Содержание к диссертации
Введение
1 Теория промежуточного движения. Оскулирующие и сверхоскулирующие орбиты 13
1.1 История вопроса и вводные замечания 13
1.2 Уравнения и параметры промежуточного движения 16
1.3 Промежуточные орбиты с касанием первого порядка 23
1.4 Промежуточные орбиты с касанием второго порядка 28
1.5 Промежуточные орбиты с касанием третьего порядка 32
1.6 Решение уравнений промежуточного движения 36
1.7 Эффект переменности массы фиктивного притягивающего центра . 43
1.8 Замечания 45
1.9 Основные результаты и выводы 47
2 Обобщенные методы Энке специальных возмущений 49
2.1 Введение 49
2.2 Дифференциальные уравнения в отклонениях. Проблема вычитания почти равных величин 51
2.3 Вычисление возмущенной орбиты 53
2.4 Исследование эффективности методов 54
2.5 Основные результаты и выводы 69
3 Численно-аналитические методы решения уравнений орбитального движения 71
3.1 Пошаговая аппроксимация возмущенного движения дугами промежуточных орбит 71
3.2 Экстраполяционные методы 74
3.3 Комбинированное управление порядком и длиной шага 75
3.4 Применение методов и сравнение с другими алгоритмами 76
3.5 Основные результаты и выводы 81
Алгоритмы вычисления изохронных производных. Применение в задаче улучшения орбит 83
4.1 Вводные замечания 83
4.2 Уравнения в вариациях для промежуточного движения. Представление решения в универсальных переменных 84
4.3 Решение в случае промежуточной орбиты с касанием первого порядка . 89
4.4 Решение в случае промежуточной орбиты с касанием второго порядка . 90
4.5 Решение в случае промежуточной орбиты с касанием третьего порядка 92
4.6 Процедура получения решения на больших интервалах времени . 93
4.7 Исследование эффективности алгоритмов 95
4.8 Применение в задаче дифференциального исправления орбит астероидов 101
4.9 Основные результаты и выводы 106
Методы определения предварительной орбиты 108
5.1 Введение 108
5.2 Основные соотношения для промежуточного движения 109
5.3 Определение промежуточной возмущенной орбиты по двум векторам положения 112
5.4 Определение промежуточной орбиты по трем положениям малого тела на небесной сфере 118
5.5 Численные эксперименты 121
5.6 Замечания 131
5.7 Основные результаты и выводы 132
Линеаризация и регуляризация дифференциальных уравнений движения. Фиктивный притягивающий центр как центр регуляризации 135
6.1 Введение 135
6.2 Постановка задачи линеаризации и регуляризации уравнений кеплеров-ского движения с помощью интегралов 137
6.3 Решение для случая трехмерного параметрического пространства 139
6.4 Решение для случая четырехмерного параметрического пространства 142
6.5 Регуляризированные уравнения возмущенного кеплеровского движения 144
6.6 Использование фиктивного притягивающего центра как центра регуляризации в возмущенной ограниченной задаче трех тел 150
6.7 Исследование эффективности алгоритмов 158
6.8 Основные результаты и выводы 175
Заключение 177
Литература
- Промежуточные орбиты с касанием первого порядка
- Комбинированное управление порядком и длиной шага
- Решение в случае промежуточной орбиты с касанием второго порядка
- Определение промежуточной возмущенной орбиты по двум векторам положения
Введение к работе
' /
Актуальность темы
Проблема изучения движения малых тел Солнечной системы всегда занимала одно из центральных мест в прикладной небесной механике. В последние 10-15 лет интерес к этой проблеме еще более возрос. Основной причиной такого внимания стало осознание научными кругами и широкой общественностью меры той опасности, которую представляют столкновения Земли с астероидами и кометами. Другой причиной, во многом связанной с первой, послужили массовые открытия новых малых планет. Причем число открытий с каждым годом растет. Это оказалось возможным благодаря осуществлению ряда крупных проектов по обнаружению космических тел, сближающихся с Землей, а также широкому применению электронно-оптических методов наблюдений (в первую очередь ПЗС-технологий) и современных средств компьютерной обработки измерительной информации. Успешное выполнение программ по изучению малых тел с помощью космических аппаратов и решение проблем, связанных с астероидно-кометной опасностью, предъявляют особенно высокие требования к точности и оперативности определения пространственных положений интересующих нас объектов. Это делает необходимым и своевременным дальнейшее совершенствование уже имеющихся и создание новых эффективных методов исследования движения малых тел Солнечной системы по высокоточным наблюдательным данным.
Цель и основные задачи исследования
Сложный характер движения большинства малых планет и почти всех комет делает практически невозможным или крайне трудоемким применение аналитических методов исследования. Это приводит к необходимости использовать численные методы, которые, как правило, отличаются простотой и надежностью. Однако, применение последних также наталкивается на ряд трудностей, поскольку классические ньютоновские уравнения движения сингулярны в точках соударений гравитирующих масс, а их решения неустойчивы в смысле Ляпунова (Штифель, Шей-феле, 1975). Кроме того, численное интегрирование дифференциальных
, і ч \ ...\!„.'.0!. і
3 } БИБЛИОТЕКА |
і С. Петербург *-,«/ !
