Введение к работе
Актуальность темы. Хорошо известно, что реальные эволюционные процессы описывают, как правило, системы общего положения. Такая система всегда зависит от набора параметров, которые никогда не бывают известны точно. Малое изменение параметров превращает систему необщего положения в систему общего положения. Ещё Анри Пуанкаре обнаружил, что типичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия систем общего положения исчерпываются всего пятью простейшими типами. Среди них - два устойчивых (фокус, узел) и три неустойчивых (седло, фокус, узел). Поэтому, на первый взгляд, более сложные случаи можно не рассматривать.
Однако, если мы изучаем не индивидуальную систему, а систему, зависящую от одного или нескольких параметров, то картина значительно усложняется. Так, рассмотрим пространство всех систем, разделенное на области, образованные системами общего положения. Поверхности раздела отвечают вырожденным системам. При малом изменении параметров вырожденная система становится невырожденной. Однопараметрическое семейство систем изображается кривой, которая может трансверсально пересекать границу раздела разных областей невырожденных систем.
Очевидно, что, хотя при каждом конкретном значении параметра малым шевелением вырожденную систему можно превратить в невырожденную, этого нельзя сделать одновременно при всех значениях параметра, поскольку всякая кривая, близкая к рассматриваемой, пересекает границу поверхности раздела при близком значении параметра.
Итак, если рассматривается не индивидуальная система, а целое семейство, то вырожденные случаи неустранимы. Если се-
мейство однопараметрическое, то неустранимы лишь простейшие вырождения, изображаемые границами коразмерности один (заданные одним уравнением) в пространстве всех систем. От более сложных вырожденных систем, образующих множество коразмерности два в пространстве всех систем, можно избавиться малым шевелением однопараметрического семейства. Если изучать двухпараметрические семейства, то можно не рассматривать вырожденные системы, образующие множество коразмерности три и т. д. Теперь ясно, что сначала нужно анализировать случаи общего положения, затем вырождения коразмерности один, потом - два и т. д. При этом для полного представления о характере поведения вырожденных систем, их исследование должно также включать и описание перестроек, которые происходят при изменении параметра, когда он проходит через вырожденное значение.
Если устойчивое положение равновесия описывает установившийся режим в реальной системе, то при его слиянии с неустойчивым положением равновесия система должна совершить скачок, перескочив на совершенно другой режим: при изменении параметра равновесное состояние в рассматриваемой окрестности исчезает.
Для большей наглядности рассмотрим теперь семейство гладких функций / : R" х Rr —* R, описывающее некий процесс, происходящий в различных экземплярах R", который управляется посредством функции / и на который оказывают влияние точки їй Rr. Координатное пространство R" обычно называется пространством внутренних переменных, a Rr - пространством внешних пе]>емениых. Такая терминология удобна в тех случаях, когда точки из Rr соответствуют точкам физического пространства, как, например, в оптике или биологии. При рассмотрении систем,
где можно что-то изменять и затем наблюдать, что при этом происходит, точки из R" называются управляющими переменными или параметрами, а точки из R" - поведенческими переменными. Соответственно пространство Rr именуется пространством управления, a R" - пространством поведения. В математическом контексте пространство Rr принято называть пространством деформации, а его точки (или их координаты) - параметрами деформации. Целое число г называется размерностью управления, или размерностью деформации.
Пусть подмногообразие М С Rn х Rr задаётся уравнением
1>/„(*) = 0,'
где Л*(я) = /(х, u)j (х, и) Є Rn xRr, a D - обычный дифференциал отображения
fu : R — R.
Другими словами, многообразие М - это множество всех критических точек всех потенциалов /„ из нашего семейства /. Обозначим через ограничение на М естественной проекции
тг: Rn х Rr —» Rr, к(х, и) = и.
Критическим множеством называется подмножество С С М, состоящее из особых точек отображения f. Другими словами, С состоит из точек, в которых особо, т. е. ранг производной D меньше, чем г.
Образ критического множества ((С) С Rr называется бифуркационным множеством В.
