Введение к работе
Актуальность темы. Задача разработки методов исследования и проектирования многомерных нелинейных систем управления (СУ) остается актуальной и в настоящее время. Для многих практически важных классов нелинейных объектов управления (ОУ) отсутствуют простые, инженерные методы проектирования СУ В связи с >тим проблема синтеза нелинейных многомерных СУ является центральной в теории управления (Красовский А.А., Колесников А А ).
Как показал анализ литературы, среди существующего разнообразия нелинейных объектов целесообразно выделить класс ОУ, модели динамики которых описываются системами дифференциальных уравнений с полиномиальными не-линейностями от фазовых координат. Такие модели применяются для описания движения систем различной физической природы: устройств лектромеханики (Копылов И.П . Крон Г.), химических реакторов (Кафаров В.В., Мешалкин В.П.), летательных аппаратов (Красовский А.А., Буков В.Н ), биологических и экологических систем (модели Лотки и Вольтерра) и др. Исследуемый класс объектов получил название полиномиальных (Porter W., Crouch Р.Е.). Широкое распространение полиномиальных моделей ОУ определяет целесообразность выделения в самостоятельное исследование задачи оптимального управления этими объектами, которую сформулируем как задачу Летова-Калмана в рамках перспективного, с теоретической и практической точек зрения, направления аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) (Летов A.M., Калман Р., Красовский А.А , Колесников А.А., Петров Ю.П. и др). Расширяющееся применение в прикладных задачах управления сложными производственными объектами методов АКОР связано с такими их достоинствами, как общность, предельная формализация, логическая завершенность, принципиальная математическая простота.
Решение задачи, являющейся обобщением известной задачи Летова-Калмана на многомерные объекты управления с полиномиальными нелинейностями, как показал анализ существующих работ, представляет серьезные трудности: аналитически она решается только для объектов первого порядка, при более высоких порядках объектов известные методы {степенных рядов, малого параметра, рядов Вольтерра) в большей степени имеют теоретическое значение, чем прикладное, так как оптимальное управление представляется в форме многомерных рядов с большим числом слагаемых. Для полиномиальных объектов л-го порядка степенные ряды имеют п линейных обратных связей (ОС), п квадратичных, п1 кубических (без учета их симметрии) и т.д., которые не только трудно рассчитать, но и, тем более, технически реализовать, особенно на элементах аналоговой техники. Эту ситуацию Р. Беллман образно назвал "проклятием многомерности".
Таким образом, для ОУ рассматриваемого класса возникает необходимость в разработке метода синтеза квазиоптимальных управлений простой структуры, имеющей сравнительно небольшое число обратных связей. Целесообразность получения простой структуры закона ОС вызвана стремлением как сократить общее время проектирования СУ и, соответственно, связанные с ним затраты, так и стремлением улучшить ряд технико-экономических показателей проектируемых систем (уменьшить габариты, вес, стоимость, повысить надежность управляющих
4 устройств). В работе анализируется один из вариантов решения этой актуальной задачи, причем под простой структурой закона управления полиномиальным ОУ понимается полиномиальная функция невысокой (минимальной) степени, содержащая наименьшее число членов старшего порядка, достаточное как для обеспечения устойчивости в «целом» синтезируе.мои системы (основного свойства опта угольной СУ), так и заданных показателей качества управления Исключение из закона ОС составляющих высоких степеней, а также части слагаемых (некритичных с точки зрения устойчивости в «целом») той степени, на которой полином «усекается», связано с тем, что члены указанных степеней наиболее многочисленны и сложны в технической реализации, вместе с тем практически не влияют на формирование управляющего сигнала в области малых отклонений. Указанное понимание простой структуры полиномиального управления согласуется с известным определением простой системы как системы, не содержащей избыточных элементов (Солодовников В.В , Бирюков В.Ф., Мозжечков В.А.).
