Содержание к диссертации
Введение 3
1 Топологическая структура уровней линейных
инвариантных соотношений в ориентируемом случае 22
Основные понятия 22
Утверждение о топологической структуре многообразия уровня полного набора линейных инвариантных соотношений 24
Примеры, замечания и следствия 31
2 Голономная система — волчок Эйлера с
эксцентриком. 47
Постановка задачи и первые интегралы 48
Топологическая структура многообразия уровня. ... 50
Уравнения движения в системе координат, связанной
с эксцентриком 52
Стационарные движения 57
Динамически симметричный волчок Эйлера с эксцентриком 63
Топологическая структура многообразия уровня для интегрируемого случая 68
3 Неголономиые системы с полным набором
инвариантных соотношений. 72
3.1 Сани Чаплыгина на поверхности 73
Симметричный конек на поверхности вращения. 78
Симметричный конек на цилиндрической поверхности 81
3.2 Задача Суслова с эксцентриком в случае динамически
симметричного твёрдого тела 83
4 Топологическая структура уровней линейных
инвариантных соотношений в неориентируемом
случае. 87
Основные понятия, связанные с неориентируемым случаем 87
Утверждение о топологической структуре многообразия уровня полного набора инвариантных соотношений 88
Одна механическая система с неориентируемым конфигурационным многообразием 90
Заключение 95
Литература 99
Введение к работе
1. Предметная область. Диссертация посвящена исследованию свойств механических систем, обладающих достаточно большим набором инвариантных соотношений, связывающих фазовые координаты. Такими соотношениями могут быть первые интегралы системы или (в неголономном случае) непроинтегрированные дифференциальные связи. Предполагается, что число таких соотношений совпадает с размерностью конфигурационного пространства. Если для гамильтоновой механической системы с п степенями свободы известны п независимых первых интегралов и они находятся в инволюции, то ее свойства описывает известная теорема Лиувилля об интегрируемых системах (в интерпретации сделанной В.И. Арнольдом [7] или [28], [29]). В данной работе изучаются некоторые случаи, когда условия этой теоремы не выполняются, точнее, когда инвариантные соотношения не находятся в инволюции. Это условие заменяется другим, что позволяет в некоторых случаях, сформулировать общие и частные утверждения о топологической структуре многообразия уровня инвариантных соотношений таких систем.
Более конкретно, предметом изучения диссертации являются натуральные консервативные механические системы на п-мерных конфигурационных многообразиях, допускающие п — 1-но линейное по скоростям инвариантное соотношение (эти соотношения могут быть линейными интегралами или непроинтегрированными
дифференциальными связями). Совокупность этих линейных по скоростям соотношений, в дальнейшем, будем называть полным набором линейных инвариантгшх соотношений. Соответственно механические системы, обладающие таким набором соотношений, будем называть механическими системами с полным набором линейных инвариантных соотношений. В частности, для голономпого случая - механические системы с полным набором линейных первых интегралов. Основное условие, которое здесь налагается, состоит в том, что линейные соотношения функционально независимы по обобщенным скоростям (или импульсам) на соответствующих инвариантных многообразиях уровня. Иначе говоря, в диссертации рассматриваются механические системы с полным набором линейных и независимых инвариантных соотношений. В частном случае двухмерного конфигурационного многообразия требуется наличие всего одного линейного инвариантного соотношения и независимость означает невырожденность этого соотношения по скоростям во всех точках конфигурационного многообразия.
Целью диссертации является изучение топологической структуры совместных уровней полного набора линейных инвариантных соотношений и интеграла энергии для таких систем и некоторых свойств движения на этих уровнях. Изучение проводится как в общем виде, так и на примерах конкретных механических систем.
Существует довольно много примеров таких систем, как голономных, так и неголономных. В диссертации устанавливается
структура многообразия уровня в общем случае для задач такого типа и рассматриваются более сложные примеры.
2. Обзор работ по теме. Известно, что интегралы уравнений движения механических систем, как правило являются линейными или квадратичными относительно скоростей. Механические системы, обладающие первыми интегралами, линейными по скоростям, являются одной из наиболее изученных областей теоретической механики. Здесь будет дан лишь небольшой обзор работ по данной тематике, которые имеют отношение к задачам, рассматриваемым в диссертации. Более подробные обзоры представлены, например, в работах [22], [36].
