешности оценки доплеровской частоты, одночастичного сигнала ЛДА методом численного моделирования алгоритма вейвлет-анализа. ; 72
3.4.1Влияние параметров анемометра и скорости частицы на погрешность измерений. 72
3.4.2 Влияние условий наблюдения на погрешность оценки скорости частицы. 76
3.5 Примеры обработки экспериментальных сигналов 78
3.6 Заключение к главе 3. . 86
ГЛАВА 4. Вейвлет-анализ сигналов лда сложной структуры 89
4.1 Введение к главе 4 89
4.2 Аналитическая модель вейвлет-спектра двухчастичного сигнала ЛДА в однофазном потоке.. . 89
4.3 Вейвлет-спектр сигнала от одиночной «большой» частицы 91
4 А Расчет смещения оценки доплеровской частоты сигнала ЛДА сложной структуры методом аппроксимации вейвлет-спектра 93
4.5 Исследование погрешности оценки доплеровской частоты двухчастичного сигнала ЛДА методом численного моделирования алгоритма вейвлет-анализа. 96
4.5.1 Влияние расстояния между частицами 96
4.5.2 Влияние относительной разности скоростей двух частиц 100
4.5.3 Влияние размера частиц , 101
4.5.4 Влияние параметров вейвлет-базиса 102
4.6 Обработка экспериментальных сигналов сложной структуры 104
4.7 Заключение к главе 4... 106
Заключение 109
Список литературы
- Интерференционная модель дифференциальной схемы ЛДА
- Алгоритм цифрового спектрального анализа
- Потенциальная точность оценки доплеровской частоты одночастичного сигнала ЛДА
- Вейвлет-спектр сигнала от одиночной «большой» частицы
Введение к работе
Актуальность работы. Лазерные измерительные системы (ЛИС)
считаются в настоящее время наиболее универсальными и эффективными средствами для исследования потоков жидкости или газа в экспериментальной аэро- и гидродинамике. Основными преимуществами ЛИС по сравнению с другими средствами измерений являются бесконтактность, дистанционность, высокое временное и пространственное разрешение, а также возможность полной автоматизации процесса измерений.
Одной из актуальных задач диагностики потоков является высокоточное измерение скорости в различных областях потока жидкости или газа. В связи с этим в аэро- и гидродинамическом эксперименте широкое распространение получили лазерные доплеровские анемометры (ЛДА), реализующие доплеровский метод измерения локальной скорости.
В анемометрах с дифференциальной оптической схемой сигнал формируется в результате пролета одной или нескольких светорассеивающих частиц из исследуемого потока через измерительный объем установки: движение частицы приводит к модуляции мощности рассеянного излучения, регистрируемого фотоприемником. На выходе фотоприемника ЛДА возникают сигналы характерного вида - одночастичные или многочастичные доплеровские сигналы.
Применяемые в настоящее время ЛДА работают, как правило, в одночастичном режиме. При этом традиционным методом оценки доплеровской частоты сигналов является анализ их Фурье-спектров. Однако использование только одночастичных сигналов при обработке потока экспериментальных данных приводит к потере части измерительной информации. При работе же з многочастичном режиме, когда отклики от отдельных частиц накладываются друг на друга с различными фазовыми задержками, спектры сигналов имеют довольно сложную форму. Аналогичный
характер спектра наблюдается при пШ&зйЛЛКЯЙіМУ'Ч^Ібольїііих» частиц,
г БИБЛИОТЕКА і
\ gBftfel
4 размеры которых соизмеримы либо превышают период интерференционной картины в области измерительного объема ЛДА. Все это ведет к дополнительным погрешностям оценки доплеровской частоты. Оконное преобразование Фурье позволяет снизить значения данных погрешностей, но не обладает способностью адаптироваться к изменению параметров обрабатываемых сигналов. В этих условиях перспективным методом оценивания является использование вейвлет-преобразования - метода, получившего в последнее десятилетие широкое развитие во многих теоретических и практических приложениях.
Вейвлет-анализ основан на разложении исходного сигнала по функциям, локализованным как во временном, так и в частотном пространствах (идея метода была сформулирована в работе А. Гроссмана и Ж. Морле в 1984 г.). В отличие от анализа Фурье, вейвлет-разложение проецирует сигнал на полуплоскость время-частота, что позволяет разделять разномасштабные события и исследовать зависимость спектральных характеристик от времени.
