Введение к работе
Актуальность темы. Колесными роботами (далее, КР, или просто роботами) будем называть автоматические транспортные средства с установленными на них навигационным и инерциальным оборудованием. Колесные роботы могут использоваться для выполнения ряда нетривиальных операций, таких как обход препятствий, проникновение в труднодоступные зоны, прецизионное движение по сложным криволинейным траекториям. Мобильность и автономность таких роботов делает привлекательным их использование в самых разнообразных сферах человеческой деятельности, включая военное дело, сельское хозяйство, строительство, домашнее хозяйство и т.п. Многообразие сфер применения КР и решаемых ими задач определяет многообразие задач управления движением КР. Сложность возникающих в этой области задач обусловлена, в частности, тем, что КР представляет из себя неголономную механическую систему. Достаточно полное и систематическое изложение механики неголономных систем общего вида дано в монографии Неймарка Ю.И. и Фуфаева В.А. С точки зрения теории управления, принципиальным отличием неголономных систем от голономных является то, что полная управляемость неголономных систем достигается с помощью меньшего числа управлений, т.е., число приводов в робототехнической системе может быть меньше числа степеней свободы этой системы. С другой стороны, задачи планирования движения для неголономных систем значительно труднее аналогичных задач для голономных систем.
Последние тридцать лет активно развивается теория управления движением неголономных колесных систем. Интерес к этой области вызван как важностью задач управления движением с точки зрения практики, так и новизной возникающих здесь математических задач, требующих привлечения новых методов исследования, не применявшихся ранее в классической теории управления. Последние включают, в том числе, методы дифференциальной геометрии и геометрической теории управления. Задачам управления движением колесных роботов посвящено огромное число публикаций, простое перечисление которых заняло бы слишком много места.
Одной из важных задач управления движением, возникающей во многих приложениях, является задача путевой стабилизации, под которой понимается выведение транспортного средства на заданный путь, проложенный по ровной поверхности или пересеченному рельефу, и стабилизация его движения
вдоль этого пути. Хотя математическая постановка задачи путевой стабилизации известна достаточно давно, в последние два десятилетия наблюдается значительный рост интереса к ней, связанный с появлением и внедрением в повседневную практику спутниковой навигации, которая позволяет определять позицию и ориентацию транспортного средства с высокой (сантиметровой, а иногда и миллиметровой) точностью. Необходимость в решении задач управления движением с такой высокой точностью возникает во многих приложениях. Например, в сельском хозяйстве возник даже специальный термин точное земледелие (precise agriculture), обозначающий совокупность приложений, требующих высокой точности выполнения операций движущимися транспортными средствами, например, задачи, связанные с посадкой растений, внесением удобрений на засеянные участки и т.п. (Berducat М., Cariou С, Cordesses L., Lenain R., Martinet P., Thuilot В.). Из вышесказанного следует, что существует реальный запрос на разработку высокоточных методов управления движением колесных роботов, позволяющих решать задачи прецизионного движения вдоль заданной кривой.
Один из часто и успешно применяемых подходов к решению различных задач стабилизации движения, включая задачу путевой стабилизации, основан на точной линеаризации уравнений движения с помощью подходящим образом выбранной обратной связи (d'Andrea-Novel D., Di Benedetto M.D., Itoh Т., Khalil H.K, De Luca A., Nakamichi M., Oriolo G., Samson C, Sampei M., Sastry S., Tamura Т.). В рамках этого подхода ищется такая нелинейная обратная связь, замыкание которой делает систему линейной. Применение этого подхода к конкретной системе предполагает приведение уравнений движения к некоторому специальному виду, из которого легко находится линеаризующая обратная связь, так что задача сводится, по существу, к нахождению подходящей замены переменных. В ряде работ искомое представление для кинематической и автомобилеподобной моделей КР, а также для модели робота с прицепами, было выведено из цепной формы уравнений движения (Berducat М., Cariou С, Cordesses L., Lenain R., Dc Luca A., Martinet P., Oriolo C, Samson C, Thuilot В.). Цепное представление (Murray R.M., Sastry S.S.), являющееся одним из наиболее важных канонических представлений, используемых в области управления колесными роботами, особенно полезно в случае КР с двумя управлениями. Применение цепного преобразования к системе с одним входом (в том числе, к задаче путевой стабилизации) дает неавтономную систему, которая легко приводится к линейному виду (De Luca A., Oriolo G., Samson С).