уравнений небесной механики на больших интервалах изменения независимой переменной может потребовать значительных затрат машинного времени. Поэтому наиболее эффективное решение задач, связанных с изучением движения рассматриваемых небесных тел, следует искать в рациональном сочетании численного и аналитического подходов.
Целью диссертации является разработка новых эффективных методов, предназначенных для решения трех тесно связанных между собой задач — определения предварительных орбит, улучшения начальных параметров движения и высокоточного прогнозирования пространственных положений и скоростей малых тел.
Для достижения указанной цели выбирается подход, основанный на использовании фиктивного притягивающего центра с переменной массой и специальных преобразований дифференциальных уравнений движения, таких, как преобразование Энке, линеаризирующие и регуляризирующие преобразования. Реализация этого подхода включает в себя постановку и решение следующих основных задач:
построение новых соприкасающихся с реальной возмущенной траекторией промежуточных орбит, лучше аппроксимирующих начальный участок движения, чем оскулирующая кеплеровская орбита и аналогичные орбиты других авторов;
вывод дифференциальных уравнений в отклонениях реального движения от промежуточного опорного, обобщающих уравнения классического метода Энке вычисления возмущенной траектории;
конструирование новых методов интегрирования дифференциальных уравнений движения, в которых решение представляется последовательностью малых дуг промежуточных орбит, и использование их в качестве опорных методов при построении экстраполяционных алгоритмов;
разработка новых алгоритмов вычисления частных производных от текущих параметров движения по их начальным значениям (изохронные производные) на основе формул для соприкасающихся орбит;
определение промежуточных возмущенных орбит по минимальному числу позиционных измерений;
получение уравнений движения в регуляризирующих переменных от-
носительно подвижного фиктивного центра с переменной массой в рамках возмущенной ограниченной задачи трех тел;
— исследование эффективности новых методов в сравнении с наиболее часто применяемыми на практике алгоритмами.
Научная новизна работы
Все основные результаты, представленные в диссертации, получены впервые. Новизна исследования состоит в следующем.
Разработана теория промежуточного движения, опирающаяся на предложенную автором идею ввода фиктивного притягивающего центра с изменяющимся со временем гравитационным параметром.
На основе разработанной теории построены новые промежуточные орбиты некеплеровского типа с касанием первого, второго и третьего порядка к траектории реального движения (оскулирующие и сверхоскули-рующие промежуточные орбиты). Теоретически и практически показано, что построенные орбиты обеспечивают в своем классе орбит, определяемом порядком касания, наивысшую точность аппроксимации возмущенного движения на начальном участке траектории.
Обобщен классический метод Энке специальных возмущений путем замены оскулирующей кеплеровской опорной орбиты на построенные автором промежуточные орбиты.
Получены простые методы решения уравнений орбитального движения первого, второго и третьего порядков точности, основанные на пошаговой аналитической аппроксимации возмущенной траектории дугами промежуточных орбит.
Предложены новые экстраполяционные алгоритмы с переменной длиной шага и переменным порядком, использующие полученные пошаговые аналитические методы в качестве опорных. При этом создан универсальный рекуррентный алгоритм вычисления элементов экстраполяционной таблицы, пригодный для опорного метода произвольного порядка.
Построены алгоритмы вычисления матрицы изохронных производных с помощью дуг оскулирующих и сверхоскулирующих промежуточных орбит. Доказано, что при использовании этих алгоритмов повышение точности вычисления изохронных производных на заданном промежутке вре-
мени путем сокращения интервала применения промежуточной орбиты возможно только в том случае, когда порядок касания промежуточной орбиты выше первого.
Разработан метод определения промежуточной орбиты по двум векторам положения и интервалу времени между ними. Доказано, что предельные значения параметров этой орбиты при стремящемся к нулю опорном временном интервале задают сверхоскулирующую орбиту с касанием третьего порядка.
Предложен метод определения промежуточной возмущенной орбиты по трем положениям малого тела на небесной сфере, разработанный по аналогии со схемой классического метода Лагранжа-Гаусса.
Обобщен подход В.Себехея (1976) к линеаризации и регуляризации динамических систем с помощью интегралов движения посредством введения дополнительно к временному преобразованию преобразования зависимых переменных.
Выведены уравнения движения возмущенной ограниченной задачи трех тел в регуляризирующих переменных с использованием в качестве центра регуляризации фиктивного притягивающего центра с переменной массой.
Получены оценки эффективности разработанных методов и алгоритмов в задачах исследования движения ряда малых планет и комет. Показано, что новые алгоритмы и методы отличаются более высокой точностью и оперативностью по сравнению с существующими аналогами.
Теоретическая и практическая значимость
Развитая в работе теория промежуточного движения может быть использована при создании новых методов и алгоритмов численного или аналитического моделирования движения небесных тел. Она дает большую свободу в выборе параметров промежуточного движения и закона изменения массы фиктивного центра, что позволяет конструировать и другие семейства орбит, отличные от рассмотренных в диссертации.
Построенный автором рекуррентный алгоритм вычисления элементов экстраполяционной таблицы можно применить для разработки экстра-поляционных методов решения широкого класса обыкновенных дифференциальных уравнений при условии, что опорный метод удовлетворяет
определенным требованиям (Хайрер и др., 1990).
Предложенный в работе метод линеаризации и регуляризации уравнений движения может быть применен и к некоторым другим системам дифференциальных уравнений, обладающих интегралами.