В результате, использование такого частотно-временного анализа позволяет снять ограничения, связанные с одночастичным режимом работы ЛДА, и тем самым сократить время простоя измерительной системы, повысить ее эффективность. В связи с этим задача разработки и исследования методов оценки параметров сигналов ЛДА с использованием алгоритмов вейвлет-анализа становится особенно актуальной.
Цель работы. Основными целями настоящей работы являются:
адаптация методов вейвлет-анализа к задачам обработки сигналов ЛДА; - разработка цифровых алгоритмов оценки частоты сигналов ЛДА с
использованием аппарата вейвлет-анализа и соответствующих
программных средств компьютерной обработки сигналов ЛДА;
анализ погрешностей оценки частоты сигналов ЛДА при использовании
разработанных алгоритмов.
Научная новизна работы. В работе получен ряд новых результатов, связанных с разработкой статистических моделей доплеровских сигналов и их
5 вейвлет-спектров, оптимизацией цифровых вейвлет-алгоритмов оценки частоты
сигналов Л ДА и анализом статистических характеристик их погрешностей. На чапгату выносятся:
-
Цифровая статистическая модель формирования сигнала на выходе фотодетектора.
-
Аналитические модели вейвлет-спектров Морле сигналов ДДА сложной структуры.
-
Характеристики погрешности оценки доплеровской частоты одночастичного и двухчастичного сигналов ДДА методом вейвлет-анализа.
-
Результаты исследования влияния скорости частиц, параметров анемометра и условий наблюдения на погрешность оценки скорости. Практическая ценность работы. Создан пакет прикладных программ,
реализующих разработанные компьютерные алгоритмы обработки сигналов ДДА, функционирующий в операционной системе Windows. Основная программа пакета «Wavelets in LB А» была использована при исследовании статистических характеристик погрешностей алгоритмов методом численного моделирования и для измерений параметров реальных доплеровских сигналов. При помощи данной программы была проведена обработка сигналов ультразвукового дефектоскопа. Результаты анализа влияния режима проведения измерений на погрешность позволили сформулировать рекомендации по выбору оптимальных параметров оптической схемы и алгоритма обработки.
Достоверность полученных результатов. При разработке и оценке параметров статистической модели сигнала ДДА проводились сравнение характеристик ее элементов с литературными данными и экспериментальные исследования, подтверждающие ее достоверность. Для проверки работоспособности алгоритмов оценки частоты исследуемых сигналов использовалось численное моделирование, а также экспериментальные исследования с применением источника эталонных сигналов — электронного
имитатора. Правильность полученных оценок погрешностей разработанных алгоритмов подтверждается их сравнением с результатами численного моделирования, а также результатами расчета нижней границы дисперсии оценок для случая одночастичного сигнала. Достоверность полученных аналитических выражений для вейвлет-спектров, подтверждена путем сравнения их со спектрами, полученными численным моделированием.
Апробация работы. Основные результаты, приводимые в диссертации, докладывались и обсуждались: на Международных НТК студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (2000-2004 г.г., г. Москва); VII Международном симпозиуме по лазерной метрологии (2002 г., г. Новосибирск); VII Международной НТК "Оптические методы исследования потоков" (2003 г., г. Москва); Международной НК к 95-летию академика ВА Котельникова "Современная радиоэлектроника в ретроспективе идей ВА Котельникова" (2003 г., г. Москва), а также на научных семинарах кафедры Основ радиотехники МЭИ.
Публикации. Основные результаты работы изложены в 10 публикациях (статьи - 2, труды конференций - 2, тезисы докладов - 6).
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объем работы - 131 страница (из них 4 приложения на 13 страницах), в ней содержится 58 рисунков и 3 таблицы.
Интерференционная модель дифференциальной схемы ЛДА
В рамках исследования методов обработки сигналов ЛДА и их анализа в различных режимах работы возникает необходимость в источнике таких сигналов, причем параметры этих сигналов должны быть известны с высокой точностью. Очевидно, что использование реальной установки ЛДА для их получения; не очень удобно и, к тому же, не всегда возможно. Поэтому на практике пользуются моделью сигнала (модель сигнала — лишь необходимый; этап для разработки алгоритмов анализа сигналов).
При моделировании таких сигналов основные трудности; связаны с учетом шумовой составляющей, поскольку характеристики шумов в ЛДА зависят от множества факторов и изменяются с течением времени. При достаточно большой мощности регистрируемого фото приемником излучения аддитивный шум можно представить в виде нестационарного гауссова процесса с ненулевым средним значением [9, 34].
