Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации рассматриваются задачи, связанные с моделированием перекатывания тел и описанием контакта составляющих биомеханических систем, постановка которых учитывает деформируемость взаимодействующих тел.
Первая часть работы посвящена построению и исследованию математических моделей систем, содержащих перекатывающиеся тела (систем с качением). Это направление актуально в связи с широким использованием таких систем в технике. Развитие возможностей наблюдения и моделирования перекатывания тел позволяет обсудить пределы применимости результатов, полученных при помощи формально-аксиоматических методов теоретической и прикладной механики.
Описание систем с качением часто проводится с использованием неголо-номной модели, базирующейся на пренебрежении относительными проскальзываниями поверхностей перекатывающихся тел. Пределы применимости этой модели определяются условиями, при которых реакции связей не выходят из конусов трения, построенных в точках контакта тел. Вообще говоря, эти условия являются всего лишь необходимыми для реализации движения без проскальзывания. В работе с использованием конструктивного подхода изучаются достаточные условия применимости формально-аксиоматического метода динамики неголономных систем. При выборе свободной от связей системы предполагается, что угловая скорость относительного верчения тел мала, а размеры областей контакта тел малы по сравнению с их характерными размерами. Это позволяет использовать результаты теории качения и в задачах, не связанных с изучением окрестностей областей контакта, считать взаимодействие тел точечным (т.е. рассматривать главный вектор распределенных по области контакта усилий, а главный момент этих усилий считать равным нулю). Свойство деформируемости тел учитывается моделью касательной составляющей контакт-
В рамках конструктивного подхода, идеи которого были намечены в первой четверти XX века в работах Лекорню, Клейна и Прандтля, система со связями заменяется свободной системой под действием тех или иных сил, определяемых физическими свойствами исследуемого механического объекта. Система, получаемая путем перехода в свободной (доопределенной) системе к пределу, называется системой со связями, а условия существования предела -условиями реализации связей в рамках принятого доопределения. Преимущество конструктивного подхода состоит в том, что с его помощью могут быть получены новые неклассические системы.
ной силы, которая действует по направлению малого относительного смещения (проскальзывания) их поверхностей и непрерывно зависит от скорости этого проскальзывания .
Распространено мнение, что в предположении абсолютной твердости перекатывающихся тел движение системы следует описывать неголономной моделью. Однако предельный переход к бесконечным значениям жесткостеи касательных составляющих контактных сил (нулевым значениям скоростей проскальзывания) может приводить как к классическим неголономным, так и к неклассическим системам. Ранее конструктивный подход использовался для обоснования классических неголономных, а также неклассических вакономных и "промежуточных" моделей (А.В. Карапетян, В.Н. Бренделев, И.В. Новожилов, В.В. Козлов, М.В. Дерябин).
В настоящей работе показано, что в случаях, когда при движении системы величины части обобщенных скоростей соизмеримы с величинами скоростей проскальзывания поверхностей тел, при переходе к бесконечным значениям жесткостеи касательных составляющих контактных сил в системе могут реализовываться первичные связи Дирака. Эти связи представляют собой соотношения между обобщенными координатами и импульсами системы, которые возникают при отбрасывании кинетической энергии, отвечающей малым обобщенным скоростям. Проводится разделение ситуаций, когда система переходит в классическую неголономную модель или в неклассическую модель с первичными связями, в рамках которой проскальзывания тел сохраняются. В обоих случаях порядок системы понижается. С использованием полученных результатов проводится построение и исследование математических моделей движения колесных аппаратов и железнодорожных экипажей. Рассмотрены задачи, когда в системе совместно реализуются неголономные и первичные или голономные и первичные связи. Подобное систематическое исследование предельных систем ранее не проводилось.
Вторая часть работы служит введением в круг проблем, связанных с созданием искусственного тактильного механорецептора (ИТМ) - системы искусственного осязания, функции которой близки к осязательным функциям человека. Такой медицинский прибор для диагностики заболеваний мягких биоло-
В системах с большими областями контакта соприкасающихся тел и (или) большими угловыми скоростями их относительного верчения пренебрежение верчением может приводить к некорректному описанию движения. Изучению задач с учетом верчения посвящены работы В.Ф. Журавлева, А.В. Карапетяна, А.А. Киреенкова, В.А. Самсонова и др.
