Содержание к диссертации
ВВЕЩЕНИЕ 4
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ 15
Вывод уравнений движения 15
Интегралы системы уравнений движения и их использование для преобразования системы уравнений движения 23
Эквивалентность полученных уравнений движения 30
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ИСЗ ПРИ k .= i0 39
Качественный анализ системы , 39
Решение системы уравнений при kz = k0 47
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ИСЗ 55
Метод преобразования нелинейных .дифференциальных уравнений, близких к точно интегрирующимся 55
Преобразование системы уравнений движения с помощью методики преобразования систем, близких к точно интегрирующимся 56
Построение системы уравнений первого приближения 66
Разложение некоторых эллиптических функций в тригонометрические ряды 70
Построение первого приближения решения для углов прецессии и нутации 107
Построение первого приближения решения для угла собственного вращения III
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ НА ЭВМ 116
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И КРАТКИЕ ВЫВОДЫ 125
6. ПРИЛОЖЕНИЕ І. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ СИСТЕМЫ -ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 126
ЛИТЕРАТУРА
Введение к работе
В диссертационной работе рассматривается ограниченная задача движения динамически-симметричного спутника Земли относительно центра масс в гравитационном поле. Центр масс движется по круговой орбите.
В первой главе получены уравнения .движения динамически-симметричного сжатого спутника относительно центра масс, аналогичные уравнениям для динамически-симметричного вытянутого спутника, полученные Мартыновой Н.Ф. [38,58] . Движение в рассматриваемом случае описывается системой шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. За счет существования интеграла, выражающего постоянство осевой компоненты, абсолютной угловой скорости вращения, задача сводится к исследованию двух дифференциальных уравнений второго порядка относительно углов прецессии и нутации, описывающих положение оси собственного вращения спутника в пространстве. Уравнение для угла собственного вращения отделяется от основной системы и может интегрироваться отдельно, после получения решения по углам прецессий и нутации. В случае движения по круговой орбите эта система имеет интеграл типа Якоби. С учетом его вида вводится в .рассмотрение амплитудная функция k () , характеризующая амплитуду углов прецессии и нутацид, и рассматриваемая задача приводится к системе третьего порядка.
Во второй главе рассматривается система уравнений для случая, когда k Ч)= к-о = const , Каждое из уравнений этой системы приводится к уравнению математического маятника. Решение системы выражается в эллиптических функциях Якоби и является -условно периодическим. Рассматриваются все виды движений, соответствующие постоянной функции k . Исследуется качественная картина движения, строятся оценки для углов ориентации.
В третьей главе решается задача пространственного движения динамически-симметричного сжатого спутника в нелинейной постановке. Искомое решение ищется в таком же виде, как и решение системы при k - "ъ t т0 есть Б вдДе эллиптических функций с параметрами, изменяющимися во времени. Уравнения движения приводятся к виду, близкому к точно интегрирующемуся. Используя методику преобразования нелинейных дифференциальных уравнений, близких к точно интегрирующимся, строится новая система дифференциальных уравнений для аргументов этих функций и амплитуды колебаний, удобная для нахождения решения методом последовательных приближений. Эллиптические функции, стоящие в правых частях системы, заменяются тригонометрическими рядами. Полученная система позволяет искать поправки к параметрам движения в виде двухаргументных быстросходящихся тригонометрических рядов.
В четвертой главе рассматривается моделирование задачи на ЭВМ. На примерах показано хорошее совпадение приближенного решения системы дифференциальных уравнений движения и модельного движения, полученного с помощью численного интегрирования.
Кроме основного текста, в работе помещено одно приложение. -В приложении проведено преобразование правых частей уравнений исследуемой системы к тригонометрическим рядам.
В диссертации принята следующая нумерация формул: первая цифра в круглых скобках означает номер главы, вторая - номер формулы в главе.
Прежде, чем перейти к более подробному изложению содержания диссертации, остановимся на истории вопроса. Интерес к исследованиям, связанным с теорией движения искусственных космических объектов, возрос и приобрел особую актуальность после запуска первых спутников Земли и в связи с последующими успехами в освоении космического пространства. Существенной частью исследования движения спутников является анализ их вращательного движения относительно центра масс. Ряд динамических и геофизических задач требует знания ориентации спутника в пространстве. Большое значение имеет положение спутника для приборов, с помощью которых производят исследования состава и строения верхней атмосферы и магнитного поля Земли, излучений Солнца, движение около центра масс влияет и на орбитальное движение спутника, другой ряд задач, требующий анализа движения спутника относительно центра масс, связан с возможностью получения пассивной ориентации ИСЗ. В этих задачах существенным является нахождение естественных ориентированных положений спутника, анализ устойчивости этих положений и движений в их окрестности. Кроме того, движение спутника относительно центра масс представляет и самостоятельный интерес как задача механики.