Нетрудно показать, подсчитав Df, что С есть множество тех точек (х,и) М, в которых /„(я) имеет вырожденную критическую точку. Значит, В представляет собой геометрическое место
точек, где меняется чвсло и природа критических точек (происходят "скачкообразные" изменения в состоянии управляемой системы); ввиду структурной устойчивости морсовских функций такое изменение может произойти лишь при переходе через вырожденную критическую точку. Вот почему в большинстве приложений (например, в задачах устойчивости, оптимизации, при изучении каустик, волновых фронтов и т. п.) так важно изучение свойств бифуркационного множества. Исследования показывают, что бифуркационное множество как многообразие обладает весьма сложной аналитической и алгебро-геометрической структурой. При этом оказывается, что свойства этого многообразия зависят от структуры его подмногообразия особенностей, которое, в свою очередь, также может обладать особенностями и т. д. Это наблюдение естественно подводит к понятию стратификации многообразия, а в самом общем виде изучение бифуркационных множеств сводится к изучению стратифицированных многообразий.
С помощью известной леммы о расщеплении гладкую функцию / можно представить вблизи точки, где она имеет коранг т, в виде
ї{Уі,---,Ут)±У2т+1±---±УІ ".'
(возможно также с параметрами из Rr для /). При этом переменные J/1,...,ут называются существенными, a ym+i,-.- ,уп ~ несущественными. Конечно, такое представление не единственно. Следует также отметить, что особенности,встречающиеся в г-мерном семействе, будут в основном, даже если отвлечься от регулярных и морсовских точек, коразмерности меньшей, чем г. Тем не менее, всякое г-параметрическое семейство / можно записать вблизи точки, где оно трансверсально пересекает особенность коразмерности v в такой виде, в котором используются лишь v
параметров управления. После такой операции приведения "исчезнувшие" координаты в Rr называют лишними или немыми параметрами управления.
На самом деле, описанные выше понятия относятся к предметам, известным теперь как теория бифуркаций, теория катастроф, или теория особенностей. Начала этой науки восходят к работам А.Пуанкаре (х), а изложенные выше общие соображения применимы не только к исследованию положений равновесия эволюционных систем, но и к большей части всего математического анализа. Мощный импульс в развитии этих идей дали работы А.А.Андронова (2), Х.Уитни (3) .и, наконец, Р.Тома, который предложил использовать топологическую теорию динамических систем для моделирования разрывных изменений в явлениях природы. Он же указал на важность в этих рассмотрениях требования структурной устойчивости, или нечувствительности к малым возмущениям. Как оказалось, при определённых условиях из этого требования вытекает, что изучаемую систему можно описать локально посредством одной из. семи стандартных форм - элементарных катастроф, или элементарных особенностей. Значительный вклад в развитие теории внесли В.И.Арнольд, Э.Зиман, Дж.Мазер, Дж.Милнор и многие другие математики, а также специалисты, работающие в различных прикладных областях.
В настоящей диссертации эти исследования продолжены в нескольких направлениях. Основный объект изучения - широкий и
'POINCARE Н. Sur Us ргоргіеШ dts functions definies par les equation} au-x differences partielles. In: (Euvres de Henri Poincare, t. I, Paris: Gauthier-Villajrs, 1951.
'АНДРОНОВ А.А. Математические проблемы теории автоколебаний.. Собр. соч. М.: 1956, с. 85-124.
3 WHITNEY Н. On singularities of mappings of euclidean spaces I. Mappings oj the Plane into the Plane. - Ann. Math. 62 (1955), p. 374-410.
важный класс сложных систем, заданных алгебраическими, аналитическими или дифференциальными уравнениями (системами уравнений). В работе исследованы квазиоднородные полные пересечения положительной размерности с изолированными особенностями, гиперповерхности с неизолированными особенностями, реализующие бифуркационные множества и дискриминанты, а также нульмерные многообразия - кратные точки. Изучаются системы дифференциальных уравнений, описывающие связность Гаусса-Манина, ассоциированную с версальными деформациями простых особенностей гиперповерхностей Ам; (і > 2, и с главными деформациями пространственных кривых - полных пересечений Sp, fi > 5. В частности, найдены точные решения этих систем, которые удаётся выразить в терминах обобщённых гипергеометрических функций Поххаммера.
