Содержание к диссертации
Введение
1. Математические модем колесных роботов 3
1.1. Кинематические схемы колесных роботов Модельные предположения 40
1.2. Формирование систем координат и геометрия робота Н2
1.3. Кинематические характеристики колес 24
1.4. Механические системы с кинематическими ограничениями. Классификация неголономных систем . 29
1.5. Кинематическая модель движения платформы колесного робота 34
1.6. Примеры построения кинематической модели и анализа неголономности 38
1.7. Динамическая модель колесного робота 43
1.8. Пример построения,динамической модели двухприводного двухрулевого колесного работа 46
2. Анализ математических моделей колесных роботов
2.1. Управляемость
2.2. Канонические формы и дифференциально плоские системы 88
2.3. Статическая и динамическая линеаризация моделей колесных роботов 60
2.4. Стабилизация неголономных систем относительно положения равновесия 72
2.5. Стабилизация движения дифференциально плоских систем по многообразию 80
3. Контурное управление колесными роботами 56
3.1. Общая постановка задачи контурного управления и процедура синтеза 93.
3.2. Преобразование кинематических моделей неголономных колесных роботов к нормальной форме
3.3. Контурное управление структурно избыточным колесным роботом
3.4. Контурное управление комбинированным роботом.
4. Разработка алгоритмов адаптивного управления движением робота вдоль желаемой траектории
4.1. Постановка задачи контурного управления при отсутствии аналитического описания желаемой траектории .
4.2. Синтез системы управления
4.3. Общая постановка задачи
4.4. Алгоритм управления в случае известной частоты
4.5. Алгоритм управления в случае неизвестной частоты ^
Заключение
Список использованных источников
- Механические системы с кинематическими ограничениями. Классификация неголономных систем
- Статическая и динамическая линеаризация моделей колесных роботов
- Преобразование кинематических моделей неголономных колесных роботов к нормальной форме
- Постановка задачи контурного управления при отсутствии аналитического описания желаемой траектории
Введение к работе
Одним из перспективных направлений в современной робототехнике являются интеллектуальные мобильные системы, в частности, автономные колесные роботы. Новейшие модификации подобных роботов имеют развитую конструкцию ходовой части, бортовое устройство вычислительной техники, навигационную систему маршрутослежения и средства очувствления. Построение системы управления движением автономного колесного робота предусматривает разработку алгоритмов моделирования среды, планирования маршрута, контурного управления, обнаружения и обхода статических и подвижных препятствий и т.д. Практическая значимость и теоретическая актуальность исследований, посвященных построению мобильных систем, привлекла внимание целого ряда специалистов в области теоретической и прикладной механики, электроники, вычислительной техники, технологии и теории управления.
Колесный робот относится к классу неголономных систем. Это означает, что для описания положения колесного робота неизбежно приходится пользоваться переменными, которые не все независимы. В результате, неголономные системы не могут быть стабилизированы относительно положения равновесия стационарной обратной связью по состоянию [37,41,44]. Решение задачи стабилизации колесного робота требует применение других видов обратной связи нестационарных, кусочно-непрерывных и т.д. Однако, несмотря на это, оказывается возможным использование стационарной обратной связи при решении задачи движения, так как она формулируется только по части переменных, описывающих положение робота.
Нетрадиционность и сложность задач, поставленных перед роботом, зависимость структурных свойств от конструкции ходовой части, неголономность моделей роботов затрудняет использование стандартных методов управления. К примеру, наиболее известное решение задачи управления движением робота основывается на построении системы управления роботом по принципу следящей системы [27]. В этом случае, желаемая траектория задается в параметрической форме. Для ее построения в систему управления включают генератор желаемых сигналов (интерполятор). Однако, точностные требования, предъявляемые к интерполяторам, а также низкий уровень совместимости с сенсорной информацией существенно ограничивают возможности применения следящих систем управления.