Сложность задачи о вращательном движении искусственных космических объектов обуславливается произвольностью формы и распределения масс объекта, произвольностью начальных данных, многочисленностью факторов, влияющих на движение.
Существенное влияние на движение спутников относительно центра масс оказывают гравитационные моменты. Лучше понять эффекты, вызываемые этими моментами в движении спутников, помогает исследование влияния гравитационных моментов на тело, закрепленное в одной точке.
Задача об исследовании движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки является одной из самых замечательных задач теоретической механики. Она представляет собой естественное обобщение задачи о качании маятника; но в то время, как задача о качании маятника решается до конца средствами современной математики, задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, несмотря на замечательные результаты, полученные, при ее решении крупнейшими математиками последних столетий, еще далека от полного разрешения. Большой вклад в решение задачи о движении твердого тела относительно закрепленной точки внесли математики Л.Эйлер, Ж.Л.Лагранж, С.Д.Пуассон, А.Пуанкаре, П.С.Лаплас , С.В.Ковалевская.
После вывода кинематических и. динамических уравнений движения твердого тела развитие теории движения твердого тела около неподвижной точки прошло два важных этапа, которые связаны с открытием двух частных случаев решения этой задачи. Решение задачи сводится к решению шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Эти уравнения не содержат явно времени и для них известен последний множитель Якоби. Поэтому для полного решения задачи нужно найти четыре первых интеграла. Три из них известны: интеграл косинусов, площадей и энергии. Вся трудность состоит в определении четвертого интеграла. Этот интеграл был найден в двух случаях:
I) в случае Эйлера-Пуансо, когда сумма моментов всех внешних сил относительно неподвижной точки раЕна нулю (движение по инерции);
2) в случае Лагранжа, когда эллипсоид инерции тела относительно неподвижной точки представляет эллипсоид вращения и центр тяжести лежит на оси симметрии.
В 1888 г. С.Ковалевская открыла еще один случай, когда уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки допус 8 кают полную интеграцию: в этом случае эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, причем его экваториальная плоскость проходит через центр тяжести и главные моменты инерции связаны соотношением Jf - б = л с .
Эти три случая являются общими в том смысле, что при ре- шении задачи не делается никаких частных предположений о начальных условиях движения. В работах Пуанкаре, Хеттона и ряда других исследователей доказано, что четвертый однозначный интеграл существует только в классических случаях, то есть в тех случаях, когда интегралы уравнений являются функциями меромор-фными. Таким образом, других общих случаев интегрируемости уравнений движения твердого тела около неподвижной точки, кроме случаев Эйлера-Пуансо, Лагранжа и Ковалевской, не существует. Но были найдены случаи, когда существуют частные алгебраические интегралы, имеющие место только при некоторых специфически выбранных начальных условиях. Таковы случаи В.Гесса, С.А.Чаплыгина, Д.К.Бобылева-В.А.Стеклова, Д.Н.Горячева и др.
В указанных случаях Эйлера и Лагранжа полученные решения, рассматриваемые как функции комплексной переменной - на всей комплексной плоскости, являются однозначными эллиптическими функциями. С.В.Ковалевская [ 27 ]показала, что в третьем случае любое решение выражается через гиперэллиптические функции. В.И.Зубовым в Г 26 1 доказано, что решение системы уравнений движения твердого тела относительно неподвижной точки существует при любом вещественном времени и функции, представляющие это решение, являются голоморфными на плоскости комплексной переменной в полосе шириной Z/t (/t, о) симметричной относительно вещественной оси і є (- °, ) ,
При исследовании движения искусственного спутника его можно принять за твердое тело, которое движется в центрально симметричном поле тяготения. Если тело, движущееся в ньютоновском центральном поле сил, является не материальной точкой , а твердым телом конечного размера, то его поступательное и вращательное движения взаимосвязаны. Б 1958 году Г.Н.Дубошин опубликовал f 20 J полные уравнения поступательно-вращательного движения тяготеющих тел и их первые интегралы. Для реального спутника связь поступательного и вращательного движений очень слаба, вследствие того, что размеры спутника малы по сравнению с расстоянием до притягивающего центра. Поэтому в первом приближении можно считать, что вращательное движение спутника вокруг центра масс не зависит от движения его центра масс (так называемая ограниченная постановка задачи).
