Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 4
1.1 Теория гравитационных волн 6
1.1.1 Некоторые сведения из общей теории относительности 6
1.1.2 Волновое уравнение и его решение в линеаризованной общей теории относительности 10
1.1.3 Глобально вакуумное пространство-время. Поперечно-бесследовая калибровка 12
1.1.4 Взаимодействие гравитационных воли с пробными телами 13
1.1.5 Излучение гравитационных волн 16
1.1.6 Источники гравитационных волн. Гравитационно-волновая астрономия 18
1.2 Детекторы гравитационных волн 25
1.2.1 Резонансные твердотельные детекторы 25
1.2.2 Лазерные интерферомстрические детекторы 26
2 Оптические измерители координат как простейшие гравитационно- волновые детекторы 43
2.1 Анализ оптических координатных измерителей в неинерциальных систе мах отсчета 46
2.1.1 Пространство-время в окрестности ускоренного наблюдателя 46
2.1.2 Уравнение движения пробных масс 47
2.1.3 Волновое уравнение электромагнитного поля и его решение 49
2.1.4 Координатный измеритель на круговом пробеге световой волны 52
2.1.5 Координатный измеритель на прямом пробеге световой волны 56
2.1.6 Различия между системами отсчета 58
2.1.7 Влияние лазерного шума 59
2.2 Взаимодействие оптических координатных измерителей с гравитацион ными волнами в локально-лоренцевых системах отсчета 61
2.2.1 Пространство-время гравитационной волны в локально-лоренцевой калибровке 61
2.2.2 Уравнение движения пробных масс 62
2.2.3 Волновое уравнение электромагнитного поля и его решение 63
2.2.4 Пример: монохроматическая гравитационная волна 66
2.2.5 Координатный измеритель на круговом пробеге световой волны 67
2.2.6 Координатный измеритель на прямом пробеге световой волны 69
2.3 Оптические координатные измерители как детекторы гравитационных волн на свободных неинерциальных пробных массах 71
3 Взаимодействие гравитационных волн с резонатором Фабри-Перо в локально-лоренцевой системе отсчета 73
3.1 Пондеромоторные эффекты светового давления в резонаторе 74
3.2 Отклик резонатора на гравитационную волну 76
3.2.1 Оптические поля в резонаторе 76
3.2.2 Закон движения зеркала резонатора 79
3.2.3 Отклик резонатора 82
3.3 Частные случаи 82
3.3.1 Оптический резонанс 83
3.3.2 Отстройка от оптического резонанса 84
3.3.3 Отклик расстроенного резонатора вблизи частоты межмодового интервала 84
4 Резонатор Фабри-Перо с двойной накачкой как гравитационно- волновой детектор, свободный от шумов смещений зеркал 89
4.1 Гравитационно-волновые детекторы, свободные от шумов смещений проб ных масс 90
4.1.1 Механизм вычитания шумов смещений 90
4.1.2 Влияние лазерного шума и балансные схемы бесшумных гравитационно-волновых антенн 94
4.2 Исключение шумов смещений зеркал резонатора Фабри-Перо с двойной накачкой. Простейшая модель 96
4.3 Строгая постановка задачи 98
4.3.1 Отклики резонатора с одиночной накачкой 99
4.3.2 Отклики резонатора с двойной накачкой 104
4.3.3 Устранение шумов смещений зеркал 106
5 Двойной интерферометр Майкельсона/Фабри-Перо как гравитационно- волновой детектор, свободный от шумов лазера и шумов смещений пробных масс 111
5.1 Отклики резонатора Фабри-Перо 112
5.1.1 Отраженная волна 113
5.1.2 Прошедшая волна 115
5.2 Отклики интерферометра Майкельсона/Фабри-Перо 116
5.2.1 Отраженная и прошедшие волны 117
5.2.2 Устранение шумов смещений оконечных зеркал интерферометра 121
5.3 Вычитание шумов смещений всех пробных масс в двойном интерферо метре Майкельсона/Фабри-Перо 122
Выводы 125
- Детекторы гравитационных волн
- Взаимодействие оптических координатных измерителей с гравитацион ными волнами в локально-лоренцевых системах отсчета
- Частные случаи
- Отклики резонатора с двойной накачкой
Введение к работе
В преддверии 100-летия общей теории относительности (ОТО) мы стоим на пороге новой эпохи в познании Вселенной: перед нами открывается чрезвычайно интригующая возможность исследования её глубин, ранее недоступных для наблюдения, с помощью уникального инструмента — одного из наиболее удивительных предсказаний ОТО — гравитационных волн (ТВ). Являясь по сути волнами кривизны пространства-времени, распространяющихся со скоростью света, гравитационные волны несут информацию о многих объектах и явлениях в современной и ранней Вселенной, в том числе о таких экзотических как черные дыры и даже о самом Большом Взрыве. Можно говорить о том, что гравитационно-волновая астрономия откроет нам новое «окно» во Вселенную, позволяя «услышать звуки», издаваемые её «обитателями».