Необходимость полного использования степеней свободы движения робота требует привлечения совершенных методов управления. К ним относится метод, основанный на геометрическом подходе [54,76] и методах согласованного управления C2I3. Здесь желаемая траектория движения представляется отрезками гладкой кривой, заданной в неявной форме. Задача контурного управления заключается в стабилизации робота относительно заданной траектории и поддержании требуемой скорости перемещения вдоль траектории. Подобная постановка задачи является естественной при управлении движением робота и позволяет осуществить декомпозицию первоначальной более сложной задачи.
Очевидным достоинством данного подхода является также и то, что желаемой траекторией могут являться границы физического объекта (стена, разделительная полоса на дороге и т.д.). Однако в этом случае, возникает задача преодоления функциональной неопределенности законов контурного управления. Кроме того, геометрический подход позволяет успешно решать задачи координации звеньев кинематически избыточных механизмов.
Одним из ключевых моментов решения задачи контурного управления является преобразование переменных системы с последующей декомпозицией каналов относительного и продольного движения. Однако, существующие процедуры синтеза алгоритмов контурного управления ориентированы в основном на голономные системы и не могут быть использованы для построения систем управления колесных роботов 166]. Ото из приемлемых решений данной задачи основывается на использовании методики динамической линеаризации. Преимущества данного подхода были продемонстрированы на конкретных примерах колесных роботов [61]. Целью диссертационной работы является анализ математических моделей колесных роботов, разработка и исследования алгоритмов контурного управления движением.
Для достижения поставленной цели решены следующие задачи.
1. Проведен сравнительный анализ структурных свойств различных кинематических схем ходовой части колесных роботов. Систематизированы методы построения и анализа математических моделей роботов.
2. Разработан метод синтеза алгоритмов управления, обеспечивающих движение колесного робота по желаемой траектории, и процедуры построения систем управления.
•3. Разработана стратегия управления кинематическими и структурно избыточными колесными роботами и процедуры построения систем управления.
4. Разработан и исследован алгоритм управления движением робота вдоль желаемой траектории при незаданном аналитическом описании.
Методы исследования. При теоретических исследованиях в работе использованы методы дифференциальной геометрической теории нелинейных систем [21,54,76], методы адаптации и обучения [1,25,26]
Основные научные результаті.
1. Процедура построения математической модели многоколесных роботов.
2. Метод синтеза алгоритмов стабилизации движения неголономных систем, представленных в цепной форме, по многообразию.
3. Метод построения систем управления контурным движением многоколесных роботов.
4. Метод построения систем управления движением кинематически и структурно избыточными колесными роботами.
5. Метод построения алгоритмов управления движением робота вдоль желаемой траектории при незаданном аналитическом описании.
Новизна научных результатов.
1. Впервые представлена процедура построения алгоритмов согласованного управления пространственным движением дифференциально плоских неголономных систем.
2. Разработаны новые методы построения регуляторов контурного движения колесного робота вдоль аналитически незаданных траекторий.
3. Разработан новый алгоритм стабилизации дифференциально плоской неголономной системы относительно заданной окрестности положения равновесия.
4. Представлены новые процедуры преобразования математических моделей колесных роботов к задачно ориентированной нормальной форме и рекомендации по выбору положения целевой точки.
5. Предложены новые методы построения алгоритмов согласованного управления кинематически и структурно избыточными колесными роботами.
Практическая ценность. Результаты диссертационной работы могут быть использованы для построения систем автоматизированного проектирования автономных колесных роботов и систем управления. В ходе работы был разработан пакет прикладных программ и банк моделей для исследования систем управления многоколесными роботами.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
- XXVIII научно техническая конференция профессорско- преподавательского состава Санкт-Петербургского института точной механики и оптики, Санкт-Петербург, 31 января - 2 февраля, 1995.
- 4th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olimpiad), St. Petersburg, Russia, June 20-22, 1995.
- 5th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olimpiad), St. Petersburg, Russia, October 2-4, 1996.
- XXIX научно техническая конференция профессорско- преподавательского состава Санкт-Петербургского института точной механики и оптики, Санкт-Петербург, 29 января - 31 января , 1997.
- International Conference on Control of Oscillations and Chaos, St. Petersburg, Russia, 27-29 August, 1997.