Цель работы - развитие теории деформаций квазиоднородных полных пересечений положительной размерности с изолированными особенностями, гиперповерхностей с неизолированными особенностями, нелриведённых нульмерных многообразий - кратных точек, разработка методов вычисления инвариантов перечисленных объектов, а также описание систем дифференциальных уравнений, реализующих связность Гаусса-Манина, ассоциированную с деформациями простых особенностей, вычисление и исследование их точных решений.
Научная новизна. Вычислены ряды Пуанкаре для групп ло-кальиых когомологий модулей голоморфных дифференциальных форм на градуированном полном пересечении. Получена формула для вычисления размерностей пространств когомологий биду-альных пучков регулярных голоморфных форм на квазигладком полном пересечении. Вычислены ряды Пуанкаре для групп рас-
ширений модулей голоморфных дифференциальных форм, групп касательной когомологии, пространств модулей деформаций квазиоднородных полных пересечений и другие основные конструктивные объекты теории деформаций:. В частности, получена целая серия полиномов Пуанкаре, значения которых в единице даюг явные выражения для важнейших топологических и аналитических инвариантов ростка изолированной особенности квазиоднородного полного пересечения положительной размерности - чисел Милнора и Тюриной. Исследованы отображение вычета и фундаментальная двойственность в локальной и касательной ко-гомологиях. Описана структура модуля векторных полей на полных пересечениях положительной размерности с изолированными особенностями. Исследована структура Ходжа квазиоднородных полных пересечений. Разработана теория особенностей Саито, т.е. ростков гиперповерхностей D таких, что мероморфные дифференциальные формы и векторные поля с логарифмическими полюсами вдоль D порождают свободные модули над структурным пучком объемлющего гладкого многообразия М. При дополнительном предположении квазиоднородносги вычислены ряды Пуанкаре для модулей абсолютных и относительных регулярных (го: ломорфных) дифференциальных форм на D, а также ряды Пуанкаре групп локальных когомологии, носители которых сосредоточены в геометрическом месте особых точек гиперповерхности D. Описана локальная двойственность для гиперповерхностей с неизолированными особенностями. Вычислены ряды Пуанкаре для модулей мероморфных дифференциальных форм и векторных полей логарифмичных вдоль дискриминантов, ассоциированных с минимальными версальными деформациями квазиоднородных полных пересечений с изолированными особенностями. Далее,
дано новое описание модуля вертикальных векторных полей на пространстве деформации минимальной версальной деформации таких ростков. В частности, доказано, что существует естественный изоморфизм между этим модулем и модулем тривиальных векторных полей. Приведены результаты вычисления Ь-функций для дискриминантов, ассоциированных с версальными деформациями простых особенностей гиперповерхностей A3, Ai, Di и простых краевых особенностей В3, 2?4. Описывается оригинальный метод для вычисления чисел Милнора ростков Саито в терминах групп гомологии алгебры Ли логарифмических векторных полей DeiM (log D) с коэффициентами в модуле fiJJ/1 голоморфных дифференциальных форм старшего веса на объемлющем пространстве М. Исследованы касательная когомология и теория деформаций неприведённых нульмерных особенностей. Так, описаны алгебры Ли дифференцирований (векторных полей) и пространства инфинитезимальных деформаций 1-го порядка нульмерных полных пересечений. Исследована фундаментальная двойственность и деформации локальных аналитических артиновых алгебр. Обнаружена каноническая двойственность модулей касательной гомологии и когомологии одинаковой размерности для произвольных артиновых алгебр, а также "перекрёстная" двойственность в касательной гомологии и когомологии размерности О и 1 для градиентных артиновых алгебр. Исследованы системы дифференциальных уравнений, реализующих связность Гаусса-Манина, ассоциированную с минимальными версальными деформациями простых особенностей гиперповерхностей А^, ц > 2, и с главными деформациями полных пересечений S^, р. > 5. Найдены их точные решеетя, которые явно выражаются через обобщённые гипергеометрические функции Поххаммера. Получено
естественное описание класса обобщённых систем Пикара-Фукса в многомерном случае.