За прошедшие полтора десятилетия во всем мире в строй были введены несколько гравитационно-волновых антенн с целью поиска и детектирования гравитационных сигналов от астрофизических источников. Наиболее чувствительными из них являются лазерные интерферометрические гравитационно-волновые обсерватории, которые в дальнейшем мы будем называть детекторами (антеннами, обсерваториями) первого поколения. Среди них LIGO (Laser Interferometric Gravitational-wave Observatory) в США, GEO-600 в Германии, VIRGO в Италии, ТАМА-300 в Японии. Продолжается строительство австралийской обсерватории ACIGA (Australian Consortium for Interferometric Gravitational Astronomy), и планируется к запуску космическая лазерная гравитационно-волновая антенна LISA (Laser Interferometer Space Antenna) — совместный проект европейского (ESA) и американского (NASA) космических агенств. К настоящему моменту в программе LIGO закончен первый этап (Initial LIGO) и производится обработка данных, полученных за несколько лет работы трёх ГВ детекторов.
Чувствительность наземных антенн первого поколения ограничена огромным количеством шумов всевозможной природы. Так, например, в области низких частот (/ < 50 Гц) барьером чувствительности являются сейсмический и гравитационно-градиентный шумы; в области средних частот (/ ~ 50 -г- 500 Гц) наибольшее влияние оказывают термодинамические шумы в зеркалах, их подвесах и покрытиях; наконец, на высоких частотах (/ > 500 Гц) доминирует фотонный дробовой шум.
В следующем десятилетии после масштабной модернизации существующих установок планируется ввести в строй второе поколение детекторов: Advanced LIGO, Advanced VIRGO, GEO-HF. Кроме того, планируется начало строительства японского подземного криогенного интерферометра LCGT. Ожидается, что уровень шумов классической природы будет уменьшен настолько, что чувствительность детекторов второго поколения будет ограничена уровнем стандартного квантового предела (СКП), возникающего
благодаря квантовым флуктуациям светового давления на зеркала интерферометра, ограничивающих точность координатных измерений.
Несмотря на то, что проекты ГВ антенн второго поколения в настоящее время присутствуют лишь «на бумаге», в литературе уже достаточно долгое время обсуждаются концептуальные идеи детекторов третьего поколения, первым из которых должен стать европейский Einstein Telescope. Предполагается, что их чувствительность будет хотя бы на порядок выше уровня СКП, поэтому на первый план выходит проблема его преодоления. Кроме того, ставится задача расширения частотного диапазона наземных ГВ детекторов, прежде всего в низкочастотную область, где ограничивающими факторами являются сейсмический и гравитационно-градиентный шумы. Для достижения и преодоления уровня СКП также необходимо уменьшать уровень шумов на средних частотах, где доминируют термодинамические шумы, связанные с зеркалами интерферометра и системой их подвесов.
Целями настоящей диссертационной работы являются: разработка метода анализа простейших оптических координатных измерителей в собственных системах отсчета измерительных приборов во всем частотном диапазоне; анализ влияния эффекта оптической жесткости в резонаторе Фабри-Перо на предельную чувствительность резонатора к высокочастотным гравитационным волнам; анализ различных схем ГВ детекторов на основе резонаторов Фабри-Перо, частично или полностью свободных от шумов смещений пробных масс.
Диссертация состоит из введения, четырех частей и выводов.
Во введении рассмотрены общие вопросы, связанные с основными положениями ОТО, теории излучения, распространения и детектирования гравитационных волн. Представлены краткие сведения об основных известных источниках ГВ излучения. Кратко описаны существующие и планируемые ГВ обсерватории, перечислены основные факторы, ограничивающие их чувствительность.
В первой части развивается метод анализа простейших оптических координатных измерителей как гравитационно-волновых детекторов на свободных неинерциальных пробных массах в собственных системах отсчета измерительных приборов (фотодетекторов). Анализируются достоинства и недостатки расчетов в таких системах отсчета по сравнению с расчетами в лабораторной системе отсчета (поперечно-бесследовой калибровке) .
Во второй части анализируется динамика оптического резонатора Фабри-Перо в поле слабой плоской гравитационной волны произвольной частоты в собственной системе отсчета (локально-лоренцевой калибровке) одного из его зеркал. Рассматриваются эффекты оптической жесткости и радиационного трения, обобщенные на произвольные частоты. Анализируется возможность резонансного детектирования высокочастотных гравитационных волн за счет эффектов оптической жесткости и параметрического возбуждения дополнительных мод резонатора.
В третьей части анализируется схема оптического ГВ детектора на основе резонатора Фабри-Перо с накачкой сквозь оба зеркала, свободного от шумов смещений зеркал резонатора и обладающего сильным откликом на низкочастотные гравитационные волны. Анализируются фундаментальные ограничения чувствительности предложенной схемы.
В четвертой части анализируется схема ГВ детектора на основе двойного интерферометра Майкельсона с резонаторами Фабри-Перо в плечах, свободного как от шумов смещений всех пробных масс, так и от фазового шума лазера. Анализируются фундаментальные ограничения чувствительности предложенной схемы.