гических тканей путем пальпации (ощупывания), разрабатываемый НИИ механики и Институтом математических исследований сложных систем МГУ имени М.В. Ломоносова в рамках тем "Медицинские приборы с тактильным очувствлением" и "Организация производства медицинских и биологических устройств с тактильными возможностями", представляет интерес, поскольку он действует, не нарушая целостности тканей, без проникновения в них (неинва-зивно). В наше время неинвазивные методы диагностики заболеваний имеют приоритет и широко используются в медико-биологических исследованиях и лечебной практике. Механорецептор позволит уменьшить врачебную ошибку при обследованиях и хирургических операциях, дистанционно проводить профилактические осмотры пациентов и повысить эффективность диагностики патологии мягких тканей в ситуациях, когда при эндоскопических вмешательствах поле зрения датчика оказывается ограниченным, либо участок ткани пациента труднодоступен или недоступен для руки врача из-за малости разреза. Поскольку конкурентный метод обследования пациентов при помощи ультразву-ковых или ЯМР-приборов является дорогостоящим, связан с использованием громоздкой аппаратуры и не всегда позволяет получить полную информацию о состоянии исследуемого участка ткани, ИТМ может применяться как альтернатива этим приборам или совместно с ними. Разработка ИТМ требует решения фундаментальных и прикладных задач на стыке математических, технических, биологических и медицинских наук.
Диагностика патологии путем пальпации базируется на том, что механические свойства (упругие, вязкие, реологические и проч.) здоровых и больных тканей отличаются друг от друга (А.П. Сарвазян, А.Р. Сковорода, Е.М. Тиманин, C.R. Hill, C.R. Gentle и др.). Аналогия пальпации и метода ин-дентирования в механике деформируемого твердого тела дает основание рассматривать взаимодействие тканей и механорецептора, находить и оценивать различия между откликами здоровой и больной тканей на механическое воздействие в рамках механики контактных взаимодействий, занимающейся изучением соприкасающихся тел вблизи области контакта. Патология мягких тканей может быть идентифицирована по изменениям параметров их математических моделей, определяемых путем решения обратных задач механики деформируемого твердого тела. Для обоснования конструкции ИТМ и разработки ме-
Приборы, в основе работы которых лежит явление ядерного магнитного резонанса (ЯМР).
тодов диагностики патологии необходим ответ на вопрос, какую информацию можно получить при контактировании чувствительного элемента механорецеп-тора с мягкими биологическими тканями, каковы возможные диапазоны измеряемых датчиками величин и как эти величины зависят от механических свойств тканей, в частности, тканей со структурными неоднородностями.
Цель работы состоит в развитии подходов к моделированию систем с качением и описанию контакта составляющих биомеханических систем, совершенствовании методов исследования таких систем и применении этих методов для решения классических и новых задач механики и биомеханики.
Основные результаты. Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и получены автором с использованием классических подходов теоретической и прикладной механики, фракционного анализа, теории возмущений, биомеханики, механики контактных взаимодействий.
Предложен подход, позволяющий расширить возможности математического моделирования систем с качением, и получить достаточные условия реализации в таких системах неголономных связей или первичных связей Дирака.
Разработана методика моделирования качения колесных аппаратов по горизонтальной однородной плоскости, позволяющая указать случаи, когда него-лономная модель качения теряет обоснование, и обеспечить возможность упрощения системы в ситуациях, когда пренебрежение боковым уводом колес может привести к некорректному описанию движения.
Получены модели движения колесных аппаратов при блокировке или пробуксовке колес одной оси. Приведены примеры ситуаций, когда такое движение вызывает занос аппарата.
Предложена методика математического моделирования качения железнодорожного экипажа в эксплуатационных условиях, позволяющая расширить возможности аналитической оценки опасности его схода при вкатывании гребня колеса на рельс по сравнению с неголономной моделью.
