Содержание к диссертации
Оглавление 2
Введение 6
Глава 1. Оптимальное гарантированное приведение динамической сис темы в неподвижную целевую точку в ограниченной области при неполной информации 36
§1.1. Задача оптимального гарантированного поиска неподвижной целевой точки в ограниченной области 36
§1.2. Построение множества поисковых траекторий и сведение ос новной задачи к задаче определения траектории минималь ной длины 40
§1.3. Решение задачи простого поиска в прямоугольнике с круговой областью обнаружения 48
§1.4. Постановка задачи оптимального гарантированного приведе ния динамической системы в неподвижную целевую точку 58
§1.5. Алгоритм комбинированного гарантированного управления 60
§1.6. Решение задачи оптимального гарантированного приведения трехмерной динамической системы в неподвижную целевую точку в случае "медленного" поиска 67
§1.7. Решение задачи оптимального гарантированного приведения трехмерной динамической системы в неподвижную целевую точку в случае "быстрого" поиска 71
§1.8. Приложение к манипуляционным роботам 76
Глава 2. Гарантированное управление поиском подвижного объекта в прямоугольной области 85
§2.1. Постановка задачи гарантированного поиска подвижного объекта в ограниченной области 85
§2.2. Описание способа движения и достаточное условие заверше ния поиска за конечное время в задаче с областью обнаруже ния в виде отрезка (вспомогательная задача) 87
§2.3. Методика определения параметров поисковых траекторий 91
§2.4. Построение области существования решения вспомогательной задачи 106
§2.5. Описание способа движения и достаточное условие успеш ного поиска в задаче с выпуклой ограниченной областью об наружения 110
§2.6. Обобщение методики определения параметров поисковых траекторий в общем случае 115
§2.7. Построение областей существования решения задачи гаранти рованного поиска в зависимости от формы области обнару жения 126
§2.8. Оптимальный по минимальному времени гарантированный по иск подвижного объекта 129
Глава 3. Оптимальное и субоптимальное управление механическим двузвенным антропоморфным манипулятором 139
§3.1. Расчетная модель двузвенного плоского антропоморфного ма нипулятора и постановка задачи оптимального управления 140
§3.2. Оптимальные по быстродействию режимы управления дву звенным манипулятором с минимальным числом переключе ний 142
§3.3. Построение областей конечных конфигураций, достижимых манипулятором, при оптимальных по быстродействию режи мах управления с учетом ограничений на угловые скорости 150
§3.4. Построение управления линейной динамической системой при ограничениях на скорость 163
§3.5. Управление двузвенным манипулятором с учетом ограничений на угловые скорости звеньев ...167
§3.6. Моделирование субоптимальных движений двузвенного антро поморфного двузвенного манипулятора 171
Глава 4. Оптимальное и субоптимальное управление транспортными движениями двузвенного электромеханического манипуляци онного робота 181
§4.1. Расчетная модель антропоморфного электромеханического двузвенного манипулятора 182
§4.2. Анализ и возможные упрощения исходной модели 187
§4.3. Синтез оптимального по быстродействию управления при ограничениях на напряжение и на мощность тепловыделе ния 193
§4.4. Моделирование субоптимальных по быстродействию транс портных движений промышленного робота 200
§4.5. Субоптимальное по быстродействию управление транспорт ными движениями промышленного робота с высокой точ ностью позиционирования 209
§4.6. Оптимизация режимов управления по энергозатратам 220
§4.7. Управление электромеханическим манипуляционным робо том при ограничениях на напряжение и на ток 229
Глава 5. Оптимизация управляемых движениий манипуляционного робота 239
§5.1. Описание различных параметрических представлений кон фигурации плоского двузвенного манипулятора 239
§5.2. Постановка задачи оптимизации конфигураций, направлений поворотов звеньев и способов управления двузвенным мани пулятором 241
§5.3. Диаграммы для расчета движений, оптимальных по быстро- действию 243
§5.4. Диаграммы для расчета движений, оптимальных по энергоза тратам 250
§5.5. Приложение к электромеханической модели двузвенного манипулятора 255
§5.6. Сравнительный анализ расчетных оптимальных движений двузвенного манипулятора 259
Основные результаты 264
Список литературы 267
Введение к работе
Задачи управления механическими системами, функционирующие в условиях неопределенности, являются предметом исследования современной теории управляемых систем. Эти проблемы имеют своим источником многие прикладные задачи такие, как задача об управляемом приведении механической системы на целевой объект при неизвестных заранее фазовых координатах последнего. Подобные задачи возникают в различных сферах человеческой деятельности и в технике. Например, в задачах управления адаптивными робототехническими системами имеет место ситуация, когда требуется построить управляемое движение роботом-манипулятором, который из заданного положения должен, перемещаясь по соответствующей траектории, наискорейшим образом осуществить захват некоторого подвижного или неподвижного объекта, точные координаты которого управляющей стороне неизвестны. При этом необходимая для реализации условия окончания процесса информация поступает к управляющей стороне после того, как зона чувствительности соответствующего датчика, например видеокамеры, установленной на одном из звеньев робота-манипулятора, охватит окрестность искомого объекта. Описанную ситуацию можно моделировать с помощью двух последовательных подзадач. Первая из них - задача обнаружения искомого объекта - попадает в круг проблем теории поиска. А вторая - задача осуществления захвата искомого объекта при полной информации о его координатах - двухточечная задача теории оптимального управления.
В теории поиска, одного из существенных разделов теории дифференциальных игр [79-81,93,105,129], рассматриваются задачи управления сближением одной системы (поисковой) с другой (искомой) при неполной информации. Характерной особенностью задачи поиска является то, что по исковая система в процессе поиска никакой текущей информации о местоположении искомого объекта не получает.
Начиная с 60-х годов, появилось значительное количество работ, в которых задачи поиска рассмотрены и исследованы в различных постановках. Эти работы условно можно разбить на три группы.
В ходе решения задач первой группы максимизируется вероятность успешного осуществления поиска. В задачах второй группы обеспечивается гарантированный поиск за конечное время. И, наконец, в задачах третьей группы минимизируется, время поиска (или какая-либо другая величина, например, затраченные ресурсы).