Кроме того, в различных режимах функционирования установки ЛДА (одночастичный или многочастичный) выгоднее использовать модели сигналов, учитывающие специфику работы в каждом отдельном случае.
Таким образом, цель данного раздела - разработка и предварительный анализ моделей сигналов, учитывающих особенности реальных шумов, возникающих в установках ЛДА.
Рассмотрим более подробно работу дифференциальной схемы ЛДА (рис. В.1), используя при этом широко распространенную интерференционную модель [I, 4]. Согласно данной модели сигнал на выходе схемы ЛДА пропорционален мощности рассеянного движущимися в потоке частицами интерференционного поля, которое образуется в области пресечения двух лазерных пучков с частотами ОЇІ и а 2 = \ 12» зондирующих исследуемый поток. Интерференционное поле представляет собой периодическое распределение интенсивности, меняющееся во времени и. эквивалентное бегущей оптической решетке, состоящей из чередования светлых и темных полос, направленных вдоль биссектрисы угла пересечения пучков (рис. 1.1).
Для соі= й2 возникающее интерференционное поле стационарно и его видность (одна из основных характеристик такого поля) определяется соотношением V = 2 /(1 + ), (1.1) где g h/h - отношение интенсивностей первого и второго пучков. Пространственный период интерференционного поля Л зависит от длины волны лазера X и угла пересечения между пучками а:
Движение малой (rl\«\) по сравнению с длиной волны частицы через интерференционное поле (рис. 1.1) в направлении, перпендикулярном направлению полос со скоростью Vx, приводит к . модуляции мощности рассеянного излучения, регистрируемого фотоприемником [I]:
Здесь Л) — мощность излучения лазера; WQ — эффективный радиус пучка, численно равный расстоянию от центра пучка, на котором плотность мощности уменьшается в е раз; о- - сечение рассеяния частицы, зависящее от ее оптических свойств (размера, показателя преломления) и параметров приемной оптики (направления приема рассеянного излучения, размеров и формы апертуры приемной оптики); V — видность интерференционной картины, определяемая по (1.1) с g=Pi/P\ (Р\, Рг- мощности первого и второго пучков).
Если угол между пучками составляет единицы градусов, а размер частицы порядка длины волны лазерного излучения, то необходимо учитывать зависимость рассеянного излучения от направления наблюдения и состояния поляризации падающих пучков. Как показано в [1], необходимо рассматривать интерференцию не падающих на частицу пучков, а интерференцию рассеянного излучения на поверхности фотоприемника, действуя на основе теории рассеяния Ми. Согласно [1] мощность рассеянного излучения можно представить в виде р.=Щ а, +а2 +2а12со5(а12г- + ф] exp Vjf/w20}, (1.4) где Сі, o3 - сечения рассеяния частицы для первого и второго пучков; ]аі2І-модуль когерентного сечения рассеяния частицей двух пучков, Ф - начальная разность фаз, зависящая от свойств частицы и ее координат.
Когерентное сечение рассеяния частицы характеризует способность рассеянных волны интерферировать и зависит от оптических параметров частицы и условий освещения и приема рассеянного излучения.
Алгоритм цифрового спектрального анализа
Метод цифрового спектрального анализа (ЦСА) является основным и чаще всего используется на практике. Как и в аналоговом спектроанализаторе, оценка доплеровской частоты проводится по положению максимума модуля спектральной плотности сигнала [36]. Исходная информация содержится в выборке из N отсчетов s(kTJ (Tj — интервал дискретизации, к - порядковый номер отсчета в выборке) смеси сигнала и шума: на входе электронного процессора, а спектральная плотность определяется как дискретное преобразование Фурье (ДПФ) выборки. Положение максимума модуля спектральной плотности может быть найдено при помощи, гауссовой аппроксимации огибающей дискретного спектра в области доплеровской частоты fs = VJA(VX - измеряемая компонента скорости, Л-период интерференционной картины в измерительном объеме ЛДА) по, трем коэффициентам ДПФ с номерами г -1, г о, го+\, где г0 - номер максимального по модулю: коэффициента ДПФ в окрестности частоты fs, равный- в отсутствие погрешностей целой части отношения 2TI/J/Q, где 0=2зт/ЛТ / - интервал дискретизации спектра по частоте; Анализируя выражение для спектральной плотности S(a ). сигнала (1.16), можно показать, что оценка частоты, соответствующая максимуму гауссовой; аппроксимации модуля спектра, определяется соотношением [32]: где S]=\ 5(г0П-П) , S2- I S(rQQ.) 1, 53= I S(roCl+Q) \ - модули соответствующих коэффициентов ДПФ сигнала (1.16).