Разработаны методы, позволяющие провести аналитическую оценку влияния жесткости подвешивания железнодорожного вагона на амплитуду его поперечных колебаний в зоне свободного хода.
Исследована возможность отыскания локальных включений в модели мягкой биологической ткани с использованием измерений жесткости контакта и распределений контактного давления и нормальных контактных перемещений.
Теоретическая и практическая ценность результатов, их достоверность. Работа носит теоретико-прикладной характер. Полученные в ней результаты позволяют обосновать использование тех или иных моделей деформируемых механических и биомеханических систем и оценить их качественное поведение. В главе 1 обсуждаются границы применимости неголономных моделей систем с качением и предлагается подход к описанию этих систем неклассической моделью. Полученные в главах 2-5 результаты могут оказаться полезными для качественного анализа движения колесных аппаратов и рельсовых экипажей, а также для решения задач оценивания и управления в реальном времени. Материал главы 6 может использоваться при разработке специального медицинского оборудования для диагностики патологии мягких биологических тканей. Достоверность полученных результатов подтверждается их сравнением с результатами численного моделирования или данными эксперимента.
Результаты работы используются при чтении спецкурсов по теории колебаний и математическому моделированию механических и биомеханических систем, при написании курсовых, дипломных и диссертационных работ, а также в научно-исследовательской работе сотрудников механико-математического факультета.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах имени акад. РАН А.Ю. Ишлинского кафедры прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ (2009, 2012 годы, Москва, МГУ); научном семинаре по аналитической механике и теории устойчивости имени В.В. Румянцева под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. А.В. Карапетяна (2012 год, Москва, МГУ); научном семинаре "Гамильтоновы системы и статистическая механика" под руководством акад. РАН В.В. Козлова, проф. СВ. Болотина и чл.-корр. РАН Д.В. Трещева (2012 год, Москва, МГУ); научно-исследовательском семинаре по механике деформируемого твердого тела кафедры теории пластичности под руководством чл.-корр. РАН Е.В. Ломакина и акад. РАН И.Г. Горячевой (2012 год, Москва, МГУ); научном семинаре по механике прочности и разрушения под руководством член-корр. РАН Р.В. Гольдштейна (2013 год, Москва, ИПМех РАН); научном семинаре "Динамика относительного движения" под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. Ю.Ф. Голубева,
доц. К.Е. Якимовой, доц. Е.В. Мелкумовой (2012 год, Москва, МГУ); научном семинаре "Асимптотические методы" под руководством проф. А.Б. Васильевой и проф. В.Ф. Бутузова (2006, 2010, 2013 годы, Москва, МГУ); на семинаре отдела № 5 "Механика космического полета и управление движением" ИПМ им. М.В. Келдыша РАН (2012 год, Москва, ИПМ); на Ломоносовских чтениях (2008, 2011 годы, Москва, МГУ); на международной конференции "Анализ и особенности", посвященной 75-летию В.И. Арнольда (2012 год, Москва, МИ-АН); на международном научном симпозиуме, посвященном 140-летию МГТУ "МАМИ"(2005 год, Москва, МГТУ "МАМИ"); на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (2006 год, Нижний Новгород, НГУ им. Н.И. Лобачевского); на международном научно-техническом семинаре "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации" (2009-2012 годы, Украина, Алушта).
Работы последних лет, вошедшие в диссертацию, выполнялись в рамках финансируемых РФФИ грантов №06-01-00517, 07-01-92167-НЦНИа, 09-01-00593 и гранта Правительства РФ для господдержки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых, в ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова" по договору №11.G34.31.0054.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 18 работах, перечисленных в конце автореферата. Все включенные в диссертацию результаты совместных работ получены автором самостоятельно. Случаи, когда во избежание потери целостности изложения приводятся результаты соавторов, оговорены в тексте.
Структура работы. Диссертация изложена на 250 страницах и состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы (240 наименований).