Детекторы гравитационных волн
Общий обзор принципов ГВ детектирования будет основан на статьях [25, 34, 35]. После предсказания Эйнштейна о существовании гравитационных волн и численной оценки величины эффекта казалось, что они останутся объектом лишь академического интереса. Только спустя полстолетия, Дж. Вебер предпринял первые попытки прямой регистрации ГВ излучения с помощью резонансных твердотельных детекторов. Несмотря на то, что Вебер настаивал на положительном результате своих экспериментов (детектирование излучения из центра Млечного Пути), повторение его опытов в других группах дало отрицательный результат. Тем не менее, работа Вебера послужила отправной точкой современных экспериментов. В этом разделе мы коротко рассмотрим основные типы функционирующих и будущих ГВ детекторов, их принципы действия и ключевые факторы, ограничивающие чувствительность. Действие всех современных ГВ детекторов основано на приливной природе гравитационных волн: относительные изменения длин детекторов пропорциональны самим длинам с коэффициентом пропорциональности, равным ГВ амплитуде h (см. формулы (1.18) и (1.19)). Различные шумы, так или иначе, маскируют смещения пробных масс ГВ детекторов, имитируя ГВ сигнал. Чувствительность детекторов характеризуется частотно-зависимой спектральной плотностью мощности шума S/i(!T2) или 5 (/), в которой все шумы приведены к безразмерной вариации метрики h. По своему физическому смыслу Sit(f) равна среднеквадратичному отклонению h на частоте / в полосе частот Л/ = 1 Гц. Другой возможной характеристикой шумов является среднеквадратичное отклонение (SL2) флуктуационных смещений пробных масс. 1.2.1 Резонансные твердотельные детекторы Твердотельные детекторы представляют собой тела правильной геометрической формы (цилиндры и шары), изготовленные из материалов, обладающих большой плотностью, скоростью распространения звука и добротностью. Гравитационная волна действует как приливная сила, периодически сжимая и растягивая тело детектора. Если частота гравитационной волны близка к частоте одной из упругих мод тела детектора, то благодаря высокой добротности амплитуда этих колебаний резонансно усиливается. Колебания поверхности тела детектора регистрируются с помощью электро- или магнито-механических преобразователей, преобразуются в электрический сигнал, который затем усиливается с помощью SQUIDOB.
В силу того, что упругие моды твердых тел размеров порядка нескольких метров лежат в области частот 1 кГц, твердотельные детекторы чувствительны лишь к высокочастотным гравитационным волнам, причем в достаточно узкой полосе. Главным фактором, ограничивающим чувствительность твердотельных антенн является броуновский тепловой шум: согласно флуктуационно-диссипационной теореме [36], любой источник диссипации энергии в системе, находящейся в состоянии термодинамического равновесия с термостатом, является также и источником термодинамически равновесного шума. В твердотельных антеннах источником диссипации являются акустические потери в материале, характеризуемые конечной величиной добротности Q. Для тела детектора массы М, находящегося при температуре Т и имеющего резонансную акустическую частоту OJQ, тепловые флуктуации поверхности характеризуются где / — постоянная Больцмапа. Очевидно, что для уменьшения теплового шума необходимо охлаждать рабочее тело детектора и изготавливать его из материалов с большей добротностью. Другим источником шума в системе является преобразователь механических колебаний поверхности в электрический сигнал. Помимо того, что преобразователь имеет собственные шумы, он также производит обратное флуктуационное влияние на рабочее тело. Преобразователь также изменяет динамику системы таким образом, что амплитуда колебаний поверхности рабочего тела увеличивается в у/М/тп раз, а резонансная кривая приобретает форму дублета с центральными частотами /± = /о(1 ± -у/Д/2), где /х = yjM/m, ага — эффективная масса преобразователя. В настоящее время в мире функционируют несколько твердотельных антенн, рабочие тела которых выполнены в форме цилиндра. Их типичные характеристики приведены в таблице 1.1. Все они имеют чувствительность y/Sh Ю-20 Ч- 10 21 Гц-1 2. Также конструируются сферические резонансные детекторы, которые будут чувствительными ко всем поляризациям и направлениям распространения гравитационных волн. Дальнейшее увеличение чувствительности и расширение рабочего частотного диапазона твердотельных антенн связано с улучшениями конструкций преобразователей. 1.2.2 Лазерные интерферометрические детекторы Впервые идея электромагнитного детектора гравитационных волн была высказана в работе М.Е. Герценштейна и В.И. Пустовойта [37]. Развитая в последовавших работах (см., например, [38, 39, 40]), она привела к современной концепции лазерной интерфе-рометрической гравитационно-волновой антенны. В настоящее время лазерные интерферометрические ГВ детекторы считаются наиболее перспективными приборами для обнаружения гравитационных волн. Общий принцип работы всех интерферометриче-ских антенн заключается в том, что приливная гравитационная волна периодически изменяет соотношение длин плеч интерферометра, приводя к переменному во времени сдвигу фазы, который регистрируется по изменению интерференционной картины на фотодетекторе. В качестве базовой топологии интерферометрических ГВ детекторов наибольшее распространение получила топология интерферометра Майкельсона.