Связь между существованием в системе линейного интеграла и наличием в ней циклической координаты устанавливает теорема М.Леви [35]. Она говорит о том, что если натуральная консервативная механическая система имеет линейный по скоростям интеграл, то существует система координат, в которой функция Лагранжа имеет циклическую координату (эта теорема была обобщена Э.Т.Уиттекером [43] на случай гамильтоновой формы уравнений). М.Леви исследовал также случай, когда механическая система допускает несколько линейных интегралов и показал, что для того, чтобы существовала система координат, в которой каждый из этих интегралов был бы циклическим, необходимо и достаточно, чтобы всевозможные скобки Пуассона левых частей этих интегралов, записанных в канонических переменных, тождественно равнялись нулю.
Хорошо известно, что наличие линейных по импульсам
(или скоростям) первых интегралов тесно связано с группами симметрии, действующих на пространстве положений. Эта связь устанавливается теоремой Э.Нётер [17]: если функционал действия
L(q,q)dt
инвариантен относительно группы преобразований q —> gx(q), то уравнения Лагранжа
d_ ґдіЛ _dL_0 dt \dq J dq
допускают интеграл pv = const, где p = ^- - канонический импульс, и v(q) = jx\\=o(gX{o)) - векторные поля, порождающие группу симметрии.
Примером голономной механической системы, обладающей полным набором линейных интегралов, причём они все находятся между собой в инволюции, может служить ограниченное поверхностью вращения динамически симметричное тяжелое твердое тело на гладкой горизонтальной плоскости П.Аппель [6].
В работе Дж.Л.Синга [33] были установлены необходимые и достаточные условия существования п — 1 линейных интегралов, находящихся между собой в инволюции для голономной системы с функцией Лагранжа L = () (tfi, 2, -, qn)№j ~ У{Яи 2, -, qn)-
Описанием топологических свойств геодезических потоков, имеющих полный по Лиувиллю набор аналитических первых интегралов, занимался И.А. Тайманов [40].
Для механических систем, рассматриваемых в данной работе условие инволюции не является обязательным. Укажем теперь
некоторые работы, посвященные изучению механических систем с полным набором линейных соотношений, но не удовлетворяющих условиям теоремы Лиувилля-Арнольда.
В работе И.В.Александрова [3] рассмотрена задача о движении двух притягивающихся точек на сфере. Такая механическая система консервативна и обладает линейными интегралами, число которых равно числу степеней свободы, но они не находятся в инволюции (т.е. система с полным набором первых интегралов, но теорема Лиувилля-Арнольда о фазовых торах для неё не выполнена). Эта система была предложена Е.И.Кугушевым в 1972 г. [41]. И.В.Александров в своей работе дал классификацию совместных уровней первых интегралов такой системы. Отметим, что в такой задаче линейные интегралы не являются независимыми на всём конфигурационном пространстве.
Например, задача двух тел на поверхностях постоянной кривизны может допускать линейный интеграл, аналогичный интегралу кинетического момента в задаче двух тел на сфере. Число степеней свободы в этой задаче равно 4 и, поэтому интеграл энергии и три линейных интеграла кинетического момента образуют полную систему. Как и в предыдущем примере, такая система интегралов не является независимой. Обзор работ, посвященный этой задаче (и сами работы) можно найти в сборнике [9] или [10].
Ещё одним примером голономной механической системы, обладающей полным набором линейных интегралов, но не находящихся между собой в инволюции, является задача о движении твёрдого тела с ротором, которую изучал Е.А.Ивин
[19], [20]. В этой задаче механическая система состоит из двух связанных общей осью абсолютно твердых тел. Первое из них имеет неподвижную в пространстве точку, второе — свободно вращается около общей с первым телом оси. Распределение масс этих тел произвольно, а общая ось в них фиксирована. Такая механическая система имеет три линейных интеграла — проекции вектора кинетического момента совокупной системы на неподвижные оси. В отличие от двух предыдущих примеров в этой задаче линейные интегралы будут независимы по скоростя в каждой точке конфигурационного пространства. Е.А.Ивин исследовал интегрируемость по Лиувиллю этой задачи. Во второй главе данной диссертации подробно рассматривается частный случай этой задачи, когда вместо ротора к твердому телу добавлена материальная точка, и исследуется топологическая структура многообразия уровня линейных интегралов.