Относительная погрешность измерения частоты fs содержит систематическую и случайную составляющие. Систематическая составляющая погрешности носит методический характер и обусловлена фильтрацией и дискретизацией сигнала, а также неточностью используемой расчетной формулы (2.1). Погрешность фильтрации появляется вследствие деформации спектра исследуемого сигнала частотной характеристикой входного полосового фильтра. Причиной возникновения погрешности дискретизации являются искажения спектра дискретного сигнала по сравнению с исходным спектром, приводящие к смещению положения максимума модуля его спектральной плотности. Данные искажения становятся существенными при предельно малых значениях частоты дискретизации, близких к удвоенной верхней граничной частоте спектра, сигнала (1.16). Последняя из составляющих методической погрешности обусловлена неточностью расчетной формулы (2.1), которая не учитывает влияние низкочастотной части спектра сигнала на координату максимума модуля его спектральной плотности в окрестности частоты ..
Источниками возникновения случайной составляющей погрешности оценки доплеровской частоты являются неточность установки частоты дискретизации и погрешность расчета коэффициентов ДПФ выборки. При использовании высокостабильных генераторов опорных колебаний с цифровым контролем частоты выходного гармонического сигнала можно полагать, что случайная составляющая погрешности определяется отношением сигнал-шум на выходе фотоприемника, инструментальной погрешностью электронного блока и размером обрабатываемой выборки. Подробный анализ погрешностей при оценке параметров ЛДА-сигнала был проведен в [34] путем численного моделирования на ЭВМ, здесь приведем лишь основные выводы: — погрешность оценки доплеровской частоты по положению максимума модуля спектральной плотности уменьшается с ростом числа периодов Лг доплеровского сигнала в пределах эффективной длительности импульса и для заданных значений NT и q (отношения сигнал-шум) может быть минимизирована путем выбора оптимального значения т (числа отсчетов на периоде); — если отношение сигнал-шум на входе АЦП j 100, влиянием восьмиразрядного квантования сигнала на погрешность измерений можно пренебречь; — погрешность оценки доплеровской частоты 6/4 0.1% может быть достигнута путем оптимального выбора т=50 для сигналов с Nf=\2 при отношении сигнал-шум q 10, а для сигналов с JVj=4 - при q 300.
Потенциальная точность оценки доплеровской частоты одночастичного сигнала ЛДА
Одной из основных составляющих погрешности измерения скорости в ЛДА является погрешность измерения доплеровского сдвига частоты . Анализ потенциальной точности оценки fs позволяет выявить ряд фундаментальных метрологических ограничений, знание которых лежит в основе проектирования лазерных анемометров. Полученные при этом оценки определяют нижние границы относительных погрешностей измерения скорости методом ЛДА.
Оценка параметров сигнала при наличии шума обычно проводится методами теории, вероятностей и математической статистики по результатам наблюдений реализации смеси сигнала и шума в течение определенного промежутка времени [7]. При использовании цифровых методов обработки исходная информация содержится в выборке х из N результатов измерений мгновенных значений смеси сигнала и шума, проведенных в моменты времени /„, и-1,.., N. Поскольку каждый из результатов содержит составляющую шума, их можно рассматривать как непрерывные случайные величины. Оценки параметров доплеровского сигнала определяются путем обработки исходной выборки данных х по определенному алгоритму. При использовании оценки максимального правдоподобия (ОМП) задача алгоритма обработки состоит в расчете параметров, обеспечивающих максимум функции правдоподобия w vlj ) выборки д;, где у — вектор оцениваемых параметров. Потенциальная точность оценки отдельного параметра сигнала в виде нижней границы дисперсии оценки определяется неравенством Рао-Крамера [7]: — \nw(x\y) А где {...}- операция усреднения, у- оценка параметра. Величину (3.1) / = — \nw(x\y) (3.2) называют информацией по Фишеру. В случае совместного оценивания нескольких параметров, когда у — вектор, неравенство (3.1) записывается в виде Dy r , (3.3) определяя минимальную дисперсионную матричную границу (МДМГ) совместных оценок. Здесь Dy - корреляционная матрица ошибок несмещенных совместных оценок параметров, элементы которой D,l=b,-y,bj-yjl а I — информационная матрица Фишера с элементами (3.4) 1Ч = С \ ду{ lnw(xy) V 3yj Inw(xjy) (3.5)
Произвольный элемент дисперсионной матрицы (3.3) может быть определен согласно (3.5) по формуле D..= ./detI, (3.6) где Ау — алгебраическое дополнение элемента информационной матрицы 1{], detl - определитель информационной матрицы.