Большая часть работ [25, 53, 60, 64, 66, 67, 85, 94, 100-103, 113, 137-140, 145, 153, 154, 156, 157, 159, 175, 176] посвящена решению задач первой группы. При этом в работах [60, 64, 85, 94, 102, 103, 113] обсуждаются задачи поиска (дискретный или непрерывных поиск), в которых искомый объект не оказывает противодействия поисковой системе, а в остальных работах задачи поиска рассматриваются в условиях противодействия (игровые задачи поиска). Если при этом искомый объект обладает достаточной свободой выбора, то задача формулируется в терминах теории игр и часто решается в смешанных стратегиях.
Постановка задачи дифференциальной игры поиска восходит к работе Айзекса [25] и в теории дифференциальных игр с неполной иннформацией известна под названием "Принцесса и чудовище".
Отличительной чертой этой и близких к ней задач является математическое описание постановки и подход их решения. В работах [25, 53, 66, 67, 100-103, 137-140, 145, 153, 154, 156, 157, 159, 175, 176] предполагается, что начальное фазовое состояние искомого объекта задается некоторым вероятностным законом распределения и для решения задачи поиска применяется вероятностный подход.
построении так называемого множества контроля. Это множество поисковый объект как бы несет на себе, и попадание в это множество искомого объекта означает завершение поиска. Контролируемое множество строится из двух подмножеств - остаточного, где искомый не может оказаться, в силу ограниченности скорости, и упреждающего множества, находясь в котором в данный момент времени, искомый объект будет обнаружен в один из последующих моментов. На примере некоторых двумерных поисковых задач показывается, как, пользуясь предложенным методом, можно находить достаточные условия, гарантирующие обнаружение, а также со-ответствую-щие траектории и требуемое гарантированное время.
В работах А. А. Меликяна и его учеников [48, 54, 88-90, 135, 167] впервые предложена математическая модель [88-90] и сформулирована игровая задача об оптимальном по быстродействию гарантированном управлении динамической системой при неполной информации о положении целевой точки, известной в начальный момент с точностью до некоторой заданной области неопределенности. В качестве области обнаружения рассмотрена полуплоскость, связанная с фазовым вектором поисковой системы. Получены полные решения задачи гарантированного быстродействия при различных областях неопределенности (отрезок [88], многоугольник [48], круг [54]). Существенным элементом решений является особая траектория -движение по некоторой ломаной, к которой подходят прямолинейные оптимальные траектории. Подход этих работ, в отличие от других формулировок задач поиска, позволяет не только обнаружить целевую точку, в качестве которой может служить как неподвижная, так и подвижная точка, но и осуществить приведение в нее фазового вектора поисковой системы.
Решения различных задач поиска приводятся в монографиях [1, 62, 72, 121].
Как отмечалось в начале введения на модельном примере захвата роботом-манипулятором целевого объекта с заранее неизвестными координата ми, процесе управления наискорейшим приведением схвата манипулятора на уже обнаруженный объект представляет собой задачу оптимального управления манипуляционным роботом.
К настоящему времени имеется огромное количество опубликованных работ, посвященных проблемам динамики и управления движением мани-пуляционных роботов.
С точки зрения механики манипуляционные роботы представляют собой управляемые маханические системы со многими степенями свободы, способные совершать сложные движения в пространстве [73, 76, 90, 106, 117, 127, 154, 173]. Целью этих движений является осуществление заданных перемещений манипулируемого объекта с требуемой точностью и за определенное время. При этом.программа движений робота может быть как заданной заранее, так и перестраиваемой в зависимости от результатов измерений.
Актуальной инженерной задачей в робототехнике является улучшение функциональных показателей промышленного робота. Наиболее важными и распространенными показателями являются его производительность (скорость выполнения операций), точность позиционирования рабочего органа (схвата или инструмента) и энергозатраты. Эти показатели зависят от конструктивных характеристик робота - кинематики манипулятора, массы его подвижных частей, упругих свойств материалов, используемых в конструкции, типов и характеристик приводов и т.п., а также от режимов управления.
Один из рациональных подходов к расчету режимов управления состоит в их оптимизации по отношению к некоторому показателю качества функционирования манипулятора. При этом режимы управления являются варьируемыми переменными, за счет выбора которых и достигается оптимизация. Математической основой оптимизационного подхода к расчету алго построении так называемого множества контроля. Это множество поисковый объект как бы несет на себе, и попадание в это множество искомого объекта означает завершение поиска. Контролируемое множество строится из двух подмножеств - остаточного, где искомый не может оказаться, в силу ограниченности скорости, и упреждающего множества, находясь в котором в данный момент времени, искомый объект будет обнаружен в один из последующих моментов. На примере некоторых двумерных поисковых задач показывается, как, пользуясь предложенным методом, можно находить достаточные условия, гарантирующие обнаружение, а также со-ответствую-щие траектории и требуемое гарантированное время.
В работах А. А. Меликяна и его учеников [48, 54, 88-90, 135, 167] впервые предложена математическая модель [88-90] и сформулирована игровая задача об оптимальном по быстродействию гарантированном управлении динамической системой при неполной информации о положении целевой точки, известной в начальный момент с точностью до некоторой заданной области неопределенности. В качестве области обнаружения рассмотрена полуплоскость, связанная с фазовым вектором поисковой системы. Получены полные решения задачи гарантированного быстродействия при различных областях неопределенности (отрезок [88], многоугольник [48], круг [54]). Существенным элементом решений является особая траектория -движение по некоторой ломаной, к которой подходят прямолинейные оптимальные траектории. Подход этих работ, в отличие от других формулировок задач поиска, позволяет не только обнаружить целевую точку, в качестве которой может служить как неподвижная, так и подвижная точка, но и осуществить приведение в нее фазового вектора поисковой системы.
Решения различных задач поиска приводятся в монографиях [1, 62, 72, 121].
Как отмечалось в начале введения на модельном примере захвата роботом-манипулятором целевого объекта с заранее неизвестными координата ми, процесе управления наискорейшим приведением схвата манипулятора на уже обнаруженный объект представляет собой задачу оптимального управления манипуляционным роботом.
К настоящему времени имеется огромное количество опубликованных работ, посвященных проблемам динамики и управления движением мани-пуляционных роботов.
С точки зрения механики манипуляционные роботы представляют собой управляемые маханические системы со многими степенями свободы, способные совершать сложные движения в пространстве [73, 76, 90, 106, 117, 127, 154, 173]. Целью этих движений является осуществление заданных перемещений манипулируемого объекта с требуемой точностью и за определенное время. При этом.программа движений робота может быть как заданной заранее, так и перестраиваемой в зависимости от результатов измерений.