Рассмотрим элементарную теорию этого интерферометра как детектора гравитационных волн, следуя лекциям [19]. действие с гравитационной волной произвольной частоты удобнее всего анализировать в ТТ-калибровке, в которой координаты всех пробных масс (лазера, светоделителя, зеркал и детектора) гравитационной волной не изменяются (см. раздел 1.1.4). Физические расстояния между телами интерферометра измеряются с помощью световых волн, циркулирующих в плечах. Запишем 4-потенциал электромагнитной волны в приближении эйконала: Ап = Re( ae1 ), где Ла — медленно изменяющаяся амплитуда, а Ф — быстро изменяющаяся фаза. Поскольку пространство-время почти плоское, а световая волна имеет почти плоский фронт, то изменением амплитуды Ла можно пренебречь. В то же время фаза осциллирует с оптической частотой UQ/2-ЇЇ 1014 Гц, т.е. Ф « k0r — Uot. Эта зависимость незначительно изменяется гравитационной волной, в присутствии которой модифицируются уравнения Максвелла, а, следовательно, и волновое уравнение. Нас интересует лишь изменение фазы Ф, которая подчиняется уравнению эйконала в искривленном пространстве-времени: Пусть падающая на интерферометр гравитационная волна находится в состоянии + -поляризации и характеризуется функцией h{i) в плоскости z = 0, причем плечи интерферометра лежат вдоль главных осей тензора поляризации. Фаза световой волны в горизонтальном плече Фх зависит только от (х, і), а в вертикальном плече Ф27 — только от (y,t). Тогда в ТТ-калибровке уравнение эйконала для обоих плеч интерферометра принимает следующий вид: На практике относительные расстояния между лазером L, светоделителем BS и детектором D составляют метры, в то время как длины плеч могут достигать нескольких километров. Поэтому первыми можно пренебречь и считать, что свет излучается и регистрируется в непосредственной близости от светоделителя, с которым мы свяжем начало координат. В силу того, что в ТТ-калибровке д00 = — 1, частота излучения лазера UQ постоянна и не зависит от точки пространства. Поэтому граничные (в математическом смысле начальные) условия принимают вид.
Взаимодействие оптических координатных измерителей с гравитацион ными волнами в локально-лоренцевых системах отсчета
В настоящем разделе мы разработаем метод анализа оптических интерферометров как ГВ детекторов в локально-лоренцевых системах отсчета (калибровках) приборов, регистрирующих световые волны, предварительно решив вспомогательные задачи о движении пробных тел и распространении электромагнитных волн в пространстве-времени слабой плоской гравитационной волны. Затем, по аналогии с предыдущим разделом, мы проанализируем взаимодействие гравитационных волн с двумя типами координатных измерителей в поперечно-бесследовой и локально-лоренцевой калибровках и сравним полученные результаты. Не ограничивая общности рассмотрения, допустим, что на систему пробных тел, представляющих собой гравитационно-волновой детектор, падает слабая, плоская, + -поляризованная гравитационная волна, распростраияюіцаяся вдоль оси z. Метрика пространства-времени такой гравитационной волны в ТТ-калибровке имеет вид (см. параграф 1.1.3): Перейдем теперь в локально-лоренцеву систему отсчета (LL-калибровку) одной из пробных масс с помощью координатного преобразования [19, 86]: Здесь и далее мы будем обозначать величины, относящиеся к локально-лоренцевой системе отсчета, шляпками. Подставив это координатное преобразование в метрику (2.27), найдем, что в линейном по h приближении метрика в LL-калибровке принимает вид [19, 86, 88, 89]: Удивительным оказывается тот факт, что метрика (2.29) является волновым решением не только линеаризованных вакуумных уравнений Эйнштейна (1.13), то также и точных вакуумных уравнений R = 0 [1]. Выпишем в явном виде ко- и контравариантные компоненты метрического тензора в LL-калибровке, а также его определитель, так как они потребуются нам в дальнейшем: Из такого представления следует, что величина Ф играет роль аналогичную гравитационному потенциалу в ньютоновской теории тяготения, являющейся пределом слабого поля эйнштейновских уравнений.