В работе рассматриваются не только голономные системы, поэтому приведём теперь краткий обзор результатов, касающихся неголономных механических систем, обладающих нужным количеством линейных интегралов.
Сразу отметим, что пример линейных интегралов уравнений движения неголономной механической системы представляют уравнения неголономных связей, если они линейны по скоростям, в которых постоянные интегрирования положены равными нулю.
В голономных системах наличие линейного интеграла влечет существование циклической координаты, и наоборот. Некоторая аналогия имеется и в системах с неинтегрируемыми уравнениями
связей (см. [36]) - обобщение теоремы Леви на случай неголономных систем. Неголономные механические системы с линейными интегралами изучаются в работах А.С.Сумбатова [35], [37], [38], а также и в работе В.В.Козлова [23].
Простым примером неголономной механической системы с полным набором линейных инвариантных соотношений может служить задача о качении однородного тяжелого шара по внутренней поверхности абсолютно шероховатой неподвижной сферы, имеющей больший радиус, см. например у А.П.Маркеева [26]. Линейное выражение - скалярное произведение вектора угловой скорости на единичный вектор внешней нормали к неподвижной поверхности - является интегралом системы.
Также примерами изученных неголономных систем с линейными инвариантными соотношениями являются задачи Суслова (Г.К.Суслов [39], Е.И.Харламова [47]) и Веселовой (Л.Е.Веселова [13], [14] А.П.Веселов, Л.Е.Веселова [11], [12]). Это задачи о движении твёрдого тела с закрепленной точкой, на которое наложена неголономная связь. В случае задачи Суслова движение происходит в отсутствие поля силы тяжести и неголономная связь заключается в том, что одна компонента угловой скорости в подвижных осях равна нулю. В задаче Веселовой твердое тело движется в поле Вруна и одна компонента угловой скорости в абсолютных осях равна нулю. В обеих механических системах имеется интеграл энергии и линейная связь, а также ещё один линейный интеграл - проекция вектора кинетического момента на вертикальное направление.
Ещё одна задача, обладающая необходимым набором линейных соотношений - это задача о движении гиростата с неголономной связью Суслова, она рассмотрена в работе П.В.Харламова [45].
Теперь укажем основные условия, налагаемые в данной работе на механические системы с полным набором линейных инвариантных соотношений. Изучаются механические системы только с компактными конфигурационными многообразиями. И среди голономных и неголономных систем с полным набором линейных инвариантных соотношений в данной работе рассматриваются только те системы, у которых линейные соотношения независимы между собой в каждой точке конфигурационного пространства. Эти условия ограничивают класс рассматриваемых систем, однако такие механические системы существуют.
В качестве простейшего примера голономной системы, обладающей этими свойствами, можно привести задачу о движении тяжелой материальной точки по тору. Примером голономной, но нелиувиллевой системы является волчок Эйлера. Как известно, система допускает три первых интеграла, линейных по скоростям — проекции вектора момента количества движения на абсолютные оси. Возьмём любые два из них. Эти интегралы не будут находиться в инволюции. Нетрудно проверить, что они независимы между собой по скоростям. Среди более сложных, изученных ранее, механических систем, упомянутых выше, свойством независимости обладают: линейные интегралы в голономной задаче о движении твёрдого тела с ротором и инвариантные соотношения в неголономных задачах Суслова и Веселовой, а
также в задаче о движении гиростата с неголономной связью Суслова. А, к примеру, в задаче о качении однородного шара по абсолютно шероховатой сфере это свойство выполнено не будет.
Основной задачей данной работы является изучение топологической структуры совместных уровней полного набора линейных инвариантных соотношений и интеграла энергии для таких систем.
Совместные уровни некоммутативных интегралов
гамильтоновых систем изучал И.В.Александров. Его работа [4] посвящена описанию совместных уровней функций, определённых на некотором симплектическом многообразии и образующих относительно скобки Пуассона фиксированную алгебру Ли. Здесь установлены достаточные условия, которые нужны, чтобы некоторое компактное многообразие являлось бы многообразием уровня набора гладких функций, образующих эту фиксированную алгебру Ли.
А изучением структуры многообразий уровня, отличных от торов, для неинтегрируемой неголономной задачи занимался Татаринов Я.В. [42].