Актуальной инженерной задачей в робототехнике является улучшение функциональных показателей промышленного робота. Наиболее важными и распространенными показателями являются его производительность (скорость выполнения операций), точность позиционирования рабочего органа (схвата или инструмента) и энергозатраты. Эти показатели зависят от конструктивных характеристик робота - кинематики манипулятора, массы его подвижных частей, упругих свойств материалов, используемых в конструкции, типов и характеристик приводов и т.п., а также от режимов управления.
Один из рациональных подходов к расчету режимов управления состоит в их оптимизации по отношению к некоторому показателю качества функционирования манипулятора. При этом режимы управления являются варьируемыми переменными, за счет выбора которых и достигается оптимизация. Математической основой оптимизационного подхода к расчету алго ритмов управления служат теория оптимального управления и методы математического программирования.
Следует отметить, что оптимальные законы управления выявляют предельные возможности робота, показывают резервы его производительности и эффективности. Однако оптимальные управления часто требуют очень трудоемких расчетов для своего построения. Кроме того, встречаются трудности при их реализации на промышленных роботах ввиду сложности этих режимов. Поэтому наряду с оптимальными представляют интерес субоптимальные управления, близкие к оптимальным, но более простые по своей структуре и поэтому более подходящие для практической реализации.
Приведем краткий обзор публикаций по оптимизации режимов управления для манипуляционных роботов, в которых основными критериями функционирования роботов являются время транспортной или технологической операции, энергозатраты и точность исполнения движений. А основными подходами к оптимизации являются непосредственное использование математических методов теории оптимального управления, параметрическая оптимизация и использование методов разделения движений, сравнительный анализ которых, применительно к построению оптимальных и субоптимальных управлений, подробно приведен в обзорной статье [43].
В работах [28, 29, 40-42, 46, 61, 71, 95, 96, 98, ПО, 136, 146, 150-152, 158, 161, 162, 164-166, 169] решаются задачи оптимального быстродействия.
Основным подходом к оптимизации режимов управления в публикациях [46, 95, 96, 98, 136, 158, 169] является непосредственное применение математических методов теории оптимального управления
В [95, 96] для манипуляторов, динамика которых описывается совокупностью несвязанных между собой дифференциальными уравнениями первого или второго порядков, рассматриваются задачи оптимального быстро действия при различных ограничениях. Получено точное аналитическое решение при помощи методов вариационного исчисления [118]. Работа [136] посвящена математическому анализу задачи оптимального управления двузвенным манипулятором. Сформулированы условия, гарантирующие существование оптимального по быстродействию управления, переводящего манипулятор из фиксированного начального состояния на заданное терминальное множество. Доказана соответствующая теорема существования. Построению оптимальных по быстродействию траекторий для манипуляторов, работающих в цилиндрических и сферических системах координат, посвящена работа [158]. Сделан вывод, что для рассматриваемых роботов оптимальные программные управления кусочно непрерывны и число моментов переключения конечно. Однако строгий анализ обсуждаемой задачи проделан в статьях [46, 98], где доказано, что возможна ситуация, когда число переключений управляющей функции бесконечно велико, а частота этих переключений возрастает по мере приближения к середине интервала времени оптимального движения. Для решения задачи оптимизации по быстродействию авторами статьи [169] предлагается алгоритм, основанный на вариациях в конфигурационном пространстве. Здесь приведен пример расчета оптимальной траектории для двузвенного антропоморфного манипулятора.
В работах [61, ПО, 146; 150-152, 164] исползована параметрическая оптимизация.
В статье [110] предлагается итерационная процедура построения кусочно-постоянных управлений, переводящих многозвенный манипулятор из начального состояния в конечное за минимавльное время. В ходе вычислений определяются число и моменты переключений для каждой управляющей переменной. В [146, 150-152] приводится алгоритм решения задачи оптимального по быстродействию программного управления для антропоморфного манипулятора, если заданы траектория движения схвата и мак симально допустимые значения управляющих моментов. Обсуждается возможность реализации построенных оптимальных программ при помощи стандартных систем управления, содержащих контуры обратной связи. В [164] минимизируется время движения схвата робота по траектории, состоящей из отрезков прямых и дуг окружностей при ограничениях на скорость и ускорение. В [61] строится и оптимизируется релейный режим управления многозвенным роботом с последовательным включением приводов. При этом в каждый момент времени происходит движение лишь по одной обобщенной координате, а остальные степени свободы арретирова-ны.
В публикациях [28, 29, 40-42, 71, 161, 162, 165, 166] при оптимизации режимов управления по быстродействию используется метод разделения движений.
Работа [161] посвящена построению субоптимальных управлений многозвенных механизмов на основе замены исходной нелинейной системы уравнений упрощенной линейной моделью. Для манипуляционных роботов со многими степенями свободы в [162, 165, 166] рассматриваются релейные режимы управления обобщенными силами, отвечающие различным обобщенным координатам. Предполагается, что все координаты изменяются монотонно, каждое управление имеет только одно переключение, и в момент приведения манипулятора в заданное положение по какой-нибудь координате соответствующая степень свободы аррентируется. Построены алгоритмы расчета моментов переключения, обеспечивающих минимальное время приведения робота из начальной конфигурации в конечную. Алгоритм иллюстрируется на примере манипулятора с тремя степенями свободы.
Широкий класс задач оптимизации по быстродействию транспортных движений манипуляционных роботов различных типов решен в [28, 29, 40-42, 71]. Построены оптимальные и квазиоптимальные управления для ан тропоморфного манипулятора с безынерционными звеньями [40-42, 29]. Рассчитаны и исследованы различные режимы одновременного управления поворотом и выдвижением руки манипулятора, обладающего одной вращательной и двумя поступательными кинематическими парами [28, 29]. Разработана методика расчета оптимальных движений роботов с кинематической избыточностью [71, 29], построены и реализованы оптимальные режимы управления для различных промышленных роботов.
Во всех отмеченных выше публикациях при решении задач оптимального управления использовались "чисто механические" модели роботов; за управляющие переменные принимались непосредственно силы и моменты, приложенные к звеньям манипулятора. Однако указанные силы и моменты создаются приводами, собственную динамику которых в общем случае необходимо учитывать при составлении уравнений движения. В статьях, цитируемых ниже, задачи оптимизации решаются на основе математических моделей, в которых учтены как свойства самих манипуляторов, так и свойства приводов.