Публикации работы. Основные результаты диссертации опубликованы в семи печатных работах [38,39,57,58,67,72,733.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех основных разделов с выводами и заключения. Основная часть работы изложена на /45 страницах машинописного текста. Список литературы включает 9S наименований.
Механические системы с кинематическими ограничениями. Классификация неголономных систем
Как известно, в каждый момент времени плоскопараллельное движение твердого тела совпадает либо с чисто поступательным, либо с чисто вращательным движением относительно некоторой точки, называемой мгновенным центром скоростей (МЦС), причем прямая, проходящая через мгновенный центр скоростей и любую точку данного тела, будет перпендикулярна вектору линейной скорости этой точки. Для колесного робота, при отсутствии поперечного проскальзывания колес, направление вектора линейной скорости центров колес неповоротных и поворотных симметричных модулей определяется ориентацией продольных осей этих колес и, следовательно, положение мгновенного центра скоростей платформы находится, как точка пересечения прямых,проходящих через центры колес и перпендикулярных их продольным осям (рис.1.3). В свою очередь, когда колеса расположены так, что эти прямые не пересекаются в одной точке, мгновенного центра не существует и, следовательно, движение на плоскости невозможно. Если кинематическая схема робота включает два неповоротных колеса, горизонтальные оси которых не совпадают, то робот может осуществлять движение только относительно фиксированного мгновенного центра скоростей (см. рис.1.3) и такая конструкция является вырожденной с практической точки зрения.
Кинематические схемы, приведенные на рис. 1.2, применяются в робототележках, так как они в наибольшей степени отвечают названному выше требованию [8,19]. Проведем сравнительный анализ каждой из этих схем. На рис.1.2,а изображена кинематическая схема робота, снабженного только поворотными асимметричными колесами. Заметим, что положение мгновенного центра скоростей платформы может принадлежать любой точке в плоскости движения робота в каждый момент времени и, следовательно, для смены направления движения робота не требуется предварительной переориентации колес. Для кинематической схемы, содержащей поворотные асимметричные модули и только один поворотный симметричный модуль (рис. 1.2,6), положение мгновенного центра скоростей платформы может в каждый момент времени, принадлежать любой точке, находящейся на поперечной оси поворотного симметричного модуля. Следовательно, для его перемещения относительно платформы необходима переориентация колеса данного модуля.
Особенностью кинематической схемы с поворотными асимметричными модулями и одним неповоротным модулем (рис.1.2,6) является то, что мгновенный центр скоростей платформы всегда находится на оси неповоротного колеса, положение которой фиксировано относительно платформы. Заметим, что перемещение центра скоростей платформы вдоль оси не требует переориентации колес. Если в состав схемы входит два и более неповоротных модуля (рис.1.2,г), то их горизонтальные оси должны совпадать, иначе кинематическая схема будет практически нецелесообразной.
Кинематическая схема,изображенная на рис. 1.2, д, состоит из двух соосных неповоротных колес и одного поворотного симметричного модуля. Положение мгновенного центра скоростей платформы в каждый момент времени принадлежит точке, являющейся точкой пересечения поперечных осей колес фиксированных и поворотного симметричного модуля. Маневрирование робота осуществляется за счет переориентации поворотного колеса. Изменением ориентации поворотного колеса достигается перемещение центра скоростей вдоль оси неповоротных колес, т.е. центр скоростей не может находится в любой точке платформы, множество его возможных положений образует прямую. Если в состав данной схемы входит два и более поворотных симметричных модуля (рис.1.2,е), то они должны координироваться с целью обеспечения условия существования мгновенного центра скоростей платформы, т.е. прямые, проходящие через центр каждого колеса перпендикулярно его плоскости вращения, должны пересекаться в одной точке.
В кинематической схеме, состоящей из поворотных асимметричных и симметричных модулей (рис.1.2, ж), положение мгновенного центра скоростей платформы в каждый момент времени принадлежит точке, являющейся точкой пересечения горизонтальных осей колес поворотных симметричных модулей и может быть изменено переориентацией последних. Другими словами, центр скоростей может находиться в любой точке платформы. Если кинематическая схема включает более двух поворотных симметричных модулей (рис.1.2,3), то они должны координироваться с целью обеспечения условия существования центра скоростей.