Разработанный автором алгоритмический аппарат и его программная реализация могут быть успешно применены для решения разнообразных задач, связанных с определением, уточнением и прогнозированием орбит астероидов, комет и искусственных небесных тел. Результаты исследования эффективности алгоритмов и программ можно использовать в аналогичных исследованиях при выявлении практических преимуществ той или иной методики.
Параметры движения астероидов (145) Адеона, (1566) Икар и (4179) Тоутатис, полученные в результате применения процедуры улучшения орбит, могут быть приняты за основу при подготовке рабочих эфемерид для дальнейших наблюдений данных объектов и обработки результатов этих наблюдений.
Полученные в работе методы и алгоритмы могут найти применение во всех научных учреждениях, где занимаются изучением движения малых тел Солнечной системы и динамикой космического полета, а также в учебном процессе вузов, где преподаётся небесная механика и динамическая астрономия.
Результаты диссертационной работы успешно применялись и продолжают применяться в отделе астрометрии и небесной механики НИИ прикладной математики и механики при Томском госуниверситете в соответствии с планами выполнения госбюджетных тем "Исследование движения, распределения и эволюции орбит малых тел Солнечной системы по наблюдениям с Земли и из космоса" и "Математическое моделирование движения, распределения и орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы по результатам измерений", грантов РФФИ N 96-02-17999 "Разработка аналитических и численных методов исследования возмущений сложной природы в движении малых тел Солнечной системы", N 98-02-16491 "Разработка численных и полуаналитических методов исследования эволюции орбит малых тел Солнечной системы" и N 01-02-17266 "Реше-
ниє ряда сложных задач динамики малых тел Солнечной системы", а также НИР "Численные алгоритмы исследования орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы и фрагментов космического мусора" в рамках ГНТП "Астрономия".
Апробация работы
Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на
всесоюзной конференции "Методы исследования движения, физика и динамика малых тел Солнечной системы" (Душанбе, август 1989 г.);
всесоюзном совещании "Эфемеридная астрономия и позиционные наблюдения" (Ленинград, август 1991 г.);
научных конференциях, проводившихся в рамках II и III съездов Астрономического общества (Москва, октябрь-ноябрь 1991 г., май 1993 г.);
всесоюзном совещании (с международным участием) "Астероидная опасность" (Санкт-Петербург, октябрь 1992 г.);
комплексной конференции (с международным участием) "Астероидная опасность-93" (Санкт-Петербург, май 1993 г.);
международной конференции "Проблемы защиты Земли от столкновения с опасными космическими объектами" (Снежинск, сентябрь 1994 г);
международной конференции "Сопряженные задачи механики и экологии" (Томск, сентябрь-октябрь 1996 г.);
международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, июнь 1997 г.);
международной научной школе-семинаре НАТО "The Dynamics of Small Bodies in the Solar System: A Major Key to Solar System Studies" (Маратея, Италия, июнь-июль 1997 г.);
научной конференции "Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики" (Москва, декабрь 1997 г.);
всероссийских научных конференциях "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики" (Томск, июнь 1998 г., июнь 2000 г., октябрь 2002 г.);
весенней конференции Астрономического и Немецкого геологического обществ "Asteroids, Meteorites, Impacts and their Consequences (AMICO
2000)" (Нердлинген, Германия, май 2000 г.);
совместной конференции Европейского и Евро-Азиатского астрономических обществ "JENAM-2000" (Москва, май-июнь 2000 г.);
Всероссийской астрономической конференции (Санкт-Петербург, август 2001 г.);
международной конференции "Asteroids, Comets, Meteors" (Берлин, Германия, июль-август 2002 г.);
международной конференции "Небесная механика - 2002: результаты и перспективы" (Санкт-Петербург, сентябрь 2002 г.);
семинарах отдела небесной механики и астрометрии НИИ ПММ при ТГУ (Томск, 1991-2003 гг.);
семинаре кафедры небесной механики СПбГУ (Санкт-Петербург, июнь 2003 г.).
Публикации
По теме диссертационной работы имеются 22 публикации, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных литературных источников (135 наименований) и пяти приложений, содержит 14 рисунков и 35 таблиц. Общий объём работы составляет 203 страницы машинописного текста, из них 11 страниц занимают приложения.
Промежуточные орбиты с касанием первого порядка
Методы исследования возмущенного движения, основанные на использовании соприкасающихся с реальной траекторией промежуточных орбит, нашли широкое применение в небесной механике. Классическим примером является использование невозмущенной кеплеровской орбиты в качестве опорной траектории в методе Эн-ке специальных возмущений (Субботин, 1937; Рой, 1978). Фокус этой орбиты расположен в центре масс одного из притягивающих тел, а начальные векторы положения и скорости совпадают с соответствующими векторами реального возмущенного движения (условия оскуляции в начальный момент времени, обеспечивающие касание первого порядка к реальной траектории). Более высокая точность аппроксимации реального движения, чем та, которую дает оскулирующая кепле-ровская орбита, достигается с помощью промежуточных орбит, учитывающих основные возмущения. Это особенно важно в случаях, когда возмущающие силы велики. В дальнейшем, следуя Г.Н.Дубошину (1983), будем понимать под промежуточным движением такое движение, которое, оставаясь приближенным, лучше представляет реальное возмущенное движение, чем невозмущенное кеплеровское движение. Орбиту, соответствующую промежуточному движению, будем называть промежуточной орбитой.