Однако, представление задачи путевой стабилизации, полученное с помощью цепного преобразования, является далеко не единственным представлением, допускающим точную линеаризацию с помощью обратной связи, к тому же приведение уравнений движения к цепному виду является в общем случае нетривиальной задачей. Хорошо известно, что уравнения движения подавляющего большинства моделей КР (включая модели, рассматриваемые в настоящей работе) могут быть представлены в виде аффинной системы (системы, нелинейной по переменным состояния и линейной по управлению) с одним или двумя входами. В задаче путевой стабилизации управление скалярно (система управляется поворотом рулевых колес), так что соответствующая аффинная система имеет один вход. Специальными формами аффинных систем, допускающими линеаризацию с помощью обратной связи, являются каноническое и квазиканоническое представления (Жевнин Ф.Ф., Клинковский М.Г., Кри-щенко А.П., Ткачев СБ., Brockett R.W., Hunt L.R., Jacubczyk В., Meyer G., Respondek W., Su R.). Аналогом квазиканонического представления для стационарных аффинных систем с заданным выходом является нормальная форма (Byrnes С, Isidori А.). Так как выход в задачах путевой стабилизации фиксирован (им обычно служит отклонение КР от целевого пути), нормальная форма аффинной системы представляется наиболее естественным кандидатом на роль искомого представления. Однако известные из литературы методы приведения к квазиканоническому виду или нормальной форме требуют (кратного) дифференцирования дрейфового поля системы по времени и, таким образом, неприменимы в случае, когда скорость робота является априори неизвестной функцией времени и ее производные не могут быть измерены. Поэтому актуальна проблема разработки методов приведения таких аффинных систем к нормальному (каноническому) виду.
Так как ресурс управления реальных колесных систем всегда ограничен, система, замкнутая управлением, синтезированным с помощью методов точной линеаризации, не может быть линейной во всей области определения и, следовательно, стабилизирусмость системы при произвольных начальных условиях не гарантируется. Поэтому актуальна задача построения оценки области притяжения целевого пути. Для решения последней задачи для двух моделей колесных роботов и целевых кривых специального вида Рапопорт Л.Б. использовал методы теории абсолютной устойчивости (Гслиг А.Х., Леонов Г.А., Пятницкий Е.С., Формальский A.M., Якубович В.А.). В диссертационной работе указанный подход обобщен на случай произвольных моделей колесных
роботов, уравнения движения которых приводятся к каноническому виду, и произвольных допустимых целевых кривых. Подход основан на введении системы сравнения для рассматриваемой нелинейной системы. В широком смысле, системой (или моделью) сравнения называется более простая по сравнению с исходной система, процессы в которой мажорируют в некотором смысле процессы в исходной сложной системе и из устойчивости которой вытекает устойчивость исходной системы (Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н., Козлов Р.И., Матросов В.М., Матросова Н.И., Теренгулов А.Э.). В рассматриваемом в работе частном случае системой сравнения служит линейная нестационарная система, правая часть которой имеет ту же структуру, что и правая часть исходной нелинейной системы, и удовлетворяет секторному ограничению, а искомая область ищется в виде инвариантного эллипсоида (Поляк Б.Т., Черноусько Ф.Л., Щербаков П.С.) системы сравнения.
Целью диссертационной работы является разработка теоретических основ и методов стабилизации движения неголономных колесных систем вдоль заданного целевого пути и построения областей притяжения для систем с ограниченным ресурсом управления и фазовыми ограничениями. Поставленная цель достигается решением следующих основных задач:
разработка метода приведения уравнений движения колесных роботов к каноническому виду;
применение разработанного метода приведения уравнений движения колесных роботов к каноническому виду для синтеза стабилизирующих управлений для кинематической и автомобилеподобной моделей колесных роботов;
разработка методов решения задачи путевой стабилизации при движении по неровной поверхности;
исследование глобальной стабилизируемости кинематической модели колесного робота с ограниченным ресурсом управления вдоль прямого целевого пути;
разработка метода построения оценок областей устойчивости нулевого решения канонической системы при ограниченном ресурсе управления;
применение разработанного метода построения оценок областей устойчивости нулевого решения канонической системы для нахождения аппроксимаций областей притяжения целевого пути для автомобилеподобного робота с ограниченным ресурсом управления и фазовыми ограничениями;
разработка метода аналитического решения системы двух линейных матричных неравенств второго порядка;
применение метода аналитического решения системы линейных матричных неравенств для нахождения "наилучшей" эллипсоидальной аппроксимации области притяжения целевого пути для кинематической модели колесного робота с ограниченным ресурсом управления;
разработка метода построения допустимого целевого пути для автомо-билеподобного робота с помощью кубических В-сплайнов.
Методы исследования. В диссертации применяются методы дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений, математической и геометрической теорий управления, теории устойчивости движения, теории оптимизации, линейной алгебры, линейных матричных неравенств и теории неголономных механических систем.
Научная новизна.
-
Введено не используемое ранее в теории управления движением колесных систем понятие канонического представления задачи путевой стабилизации, как представления, легко приводимого к линейному виду с помощью подходящим образом выбранной обратной связи, позволившее разработать единый подход к решению задач путевой стабилизации для широкого класса робото-технических колесных систем, моделями которых являются нестационарные аффинные системы со скалярными входом и выходом.