Использование короткого полинома (простой структуры регулятора), составляющие которого рассчитываются и реализуются сравнительно просто, естественно, может привести к некоторой потере качества управления. Но ввиду медленной сходимости степенных рядов учет большого (предельно допустимого с практической точки зрения) числа членов ряда незначительно повышает точность приближения функции Беллмана (Ляпунова), определяющей закон обратной связи и, соответственно, качество регулирования. Поэтому расчет закона ОС в виде полинома высокой степени имеет смысл, главным образом, с точки зрения расширения области устойчивости синтезируемой СУ. Однако, как показывается в диссертации, существует возможность получения законов ОС простой структуры, обеспечивающих асимптотическую устойчивость в «целом» рассматриваемых систем. Отметим, что устойчивость в «целом» важна как с точки зрения практики (СУ может попасть в режимы работы, близкие к аварийным), так и теории управления, ввиду определенной сложности получения оценок областей устойчивости нелинейных СУ.
Итак, согласно вышесказанному актуальна задача: для рассматриваемого класса ОУ выбрать минимальную степень полиномиального закона ОС, рассчитанного методом степенных рядов (Альбрехт Э.Г., Красовский А.А.) в соответствии с выбранным функционалом качества, и, соответственно, минимальное число его старших членов, коррекцией которых можно обеспечить асимптотическую устойчивость СУ в «целом», при этом коррекция должна осуществляться с минимальной потерей качества регулирования. В результате, синтезируемая система становится оптимальной в «малом» и асимптотически устойчивой в «целом» при использовании небольшого числа обратных связей.
Разработка указанного подхода позволит снять остроту проблемы "проклятия многомерности" и рассчитывать реализуемые законы квазиоптимального управления для объектов относительно высокого порядка, например, синтезировать квазиоптимальный по быстродействию закон управления следящим электроприводом (СП) радиолокационной станции (РЛС), работающей в динамически напряженном режиме поиска цели.
Цель работы состоит в модификации метода синтеза квазиоптимальных нелинейных систем (метода степенных рядов), позволяющей получить простую структуру законов управления многомерными полиномиальными объектами, обеспечивающих асимптотическую устойчивость систем в «целом»; в разработке квазиоптимального закона управления простой структуры приводом РЛС.
В направлении достижения указанной цели в диссертации поставлены следующие задачи
Разработать простые в использовании, имеющие аналитический характер критерии анализа положительной определенности однородных полиномов (форм) четвертой степени, удобные для анализа устойчивости полиномиальных СУ.
Разработать методики анализа положительной определенности полиномов, являющихся суммой форм второй, третьей и четвертой степени.
Разработать методику построения качественной функции Ляпунова (ФЛ), позволяющей свести анализ устойчивости в «целом» систем управления рассматриваемого класса к анализу положительной определенности суммы форм не выше четвертой степени.
С использованием разработанных критериев и методик модифицировать метод степенных рядов применительно к синтезу полиномиальных систем управления рассматриваемого класса с целью придания им свойства асимптотической устойчивости в «целом» за счет коррекции членов старшей степени синтезируемых законов управления простой структуры.
5. применить разработанные метод и методики синтеза к проектированию
следящего электропривода радиолокационной станции.
Объектом исследования являются нелинейные системы управления с полиномиальными характеристиками.
Предметом исследования является метод синтеза полиномиальных квазиоптимальных законов управления простой структуры, обеспечивающих асимптотическую устойчивость в «целом» синтезируемых систем управления.
Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались методы теории устойчивости (методы построения ФЛ для нелинейных систем), теории дифференциальных уравнений, методы теории оптимального управления, теории матриц. При исследовании электромеханической системы следящего привода РЛС применялись методы обобщенной теории электрических машин, цифровое моделирование и экспериментальные исследования.
Основные научные положения, защищаемые в диссертации. На защиту выносятся следующие результаты исследований.