Весьма перспективным для построения промежуточных орбит оказался подход, опирающийся на принадлежащую Н.А.Шайху (1966) идею фиктивного притягивающего центра. Рассматривая движение тела бесконечно малой массы в рамках ограниченной задачи трех тел, Н.А.Шайх заменил действие гравитационных сил от массивных тел на действие ньютоновской силы притяжения к фиктивному центру, помещенному на начальном векторе ускорения. Для массы фиктивного центра была предложена формула, подобранная из предположения, что масса центра стремится к массе любого массивного тела при приближении центра к этому телу. Используя введенный таким образом фиктивный притягивающий центр, Н.А.Шайх получил промежуточную орбиту, обеспечивающую совпадение в начальный момент времени не только векторов положения и скорости, но и векторов ускорения для промежуточного и реального движений (касание второго порядка). В.И.Скрипниченко (1970) повысил точность аппроксимации возмущенного движения, допустив в методе Шайха возможность прямолинейного и равномерного движения фиктивного центра. Ю.В.Батраков и Е.Н.Макарова (1979) существенно модифицировали метод Шайха, сделав возможным его применение к задачам с силами более общего вида. Фиктивный центр в подходе этих авторов помещается на начальном векторе ускорения возмущенного движения на наименьшем расстоянии от смежного вектора ускорения, бесконечно близкого к начальному, а масса центра находится из условия равенства в начальный момент времени векторов возмущенного и невозмущенного ускорений. Дальнейшее развитие метода Шайха Ю.В.Батраков связал с использованием условия минимума главной части расхождений промежуточного и реального движений. В его статье (Батраков, 1981а) предложена промежуточная орбита с касанием первого порядка, учитывающая радиальную составляющую вектора возмущающих сил в начальный момент времени. В работах (Батраков, 1981а, б) построена промежуточная орбита, основанная на использовании условий касания второго порядка и условия минимума квадрата разности третьих производных векторов положения по времени в промежуточном и реальном движениях. В этих работах поставлена и решена также задача построения промежуточных орбит с еще более высокой степенью аппроксимации, при которой для промежуточного и реального движений имеет место совпадение в начальный момент времени векторов положения и их производных по времени до третьего порядка включительно (касание третьего порядка). Наряду с этим минимизируется квадрат разности четвертых производных. Вопросы практической эффективности предложенных Ю.В.Батраковым орбит применительно к изучению возмущенного движения нашли отражение в публикациях (Батраков, Мирмахмудов, 1990; Мирмахмудов, 1990; Батраков, Мирмахмудов, 1991). Интересные частные решения, приводящие к промежуточным орбитам, обеспечивающим в начальный момент времени касание третьего и четвертого порядка к реальной траектории, предложены В.Г.Соколовым (1982, 1984). Условие минимума расхождений реального и промежуточного движений в этих решениях не рассматривается. Вышеуказанные работы, несмотря на различие способов определения массы и положения фиктивного центра, а также степени аппроксимации реального движения, объединяет то, что построенные их авторами промежуточные орбиты задают движение по невозмущенной кеплеров-ской орбите относительно фиктивного центра, масса которого постоянна во все время движения на начальном участке траектории. Под начальным участком траектории понимается такой участок возмущенного движения, который определен в некоторой окрестности начального момента времени и представляется промежуточной орбитой в этой окрестности с заданной точностью.
В данной главе излагается метод, позволяющий значительно улучшить промежуточные орбиты, построенные вышеупомянутыми авторами. Метод во многом опирается на подход Ю.В.Батракова (1981а, б) и является его дальнейшим развитием. Основная идея метода, впервые предложенная и реализованная автором диссертации в публикациях (Шефер, 1998а, б), заключается в том, что масса фиктивного центра для начального участка движения выбирается не постоянной величиной, а ищется в виде функции времени. Движение по промежуточной траектории относительно фиктивного центра при этом не является кеплеровским. В работах (Шефер, 1998а, б; 1999) оно описывается уравнениями задачи Гюльдена-Мещерского в их классическом виде (Гюльден, 1884; Мещерский, 1893, 1902, 1952). Более общий подход, основанный на уравнениях возмущенного варианта задачи Гюльдена-Мещерского, излагается в статьях (Шефер, 2000а, 2002а-в). В этих статьях рассматривается случай, когда гравитационный параметр, определяющий промежуточное движение, изменяется в соответствии с законом Эддингтона-Джинса вариации массы. Строятся новые классы промежуточных орбит с касанием первого, второго и третьего порядка. Кроме условий касания указанных порядков вводится ряд дополнительных требований, позволяющих выбрать из множества орбит с соответствующим порядком касания наиболее оптимальные орбиты. В случае плоского движения порядок касания последних возрастает на одну или две единицы. В более простой форме этот метод был применен для построения оскулирующих промежуточных орбит с двумя дополнительными параметрами (Шефер, 2000а). Повышение точности аппроксимации реального движения в нашем методе по сравнению с подходами других авторов обеспечивается тем, что в промежуточном движении удается дополнительно учесть возмущающие силы, которые можно интерпретировать как эффект переменности массы фиктивного центра в соответствии с законом Эддингтона-Джинса и эффект действия касательной силы специального вида.