-
Специфической особенностью рассматриваемых аффинных систем является то, что дрейфовое поле системы не может быть продифференцировано по времени (связано это в данном случае с тем, что зависимость скорости движения робота априори не известна, а ее производные не могут быть измерены) . Для таких систем не применимы стандартные методы теории нормальных форм. Показано, что каноническое представление является нормальной формой некоторой промежуточной аффинной системы, полученной из исходной с помощью замены независимой переменной. Установлен общий вид замены независимой переменной, позволяющий избавиться от указанной нестационарности в дрейфовом поле.
-
Найдены две замены независимой переменной, приводящие к двум различным каноническим представлениям, и с их помощью синтезированы два новых стабилизирующих закона управления для кинематической модели и два новых закона управления для автомобилеподобного робота. Показано, что новые законы управления имеют несомненные преимущества по сравнению с другими, известными из литературы, законами управления, полученными с помощью методов точной линеаризации.
-
Синтезированы стабилизирующие законы управления для кинематической и автомобилеподобной моделей колесных роботов, движущихся по неровной поверхности.
-
Разработан основанный на применении результатов теории абсолютной устойчивости подход к построению оценок областей устойчивости нулевого решения канонической системы при ограниченном ресурсе управления, позволяющий находить эллипсоидальные аппроксимации областей притяжения целевых путей для колесных роботов общего вида. Нахождение указанных аппроксимаций сведено к решению систем линейных матричных неравенств и проверке скалярного условия.
-
Для линейных матричных неравенств второго порядка найдено аналитическое решение, что позволило поставить задачу построения эллипсоидальной аппроксимации области притяжения наибольшей площади для кинематической модели колесного робота. Решение указанной оптимизационной задачи сведено к стандартной задаче условной оптимизации функции двух переменных.
-
Разработан новый метод сглаживания кривизны В-сплайновой аппроксимации целевого пути для автомобилсподобного робота, построенной по за-шумленным измерениям.
Достоверность результатов подтверждена строгими доказательствами, результатами численного моделирования и натурными экспериментами.
Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что предложенные подходы к решению задач синтеза стабилизирующих управлений для колесных роботов и нахождению оценок областей притяжения доведены до конструктивных методов. Стабилизирующие законы управления для кинематических и автомобилеподобных моделей колесных роботов, синтезированные в диссертации, могут быть использованы для управления движением реальных колесных роботов. Один из приведенных в диссертации законов управления, синтезированных для автомобилеподобного робота, был апробирован на колесном роботе, созданном в компании Джавад Джи Эн Эс Эс на базе легкового автомобиля "Нива-Шевроле". Результаты полевых испытаний продемонстрировали высокую эффективность стабилизации в условиях переменной скорости движения в диапазоне скоростей до 5м/с.
Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на заседаниях семинаров "Теория автоматического управления" под рук. д.т.н. Поляка Б.Т. (Москва, ИПУ РАН, 2008 и 2011 гг.), "Нели-
нейные динамические системы и процессы управления" под рук. чл.-корр. РАН Крищенко А.П. (Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, июнь и сентябрь 2013), "Проблемы нелинейной динамики и управления" под рук. акад. Емельянова СВ. (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2013), "Теория управления и динамика систем" под рук. акад. Ф.Л. Черноусько (Москва, ИПМех РАН, 2013 г.), на международной конференции американского общества инженеров механиков ASME IDETC/CIE (Лас-Вегас, США, 2007, Сан-Диего, США, 2009), на международном семинаре им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2008, 2010, 2012 гг.), на 6-й международной конференции EUROMECH ENOC2008 (Санкт-Петербург, 2008), на IX Крымской международной математической школе "Метод функций Ляпунова" MFL-2008 (Алушта, Украина, 2008), на XXVI конференции памяти Н.Н. Острякова (Санкт-Петербург, 2008), на 4-й международной конференции по проблемам управления (Москва, 2009), на 18-м всемирном конгрессе IFAC (Милан, Италия, 2011), на 10-м международном симпозиуме IFAC по управлению роботами (Дубровник, Хорватия, 2012), на IV международной конференции по оптимизации и приложениям OPTIMA2013 (Петровац, Черногория, 2013).
Работа выполнена при поддержке комплексной Программы 22 Президиума РАН, государственной программы поддержки ведущих научных школ РФ (НШ-1676.2008.1), программы ОЭММПУ № 15, межсекционной программы № 1 ОЭММПУ РАН "Научные основы робототехники и мехатроники".
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 23 научных статьях [1-23], в том числе в 12 статьях [1-12], опубликованных в журналах из Перечня ведущих научных журналов и изданий ВАК, и 8 тезисах докладов [24-31].
Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых представлены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы, а также содержит 40 рисунков. Общий объём диссертации составляет 212 страниц. Библиография включает 128 наименований.