Тогда условием разложения метрики в ряд теории возмущений является Ф С с2. Это условие накладывает ограничения на характерные размеры пространственной области вдоль осей а; и у, в пределах которой можно пользоваться метрикой (2.29). Величину Ф сверху можно оценить как Ф L2fQWh, где L — искомый линейный масштаб, /QW Ю кГц — верхний предел частотного диапазона, доступного наземным обсерваториям, и h Ю-22 — характерная ГВ амплитуда. При этих численных оценках условие Ф -С с2 будет удовлетворено при L «С 1015 м, что с огромным запасом выполняется в условиях наземного эксперимента. Исследуем теперь вопрос о движении пробных тел в поле гравитационной волны с метрикой (2.29). В дальнейшем нас будет интересовать лишь одномерное движение, поэтому ограничимся рассмотрением движения вдоль одной из главных осей ГВ тензора, например, оси х в плоскости z = 0. В этом случае единственной характеристикой гравитационной волны будет являться функция h(t). Уравнения геодезических для {х0, 1} в развернутой записи принимает вид: Строгое решение этой системы уравнений имеет вид кривой, заданной в параметрическом виде: {х = x(s), t = t(s)}. Однако с достаточной для нас точностью можно положить ds PS cdt и рассматривать лишь первое уравнение системы (согласно работе [86], этой точности достаточно для наших целей). В нерелятивистском приближении (dx1 /ds)2 PS (v/c)2 -Сій последним слагаемым можно пренебречь. Символы Кристоф-феля равны: Полученное уравнение удобно решать методом теории возмущений. Ограничиваясь линейным по h приближением, представим решение в виде x(t) = x (t) + x (t), где \х \ С \х \. Уравнение нулевого приближения сводится просто к d2x /dfi — 0. Не ограничивая общности, будем считать, что пробные массы не совершают никаких движений, за исключением свободного падения в поле гравитационной волны. Другими словами, положим, что начальные скорости всех пробных масс равны нулю. При этих предположениях решением нулевого приближения будет x(\i) — х0 = const. Очевидно, что величина 0 не зависит от выбора калибровки, так как по сути она равна расстоянию между какими-либо двумя пробными массами в состоянии покоя, поэтому х0 = XQ. Уравнение первого приближения тогда имеет вид: Обозначив решение первого приближения как x (t) = Sx(t), найдем, что Таким образом, закон движения пробного тела в гравитационной волне имеет вид: При выводе уравнения движения (2.31) выше мы пренебрегли уравнением для ну-левой компоненты 4-вектора жм. Покажем, что в действительности полученное нами решение (2.32) обладает требуемой нам точностью. Для этого обратимся к закону преобразования (2.28а). Положим в нем z — 0 и разрешим уравнение относительно х: х = х + xh(i). Вспоминая, что в ТТ-калибровке х — это координата пробной массы, которая остается неизменной в поле гравитационной волны, приходим к выводу, что в LL-калибровке х имеет смысл расстояния между двумя пробными массами в состоянии покоя, которое мы ранее обозначили через жо- Таким образом, мы получили искомый закон движения из исходного преобразования координат. Обратим внимание на ещё одно обстоятельство.
Из закона преобразования (2.28d) следует, что координатное время в ТТ-калибровке Ь отличается от координатного времени в LL-калибровке і на величину первого порядка малости h. В то же время в законе движения (2.32) время t является аргументом функции h, которая сама является величиной первого порядка малости. Поэтому, не внося ошибку в пером приближении, можно положить h(t) — h(t) и, соответственно, х(ї) = x(t). Таким образом, в зависимости от условий мы будем использовать далее или закон движения (2.32) или Для исчерпывающего описания оптических гравитационно-волновых детекторов необходимо рассмотреть распространение световых волн в пространстве-времени гравитационной волны. Начнем вывод волнового уравнения со второй пары уравнений Максвелла в вакууме (1.7): Здесь Рц,, = дцАи — dvA — тензор напряженностей (д — д/дх11), а#= (А0, А1, Л2, А3) — 4-потенциал электромагнитного поля. В силу того, что g = —1, полевые уравнения сводятся Наложим на 4-потенциал калибровку Кулона2: А0 — 0, дуА1 + В2А2 + д3А3 = 0. Таким образом, полевое уравнение сводится к: или в явном виде с использованием компонент метрического тензора (2.30а): где величина Ф = Ф(х, t) = \x2h(i), имеющая смысл гравитационного потенциала, определена формулой (2.30с). В общем случае вектор-потенциал А является функцией всех координат и времени. Ограничимся рассмотрением гравитационных волн в диапазоне /GW 102-i-105 Гц, что соответствует длинам волн AQW Ю3-т-106 м. Пусть монохроматическая световая волна, поляризованная вдоль оси z, с длиной волны порядка 1 мкм и радиусом лазерного пучка порядка 10 см распространяется вдоль оси х. Тогда очевидно, что в поперечных к её волновому вектору направлениях действием гравитационной волны можно пренебречь. Кроме того, мы можем аппроксимировать световой пучок плоской волной, так как в нашу задачу не входит изучение поперечной структуры пучка. Таким образом, остается только зависимость вектор-потенциала от t и х, т.е. Лм = (0,0,0, Л), Л = A(x,t), а полевое уравнение принимает вид скалярного волнового уравнения: Правая часть этого уравнения описывает распределенное влияние гравитационной волны на электромагнитную волну [86]. Решать полученное уравнение удобно методом теории возмущений.