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретическое значение. Результаты диссертации могут найти применение в математическом анализе, теории дифференциальных уравнений, теории деформаций комплексно-аналитических пространств, в теории управления и оптимизации, в теории экстремальных задач, в теории катастроф и в теории особенностей. Ряд авторов - Г. Мюллер, Я. Стивене, Т. Уолл, Б. Мартин, Т. Зи-берт, К. Бенке, Я. Кристофферсен, А. Каршпарьян, Д. Сирсма, Г. Пфистер, Г. Шёнеманн, Ш. Йокура, С. Стинбринк, В. Куликов, А. Закария, С. Танабэ, X. Хойзер и др. уже использовали результаты данной диссертации в своих работах.
Рекомендуется использовать результаты диссертации в исследованиях, проводимых в Математическом институте им. В.А. Сте-клова РАН, в МГУ им. М.В. Ломоносова, в Институте проблем управления РАН, в Московском институте электроники и математики (МИЭМ), в Институте системных исследований РАН.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на совместном заседании Московского математического общества и семинара им. И. Г. Петровского, на семинарах по теории комплексных пространств под рук. В. П. Паламодова в МГУ им. М.В. Ломоносова, на международном семинаре по коммутативной алгебре и алгебраической геометрии под рук. Э- Кунца и X. Настольда в Институте математических исследований г. Обервольфаха, на семинарах по теории алгебраических многообразий под рук. С. Кляймана в Массачусетсом технологическом институте, по теории особенностей под рук. А. Иарробино в Северовосточном университете г. Бостона, по теории нульмерных особенностей под рук.
Ф. Ореккиа в Университете прикладной математики г. Неаполя, на коллоквиуме по комплексному анализу под рук. X. Бегера в Свободном университете г. Берлина, на семинаре по теории динамических систем в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН под рук. Д.В. Аносова.
Кроме того, результаты диссертации в качестве докладов или лекций были представлены на ряде научных конференций и симпозиумах, в их числе: Международная конференция по математическому анализу и механике сплошной среды, посвященная 100-летию со дня рождения академика Н.Мусхелишвили (Тбилиси, 1991); Международная конференция по теории алгебр, колец и модулей, посвященная памяти А.И.Ширшова (Новосибирск, 1991);. Международный симпозиум по комплексному анализу и теории обобщенных функций (Варна, 1991); Международная конференция по алгебраической геометрии (Ля Рабида, 1992); Международные конференции по комплексно-аналитическим методам в теории динамических систем и по топологии (Рио де Жа-нейро, 1992); Международный семинар по аналитическим методам в теории эргодических систем (Монтевидео, 1992); Международные конференции по нульмерным схемам (Равелло, 1992) и по теории динамических систем (Порту, 1992); Международная конференция по комплексному анализу и его приложениям (Гонконг, 1993); Международная конференция "Математика, компьютер, управление и инвестиции" (Москва, 1993); Международная конференция по алгебраической геометрии в честь 65-летня Ф.Хирцебруха (Бар-Илан, 1993); Международный геометрический коллоквиум (Москва, 1993); Международная конференция по расширениям алгебр и модулей (Прага, 1993); Международные конференции по вычислениям в теории особенно-
стей (Коттбус, ФРГ, 1994, 1996); Международные Мемориальные чтения, посвященные памяти Дж.Барретта (Ноксвил, США, 1994); Международная конференция по коммутативной алгебре (Оснабрюк, Фешта, ФРГ, 1994); Международные конференции по геометрии стран акватории Тихого океана (Сингапур, 1994) и по теории особенностей (Бухарест. 1996).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 24 статьях (в том числе 4 статьи в соавторстве), список которых приведён в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырёх глав, разбитых на 34 параграфа. Каждая глава снабжена кратким введением, где даётся сжатый обзор известных результатов и работ, непосредственно связанных с содержанием данной главы, а также сводка полученных результатов. В список литературы включено 207 названий.