В работах В.В.Козлова [21],[24] исследовались топологические препятствия к полной интегрируемости механических систем. Доказано, что замкнутая аналитическая поверхность рода больше единицы не может быть конфигурационным пространством аналитической интегрируемой системы. Следовательно, этот факт можно интерпретировать следующим образом. Наличие интегралов определённого вида накладывает ограничения на топологию
конфигурационного пространства. В работах Д.Л.Абрарова [1], [2] этот подход развивался применительно к случаю, когда первые интегралы линейны по скоростям. Оказалось, что наличие линейных интегралов налагает ограничение не только на топологию пространства положений, но и на риманову метрику (кинетическую энергию) и потенциал силового поля. Механическая система с двумерным конфигурационным многообразием может обладать линейным интегралом лишь в тех случаях, когда оно диффеоморфно сфере или тору. Это частный случай утверждения, доказанного в упомянутой работе Д.Л.Абрарова о том, что если конфигурационное многообразие четномерное и гамильтониан натуральной системы имеет независимые линейные по импульсам интегралы в инволюции, количество которых больше либо равно половине размерности конфигурационного многообразия, то эйлерова характеристика % > 0. Также в этой работе введено понятие условно-линейных инвариантных интегралов и для них доказано аналогичное утверждение.
Таким образом, видно, что наличие линейных интегралов есть внутреннее свойство системы, которое зависит от структуры конфигурационного многообразия, а не только от способа её описания. То есть, устройство многообразия уровня таких интегралов тесно связано со структурой конфигурационного многообразия системы.
Исследование структуры многообразия уровня в данной работе производится, опираясь на утверждение о накрытиях, известное из дифференциальной геометрии [44]:
Если n-мерные многообразия N и М - гладкие, замкнутые компактные, а гладкое отображение g : N —> М всюду регулярно, то оно является накрытием с конечным числом листов.
Если N - связно и накрытие однолистно, то g : N —> М - является диффеоморфизмом.
Это утверждение удается применить, если в качестве отображения взять естественную проекцию многообразия уровня на конфигурационное пространство. Важную роль здесь играет независимость линейных интегралов по скоростям: оказывается такое отображение можно устроить, опираясь на это предположение.
3. Содержание. Диссертация состоит из четырех глав.
В первой главе доказывается общее утверждение о топологии многообразия совместного уровня интеграла энергии и полного набора линейных по скоростям инвариантных соотношений в том случае, когда система является натуральной, а конфигурационное пространство системы является компактным ориентируемым и гладким многообразием.
В первом разделе даются основные поняти, необходимые для формулировки утверждения.
Структуру многообразия уровня удается установить для механических систем, у которых выполняется условие независимости по скоростям линейных инвариантных соотношений.
Соответствующее утверждение приводится во втором разделе этой главы и заключается в следующем. Если конфигурационное многообразие компактно связно и ориентируемо, то при заданных
значениях констант линейных интегралов найдется достаточно большое значение константы интеграла энергии, что многообразие уровня будет иметь две компоненты связности, каждая из которых диффеоморфна конфигурационному многообразию.
Система может быть не только голономной, но и неголономной, и в этом случае неинтегрируемые дифференциальные связи рассматриваются как инвариантные соотношения, линейные но скоростям.
В качестве примеров к данному утверждению в третьем разделе подробно рассматриваются простейшие задачи: тяжелая материальная точка на торе и волчок Эйлера. Проверяется условие независимости линейных интегралов в этих задачах.
Приводится ряд замечаний и следствий. Наиболее интересное из следствий получается из теоремы Лиувилля-Арнольда и заключается в том, что если голономная механическая система с компактным, гладким замкнутым конфигурационным многообразием, отличным от тора, имеет полный набор линейных по импульсам интегралов в инволюции, то эти интегралы будут зависимы в некоторых точках конфигурационного многообразия. Так, например, в механических системах, удовлетворяющих условиям теоремы Лиувилля-Арнольда, сферический маятник и волчок Лагранжа линейные интегралы будут зависимыми. Это следствие можно интерпретировать и так, что если механическая система имеет конфигурационное многообразие, отличное от тора, и обладает полым набором независимых интегралов в инволюции, то среди этих интегралов будет хотя бы один нелинейный по
скоростям интеграл. В качестве примера здесь можно привести волчок Эйлера.