Комбинированное управление порядком и длиной шага
Заметим, что Ю.В.Батраков в Случаях 2 и 3 в отличие от нас не вводил новый параметр а, считая свободным параметром расстояние RQ. Поскольку расстояние по определению есть величина положительная, то при таком подходе от отрицательных значений Щ, которые могут появиться из условия минимума Хз или Х4, приходится отказываться. В таких случаях Ю.В.Батраков предлагает выбирать значение R положительным и как можно ближе к нулю. Кроме того, что такое RQ нарушает условие минимума (1.157) или (1.163), оно может привести к потере точности при машинных расчетах.
Таким образом, оценки (1.155), (1.159) и (1.165), учитывая сделанное в начале раздела 1.2 предположение о достаточно общем характере действующих на малое тело сил, дают основание для следующих выводов. Применение построенных нами промежуточных орбит позволяет повысить точность аппроксимации реального движения по сравнению с орбитами рассмотренных здесь Случаев 1-3, по крайней мере на некотором начальном отрезке траектории. Более высокая эффективность наших орбит обеспечивается вводом условия переменности массы фиктивного притягивающего центра в окрестности эпохи оскуляции. В соответствии с уравнениями (1.24) это условие дает возможность учесть в промежуточном движении дополнительные возмущающие силы, действующие как в радиальном, так и тангенциальном направлениях.
В этой главе мы использовали прием, который состоит в интерпретации реального возмущенного движения относительно тела с постоянной массой через формальное движение фиктивного притягивающего центра с переменной массой и движение относительно этого центра при наличии дополнительной касательной силы. Целью такой "интерпретационной" постановки задачи являлось применение известных решений задач динамики тел переменной массы к задаче возмущенного кеплеровского движения. Идея подобного приема высказывалась еще Г.Н.Дубошиным (Поляхова, 1994), который увидел возможность формального сравнения уравнений невозмущенного движения в задаче Гюльдена-Мещерского с уравнениями возмущенного кеп-леровского движения под влиянием притяжения стационарной массы в присутствии постоянно действующего касательного возмущения. Один из первых примеров интерпретации сил через переменность массы связан с задачей о движении материальной точки в поле тяготения центрального тела постоянной массы, окруженного сферической гравитирующей и сопротивляющейся средой постоянной плотности. В работе (Радзиевский, Гельфгат, 1957) решение этой задачи сводится к решению невозмущенной задачи Гюльдена-Мещерского, в которой суммарная масса изменяется по закону Эддингтона-Джинса. Метод формального сведения возмущенной задачи к задаче Гюльдена-Мещерского удалось успешно применить к изучению движения точки в рамках фото гравитационной задачи двух тел. Например, такая задача решалась применительно к полету космического аппарата с учетом износа солнечного паруса под действием вредных физических факторов (Поляхова, 1986). Другие примеры можно найти в превосходном обзоре Е.Н.Поляховой (1994), освещающем историю и современное состояние проблемы двух тел с переменными массами в небесно-механической постановке.
Возмущенный вариант задачи Гюльдена-Мещерского, представленный уравнениями (1.9), определяет плоский характер движения относительно фиктивного притягивающего центра. Среди множества орбит, соответствующих решениям этой задачи, построенные нами промежуточные орбиты обеспечивают наивысшую точность аппроксимации возмущенного движения на начальном участке траектории. Это следует из того, что принятая нами концепция переменности гравитационного параметра фиктивного центра в окрестности эпохи оскуляции (при этом допускается, что гравитационный параметр может быть не только положительным, но и отрицательным) позволила получить значения (1.63), (1.97) и (1.120), определяющие величину главной части вектора отклонения промежуточного движения от реального, минимально возможные для плоских промежуточных орбит с соответствующими порядками касания. Назовем условия (1.63), (1.97) и (1.120) условиями оптимальности.
Дифференциальный закон Эддингтона-Джинса (1.44), принятый нами для описания изменения гравитационного параметра фиктивного центра как функции времени, не смотря на свою простоту, объединяет в себе, как уже было отмечено, линейный, экспоненциальный и степенные законы. Среди последних — знаменитые первый и второй законы Мещерского. Использование закона Эддингтона-Джинса привело нас к широким классам промежуточных орбит, удовлетворяющих условиям оптимальности (1.63), (1.97) или (1.120). Выбор той или иной орбиты из построенных классов орбит при решении конкретных практических задач следует связывать с наличием дополнительной информации о структуре возмущающих сил. Такая информация позволяет, например, задать вполне определенное значение показателя п в формуле (1.45). Если же информации о характере возмущений недостаточно, то целесообразно ограничиться одним из самых простых в алгоритмической реализации вариантом. Конечно, наш подход не исключает возможность введения другого закона изменения гравитационного параметра ц, отличного от закона Эддингтона-Джинса. Можно сослаться к примеру на работы (Беркович, Гельфгат, 1975; Беркович, 2002), в которых установлены все возможные законы изменения массы в степенной, экспоненциальной и смешанной формах, при которых невозмущенная задача Гюльдена-Мещерского преобразуется к стационарному виду. Но в лучшем случае другой закон приведет нас к тем же условиям оптимальности (1.63), (1.97) или (1.120), которые мы достигли с помощью закона Эддингтона-Джинса. В работах (Шефер, 1998а, б) это показано на примере использования объединенного закона Мещерского (1952) для изменения суммарной массы в невозмущенной задаче Гюльдена-Мещерского.