Таким образом, все рассмотренные кинематические схемы колесного робота удовлетворяют следующим положениям: - если конструкция оснащена более чем одним неповоротным колесным модулем, то горизонтальные оси их колес совпадают; - центр колеса поворотного симметричного колесного модуля не лежит на горизонтальной оси неповоротного колеса; - если в конструкции находится более, чем два поворотных симметричных модулей, то они должны координироваться для того, чтобы обеспечить существование мгновенного центра скоростей. Кинематические схемы, удовлетворяющие выше перечисленным условиям, называют невырожденными [43]. Заметим, что присутствие асимметричных колесных модулей не сказывается на маневренности робота, в то время как неповоротные колесные модули приводят к ее уменьшению. В дальнейшем, моделирование и исследование колесного робота будем осуществлять при следующих модельных предположениях: - платформа и колеса являются абсолютно твердыми, а сам колесный робот двигается вдоль горизонтальной плоскости; - количество колесных модулей, включенных в конструкцию робота, равно N; - каждое колесо остается вертикально и вращается вокруг своей горизонтальной оси без проскальзывания и юза, а контакт колеса и опорной поверхности является точечным;
Статическая и динамическая линеаризация моделей колесных роботов
Общей чертой всех методов линеаризации систем (2.1) с неинволютивным управляемым распределением является тот факт, что из всего семейства векторных полей входов системы g , t=I,...,ro выделяется подсемейство, наличие которого определяет неинволютивность распределения D [18], т.е. оставшиеся после этого выделения, векторные поля входов системы представляют собой базис инволютивного распределения. При линеаризации неголономных систем с использованием статической обратной связи подсемейство, определяющее неинволютивность D, рассматривается, как вектор неуправляемого сноса. При линеаризации с использованием динамической обратной связи для управляющих воздействий, соответствующих этому подсемейству, строится динамический компенсатор.
Статическая линеаризация. Пусть т± {x)=vankDi (x),xtV и F = ixtV-.m (;r)=m.=sup rankDЛх)% ,/=0,...,-0. Заметим, что т=яі зп 5. ..m n dimif и T/=P F. = ... F . В предположении, что распределения В локально регулярны, существует положительное число рт-т такое, что Определение 2.2 [761. Систяежі Є 2. і; называется линеаризуемой в окрестности VQ положения равновесия х=0 нелинейной заменой координат и статической обратной связью, ели существует диффеоморфизм конфигурационного пространства неособая для каждого хеУ0 матрица такие, что трансформируемая система принимает вид линейной системы (2.3) с матрицами А и В, представленными в канонической форме Бруновского. Необходимые и достаточные условия разрешимости этой проблемы для аффинной системы даны в следующей теореме. Теорема 2.1 [7Є]. Система (2.1) локально линеаризуема 6 окрестности VQ =V положения равновесия х=0 нелинейной заменой координат и статической обратной связью, если и только если выполнены следующие два условия: (I) система (2.1) лотмъно строго достижима; (II) Ві-инволктивше и регулярные распределения для каждого xeFi и 1 0. Явный вид нелинейной замены координат (2.7) и статической обратной связи (2.8) может быть получен следующим образом .[18]. Определим последовательность чисел: В случае, когда условие (і) выполнено, v =тг. Тогда, компоненты замены координат определяются следующим образом: а компоненты статической обратной связи (2.8) с r\{x)=-Ct (x)v((x) и С(я)-СС, (х):...:С(х)]=І 1 В случае, когда rank С0=р п (т.е. условие (і) не выполнено), возможно добиться частичной линеаризации системы. Тогда, по теореме Фробениуса существуют локально линейно-независимые функции е\ (х),... ,е1п_ (х), дифференциалы которых аннигилируют CQ. Частично линеаризующая замена координат имеет вид: Six iS1 (ос) (х)), где SL{x)=GQl{e\(x),...,eli (х))9 a S2(x) получена в соответствии с выше приведенным алгоритмом. Тогда, после выполнения соответствующей статической линеаризации найдем и пара и,В) управляема и представлена в каноничекой форме Бруновского.