Другое следствие утверждает, что если механическая система имеет набор линейных независимых интегралов в количестве, равном размерности системы, то многообразие уровня этих интегралов диффеоморфно конфигурационному многообразию. Так для волчка Эйлера, многообразие уровня трёх интегралов — проекций вектора кинетического момента на неподвижные оси, диффеоморфно конфигурационному SO(3). Вообще, для волчка Эйлера этот факт был известен ранее и получен другим путём.
Все эти следствия также свидетельствуют о взаимосвязи структуры интегралов со структурой конфигурационного многообразия.
В последующих двух главах диссертации подробно рассматриваются примеры как голономных, так и неголономных систем, удовлетворяющих условиям доказанного в данной главе утверждения.
Во второй главе рассматриваются свойства голономной механической системы, обладающей полным набором независимых линейных интегралов.
В первом разделе даётся постановка задачи и выписываются первые интегралы.
Система, состоит из твёрдого тела с неподвижной точкой и невесомого стержня, на конце которого находится материальная точка. Стержень свободно вращается вокруг одной из главных осей инерции твёрдого тела. Движение происходит в отсутствие силы
тяжести. Будем называть такую механическую систему волчком Эйлера с эксцентриком.
Эта задача является частным случаем уже упомянутой выше более общей задачи о движении механической системы, состоящей из двух связных общей осью абсолютно твердых тел (связка двух тел), рассмотренной в работах Е.А.Ивина [18], [19]. Первое из этих тел имеет неподвижную в пространстве точку, второе свободно вращается около общей с первым телом оси. Основные результаты работы Е.А.Ивина можно кратко сформулировать следующим образом. Установлена неинтегрируемость уравнений движения связки в общем случае и указаны интегрируемые случаи (они будут лишь в том случае, когда система является гиростатом и сопряженнным гиростатом) и установлена топология совместных уровней интегралов движения в частных интегрируемых случаях. В данной диссертации проводится более детальное изучение частного случая этой задачи - волчка Эйлера с эксцентриком.
Во втором разделе на основании общего утверждения из первой главы установливается структура совместных уровней интеграла энергии и линейных интегралов движения не только для интегрируемых случаев, но в общем случае;
В третьем разделе выписываются уравнения движения и первые интегралы в системе координат, связанной с эксцентриком. В этой системе координат они выглядят наиболее просто. В работе Е.А.Ивина такое представление (в системе координат, связанной с ротором) названо сопряженным представлением.
В четвертом разделе отыскиваются стационарные движения
системы в общем случае.
Пятый и шестой разделы посвящены интегрируемому случаю. В соответствии с результатами работы Е.А.Ивина задача о волчке Эйлера с эксцентриком будет интегрируема в случае, когда волчок Эйлера динамически симметричен. Нетрудно понять, что это частный случай задачи о движении гиростата, когда динамически симметричное твердое тело играет роль ротора, а роль твёрдого тела выполняет совокупность двух точек -неподвижной точки и эксцентрика. Задача о движении гиростата хорошо изучена. Н.Е.Жуковский [16] первым обратил внимание, что такими же уравнениями описывается движение тела с полостями, заполненными идеальной жидкостью. Ряд фундаментальных работ по динамике гиростатов принадлежит П.В.Харламову, их анализ приведен в книге [46]. Важные результаты по устойчивости стационарных вращений гиростата принадлежат В.В.Румянцеву, см. обзор [5]. Существует множество работ других авторов, связанных с задачей о гиростате: Сретенский Л.Н. [34] и др.
В пятом разделе для динамически симметричного волчка Эйлера с эксцентриком (частного случая гиростата) показывается, что эта задача при определённых начальных условиях эквивалентна задаче о движении твёрдого тела без эксцентрика, под действием определённой силы.
В последнем разделе указывается топологическая структура совместных уровней интегралов для интегрируемого случая.
В третьей главе рассматриваются две неголономные механические системы с полным набором независимых линейных
инвариантных соотношений.
Первая из них, симметричные сани Чаплыгина, рассмотрена в первом разделе. Эта механическая система представляет собой симметричный конек, скользящий по гладкой поверхности. Задача о санях Чаплыгина рассматривалась ранее в [31], где были выведены уравнения движения для общего случая и рассмотрены частные случаи некоторых поверхностей вращения, по которым движется конек.