Частные случаи
Проанализируем полученные формулы в трех частных случаях: оптическом резонансе, малой отстройки от резонанса и возбуждении соседней моды. Будем использовать следующие обозначения: рр = WppSL — запасенная в резонаторе оптическая энергия, 7 = (1 — R)/(2T) — полуширина резонансной кривой (при этом Т2 = 1 — R2 а 4ут) и FP = 2Pin/j, где Pin — мощность накачки. Предположим, что частота накачки UIQ совпадает с одной из собственных частот резонатора: Шот = іти, п Є N. Будем обозначать все величины индексом res в этом параграфе. Упрощая формулы (3.13) и (3.14), получаем: т.е. в резонансе оптическая жесткость исчезает и радиационное трение не маскируется её мнимой частью. Закон движения и отклик имеют вид: Тем не менее, даже в случае резонанса величина трения мала, поэтому обычно им пренебрегают: Отсюда следует, что при резонансе световое поле внутри резонатора не изменяет динамику его подвижного зеркала, которое поэтому остается инерциальной пробной массой. Резонатор проявляет себя лишь в частотно-зависимом накоплении ГВ сигнала. В длинно-волновом приближении Г2г С 1 (в котором величины обозначены дополнительным индексом lw ) полученные формулы сводятся к хорошо известным в литературе: Как было отмечено в параграфе (3.2.2), «истинным» коэффициентом трения является лишь действительная часть r[ f(il): Эта формула совпадает с полученной в работе [114]. Закон движения зеркала и отклик резонатора в длинноволновом приближении принимают вид: Рассмотрим теперь случай, когда частота накачки отстроена от собственной частоты резонатора (все величины обозначены индексом det ): Упрощая формулу (3.13), получаем: Графики «истинной» жесткости (действительной части Kdet) и демпфирования (мнимой части Kdet) изображены на рис. 3.4. Мы пренебрегаем эффектом радиационного трения, поскольку \К\ 3 20Г. Закон движения зеркала и отклик резонатора имеют вид: В длинноволновом приближении мы получаем хорошо известную в литературе формулу для коэффициента оптической жесткости: Легко проверить, что величина Re[A"det(il)] может быть сравнима с mCl2 при значениях параметров, планируемых для Advanced LIGO (L = 4 км, FP га 20 Дж, га = 40 кг, а;0/2тг = 3 х 1014 Гц, 7/2тг и 1 Гц, П/2тг и 5/2тг = 100 Гц). Закон движения зеркала и отклик резонатора: Перо с зеркалом рециркуляции сигнала [110, 111, 112], поскольку, как было доказано в работе [115], такая схема эквивалентна одному резонатору Фабри-Перо с подвижным зеркалом.
Для анализа отклика расстроенного резонатора на частоте, близкой к межмодовому интервалу, обратимся к формулам (3.18) и (3.19). Введем обозначение для расстройки Во введении, в разделе 1.2.2, отмечалось, что чувствительность существующих и планируемых лазерных гравитационно-волновых антенн ограничена большим количеством шумов всевозможной природы, как классической (сейсмический, гравитационно-градиентный, термодинамический и др. шумы), так и квантовой природы (фотонный дробовой шум, шум квантовых флуктуации светового давления). В области средних и низких частот, наиболее интересной с точки зрения ГВ астрономии, чувствительность в основном ограничена шумами, которые можно отнести к классу шумов смещений пробных масс, т.е. флуктуационных смещений пробных масс, вызванных случайными не-ГВ силами. К таким шумам, например, относятся сейсмический и гравитационно-градиентный шум, тепловой шум подвесов зеркал, флуктуации светового давления на зеркала. Последний, как отмечалось во введении, приводит к появлению стандартного квантового предела чувствительности. Каждый из предложенных к настоящему моменту способов подавления шумов смещений пригоден для борьбы лишь с каким-либо одним из их видов. Так, например, система сейсмической изоляции позволяет подавлять сейсмический шум в рабочей полосе частот, но, очевидно, она бесполезна против теплового шума в подвесах или шума светового давления. В то же время различные схемы квантово-неразрушающих измерений позволяют устранить шум светового давления, но они не предназначены для подавления сейсмики или тепловых флуктуации. В разделе 4.1 настоящей главы представлен краткий литературный обзор работ, посвященных разработке методов оптической интерферометрии, позволяющих одновременно устранить все виды шумов смещений пробных масс. В разделах 4.2 и 4.3 представлены оригинальные результаты анализа схемы ГВ детектора на основе резонатора Фабри-Перо, свободного от шумов смещений его зеркал. Недавно в серии статей [116, 117, 118] был предложен метод одновременного исключения всех видов шумов смещений в системе с сохранением ненулевого отклика на гравитационную волну. Идея метода заключается в подборе такой линейной комбинации откликов интерферометра с достаточно большим количеством выходных портов, что суммарный отклик не будет содержать информации о флуктуациях координат пробных масс, но в то же время в нем будет присутствовать некоторая доля информации о гравитационной волне. Такие ГВ детекторы были названы интерферометрами (детекторами), свободными от шумов смещений пробных масс. Для краткости будем называть их далее просто бесшумными, учитывая при этом, что речь идет об исключении лишь одного класса шумов — шумов смещений.