В работе [51] для робота с цикловой системой программного управления разработан алгоритм расчета моментов включения пневманических приводов выдвижения и поворота руки, соответствующих минимальному времени перемещения схвата из одного заданного положения в другое.
В [170] рассмотрен двузвенный антропоморфный манипулятор, управляемый электроприводами с двигателями постоянного тока. При больших передаточных числах редукторов нелинейные уравнения аппроксимируются линейными с постоянными коэффициентами. Однако аппроксимация основанные на отбрасывании нелинейных слагаемых, а на замене угловых переменных в этих слагаемых их средними значениями. По упрощенной модели рассчитываются оптимальные по быстродействию программные управления. Продолжением работы [170] является статья [171], в ней учиты ваются упругая податливость шарниров и люфт в редукторах манипулятора.
В [27] решается задача оптимального по быстродействию управления антропоморфным электромеханическим роботом. Показано, что для многих промышленных роботов взаимное влияние различных степеней свободы мало и построен приближенный синтез оптимального управления, обеспечивающего наискорейшее приведение робота в заданную конфигурацию.с торможением движения в конце процесса. В работах [37, 38, 55] на основе подхода, сочетающего методы оптимального управления и концепцию обратных задач динамики, строится комбинированное субоптимальное по быстродействию управление электромеханической системой, которое обеспечивает ее приведение в заданное состояние без перерегулирования при выполнении ограничений на напряжение и ток в цепи якоря электродвигателя. В [44] обсуждаются результаты компьютерного моделирования динамики электромеханического манипулятора при оптимальном адаптивном управлении.
Отметим еще некоторые публикации, посвященные оптимизации режимов управления манипуляционных роботов.
Авторами статьи [47] исследованы возможности повышения производительности манипуляторов за счет применения рабочих органов с несколькими схватами и оптимизации маршрута движения. В [49] для трехзвенно-го манипулятора с шестью степенями свободы решаются некоторые задачи оптимизации по быстродействию и энергозатратам путем прямого перебора вариантов движения. На основе простой механической модели в [87] при помощи принципа максимума построено программное оптимальное (по быстродействию) управление движением схвата робота. Субоптимальное по быстродействию управление для робота, работающего в сферической системе координат, строится в [130]. Авторами работы [173] разработана процедура численного расчета субоптимального по быстродействию программного управления движением робота при наличии препятствия в его рабочей зоне. В [177] решается задача оптимизации траектории плоского антропоморфного манипулятора при наличии круглого препятствия в рабочей зоне робота.
В работах [33, 49, 65, 114, 115, 120, 147, 163, 171, 172] рассматриваются задачи минимизации энергозатрат при выполнении роботами транспортных операций.
В [33] при помощи асимптотических методов для сингулярно возмущенных систем приближенно строится оптимальное по энергозатратам программное управление электромеханическим однозвенным манипулятором с пружиной, действующей между рукой и неподвижным основанием. В [49] для трехзвенного манипулятора с шестью степенями свободы решается задача оптимизации по энергозатратам путем прямого перебора вариантов движения. В [65] приводится алгоритм, позволяющий осуществлять оптимальное по энергозатратам движение манипулятора при наличии препятствий. В [114] обсуждаются особенности приводов различных типов с энергетической точки зрения. Методами теории оптимального управления решается задача о переводе двузвенного манипулятора из данной начальной конфигурации в конечную с минимальными энергозатратами. Пример численного решения задачи о перемещении груза из начальной точки в конечную при помощи трехзвенного манипулятора с минимальными затратами энергии приведен в [115]. В работе [120] для расчета программных оптимальных по энергозатратам движений манипулятора с двумя поступательными и одной вращательной кинематическими парами применяется подход, предложенной в [163] для численного решения задачи оптимального управления с интегральным функционалом путем сведения к минимизации функции конечного числа переменных. Аналогичный подход используется в [172] для планирования оптимальных траекторий многозвенных роботов. Автор статьи [147] рассчитывает оптимальные по энергозатратам движения робота, используя численный метод градиентного типа в пространстве управляющих функций. Методом динамического программирования [35] в [171] рассчитывается оптимальный режим управления электроприводом манипулятора с двумя степенями свободы. Построенные оптимальные законы управления реализованы экспериментально.
Вопросам оптимизации роботов по критериям точности посвящены работы [2, 3, 69, 73, 92, 111] и др.
В этих работах оптимизируются в основном конструктивные параметры манипуляторов и их кинематические характеристики. Так, в [69] предложена методика нахождения конфигурации манипулятора, отвечающей минимуму погрешности позиционирования схвата в заданной точке рабочей зоны. В [92] решается задача выбора оптимального соотношения длин звеньев.
Кроме отмеченных выше трех основных критериев качества - быстродействие, энекргозатраты, точность - при оптимизации движений роботов используются и другие функционалы, например, объем движения [73].
Большой цикл работ [31, 32, 59, 123-127] посвящен разработке эффективного метода построения управлений с обратной связью для нелинейных механических систем (в частности для манипуляционных роботов). Метод основан на идее декомпозиции исходной системы со многими степенями свободы на простые подсистемы с одной степенью свободы, которыми можно управлять независимо. Он позволяет приводить систему в заданное состояние за конечное время с учетом ограничений (также смешанных) на управления и неконтролируемых возмущений, действующих на систелгу.
Работы [57, 82-84, 99] посвящены построению алгоритмов управления ма-нипуляционными роботами на основе решения обратных задач динамики.
Построению режимов управления манипуляционными системами с учетом упругой податливости конструкции посвящены работы [30, 36, 39, 56, 63, 108, 109, 149].
Настоящая диссертационная работа посвящена разработке алгоритмов построения оптимальных гарантирующих управлений динамическими системами в задачах поиска и приведения в целевую точку - на точечный объект - в ограниченной области при неполной информации о ее положении, а также разработке оптимальных и субоптимальных законов управления манипуляционными роботами в задачах приведения манипулятора в терминальное положение при различных динамических ограничениях.
Диссертация состоит из пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы.
Приведем краткий обзор содержания диссертационной работы.