Из выше изложенного очевидно, что кинематическая модель движения платформы робота, оснащенного только асимметричными колесными модулями (см. пример I.I), является линеаризуемой за счет статической обратной связи, так как она управляема rankC0=rankG,=3 и управляемое распределение Dx=span{colii!T(a)} инволютивно. Линеаризующая обратная связь в этом случае будет иметь вид:
Однако, кинематическая модель неголономных роботов в силу своего определения является строго достижимой и управляемой, но поскольку распределение Dx не инволютивно, то условие (ІІ) теоремы не выполняется и, следовательно, эта модель не может быть приведена к канонической форме Бруновского за счет статической обратной связи.
Рассмотрим максимально неголономную систему {О,В). Если управляемое распределение D=span{g1,...,gm локально регулярно, то существует семейство гладких линейно независимых векторных полей g[ {х), 1=\,...,т таких, что выполнено j A+spanCgJ), где A=span{g2,... ,gM. Введем последовательность распределений AQC C.. .ел , рекурсивно определенных следующим образом
Преобразование кинематических моделей неголономных колесных роботов к нормальной форме
Таким образом, динамические модели, связывающие координаты платформы с действующими силами и моментами (см.1.3), рассматриваемых модификаций колесных роботов динамически линеаризуемы, так как они за счет преобразования моментов могут быть приведены к форме, в которой они являются динамическим расширением кинематической модели.
Задача стабилизации системы (2.1) гладкой обратной связью по состоянию может быть сформулирована следующим образом: найти закон обратной связи v=K(x), где Я(я)-есть гладкая функция от х такая, что замкнутая система где G(x)=[g,(х),...,gm(x)], является асимптотически устойчивой, т.е. все решения x(t)=x(t,t0,x0) системы асимптотически стремятся к нулю из любого начального: состояния x(t0)=xQ, принадлежащего окрестности положения равновесия. Как известно, из теории нелинейных цепей для существования гладкой стабилизирующей обратной связи по состоянию достаточно, чтобы линейная система была управляема. Нелинейная система может быть управляемой, однако, из этого не следует существование гладкой стабилизирующей обратной связи. В следующей теореме даны необходимые условия для решения этой задачи по отношению к системам вида: iO,D).
Рассмотрим систему, заданную в виде (0,1», если векторные поля являются линейно-независимыми, т.е. то решение выше сформулированной проблемы существует тогда и только тогда, когда т=п. Заметим, что условие т=п снова эквивалентно управляемости системы первого приближения. Следовательно, кинематические модели неголономных колесных роботов (см. 1.6) не могут быть Данный отрицательный результат мотивировал исследования новых структур управления отличных от гладких стационарных законов обратных связей, например, гладких нестационарных законов v=K{x,t), где K(x,t)- гладкая функция или кусочно-гладких v=K(x), где К(х)- кусочно-гладкая функция [32-34,36,45-48, 60,70-79,39]. Существование подобных законов устанавливается следующей теоремой. Тогда, для всех Т 0, существует v вектор-функция в G0O(i?nxR;i?n), такая, что и положение равновесия х=0 системы является асимптотически устойчивым. Таким образом, кинематичесие модели неголономных колесных роботов могут быть стабилизированы, но не гладкой стационарной обратной связью. В связи с тем, что как было показано (см.2.2,2.3), системы, описывающие кинематические модели движения платформы рассматриваемых в работе модификаций роботов являются дифференциально плоскими и могут быть приведены к цепкой форме особый интерес имеет задача стабилизации цепной формы. Среди предложенных решений задачи стабилизации цепной формы можно выделить работы, посвященные построению гладких нестационарных законов [77], разрывных законов [47,48] и их комбинациям [85,87]. Сравнительные характеристики этих законов можно найти в [46]. Кроме того, были также предложены методы, основанные на о процессе [32,34] и инвариантных многообразиях [56]. В большинстве случаев предложенные алгоритмы либо носят частный характер, либо их реализация в многомерном случае затруднена вследствие их трудоемкости. В тоже время, приемлемые алгоритмы были получены для задачи стабилизации неголономных систем с заданной точностью [33]. Заметим также, что входами цепной формы являются переменные, связанные не дифференциальными соотношениями со скоростями системы и, следовательно, для определения моментов, посредством которых управляется механическая система, необходимо применять к полученным законам методы динамического расширения [59]. Далее излагается процедура построения непрерывных законов, решающих задачу стабилизации цепной формы с заданной точностью.