аналитические критерии и методики проверки положительной определенности (ПО) и положительной полуопределенности (ППО) вещественных форм четвертой степени от двух и трех аргументов, а также суммы вещественных форм второй, третьей и четвертой степени от того же числа аргументов, необходимые для анализа устойчивости полиномиальных СУ;
методика построения специальной функции Ляпунова для канонических полиномиальных систем исследуемого класса, позволяющей выявить негрубые достаточные условия асимптотической устойчивости в «целом» таких систем;
метод синтеза закона управления в виде полинома третьей степени с минимальным числом кубических ОС, обеспечивающего квазиоптимальность движений рассматриваемых СУ в «малом» и их асимптотическую устойчивость в «целом»,
нелинейный закон управления следящим электроприводом РЛС;
Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, содержащихся в диссертации, подтверждена математическими доказательствами теоретических результатов, применением разработанного метода для синтеза квазиоптимальной СУ следящим приводом РЛС на базе двигателя постоянного тока, результатами цифрового моделирования систем управления реальными объектами и экспериментального исследования СП.
Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты, лежащие в основе предлагаемых метода и методик синтеза нелинейных систем
1. Введено диагональное представление форм четвертой степени - способ записи указанных форм, удобный для анализа их ПО (ППО) с помощью критерия Сильвестра. Разработана методика расчета наилучших значений специальных параметров, делающих диагональное представление однозначным;
2 Для анализа ПО (ППО) суммы форм, зависящиХлОТ двух аргументов, предложен переход к соответствующей квадратичной форме с q-диагональной матрицей коэффициентов,
Для суммы форм 2-й, 3-й и 4-й степени получены условия преобладания значений крайних ПО форм 2-й и 4-й степени над значениями формы 3-й степени в каждой точке фазового пространства, в случае, когда форма 3-й степени не содержит одночлены (мономы), образованные «тройкой» аргументов;
Разработана методика построения специальной ФЛ для нелинейных канонических систем исследуемого класса. Данная функция отвечает основному признаку качественной ФЛ - применение ее к анализу устойчивости линейной части системы приводит к получению соответствующих условий Рауса-Гурвица;
Доказано утверждение о том, что для придания асимптотически устойчивой в «малом» СУ рассматриваемого класса асимптотической устойчивости в «целом», необходимо и достаточно скорректировать лишь коэффициенты членов старшей (третьей) степени полиномиальной функции управления;
6 Для объектов исследуемого класса предложен метод синтеза закона управления в виде полинома третьей степени. Закон обеспечивает квазиоптимальность движений СУ в «малом», их асимптотическую устойчивость в «целом», и содержит минимальное (с учетом найденных аналитических условий устойчивости) число кубических ОС;
7. Получен квазиоптимальный закон управления следящим приводом РЛС, имеющий простую в вышеуказанном смысле структуру.
Практическая ценность. Практическая значимость разработанного в диссертации метода получения квазиоптимальных управлений простой структуры определяется такими факторами как 1) применением при синтезе СУ нелинейных моделей ОУ, которые в сравнении с линейными моделями более достоверно описывают физические процессы многих производственных объектов и существенно расширяют область использования исследуемых систем; 2) получаемые с его по-
7 мощью законы управления проще и/или обеспечивают лучшие показатели качества синтезируемых СУ в сравнении со стандартными полиномиальными и известными линейными законами; 3) разработанные метод и методики отличаются относительной простотой и аналитическим характером, что делает их предпочтительными в инженерных расчетах. Результаты работы могут быть использованы в различных отраслях промышленности при создании современных устройств автоматического управления, а также разработке САПР указанных устройств.
Реализация результатов. Работа выполнена на кафедре электротехники и электрооборудования (ЭиЭО) Тульского государственного университета (ТулГУ). Полученные результаты использованы при проектировании СУ ЭП в Тульском филиале ФГУП «КБМ», а также внедрены в учебном процессе ТулГУ, о чем имеются соответствующие акты.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, были представлены и обсуждены на Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Москва, 2006), Международных конференциях «Системные проблемы надежности, качества, информационных и электронных технологий» (Москва, 2004, 2005), Международной научной конференции «Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения» (Саратов, 2005) и Всероссийской научно-практической конференции «Системы управления электротехническими объектами» (Тула. 2005).
Публикации. По результатам выполненных исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 7 печатных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка на 138 наименований, приложения. Материал изложен на 170 страницах. Работа содержит 32 рисунка и 1 таблицу. Диссертация соответствует пунктам 1, 4,7 Паспорта специальности 05 13.01.