В первой главе рассматриваются задачи оптимального по минимальному времени гарантированного поиска динамической системой неподвижной целевой точки и оптимального по минимальному суммарному времени гарантированного поиска и приведения динамической системы в целевую точку - на неподвижный точечный объект - в ограниченной области при неполной информации о ее положении. Предполагается, что геометрические параметры области обнаружения, движущейся вместе с фазовым вектором системы, намного меньше параметров области поиска. Значительная часть главы отведена случаю, когда поисковая динамическая система управляется по скорости.
В §1.1 дана формулировка задачи оптимального гарантированного поиска динамической системой неподвижной целевой точки - точечного объекта -в плоской ограниченной области. Искомая точка считается обнаруженной при попадании в так называемую информационную область, движущуюся вместе с фазовым вектором системы. В качестве допустимых траекторий рассматривается множество кривых, покрывающих область поиска с заданной точностью, а в качестве допустимых управлений - управления, при которых движение поисковой системы происходит по покрывающей траектории. Установлено, что движение поисковой системы по покрывающей траектории при соответствующем допустимом управлении гарантирует обнаружение искомой точки за конечное время. Доказано существование решения задачи оптимального по минимальному гарантированному времени поиска в рассматриваемом множестве покрывающих траекторий.
В §1.2 задача оптимального гарантированного поиска рассмотрена для двумерной динамической системы, управляемой по скорости, в случае, когда области поиска и обнаружения имеют вид прямоугольника и круга соответственно. Решение рассматриваемой задачи - задачи нахождения траектории, движение, по которой обеспечивает успешный поиск искомого объекта за минимальное гарантированное время, сведено к задаче нахождения траектории минимальной длины из множества покрывающих прямоугольную область с заданной- точностью траекторий. Предложен конструктивный алгоритм построения этого множества, состоящего из траекторий в виде сочленения исходных - двух простых - покрывающих траекторий. Доказано, что в построенном множестве оптимальной в смысле минимальной длины является одна из исходных траекторий.
Получены явные выражения для оптимального гарантирующего управления, траектории и соответствующего гарантированного времени поиска.
В §1.3 приведено полное аналитическое решение задачи определения минимальной длины из двух исходных траекторий, в зависимости от геометрических параметров прямоугольника поиска и радиуса круга обнаружения. Для этой цели проведено подробное исследование функции, представляющей собой разность длин исходных траекторий и рассматриваемой как функция только одного переменного - горизонтальной стороны прямоугольника. Отдельно рассмотрены случаи, когда отношение вертикальной стороны прямоугольника и диаметра круга обнаружения - целое и нецелое числа. Установлено, что оптимальность той или иной исходной траектории зависит от знака функции разности, которая в обоих рассмотренных случаях является кусочно-линейной возрастающей функцией, имеющей ко нечное число нулей. Получены формулы, позволяющие по заданным параметрам прямоугольника (изменяющимся в заданных диапазонах), радиуса круга обнаружения и начальной точки процесса поиска определить нули функции разности, которым соответствуют определенные значения горизонтальной стороны прямоугольника и при которых обе исходные траектории равносильны в смысле минимальной длины. В остальных точках оптимальность той или иной исходной траектории зависит от знака функции разности.
В §1.4 приводится описание постановки задачи оптимального гарантированного приведения динамической поисковой системы в целевую точку -на неподвижный точечный объект - в ограниченной трехмерной области при неполной информации о координатах искомой точки. В предположении, что система уравнений движения поисковой системы расщепляется на независимые подсистемы, вводится в рассмотрение подвижное и управляемое информационное множество, связанное с текущим значением вектора положения поисковой системы, движущейся в трехмерной области, и позволяющее уточнить информацию о координатах искомого точечного объекта, неподвижного в пределах в двумерной подобласти рассматриваемой трехмерной области, в случае попадания последнего в это множество. Устанавливается конструкция и эволюция информационного множества, представляющего собой круг с центром в точке, являющейся проекцией вектора положения поискового объекта в двумерную подобласть, и с радиусом, зависящим от расстояния поискового объекта до двумерной подобласти.
В §1.5 для исследования поставленной задачи предлагается и обосновывается конструктивный алгоритм комбинированного гарантированного управления, сводящего рассматриваемую задачу к задаче оптимального по минимальному суммарному времени управления гарантированного поиска и приведения на искомый точечный объект. Цель комбинированного уп равления - обнаружение целевого неподвижного объекта с помощью управляемой информационной области, движущейся вместе с фазовым вектором системы (этап поиска), а затем приведения на него (этап приведения). Существенным элементом предлагаемого подхода является введение в рассмотрение покрывающих траекторий. Установлено, что управляемое движение по введенным траекториям обеспечивает успешный поиск за конечное гарантированное время и приведение в целевую точку. Доказано существование покрывающей траектории минимальной длины, а также доказано, что чем больше радиус обнаружения покрывающей траектории минимальной длины по которой осуществляется "просмотр" области поиска, тем меньше время завершение поиска искомого объекта.
Найдена зависимость полного времени процесса управления, складывающегося из времени, прошедшего до обнаружения, и оставшегося времени приведения в целевую точку, от параметров задачи. Дана формулировка задачи о минимальном суммарном времени гарантированного поиска и приведения в неподвижную точку.
В §1.6 для трехмерной динамической системы, описывающей движение поискового точечного объекта в параллелепипеде и управляемой по скорости, получено аналитическое решение задачи оптимального гарантированного поиска и приведения, когда искомая целевая точка находится в двумерном прямоугольном основании параллелепипеда, в предположении, что во множестве покрывающих траекторий поиск осуществляется с кругом обнаружения постоянного радиуса. При этом рассмотрен случай "медленного" поиска.
В §1.7 приведено аналитическое решение задачи оптимального гарантированного поиска и приведения в случае "быстрого" поиска. Найдены оптимальные величины радиуса круга обнаружения, при которых суммарное время управляемого процесса минимально. Кроме того, найдены явные вы ражения для оптимального гарантированного управления и минимального суммарного времени процесса.
В §1.8 на примере манипулятора с тремя степенями свободы, работающего в декартовых координатах, с рабочей зоной поиска в виде прямоугольника и параллелепипеда с конкретными значениями геометрических параметров в явном виде получены оптимальные гарантирующие управления и траектории. Оценен выигрыш по времени, достигаемый за счет движения по найденным оптимальным траекториям.