Как задача механики движение спутника около центра масс представляет большой интерес. Это движение можно разделить на два основных типа. Если кинетичеекая энергия вращения спутника мала по сравнению с работой внешних сил, то возможно движение либрационного типа. Если же кинетическая энергия вращения спутника велика по сравнению с работой внешних сил, то движение будет близко к ротационному движению.
При движении спутника по орбите, находящейся достаточно далеко от поверхности Земли, главное воздействие на него оказывают гравитационные силы. Систематическое изложение теории относительного движения спутника в гравитационном поле дается в книгах В.В.Белецкого [ II, 13 ] . Оно основано как на работах автора, так и на работах Ф.Л.Черноусько, А.П.Торжевского, А.П.Маркеева (СССР), Т.Р.Кейна, Дж.Браквила, Р.Прингля (США) и некоторых других движение спутника относительно центра масс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В общем случае эта система не интегрируется в квадратурах. Поэтому большое значение приобретает проблема отыскания частных решений или частных интегралов, позволяющих установить хотя бы некоторые свойства функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям, а, следовательно, и некоторые свойства движения. Для многих задач небесной механики особо важную роль играют стационарные решения и их устойчивость, так как лишь устойчивые движения могут быть фактически реализованы.
Задача о вращательном движении небесного тела относительно его центра инерции в ньютоновском поле тяготения допускает в качестве частных решений положения относительного равновесия, при которых главные центральные оси инерции спутника, движущегося по круговой орбите, ориентированы вдоль радиуса-вектора центра масс, касательной к орбите и нормали к плоскости орбиты.
Впервые эта проблема была изучена Ж.Л.Лагранжем [ 56 ] , который указал необходимое условие устойчивости отмеченных частных решений. В нелинейной постановке эта задача исследовалась В.В.Белецким [ 8 ] . Им дан строгий по Ляпунову вывод условий устойчивости относительного равновесия.
Первые работы В.В.Белецкого, посвященные задаче относительного движения спутника в гравитационном поле, появились в конце пятидесятых годов. В работах [ 9, II ] В.В.Белецкий исследовал случай движения, когда кинетическая энергия движения спутника относительно центра масс много больше работы моментов внешних сил, спутник динамически-симметричный, орбита круговая или почти круговая. В них приводится полная система уравнений в окулирующих элементах для описания вращательного движения динамически-симметричного спутника. В качестве невозмущенного движения рассматривается регулярная прецессия. Далее автором используется метод осреднения. Ввиду наличия двух быстрых переменных применение метода осреднения зависит от того, существует ли резонансное соотношение между частотшли изменения этих переменных или нет.
В книге [ II J подробно рассмотрен нерезонансный случай. Рассмотрены гравитационные моменты как в центральном ньютоновском поле сил, так и при отклонении поля от центрального. Рассмотрены либрационные движения спутников. Показано, что гравитационные моменты обеспечивают устойчивое относительное равновесие спутника на круговой орбите при расположении наибольшей оси эллипсоида инерции вдоль радиуса-вектора его центра масс, наименьшей оси по нормали к плоскости орбиты и, следовательно, средней оси по касательной к орбите. Исследованы плоские и пространственные колебания около этого положения.
В работе доказана устойчивость относительного равновесия спутника в гравитационном поле и проанализированы достаточные условия устойчивости в общей форме, в частности, рассмотрены положения относительного равновесия спутника, движущегося по круговой орбите, при учете гравитационных и аэродинамических моментов. Излагается теория ротационного движения спутника, при этом исследуются уравнения в оскулирующих элементах, которые описывают эволюцию вектора кинетического момента в пространстве и эволюцию эйлерова движения относительно вектора кинетического момента. Исследование возмущенного движения проводится асимптотическими методами теории колебаний, при этом осреднение по быстрому вращению и по орбитальному движению центра масс спутника позволяет выявить вековые эффекты возмущенного движения. В работе исследованы стационарные движения динамически-симметричного спутника, устойчивость возмущенного движения динамически-симметричного спутника.