В данной главе изложена теория промежуточного движения, обобщающая и существенно развивающая идеи и подходы Н.Л.Шайха, В.И.Скрипниченко и Ю.В.Батракова. Рассматривается промежуточное движение, представляющее собой комбинацию из двух движений. Одно из них есть движение фиктивного притягивающего центра, которое в общем случае предполагается прямолинейным и равномерным. Второе — это движение относительно фиктивного центра. Последнее описывается уравнениями возмущенной задачи Гюльдена-Мещерского с возмущениями, действующими по касательной к промежуточной траектории. Гравитационный параметр фиктивного центра вводится как функция времени, подчиняющаяся дифференциальному закону Эддингтона-Джинса. Определены параметры промежуточного движения и условия, при которых исходная нестационарная задача приводится к задаче двух тел с постоянными массами.
Построены новые классы промежуточных орбит с касанием первого, второго и третьего порядка к траектории реального движения. Эти орбиты лучше аппроксимируют возмущенное движение на начальном участке траектории, чем оскулирую щая кеплеровская орбита. Наши орбиты точнее и аналогичных орбит других авторов. Это утверждение основано на строгих математических оценках, полученных нами на примерах сравнения с промежуточными орбитами Ю.В.Батракова, наиболее точными среди существующих аналогов. Благодаря принятой конценции переменности массы фиктивного притягивающего центра, нам удалось определить множество промежуточных орбит, удовлетворяющих условиям (1.63), (1.97) и (1.120) независимо от величины и направленности возмущающих сил. Выполнение этих условий говорит о том, что среди промежуточных орбит, которые в системе координат, связанной с фиктивным центром, представляют собой плоские кривые, наши орбиты являются наиболее точными. Точность аппроксимации нашими орбитами реального движения тем выше, чем больше порядок касания к возмущенной траектории и меньше угол наклона орбитальной плоскости исследуемого тела к плоскости, в которой действуют основные возмущающие силы. В случае плоского возмущенного движения порядок касания построенных промежуточных орбит повышается на одну или две единицы. Рассмотрены случаи задания дополнительных условий, позволяющих выбрать конкретную орбиту из полученных классов промежуточных орбит.
Подробно описан алгоритм решения уравнений промежуточного движения. При этом даны формулы, снимающие проблему вычитания почти равных величин в ближайшей окрестности эпохи оскуляции, что повышает практическую ценность предложенного алгоритма. Рассмотрены частные случаи сверхоскулирующих промежуточных орбит, построение которых требует применения формул эллиптического движения с минимально возможным значением эксцентриситета параметрической орбиты.
Решение в случае промежуточной орбиты с касанием второго порядка
Предположим, что каким-либо методом интегрирования уравнений движения (1.1) с начальными условиями (1.2) мы получили параметры движения малого тела с необходимой нам точностью в моменты h,t2f;tjf-i,tjff = t. Рассмотрим следующую схему вычисления матрицанта Ф(, to). По вектору состояния Хо в момент to строится промежуточная орбита. Для этой орбиты определяется вектор состояния XJ = X (i) и матрица частных производных Ф(і,о) = dX\/dX.Q в момент t\. Считая момент t\ начальным и повторяя вычисления для новой промежуточной орбиты, построенной по вектору состояния Xi = X(i), находятся вектор Х = Х ( ) и матрица Ф(І2,і) = dXj/dXJ на следующий момент t2. Определяется матрица Ф( 2 о) = Ф( 2,іі)Ф( ь о)- Выполняя таким образом вычисления на последующих шагах, мы получим на конечный момент t = t матрицу Ф(«, к) = Ф( , ЛГ-І)Ф( ЛГ-І, tN.2) Ф( 2, г)Ф( ь t0), которая принимается как приближение к точному решению Ф(, 0) Рассмотренную пошаговую процедуру вычисления матрицанта удобно применить совместно с методом Энке специальных возмущений, в котором выбранная промежуточная орбита используется в качестве опорной. Такой способ вычисления матрицы изохронных производных, основанный на кусочной аппроксимации возмущенной траектории невозмущенной кеплеровской орбитой, удовлетворяющей в начале каждого временного подынтервала условию оскуляции, применил Ю.Д.Медведев (1986). Автор назвал его методом невозмущенных дуг. Дальнейшее развитие этот подход получил в работах (Батраков, Мирмахмудов, 1990; Мирмахмудов, 1990), в которых используются однопараметрические промежуточные орбиты с касанием первого порядка.
На примере г-го шага (1 г N) запишем выражения для векторов отклонений реального движения от промежуточного Xi-Kl=eshs + 0(h8+l), ±i-±;=sesh -l + 0(hs), (4.22) где h = t{ — j_i, es = [xjli — -i-i]/s\, s = p+1, p — порядок касания промежуточной орбиты. Верхний индекс в скобках по-прежнему обозначает порядок производной по времени t. Формулы (4.22) определяют погрешность вычисления параметров движения на шаге методом промежуточных орбит. Дифференцирование выражений (4.22) по вектору начальных параметров движения XjJ = Хо дает нам аналогичные формулы для локальной погрешности метода вычисления матрицанта. Следовательно, погрешность вычисления матрицанта на шаге допускает представление
Таким образом, если р 1, то точность вычисления матрицанта Ф(, to) всегда может быть улучшена путем увеличения числа разбиений интервала [to, t] на подынтервалы до тех пор, пока ошибки округления, неизбежные при машинных расчетах, не превзойдут ошибки метода.