Вторая глава посвящена исследованию задачи гарантированного поиска подвижного объекта в плоской прямоугольной области с произвольной выпуклой ограниченной замкнутой областью обнаружения, разработке алгоритмов построения поисковых траекторий, установлению условий на параметры задачи, гарантирующих успешное завершение поиска, а также нахождению оптимальных по минимальному гарантированному времени поиска траекторий. В §2.1 излагаются постановки задач гарантированного поиска подвижного объекта в плоской прямоугольной области для выпуклой ограниченной замкнутой области обнаружения и для области обнаружения, представляющей собой отрезок, параллельный оси ординат (вспомогательная задача).
В §2.2 во вспомогательной задаче для поискового объекта предлагается способ движения по некоторому семейству многопараметрических ломаных - поисковых траекторий - со специальными свойствами. Получено достаточное условие осуществления поиска искомого объекта за конечное время при движении поискового объекта по рассмотренным ломанным траекториям.
В §2.3 излагается методика поэтапного определения параметров поисковых траекторий, удовлетворяющих достаточным условиям успешного завершения поиска. Существенным элементом обоснования изложенной методики является: 1) построение огибающего семейства границ возможных областей движения - областей безопасного движения - искомого объекта в моменты прихода поискового объекта в очередную вершину ломаной - траектории поиска; 2) построение огибающей семейства множеств точек встречи поискового и искомого объектов, к которой с одной стороны, касаясь, подходят прямолинейные участки траектории поиска. Анализируются возможные случаи существования решения вспомогательной задачи в семействе поисковых траекторий в зависимости от разрешимости системы соотношений относительно параметров траекторий. Находятся явные выражения для управления поисковым объектом и для полного времени гарантированного поиска.
В §2.4 излагается алгоритм построения наибольшей области на плоскости изменения параметров задачи, в каждой точке которой существует некоторое множество поисковых траекторий. Существование этой области доказывается теоретически и обосновывается численными построениями. Полученные результаты имеют локальный характер. В последующих параграфах они используются для построения решения основной задачи.
В §2.5 для основной задачи, сформулированной в §2.1, произвольная выпуклая замкнутая ограниченная область обнаружения рассматривается как совокупность параллельных оси ординат отрезков с различными длинами. При таком представлении области обнаружения становится возможным обобщение методики, развитой в §§2.2-2.3 при решении вспомогательной задачи. Вводится расширенное семейство многопараметрических ломаных - траекторий, зависящих (в отличие от траекторий, рассмотренных в §2.1) от дополнительных параметров. Устанавливается обобщенное достаточное условие завершения поиска за конечное время при движении поискового объекта по траекториям расширенного семейства.
В §2.6 на основе требования выполнения обобщенного достаточного условия за все время движения последовательно находятся параметры поисковой траектории. При этом устанавливается, что область безопасного дви жения искомого объекта в моменты прихода поискового объекта в очередную вершину ломаной представляет собой объединение областей безопасного движения, соответствующих отрезкам, составляющих исходную область обнаружения.
В §2.7 алгоритм построения областей существования решения вспомогательной задачи обобщается для симметричных областей обнаружения. Приводятся численные построения этих областей для различных областей обнаружения (квадрат, ромб, круг). Устанавливается и численными построениями обосновывается, что если области обнаружения упорядоченно вложены друг в друга, то соответствующие им области существования обладают тем же свойством. Изложенная методика и алгоритм позволяют по заданным допустимым значениям параметров задачи указать начальное положение поискового объекта в прямоугольной области, способ управления и соответствующее им время, не позже которого гарантируется завершение поиска искомого объекта.
В §2.8 излагается постановка задачи нахождения оптимальных по минимальному гарантированному времени поиска траекторий. Выводится формула для полного гарантированного времени поиска в зависимости от значения длины вертикальной стороны прямоугольника. Дается оценка величины гарантированного времени, что позволяет свести поставленную задачу к задаче максимизации величины скорости перемещения поискового объекта по вертикальным сторонам прямоугольника. При заданных симметричных формах областей обнаружения находятся явные выражения для максимизирующих параметров, определяющих структуру оптимальных поисковых траекторий.
Третья глава посвящена построению оптимальных и субоптимальных управлений плоскими движениями антропоморфного двузвенного манипулятора при ограничениях как на управляющие моменты, так и на фазовые переменные, а также построению областей конечных конфигураций, дос тижимых манипулятором при оптимальных по быстродействию управлениях с минимальным числом переключений с учетом ограничений на угловые скорости звеньев манипулятора. Алгоритмы построения управлений основаны на методах теории оптимального управления и обратных задач динамики.
В §3.1 рассматривается расчетная модель механической части плоского двузвенного антропоморфного манипулятора с произвольными значениями инерционных и геометрических параметров. Считается, что манипулятор расположен в горизонтальной плоскости и сила тяжести не влияет на его движение. Такой моделью часто можно ограничиться при планировании и анализе транспортных движений антропоморфных манипуляционных роботов, не обладающих избыточным числом степеней свободы.
Дана формулировка задачи оптимального по быстродействию управления, в которой требуется найти законы изменения управляющих моментов, приводящие систему из заданного начального состояния покоя в заданное конечное состояние покоя за минимальное время при ограничениях на управляющие моменты.
В §3.2 поставленная задача решается для двузвенного манипулятора со вторым уравновешенным звеном, движение которого описывается линейной системой четвертого, порядка. Так как, согласно принципу максимума, оптимальные управления для рассматриваемой системы релейные, то искомые управления ищутся среди параметрического класса зависимостей с минимальным (равным четырем) числом параметров, достаточным для удовлетворения четырех конечных условий при произвольных начальных условий.
Рассматриваются шестнадцать различных способов управления, отличающихся друг от друга номером момента, имеющего одно и два переключения (два свободных параметра), а также комбинациями значений, определяющих порядок чередования знаков управляющих моментов. Аналитичес ким способом на конфигурационной плоскости манипулятора построены области, где реализуются соответствующие режимы. Для каждого режима получены явные выражения зависимостей параметров управления от конечных значений углов, при которых управления приводят систему в заданную конечную точку. Аналогичные результаты получены для системы в случае, когда начальные и конечные состояния близки.