В данной работе показывается, что для симметричного конька всегда существует первый интеграл движения линейный по скоростям. Вместе с неголономной связью он образует систему независимых линейных инвариантных соотношений. Поэтому здесь применима теория, развитая в первой главе диссертации. Опираясь на выводы той главы, устанавливается структура многообразия совместного уровня инвариантных соотношений и интеграла энергии. Компактная компонента этого многообразия оказывается сферическим расслоением компактной поверхности, по которой движется конек.
В подразделах изучена динамика двух интегрируемых случаев этой задачи — симметричного конька на поверхности вращения и на цилиндрической поверхности.
Вторая задача, рассмотренная во втором разделе главы, -это задача Суслова с эксцентриком, в случае, когда твёрдое тело динамически симметрично. Это частный случай более общей задачи о движении гиростата с наложенной на него неголономной связью Суслова, рассмотренной в [45]. Такая механическая система
представляет собой динамически симметричный волчок Эйлера с эксцентриком (в той постановке, которая дана в третьей главе), на который наложена неголопомная связь Суслова. Эта связь здесь понимается следующим образом: проекция вектора угловой скорости системы координат, связанной с эксцентриком на подвижную ось, жестко связанную с эксцентриком (причём на ту, вокруг которой эксцентрик не вращается), равна нулю.
Устанавливается, что для этой задачи, помимо очевидного линейного по скоростям первого интеграла - третья компонента угловой скорости твёрдого тела в подвижных осях постоянна, существует ещё один линейный по скоростям первый интеграл уравнений движения системы. Вместе с линейной неголономной связью эти два интеграла образуют полный набор независимых инвариантных соотношений. Поэтому здесь применимо утверждение первой главы, опираясь на которое устанавливается структура многообразия совместного уровня инвариантных соотношений и интеграла энергии. И соответственно, компактная компонента этого многообразия оказывается диффеоморфна 50(3) xS1.
В четвертой главе рассматривается вопрос о структуре многообразия уровня интеграла энергии и инвариантных соотношений, когда конфигурационное пространство механической системы с полным набором независимых линейных инвариантных соотношений является неориентируемым многообразием.
В первом разделе даются основные понятия, связанные с неориентируемым случаем.
Во втором разделе доказывается общее утверждение, аналогичное случаю ориентируемого конфигурационного многообразия. Как и в ориентируемом случае, оказывается, что естественная проекция многообразия уровня является двухлистным накрытием, однако число компонент связности многообразия уровня оказывается иным. Утверждение заключается в следующем. Если конфигурационное многообразие компактно и связно, то при заданных значениях констант линейных интегралов найдется достаточно большое значение константы интеграла энергии, что многообразие уровня будет иметь одну компоненту связности, диффеоморфную так называемому ориентирующему многообразию конфигурационного многообразия. Все замечания и следствия первой главы здесь остаются справедливыми.
В третьем разделе это утверждение иллюстрируется примером механической системы, конфигурационное многообразие которой - неориентируемо. Она состоит из двух материальных точек, на координаты которых наложены голономные связи так, что в качестве конфигурационного многообразия получается бутылка Клейна. А многообразие совместного уровня интеграла энергии и имеющегося в этой системе линейного интеграла будет двумерным тором.
4. Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих научных семинарах и конференциях:
- Семинар по гамильтоновым системам и статистической механике кафедры теоретической механики и мехатроники
МГУ под руководством акад. РАН В.В. Козлова, чл.-корр. РАН Д.В. Трещева, проф. СВ. Болотина, 2003 г.;
Семинар по аналитической механике и устойчивости движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством акад. РАН В.В. Румянцева, чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. А.В. Карапетяна, 2004 г.;
Семинар по динамике относительного движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. Ю.Ф. Голубева, доц. К.Е. Якимовой, доц. Е.В. Мелкумовой, 2004 г., 2007г.;
Семинар отдела механики ВЦ РАН под рук. проф. С.Я. Степанова, проф. А.В. Карапетяна, 2004 г., 2007 г.;
Научная конференция Ломоносовские чтения МГУ им.М.В. Ломоносова, апрель 2003 г.;
Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 23-28 августа 2004 г.;
Конференция-конкурс молодых ученых института Механики МГУ им. М.В. Ломоносова, 2004 г., 2005 г.;
XLII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, Российский Университет Дружбы Народов, апрель 2006 г.