Впервые стационарные режимы у динамически-симметричного спутника найдены Г.Н.Дубошиным [ 21 J и В.Т.Кондурарем [ 28]. В работе Г.Н.Дубошина содержатся первые исследования устойчивости этих стационарных движений, получены необходимые условия устойчивости стационарных режимов. Существенным продвижением в исследованиях устойчивости стационарных движений симметричного спутника явилась работа Ф.Л.Черноусько [53 ] , в которой найдены достаточные условия устойчивости всех стационарных режимов путем построения соответствующих функций Ляпунова. Кроме того, автором доказано, что не существует никаких других стационарных движений двухосного спутника, кроме исследованных в этой статье.
С вопросом о достаточных условиях устойчивости тесно связан вопрос об областях возможного движения. В статье Р.Прингля [59 J исследуются области возможного и невозможного движений оси симметрии спутника. Более подробно и другим способом этот анализ проведен В.В.Белецким в книге I 13 1 , где дана классификация всех видов стационарных движений: гиперболоидальной, цилиндрической и конической прецессий.
В работах А.П.Маркеева L 35 - 37 J исследуются нелинейные эффекты при колебаниях симметричного спутника в окрестности стационарных движений и получены интересные результаты об устойчивости стационарных движений симметричного спутника.
Нерезонансное возмущенное движение трехосного спутника в гравитационном поле впервые рассмотрено в работе Ф.Л.Черноусько [53 ] . Автор исследует два случая, когда наличие малого параметра позволяет применить метод осреднения и получить асимптотические решения:
1) случай, когда значения трех главных центральных моментов инерции спутника предполагались близкими, то есть спутник близок к сферическому;
2) случай быстровращающегося спутника, то есть, когда кинетическая работа много больше работы гравитационных сил.
При исследовании резонансных случаев вращения трехосного спутника использовать асимптотические методы оказалось возможным только в тех случаях, когда спутник близок к динамически-сферическому или когда спутник быстро вращается. В С 54 J Ф.Л.Черноусько получил и исследовал уравнения, которые описывают плоские резонансные вращения искусственных и естественных небесных тел на основании методов осреднения Крылова-Боголюбова, Волосова, Моисеева и др. Полученные им решения являются первыми членами асимптотических разложений по малому параметру. Затем резонансное пространственное движение быстро вращающихся спутников в гравитационном поле исследовал А.П.Торжевский [ 47 ] . Возмущенные движения спутника, согласно этим исследованиям, уже не являются столь простыми, как в нерезонансном случае. Однако, существуют стационарные движения, когда спутник вращается вокруг главной центральной оси инерции, а движение вектора кинетического момента относительно неподвижной орбиты аналогично его движению в нерезонансных случаях относительно такой орбиты.
Исследованию резонансного случая посвящена работа В.В.Белецкого [ 12 J . Здесь В.В.Белецкий рассмотрел уравнения движения Луны в оскулирующих элементах Андуайе, отнесенных к подвижной плоскости орбиты. Он формирует обобщенные законы Кассини для трехосного твердого тела как стационарные решения уравнений, усредненных с учетом соизмеримости среднего орбитального движения и средней скорости вращения спутника. Этим решениям соответствуют фиксированные положения спутника в орбитальной системе координат. В.В.Белецкий исследует устойчивость найденных частных решений усредненных уравнений и получает условия устойчивости стационарных движений. В работе [ 29] также рассматривается задача о вращении небесного тела, динамически близкого к сфере. Авторы показали, что движения по Кассини соответствуют стационарным решениям .усредненным с учетом резонанса. Но в качестве переменных в этой работе выбраны канонические элементы, аналогичные системе элементов Пуанкаре.
В работах Н.Ф. Мартыновой Г 38, 58 J рассматривается ограниченная задача движения динамически-симметричного вытянутого ИСЗ относительно центра масс на круговой орбите. Получено первое приближение решения, записанное с помощью эллиптических функций, параметры которых представлены „в виде многоаргументных тригонометрических рядов.
В данной работе рассматривается пространственное движение динамически-симметричного сжатого ИСЗ относительно центра масс в гравитационном поле. Первое приближение решения, в отличии от решения, полученного в [ 38 ] , записано с помощью эллиптических функций, параметры которых представлены в виде двухаргу-мектных тригонометрических рядов.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Качественный анализ пространственного движения динамически-симметричного сжатого ИСЗ относительно центра масс, при движении по круговой орбите в гравитационном поле.
2. Разложение некоторых эллиптических функций в тригонометрические ряды.
3. Аналитическая теория первого приближения движения динамически-симметричного сжатого спутника относительно центра масс в гравитационном поле Земли при движении центра масс по круговой орбите.