В §3.3 для механической модели манипулятора со вторым уравновешенным звеном рассматривается задача построения на конфигурационной плоскости манипулятора областей конечных положений, достижимых манипулятором без нарушения заданных ограничений на угловые скорости, при оптимальных по быстродействию управлениях с минимально возможным числом переключений, построенных в предыдущем параграфе. Предлагается следующая процедура построения искомых областей. На основе анализа зависимостей угловой скорости от текущего угла соответствующего звена манипулятора, найденных при оптимальных режимах и приводящих манипулятор из начального положения в конечное положение по каждой степени подвижности, установлено, что максимальное по модулю значение угловой скорости каждого звена манипулятора достигается в один из моментов переключения управления. Для заданного режима, начальной конфигурации и ограничений из конечных условий получаем два неравенства относительно конечных конфигураций, которые задают две области на конфигурационной плоскости манипулятора. Пересечение этих областей и определяет искомую область.
По предложенной процедуре получены аналитические представления искомых областей при различных режимах управления. Построены также наибольшая и наименьшая области конечных конфигураций, достижимых при всех рассматриваемых режимах и хотя бы одном режиме соответственно. Установлено, что при приведении в точки, принадлежащие участкам границ построенных областей, максимального значения достигает од на из угловых скоростей звеньев манипулятора, а при приведении в узловые точки границ - обе угловые скорости.
В §3.4 решается задача построения управления, обеспечивающего приведение многомерной линейной динамической системы из произвольного начального состояния в заданное конечное состояние при ограничениях на компоненты вектора управления и вектора фазового состояния системы. При решении поставленной задачи, используется известная схема построения управления в отсутствие ограничений.
Получены условия на динамические параметры системы, при которых рассматриваемая задача разрешима для любых начальных и конечных состояний. Дана схема последовательного построения управления. Получены явные выражения для полного времени процесса и управления от времени и фазовых координат конечного положения.
В §3.5 изложенная в предыдущем параграфе схема построения управления использована для определения управляющих моментов двузвенного манипулятора со вторым уравновешенным звеном в задаче приведения манипулятора из заданного начального положения в заданное конечное положение с торможением движения в конце процесса. На управляющие моменты и угловые скорости звеньев наложены ограничения. Получен явный вид управляющих моментов от времени, конечного положения, а также найдено явное выражение для полного времени процесса приведения в зависимости от соотношений между механическими параметрами манипулятора.
В §3.6 для двузвенного" манипулятора с произвольными инерционными и геометрическими параметрами разработан графоаналитический подход к расчету оптимальных и субоптимальных по быстродействию программных режимов управления в задаче, поставленной в §3.1. Подход основан на сочетании методов обратных задач динамики и поиска параметров законов управления, рассмотренных во втором параграфе и приводящих систему в заданное терминальное положение. По предложенной методике проведены расчеты программных управляемых движений, а также приведены результаты численного моделирования движений двузвенного манипулятора при кусочно-постоянных управлениях с четырьмя свободными параметрами. На конфигурационной плоскости манипулятора с конкретными массовыми и геометрическими характеристиками построены диаграммы, позволяющие по заданным начальным и конечным значениям обобщенных координат определить количество точек переключения управляющих моментов, порядок чередования их знаков, моменты переключения и время приведения манипулятора в требуемое положение. Приведены также результаты моделирования движений полной модели двузвенника при управлениях, построенных для упрощенной модели, с учетом ограничений на управляющие моменты и угловые скорости звеньев.
Результаты расчетов показали, что оптимальные режимы управления, построенные в §§3.2,3.5 для упрощенной модели манипулятора, имеют сравнительно большую область применимости, что свидетельствует об их практической приемлемости.
Четвертая глава посвящена построению оптимальных режимов управления упрощенными моделями электромеханического манипуляционного робота и оценке эффективности этих режимов как субоптимальных при моделировании транспортных движений промышленного робота. Рассмотрены различные упрощенные модели, как учитывающие, так и не учитывающие динамическое взаимодействие различных степеней свободы робота.
В §4.1 выводятся уравнения движения двузвенного манипулятора с учетом динамики приводов, .состоящих из управляемых по напряжению электродвигателей постоянного тока с независимым возбуждением и редукторов.
В §4.2 анализируются возможные упрощения исходной математической модели, связанные с соотношениями порядков физических параметров рассматриваемой электромеханической системы. Показывается, что во многих случаях при расчете законов управления можно пользоваться простой линейной моделью, не учитывающей взаимного влияния различных степеней свободы, а также линейной моделью, в которой учитывается динамическое взаимодействие звеньев (случай статической уравновешенности второго звена манипулятора). Даются математические постановки задач синтеза оптимального (по быстродействию и энергозатратам) управления транспортными движениями манипулятора при различных ограничениях.
В §4.3 для упрощенной модели двузвенного электромеханического манипулятора, в которой отсутствет динамическое взаимодействие звеньев, решается задача построения зависимостей управляющих напряжений от обобщенных координат и скоростей звеньев манипулятора, которые обеспечивают наискорейшее .приведение системы из произвольного начального состояния в заданное конечное положение с торможением движения в конце процесса. Задачи оптимального управления решаются с учетом ограничений на напряжение и мощности тепловыделения в обмотках роторов электродвигателей.
В §4.4 методом численного моделирования исследована динамика конкретного промышленного робота при управлениях, оптимальных в задаче быстродействия для упрощенной модели робота, построенных в §4.3. Результаты моделирования свидетельствуют о приемлемости предложенной методики расчета и о практической эффективности полученных оптимальных режимов. Однако точность позиционирования в окрестности терминального состояния каждой степени подвижности робота оказывается невысокой: происходят нежелательные колебания.
В §4.5 для предотвращения этих колебаний и обеспечения высокой точности позиционирования, предлагается алгоритм комбинированного управления, предусматривающий вне малой окрестности терминального состояния использование оптимального управления, построенного в §4.3, а внут ри упомянутой окрестности - линейного регулятора, обеспечивающего асимптотическое приведение манипулятора в заданную конфигурацию. Коэффициенты усиления регулятора определяются исходя из требований удовлетворения ограничений на напряжение и ток (мощность тепловыделения) и быстроты переходного процесса. Результаты проведенного численного моделирования показывают, что за счет подбора коэффициентов удается достигнуть высокой точности приведения системы в терминальное состояние при хорошем быстродействии.
В §4.6 для упрощенной модели двузвенного электромеханического манипулятора, в которой отсутствет динамическое взаимодействие звеньев, решаются задачи оптимизации транспортных движений роботов по энергозатратам. Здесь рассматриваются главным образом комбинированные функционалы, учитывающие наряду с энергозатратами точность приведения робота в заданное положение и время выполнения транспортной операции. Построены оптимальные управления, формируемые по принципу обратной связи. Как и в §4.4, проведено численное моделирование динамики робота конкретного промышленного робота при полученных режимах управления. Результаты моделирования свидетельствуют о практической приемлемости этих режимов.