Как было показано в главе 1, для дифференциального Л ДА с гауссовыми пучками модель сигнала от одиночной рассеивающей частицы, пересекающей измерительный объем с постоянной скоростью Vx и перпендикулярно интерференционным полосам, может быть представлена в следующем виде: где s(t) - модель сигнала, которая может быть интерпретирована как временная зависимость напряжения на выходе блока приемной оптики ЛДА в идеализированном случае отсутствия погрешностей и шумов, a y\-\J , уг к, Уъ Ты у4=М, ys=fs, уь= & - параметры модели. Информативным при измерении скорости является параметру, но поскольку другие перечисленные параметры в условиях реальных измерений априори неизвестны, речь в общем случае должна идти о совместном оценивании, что требует расчетов всех элементов информационной матрицы Фишера по формуле (3.5).
Условная: плотность вероятности w(x[y),. необходимая для расчета I, зависит как от модели сигнала, так и от статистических характеристик погрешностей измерений (/), т.е. от шумов различного происхождения. В общем случае потенциальная точность ЛДА-измерений скорости частицы ограничивается фотонными шумами сигнала и фона, шумами фотоприемника, шумами лазера, шумами исследуемой среды и др.
В [39] рассмотрен предельный случай ограничения точности фотонным шумом: сигнала, фотоприемник считался идеальным с квантовой эффективностью т=1, линейным преобразователем числа квантов п на входе в фототек і=еп на выходе, не содержащим источники аддитивного и мультипликативного шума. Излучение лазера предполагалось идеально когерентным с постоянной интенсивностью и пуассоновской статистикой фотонов, а модуляционный шум среды пренебрежимо малым. При этих условиях единственным источником погрешностей, определяющим фундаментальный квантовый предел точности измерения скорости, оказывался дробовой (квантовый, фотонный) шум сигнального импульса излучения.
Последовательность чисел х„, взятая на промежутке -772 до 772 с шагом At, представляла результат измерения сигнального импульса фототока (здесь Т — общее время измерения). Иными словами, отсчеты х„ формировались согласно (1.23) и (1.24) - в соответствии со статистической моделью ЛДА-сигнала. Указав ряд допущений (не учитывается инерционность фотопреобразователя Д/-з Тфпр, ток квазистационарен At fs , а Т У Те) и пропуская получение TV IJ) и последовательный расчет 1ц (подробный вывод приведен в [39]), обратимся к окончательному результату анализа потенциальной точности оценки
Вейвлет-спектр сигнала от одиночной «большой» частицы
Наиболее простой случай двухчастичного режима имеет место, когда частицы одного размера (ai=a2=a, U\=U2=U), попавшие в измерительный объем, движутся по одной и той же траектории (М\=М2—М) с одинаковой скоростью (l\=Q.2=l). Единственный параметр, уникальный для каждой из частиц, - время пролета через центр измерительного объема ( Ф h, bt = - )- В разделе 1.3.2 показано, что такой же вид выходного отклика характерен и для случая регистрации сигнала от одиночной «большой» частицы. Вейвлет-спектр (4.5) в этом случае запишется в виде оф(М)2 (аП-су)2 „(6- ІХ(СШ«)».-»-РД)) ,2V 2 p + aa2 (4.6) oPfr- if (an-mw)2 ,(й- Х(даи +РД)) MU р+сш: e f ]e p+aa2 2 V(3 + aa2 Поскольку оценка параметров доплеровского сигнала проводится по модулю вейвлет-спектра, получим выражение для \fV\2(a,b)\. С учетом выражений (4.4) модуль может быть найден как Ki2M) = VK)2 +)2 +2А;А; СОЗ(Ф; -Ф; . (4.7)
Видно, что вейвлет-спектр двухчастичного сигнала состоит из двух областей, по максимумам которых можно оценивать параметры исходного сигнала. Как было показано в разделе 3.3, для одночастичного сигнала Л ДА координаты максимума модуля его вейвлет-спектра fft(a,o) однозначно связаны с параметрами Q и fo модели (ЗЛО), и поэтому определение этих координат дает возможность оценить скорость и пространственное положение частицы. Однако в спектре двухчастичного сигнала ]Ж2(я,о), являющимся суперпозицией спектров откликов от двух частиц, координаты максимумов смещены на некоторые величины Аа и До относительно искомых значений ao=mJQ, и о=/ (ПРИ оценивании параметров первой частицы). Таким образом, возникает резонный вопрос о величине этих поправок и о возможности их учета при определении искомых параметров сигнала.