Постановка задачи контурного управления при отсутствии аналитического описания желаемой траектории
В последние годы интерес во всех аспектах нелинейного и согласованного управления значительно увеличился благодаря новым теоретическим результатам, оригинальным областям применения систем управления и их широкой интеграции в реальную жизнь. Среди передовых направлений развития систем управления существует класс проблем пространственного движения, связанных с проектированием нелинейных систем, обеспечивающих устойчивое движение многомерных установок вдоль пространственных кривых, поверхностей и других геометрических объектов [62,65,66]. Поведение подобных систем обеспечивает решение базовых проблем управления, таких как нелинейная стабилизация, компенсация возмущений, координация выходных переменных, и практических задач, связанных с движением сложных кинематических механизмов на производстве, в космических исследованиях, транспорте. Примерами подобных систем могут служить многозвенные манипуляторы [68], шагающие роботы [35], многоколесные транспортные средства [581. Будучи кинематически избыточными, эти механизмы способны решать множество нетривиальных задач в операционном пространстве, такие как проникновение в труднодоступные области, обход препятствий, стыковка с внешними объектами, движение вдоль сложных криволинейных траекторий и поверхностей, поддержание заданной пространственной ориентации и т.д. Выполнение высокоуровневых задач и необходимость полного использования степеней свобода движения механизма представляют известные трудности синтеза управления.
В данном подразделе рассматривается задача управления объектами, которые описываются одногенераторной цепной формой. Требования, предъявляемые к поведению подобных объектов управления при значительных отклонениях от заданного конечного состояния, т.е. "в большом", в ряде случаев успешно удовлетворяются при условии согласования вектора плоских выходов /KEff1 объекта управления в соответствии, с. системой нелинейных уравнений вида: где (р(/г) - кусочно-гладкая вектор-функция. Уравнение (2.32) определяет в пространстве й целевое множество S или при некоторых дополнительных ограничениях совокупность участков многообразий, движение по которым в определенной последовательности является основной целью рассматриваемого класса задач. Постановка задачи и преобразование переменных. Объект управления описывается одногенераторной цепной, формой и -col(и0), и -col(v1,У2,...,vm 1 ) и матрицы А и В представлены в канонической форме Бруновского с индексами управляемости й, ,... ,k 1. Здесь у0, vl,..., t,m 1 - скалярные переменные управления. Пусть переменные /г. =/г. (х)=х ((=0,1,... ,т-\) обозначают дифференциально плоские выходы системы (2.33),(2.34), т.е. все переменные системы Равенство є()=0 для некоторого интервала времени соответствует желаемым траекториям h(t), целиком лежащим на гиперповерхности S. Обеспечение стабилизации траекторий h{t) на гиперповерхности S составляет основную задачу управления. Другая задача управления заключается в поддержании желаемого продольного перемещения s (t) вдоль поверхности S. Уравнения (2.39),(2.40) определяют нелинейную замену координат с матрицей Якоби [211Из определения подмногообразия S следует, что для всех MS матрица М является невырожденной, rank M=m. Данное свойство гарантирует, что локально около гиперповерхности преобразование (2.39), (2.40) является диффеоморфизмом и, следовательно, существует гладкое обратное преобразование определенное в окрестности гиперповерхности S, где є0 0 - достаточно малое число. Учитывая, что по определению Не является Декартовым произведением S He, где задача управления пространственным движением заключается в следующем:
Похожие диссертации на Анализ математических моделей колесных роботов и синтез алгоритмов контурного управления