В §4.7 для линейной модели двузвенного электромеханического манипулятора §4.2, в которой учитывается динамическое взаимодействие звеньев (случай статической уравновешенности второго звена манипулятора), решается задача построения управляющего напряжения, осуществляющего приведение системы из заданного начального состояния в заданное конечное состояние при ограничении на напряжение и ограничении на ток (мощность тепловыделения), которое сводится к совместному ограничению на управляющее напряжение и на угловую скорость соответствующего звена манипулятора.
При решении поставленной задачи используется схема построения управления в отсутствие ограничений, изложенная в §3.4. Получены условия на механические и электромеханические параметры манипулятора, при которых рассматриваемая задача разрешима для любых начальных и конечных состояний, удовлетворяющих полученным условиям. Дана схема последовательного построения управления. Получены явные выражения для полного времени процесса приведения в зависимости от соотношений между механическими и электрическими параметрами манипулятора, а также явное выражение управляющего напряжения от времени и фазовых координат терминального состояния манипулятора.
Законы управления, полученные для упрощенной модели - системы четвертого порядка - использовались при моделировании транспортных движений двузвенного электромеханического манипуляционного робота. Результаты моделирования показывают, что управления, рассчитанные для упрощенной модели, учитывающей динамическое взаимодействие различных степеней свободы манипулятора, обеспечивают более точное приведение в заданное терминальное состояние манипулятора, чем управления, рассчитанные для упрощенной модели, в которой не учтено это взаимодействие.
Пятая глава посвящена оптимизации управляемых движений двузвенного манипулятора, рассматриваемого на основе как механической модели, так и электромеханической модели. Проведенные здесь исследования относятся к случаю, когда второе звено манипулятора уравновешено.
В §5.1 проводится анализ возможности приведения схвата плоского двузвенного антропоморфного манипулятора с произволными массовыми геометрическими параметрами из исходного положения в заданное конечное положение различными путями. Дело в том, что каждому положению схвата, не находящемуся на границе рабочей зоны, отвечают две конфигурации манипулятора. А каждую из этих конфигураций можно задавать с по мощью разлчных параметрических представлений. Устанавливается, что эти представления определяют не только одну и ту же конфигурацию манипулятора, но и несут информацию о способе приведения манипулятора в данную конфигурацию из исходной конфигурации, который характеризуется определенным сочетанием поворотов звеньев манипулятора по часовой стрелке и против часовой стрелки.
В §5.2 для двузвенного механического манипулятора со вторым уравновешенным звеном ставится задача определения типа конечной конфигурации, направления поворотов звеньев манипулятора, а также способа управления манипулятором, доставляющих минимальное значение заданному критерию качества функционирования манипулятора, которое зависит от указанных характеристик.
В §§ 5.3, 5.4 излагается методика расчета оптимальных по заданному критерию функционирования манипулятора движений двузвенника. С помощью диаграмм, построенных на конфигурационной плоскости двузвенного манипулятора, решаются задачи оптимального выбора конечной конфигурации и направлений поворотов звеньев двузвенного манипулятора, при которых для заданных способов управления, оптимальных по быстродействию (§5.3) и "комбинированных" функционалов, учитывающих энергозатраты (§5.4), достигается минимальное значение заданного критерия функционирования манипулятора.
В §5.5 задача определения типа конечной конфигурации, направления поворотов звеньев манипулятора, а также способа управления манипулятором с помощью расчетных диаграмм решается для электромеханической модели двузвенного манипулятора. Расчеты показывают, что учет динамики приводов вносит заметное уточнение в результаты определения оптимальных перемещений двузвенного манипулятора.
В §5.6 для манипулятора с конкретными характерными параметрами проведен сравнительный анализ расчетных движений, оптимальных по быстродействию и энергозатратам. Вычислениями устанавливается существенная роль выбора типа конечной конфигурации и направлений поворотов звеньев в улучшении различных показателей функционирования дву-звенного манипулятора.
Результаты работы докладывались и обсуждались:
на семинаре "Теория управления и оптимизация" ИПМ РАН, под руководством академика РАН Ф.Л. Черноусько, на семинаре по относительному движению кафедры теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (руководители семинара член-корр. РАН, проф. В.В. Белецкий и д. ф.-м. н., проф. Ю.Ф. Голубев) на семинаре кафедры прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (руководители семинара д. ф.-м. н., проф. В.В. Александров, д. ф.-м. н., проф. И.В. Новожилов, д. ф.-м. н., проф. Н.В. Парусников) на общем семинаре Института механики НАН РА, на семинарах "Механика робототехнических систем", "Механика конструкций из композитных материалов", "Волновые процессы" Института механики НАН РА, на республиканских конференциях: "Современные вопросы оптимального управления и устойчивости систем", Ереван. 28-30 октября 1997 г. и 2002г., на всесоюзных конференциях: "Управление в механических системах". Казань, 12-14 июня, 1985 г.; Львов, 26-28 апреля, 1988 г.; Свердловск, 12-14, июня, 1990 г., 6-й всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике, Ташкент, 24-30 сентябрь, 1986 г., на международных конференциях: "Information Technologies and Management", Yerevan, 18-20, November, 1999, "8h International Symposium on Dynamic Games and Applications", Maastricht, The Netherlands, 5-8 July 1998, "10h International Symposium on Dynamic Games and Applications", Saint Petersburg, Russia, 5-8 July, 2002.
Основные результаты-настоящей работы изложены в публикациях [4-24, 141-143]. В работах в соавторстве диссертанту принадлежат следующие результаты: детальная разработка численного построения расчетных диаграмм суб оптимальных программных движений двузвенного манипулятора [19]; решения задач синтеза оптимального управления электромеханическим манипулятором по критериям быстродействия и энергозатрат, а также моделирование субоптимальных транспортных движений электромеханического промышленного робота по критериям быстродействия и энергозатрат [14-18]; разработка и численное реализация алгоритма субоптимального по быстродействию управления с высокой точностью позиционирования [14-18]; постановка задачи гарантированного поиска подвижного объекта в прямоугольной области и разработка методики построения поисковых траекторий [20-22, 143]; постановки задач и разработка методики построения областей достижимости и расчетных диаграмм в [23] и [24] соответственно.