Очевидными, на первый взгляд, преимуществами бесшумных ГВ детекторов по сравнению с традиционными является их невосприимчивость к сейсическому и гравитационно-градиентному шуму, что, в принципе, означает расширение рабочего частотного диапазона наземных антенн в область низких частот, а также к шуму светового давления, что позволяет прямо преодолевать СКП на любую наперед заданную величину путем увеличения мощности накачки без необходимости применения чрезвычайно сложных в практической реализации PI уязвимых к оптическим потерям схем КНИ. Согласно работе [116], изоляция ГВ сигнала от шумов смещений в бесшумных детекторах достигается благодаря тому, что взаимодействие оптических интерферометров с гравитационными волнами носит распределенный характер как с точки зрения ТТ-калибровки, так и с точки зрения LL-калибровки. В первой из них пробные массы, если они инерциальны, неподвижны, т.е. их координаты фиксированы и гравитационной волной не изменяются (см. раздел 1.1.4). Однако, гравитационная волна взаимодействует со светом, приводя к некоторому фазовому сдвигу, что можно интерпретировать как изменение координатной скорости света. Если же пробные массы не являются идеальными и подвержены воздействию внешних сил, то отклик интерферометра на их движение будет носит иной характер по сравнению с откликом на гравитационную волну (см. формулы в разделе 2.3). Эта разница и позволяет исключить флуктуации координат пробных масс с помощью правильно подобранной линейной комбинации откликов интерферометра. Хотя анализ в ТТ-калибровке, произведенный в работе [116], математически и является наиболее простым, он, во-первых, плохо подходит для понимания механизма, лежащего в основе метода исключения шумов смещений в бесшумных ГВ детекторах, а, во-вторых, как мы убедились в главе 2, не всегда позволяет получать корректные выражения для откликов, что является критичным именно при рассмотрении бесшумных детекторов. Обратимся к LL-калибровке с учетом результатов, полученных в разделе 2.2. Случай инерциального тела отсчета Выберем в качестве тела отсчета один из фотодетекторов интерферометра, причем вначале рассмотрим более простой случай инерциального фотодстектора (D). В его локально-лоренцевой системе отсчета взаимодействие интерферометра с гравитационной волной можно свести к двум эффектам (см. раздел 2.2), а регистрируемый им отклик интерферометра представить в виде суммы соответствующих слагаемых.
Отклики резонатора с двойной накачкой
Пусть теперь резонатор Фабри-Перо накачивается сквозь оба зеркала, как изображено на рис. 4.5. Будем полагать, что волна накачки сквозь зеркало а имеет амплитуду А, расстройку i (несущую частоту а ), поляризована в плоскости падения, и обозначим её Дп; волна накачки сквозь зеркало b имеет амплитуду В, расстройку 52 (несущую частоту и!2), поляризована перпендикулярно плоскости падения, и обозначим сё Вш. Вакуумные накачки сквозь зеркала b and а обозначены соответственно как А с и Бтас. Отклики, соответствующие накачке сквозь зеркало Ь, можно непосредственно получить из формул (4.12а, 4.12Ь), производя замену 5i — 52, а - -ь, ь - -а, 6 i -Р2 и удерживая неизменным слагаемое с ГВ сигналом вследствие симметрии системы и плоского ГВ фронта. Для удобства мы выпишем все четыре выходных сигнала резонатора, учитывая соотношение к\ &2 = ко, которое выполняется для соответствующих Квадратурные компоненты полей (4.13с) и (4.13d) могут быть измерены аналогично случаю резонатора с одной накачкой. Для этого в схему регистрации необходимо добавить два гомодинньгх детектора HD3 и HD4, измеряющих квадратуры ЬтоиЪ и 6 ut соответственно. Продемонстрируем теперь возможность вычитания шумов смещений зеркал из комбинации полевых функций (4.13а- 4.13d). Хотя с теоретико-концептуальной точки зрения рассмотрение комплексных амплитуд (строго говоря, полевых операторов) и их комбинаций является достаточным, оно не может считаться полным с экспериментальной точки зрения, поскольку измеримыми величинами являются лишь квадратуры полей, но не их комплексные амплитуды. Тем не менее, мы не будем производить чрезвычайно громоздких вычислений с квадратурами, поскольку рассматриваем лишь теоретическую модель, а не конкретную экспериментальную установку. Кроме того, непосредственной проверкой можно убедиться в том, что переход к квадратурам не вносит качественно новых изменений в наши рассуждения. Поэтому предположим, что мы можем измерять сигналы (4.13а - 4.13d) и конструировать любую их линейную комбинацию. Физически это означает, что у нас имеется набор идеальных оптических фильтров с предопределенными частотно-зависимыми коэффициентами передачи, через которые мы можем пропустить сигнальные волны и затем организовать их интерференцию.