Будем рассматривать вейвлет-спектр \Wl2(a,b)\ как функцию W(a,byX\ где X— вектор параметров исследуемого сигнала, присутствующих, естественно, и в его спектре. Положим, что наличие экстремума ожидается в точке, близкой к значениям a=ao G)JQ., b=bu= t\. Таким образом, поправки Да - ctq-am и Ab = 60- т представляют собой отношения первых и вторых производных функции W{a,b,X)na координатам а и в точке (а0, bo).
Очевидно, что предложенная аппроксимация справедлива лишь в окрестности точки разложения (а ь- &oV а это накладывает ограничения на возможную величину поправки.
Как следует из (4.11), характер поправок должен зависеть от параметров сигнала (вектора параметров А.). Анализ показывает, что наибольшее влияние на точность оценивания оказывает временной сдвиг между сигналами At. С периодичностью Ts-2nlQ. сигналы от частиц складываются в противофазе (при Д =(2и+1)7У2), что ведет к расщеплению спектра и, соответственно, резкому росту погрешности оценки частоты (рис. 4.2, а - сплошная линия). Аналогичное влияние сдвиг At оказывает и на оценивание временного положения импульсного отклика (рис. 4.2, б — сплошная линия). Тем не менее, с ростом абсолютного значения At, когда происходит четкое разделение вейвлет-спектра по времени на две области, уровень погрешности уменьшается.
На рис. 4.2, а, б можно оценить и степень применимости предложенной аппроксимации. Пунктиром показана кривая, характеризующая погрешность оценивания параметров по максимуму вейвлет-спектра. Видно, что кривые для поправок, построенные по аналитическим зависимостям (4.11), хорошо совпадают с кривыми, полученными в результате численного моделирования. Тем самым подтверждается адекватность предложенной аппроксимации.
При вариации частоты сигнала Q. для фиксированного сдвига между частицами наблюдается аналогичное осциллирующее поведение поправок. G ростом частоты общий уровень погрешностей, так же как и на рис. 4.2, снижается.
Для анализа погрешностей оценивания были проведены моделирование и обработка сигналов ЛДА при различных значениях параметров сигналов и анализирующих вейвлетов. Модель сигнала ЛДА представляет собой импульсный случайный, процесс в виде пуассоновской последовательности одноэлектронных импульсов фототока, протекающих через: нагрузку фотодетектора (1.25). В качестве модели двухчастичного сигнала использовалась сумма двух одночастичных сигналов.
Параметры оптической схемы анемометра следующие: радиус пучка w0=80 мкм, период интерференционной картины Л=14 мкм. Исследовались частицы со скоростями 4,5-5,0 м/с, т.е. относительная разность частот между ними AV/V составляла 0-10%. Число отсчетов сигнала и вейвлета1 в обрабатываемых массивах было выбрано: равным JV=2048. Значения параметров материнского вейвлета были равны fjfd = 0,02, TJTd — 200, fd = 20 МГц. Статистическая обработка результатов анализа велась для числа испытаний равного 120.
В случае двухчастичного сигнала имеет место взаимное влияние частиц на оценки их скорости. В работе было проведено исследование влияния параметров второй частицы на оценки параметров первой частицы.
Результаты исследования влияния расстояния между частицами? на погрешность оценки скорости приведены на рис. 4.3.
Видно, что зависимость относительной методической погрешности оценки скорости первой частицы от расстояния между первой и. второй частицами носит осциллирующий характер (период осцилляции, определяется их скоростью, здесь и далее ДК/К=(К- 2)/Г). Аналогичные зависимости были получены в разделе 4.4 для аналитической модели сигнала. Для частиц, расстояние между которыми не менее 7А (AtfTj=7A/(V] TJ)=392), погрешности оценивания скорости не превышают значения 3%.