Программы, реализующие разработанные нами алгоритмы вычисления частных производных, получили наименования GEMPD1, GEMPD2 и GEMPD3. Цифра в наименовании указывает порядок касания промежуточной орбиты. Вычисление производных в программах выполняется совместно с решением уравнений движения обобщенными методами Энке (глава 2), в которых используются те же промежуточные орбиты, что и в методе вычисления матрицанта. Для определения векторов FQ, G0, G0, G0 и матричных величин FO/ XQ, dGo/dX-l, dGo/dX-l, dG0/dX.Q, входящих в формулы для искомых производных, использовались выражения, приведенные в приложении 2. Исследование эффективности новых методов проводилось в сравнении с алгоритмом, в котором вычисление матрицанта основано на формулах, справедливых для оскулирующеи кеплеровскои орбиты, а траектория реального движения строится с помощью классического метода Энке (программа CEMPD). В качестве метода численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений использовался неявный одношаговый алгоритм Эверхарта 11-го порядка (Эверхарт, 1974). Расчеты выполнялись на ПК Pentium Ш/800 MHz.
Программы тестировались на примерах моделирования движения малых планет Адеона, Икар, Тоутатис и кометы Хонды-Мркоса-Пайдушаковой. Начальные системы оскулирующих элементов орбит этих тел приводятся в приложении 1. Эпохи для последних трех объектов выбраны вблизи дат их тесных сближений с Землей и Юпитером. Эти даты и соответствующие минимальные расстояния для Тоутатиса и кометы приведены в главе 2. Что касается Икара, то они таковы: t = 1968 июнь 14.88 ЕТ, Дв = 0.042 а.е. Здесь ДЕ — расстояние объекта до Земли. Отметим еще одну особенность в движении Тоутатиса: его среднее движение близко к соизмеримости 3:1 со средним движением Юпитера и 1:4 со средним движением Земли.
Возмущенное движение астероида Адеона вычислялось на 10 оборотов вперед, а остальных объектов — на 10 оборотов назад от начальных эпох. Указанные выше даты тесных сближений попадают в рассматриваемые интервалы времени. Интегрирование уравнений движения выполнялось с переменным шагом, величина которого в алгоритме Эверхарта регулируется целочисленным параметром //. Число опорных орбит N совпадает с числом шагов (опорные орбиты строились в начале каждого шага интегрирования). Точность приближенного решения для матрицанта оценивалась по величине относительной погрешности Лу — элемент матрицы Л. Эталонные решения для всех рассматриваемых малых тел были получены с помощью совместного численного интегрирования уравнений движения (1.1) и уравнений в вариациях (4.19) (программа NVE) с ошибкой SA 10"10. Для того, чтобы практически оценить зависимость точности от величины шага, мы использовали в каждом примере шесть последовательных значений параметра П. Результаты вычислений приводятся в табл. 4.1-4.4. Различия в значениях параметров N и Тср для одних и тех же значений И оказались незначительными (менее 3%). Поэтому в таблицах даются общие для сравниваемых методов усредненные значения этих параметров. Тср — по-прежнему время счета на ПК в секундах центрального процессора.
При последующем анализе табличных данных будем называть значащую цифру решения Л(i, to) верной, если абсолютная погрешность М.ЦЛЦ = Л — Л не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре. Значения Л приводятся в заголовках таблиц.
Во всех рассмотренных случаях точность вычисления матрицанта с помощью программ GEMPD1, GEMPD2 и GEMPD3 существенно выше по сравнению с программой CEMPD. Программа CEMPD в случаях с Адеоной и Икаром сохраняет в решении Л(, to) к концу интервалов вычислений одну и две верные цифры соответственно, а в случаях с Тоутатисом и кометой не дает ни одной верной цифры. Программы GEMPD1, GEMPD2 и GEMPD3 для приведенных значений И обеспечивают в решениях от одной до семи верных цифр. Наилучшую точность программы дают в случаях с Адеоной и Икаром. Более сложное орбитальное движение астероида Тоутатис и кометы Хонды-Мркоса-Пайдушаковой заметно понижает точность решения.
Точность во всех случаях, начиная с определенного значения И, возрастает с увеличением порядка касания промежуточной орбиты. С другой стороны, поведение погрешности решения в зависимости от размера шага h находится в хорошем согласии с формулой (4.24). Для опорных орбит с касанием первого порядка (р = 1) величина погрешности с уменьшением шага либо остается постоянной, либо изменяется незначительно (CEMPD, GEMPD1). Однако в случае с Икаром программа GEMPD1 в рассматриваемом диапазоне значений И уменьшает погрешность в 5 раз, демонстрируя почти линейную зависимость погрешности от величины шага. Для объяснения этого факта необходимо вспомнить, что коэффициенты главного члена локальной погрешности методов, использующих построенные нами промежуточные орбиты, минимизированы (см. главу 1). Во многих практических случаях это может привести к тому, что в разложении глобальной погрешности будет доминировать следующий после первого член. Поэтому изменение погрешности в этих случаях будет прямо пропорционально шагу в степени несколько большей, чем р— 1. Именно такое поведение погрешности решения мы наблюдаем при использовании программ GEMPD1, GEMPD2 и GEMPD3 в случаях с Икаром и Тоутатисом.