Для иллюстрации нашего метода исключения шумов смещений мы построим линейную комбинацию откликов, не содержащую флуктуационных смещений а ь, в три шага. Напоминаем, что для прошедшей волны мы не учитываем дополнительный фазовый множитель ег -2+п)г. Из первой пары сигналов aT t мы можем исключить либо а, либо &+GW- Исключим а. Умножая aTout на Цег 1+ т и прибавляя Oia ut, получаем: Аналогично, из второй пары сигналов br ut мы можем исключить либо ь, либо —a + GW- Поскольку мы уже устранили а из первой пары, оставив {, + GW) необходимо исключить -(a + GW из второй пары, чтобы оставить только ,ь- Умножая brout на Лег(б2+п)т и прибавляя blout, получаем: Для выполнения последнего шага необходимо ввести соотношение между амплитудами Л и В. Удобно, но не обязательно, потребовать Л/Т = В/Т/?. Окончательно мы устраняем ь из пары сигналов Si]2: Сигнал s, таким образом, не содержит информации о флуктуационных смещениях зеркал резонатора, но не свободен от шумов смещений платформ. Отклик на гравитационную волну, содержащийся в сигнале s, имеет вид: Определим передаточную функцию как H(fl) = SQW(Q)/(AikoLh). Её абсолютное значение характеризует восприимчивость системы к гравитационным волнам. На рис. 4.6 красным цветом изображен график функции Я(Г2) для характерных параметров Advanced LIGO: R = 0.997, 5і/2тг = 100 Гц, L = 4x 103 м. Полезно сравнить характерные величины .H"(fi) для резонатора Фабри-Перо с двойной накачкой со значениями //(!Г2) для резонатора Фабри-Перо в плече интерферометра Advanced LIGO. Отклик такого резонатора определяется формулой (3.17), где для простоты мы пренебрежем эффектом оптической жесткости: Графики абсолютных значений функции H(Q) = SQ (Q)j(AikoLh) для случаев SI/2TV = 0 Гц и 5i/2ir = 100 Гц также представлены на рис. 4.6 голубым и зеленым цветами соответственно. Видно, что в низкочастотной области Г2/27Г 100 Гц в резонаторе Фабри-Перо с двойной накачкой имеет место значительное уменьшение восприимчивости к гравитационным волнам по сравнению с традиционными резонансными детекторами. Проанализируем выражение для сигнала s в низкочастотной области, где справедливо длинноволновое приближение Vtr С 1, рассмотрев два частных случая. В простейшем случае одинаковых накачек [Л = В и 5\ = 52) в узкополосном приближении (Т2 = 2 т С 1, 51)2т С 1, где 7 — полуширина резонансной кривой), получаем: откуда следует, что с точностью до множителя iSi/ — idi), который может быть сравним с единицей по абсолютной величине, полученное выражение аналогично отклику простейших нерезонансных систем. Поэтому отношение сигнал-шум для рассматриваемого резонатора и нерезонансных систем будет иметь одинаковый порядок. оптической мощности (которая может быть весьма значительной для компенсации потери восприимчивости к гравитационным волнам) зеркала резонатора становятся подвержены значительной силе светового давления. Знак индуцируемой оптической жесткости зависит от значения расстройки (см. формулу (3.20)).
Для того, чтобы устранить из рассмотрения эффекты оптической жесткости, накачки должны иметь расстройки, одинаковые по величине, но противоположного знака: 5г = — 5ъ В этом случае обе накачки создают пондеромоторные жесткости разных знаков, и суммарная жесткость исчезает. Сигнал принимает вид: Некоторые особенности и ограничения предложенной модели Прежде всего рассмотрим два частных случая, в которых вычитание шумов смещений зеркал резонатора, согласно предложенному алгоритму, невозможно. 1. Резонансная накачка. Из формулы (4.12а) следует, что коэффициент р в формуле (4.lb) пропорционален амплитуде отраженной волны ATout0. В приложении С.2 найдено, что ATout0 = RAin0(l - e2i6lT)/T. Таким образом, в резонансном режиме ( 5i = 0) отраженная волна не содержит «большой» компоненты, что означает отсутствие прямого отражения от входного зеркала, и поэтому р = 0. В результате отраженный и прошедший сигналы становятся неразличимыми, т.е. содержат одинаковую информацию о смещениях зеркал резонатора. Різ общих формул (4.12а) и (4.12Ь) следует, что резонансный режим соответствует Дсгі = 0, при этом между сигналами, в пренебрежении оптическими и вакуумными шумами, выполняется соотношение alat = —RaToutelQT. 2. Зеркала закреплены на платформах. Наиболее очевидным способом уменьшения флуктуационных степеней свободы, связанных с движением платформ, является крепление зеркал на них. Например, если зеркало а закреплено на платформе Pi; то 0 = Р1; и из простейших формул (4.1а, 4.lb) следует, что оба сигнала вновь становятся неразличимы. В общем случае при выполнении соотношения 8ха = а - PI = 0 из формул (4.10a, 4.10Ь) следует alout = -RaTouteinT. При заданных размерах ГВ детектора можно увеличивать его восприимчивость к гравитационным волнам, увеличивая амплитуду накачки Л. Так, чтобы достичь восприимчивости к гравитационным волнам, сравнимой с традиционными резонансными детекторами, например, LIGO, мощность накачки должна быть увеличена в количество раз, соответствующее значению отсутствующего резонансного выигрыша. Однако столь значительное увеличение мощности непрерывно излучающего лазера связано с большими техническими трудностями. С другой стороны, применение так называемого сжатого света позволяет снизить требуемую мощность на несколько порядков.