Определение промежуточной возмущенной орбиты по двум векторам положения
Форма записи дифференциальных уравнений (1.1) говорит о том, что классические уравнения движения имеют особенности в точках соударений гравитируюших масс. На практике сингулярные точки никогда не достигаются, однако особенности уравнений движения могут заметно ухудшить процесс их численного решения, приводя к снижению точности интегрирования и непроизводительным затратам машинного времени.
Регуляризация, т.е. преобразование сингулярных дифференциальных уравнений движения в регулярные, всегда являлась одной из важнейших задач небесной механики. Еще Л.Эйлер (1765) использовал простое временное преобразование для устранения особенности, возникающей при столкновении двух тел, движущихся прямолинейно. Удобное преобразование координат, осуществляющее совместно с временным преобразованием Эйлера регуляризацию уравнений движения и их решений при двойном соударении, было введено Т.Леви-Чивита (1903) для случая плоского движения. Проблема регуляризации двойных соударений в пространственном случае впервые была рассмотрена К.Ф.Сундманом (1912) в рамках задачи трех тел. В дальнейшем появилось много работ, посвященных построению и использованию различных регу-ляризирующих преобразований. Прекрасные обзоры на эту тему можно найти в книгах (Себехей, 1967; Красинский, Мерман, 1975). Однако большинство упомянутых в указанных обзорах методов регуляризации представляет интерес в основном лишь для теоретических исследований. И только П.Кустаанхеймо и Е.Штифелю (Кустаан-хеймо, Штифель, 1965; Штифель, Шейфеле, 1971) удалось получить удобную форму регуляризации пространственной задачи двух тел с произвольными внешними возмущениями посредством четырехмерного обобщения процедуры Леви-Чивита. С тех пор методы регуляризации, основанные на преобразовании Кустаанхеймо-Штифе ля (KS-преобразование) и его обобщениях, интенсивно разрабатываются и применяются в прикладных задачах небесной механики (Баумгарте, Штифель, 1974; Аарсет, Заре, 1974; Хегги, 1974; Бонд, 1974; Шефер, 1980, 1990; Крейг и др., 1982; Бордовицына, 1984; Депри и др., 1994; Полещиков, Холопов, 1999).
Если KS-регуляризация основывается на преобразовании зависимых переменных совместно с преобразованием времени, то другой основной подход к проблеме регуляризации связан только с вводом новой независимой переменной. Яркими примерами методов, реализующих второй подход, могут служить методы, изложенные в работах (Дубошин, 1964; Яров-Яровой, 1965; Мячин, 1974) и являющиеся по существу развитием идей К.Ф.Сундмана, и метод, предложенный Х.Шперлингом и К.А.Боде (Боде, 1967; Сильвер, 1975).
В специальной литературе неоднократно показывалось, что использование интегралов движения является надежным способом улучшения свойств дифференциальных уравнений небесной механики. Поэтому не случайно для регуляризации уравнений движения в обоих вышеуказанных подходах привлекаются интегралы движения. Так, применение интеграла энергии и интегралов Лапласа в комбинации с преобразованием Сундмана устанавливающим связь между физическим временем t и новой независимой переменной s (г обозначает расстояние между телами), приводит уравнения движения невозмущенной задачи двух тел к линейному и регулярному виду (см., например, Боде, 1967; Бартник и др., 1988). Преобразование зависимых переменных, введенное в дополнение к временному преобразованию и интегралам, расширяет наши возможности в задаче линеаризации и регуляризации дифференциальных уравнений движения (Леви-Чивита, 1903; Себехей, 1967; Штифель, Шейфеле, 1971; Бонд, 1985; Челноков, 1985).
Данная глава посвящена развитию метода В.Себехея (1976). Подход, предложенный В.Себехеем, позволяет определить, при каких значениях п 0 преобразование в сочетании с интегралами линеаризирует уравнения кеплеровского движения без какого-либо координатного преобразования. В результате В.Себехеем получены известные уравнения Шперлинга-Боде (Боде, 1967; Сильвер, 1975), соответствующие сундмановскому классическому значению п = 1. Эти уравнения удовлетворяют условиям линейности и регулярности для любого типа орбит. В остальных случаях эти условия выполняются только при п = 3/2 для уравнений параболического движения. В этой главе метод Себехея обобщается путем введения дополнительного преобразования — преобразования зависимых переменных. Рассматриваются примеры преобразования координат в трехмерном и четырехмерном параметрических простран ствах. Полученные нами результаты включают результаты В.Себехея, как частные случаи. Помимо значения п = 1 определенные практические достоинства дает выбор значений п = 3/2 и п = 2. Приводятся системы регуляризированных дифференциальных уравнений, справедливые для общего случая возмущенного кеплеровского движения. Затем базовая идея диссертационной работы, идея фиктивного притягивающего центра с переменной массой, используется для ввода подвижного центра регуляризации в возмущенной ограниченной задаче трех тел. Дается вывод дифференциальных уравнений движения задачи в регуляризирущих переменных. Завершает главу анализ результатов численного эксперимента по сравнению эффективности алгоритмов.
