Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проблема управления объектами с распределенными параметрами 18
1.1. Классификация динамических объектов с распределенными параметрами 18
1.2. Математическое описание объектов с распределенными параметрами 20
1.3. Методы управления объектами с распределенными параметрами 38
1.4. Постановка задачи 67
Глава 2. Анализ систем управления с распределен ными параметрами 68
2.1. Дробно-рациональная аппроксимация передаточных функций объектов с распределенными параметрами . 68
2.2. Передаточные функции астатических систем 93
2.3. Исследование устойчивости систем управления с распределенными параметрами 95
2.4. Анализ переходных процессов 104
Глава 3. Синтез модальных регуляторов 108
3.1. Построение модальных регуляторов по передаточной функции замкнутой системы 108
3.2. Редуцированный метод синтеза модальных систем управления 116
3.3. Синтез следящих систем при заданных классах внешних воздействий 117
3.4. Синтез параллельных корректирующих устройств 120
3.5. Практическая реализация метода синтеза модальных систем управления 121
3.6. Построение комбинированных систем управления 125
Глав а 4. Синтез систем управления с распределенными параметрами 131
4.1. Построение регулятора для объекта с распределенными параметрами 132
4.2. Синтез регуляторов для устойчивых объектов с распределенными параметрами 136
4.3. Построение модальных систем управления для объектов с мероморфной передаточной функцией 139
4.4. Синтез конечномерных регуляторов 157
4.5. Конечномерный модальный регулятор для объектов с запаздыванием 173
Глава 5. Синтез дифференциаторов 182
5.1. Определение класса дифференцируемых сигналов 182
5.2. Синтез дифференцирующих наблюдателей 184
5.3. Исследование точности дифференцирования 192
5.4. Последовательное дифференцирование сигналов 209
5.5. Синтез модальных дифференциаторов 216
Г л ав а 6. Применение регуляторов для управления объектами с распределенными параметрами 239
6.1. Построение конечномерных регуляторов для объектов с замкнутым циклом 239
6.2. Длинная электрическая линия 248
6.3. Регулирование температуры поверхности массивного тела 258
6.4. Регулирование температуры в проходных печах 264
6.5. Управление неустойчивым процессом горения в ракете на твердом топливе 273
Заключение 284
Список литературы 288
- Методы управления объектами с распределенными параметрами
- Передаточные функции астатических систем
- Синтез следящих систем при заданных классах внешних воздействий
- Построение модальных систем управления для объектов с мероморфной передаточной функцией
Введение к работе
Актуальность темы. Проблемы управления объектами с распределенными параметрами привлекают все большее внимание специалистов в области теории автоматического управления. Об этом свидетельствует появление в отечественных и зарубежных изданиях многочисленных публикаций как теоретического, так и прикладного характера, проведение различных конференций и симпозиумов, посвященных этим проблемам. Такой интерес к проблемам управления распределенными объектами обусловлен не только развитием теории и методов управления, но и практической значимостью важнейших прикладных задач, которые необходимо рассматривать в рамках теории распределенных систем. Действительно, трудно указать какую-нибудь естественно-научную, техническую или промышленную область, где бы не возникали задачи, связанные с использованием распределенных объектов: управление химическими и ядерными реакторами, регулирование давления в длинных нефте-, газо- и водопроводах, управление лазерами и роботами и т. д.
Среди основных проблем теории управления объектами с распределенными параметрами можно выделить следующие: идентификация, моделирование, анализ (устойчивость, управляемость, наблюдаемость), синтез управляющих систем, оптимизация, техническая реализация управляющих систем и т. д. Следует заметить, что по сравнению с сосредоточенными системами, указанные выше задачи для систем с распределенными параметрами являются значительно более сложными. Это объясняется следующими фактами. Основная особенность объектов с распределенными параметрами состоит в том, что они имеют пространственную протяженность и их состояние невозможно характеризовать только изменением координат объекта во времени. Состояние таких объектов должно описываться функциями нескольких переменных, а поведение —, как правило, дифференциальными уравнениями с частными производными. При этом, управляющие воздействия на объект с распределенными параметрами могут быть сосредоточенными (описываться функциями одной переменной) и распределенными (описываться функциями нескольких переменных).
Однако, несмотря на всю сложность проблем управления распределенными системами, благодаря известным работам А. Г. Бутковского,
Ю. И. Неймарка, И. А. Брина, Я. 3. Цыпкина, Б. Н. Девятова, В. В. Со-лодовникова, А. А. Шевякова, Ч. Дезоера, М. Видиасагара, М. Кретина и других ученых по многим направлениям удалось получить основополагающие результаты. Вместе с тем, сохраняется постоянный интерес исследователей к центральной задаче теории управления распределенными системами — проблеме синтеза управляющих систем для объектов с распределенными параметрами. Этот интерес объясняется, во-первых, значимостью проблемы синтеза для решения важных прикладных задач, во-вторых, необходимостью применения сложного математического аппарата, что в значительной степени затрудняет разработку методов синтеза управляющих систем для распределенных объектов, и в-третьих, определенными трудностями при технической реализации управляющих систем.
Особый интерес исследователей вызывает проблема синтеза конечномерных регуляторов для объектов с распределенными параметрами. В частности, построение ПИД-регуляторов для распределенных объектов рассматривалось в работах X. Турецкого, А. Г. Бутковского и многих других ученых. Следует отметить, что применение ПИД-регуляторов для бесконечномерных объектов ограничено узким классом таких объектов. Например, для неустойчивого объекта с запаздыванием ПИД-регулятор может и не существовать. Задача управления распределенными объектами с помощью конечномерных регуляторов на основе метода желаемых логарифмических характеристик рассматривалась в работах В. В. Соло-довникова. Однако применение этого метода возможно лишь для минимально-фазовых объектов. Другой подход основан на использовании конечномерных аппроксимирующих моделей распределенных объектов, т.е. конечномерный регулятор синтезируется для некоторой конечномерной модели. Заметим, что применение этого метода требует не столько высокой точности аппроксимации, сколько достаточной грубости регулятора. Можно показать, что построение регулятора по конечномерной аппроксимации в ряде случаев приводит к неустойчивости замкнутой системы регулирования с исходным объектом. Поэтому развитие методов синтеза модальных регуляторов, обеспечивающих же лаемые свойства замкнутой системы управления, позволит решить задачу построения конечномерных регуляторов для распределенных объектов.
Таким образом, разработка эффективных методов синтеза регуляторов для объектов с распределенными параметрами, допускающих простую техническую реализацию, позволит решить актуальную проблему теории распределенных систем, связанную с автоматическим управлением распределенными объектами.
Целью работы является разработка и обоснование методов построения конечномерных регуляторов для линейных стационарных объектов с распределенными параметрами.
Методы исследования. В диссертационной работе используются методы теории автоматического управления, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории устойчивости, линейной алгебры, функционального и математического анализа, методы вычислительной математики, теории функций комплес-ного переменного, операционного исчисления. Экспериментальные результаты получены с помощью моделирования на ЭВМ.
Научная новизна диссертационной работы характеризуется следующими результатами, полученными автором лично:
-
Впервые разработан метод синтеза передаточной функции модального регулятора как для непрерывного, так и для дискретного объекта с сосредоточенными параметрами. Метод позволяет для объекта с невырожденной передаточной функцией синтезировать множество регуляторов, обеспечивающих заданное распределение полюсов и части нулей передаточной функции замкнутой системы.
-
Разработан метод, позволяющий для одного класса объектов с распределенными параметрами непосредственно по передаточной функции объекта осуществлять синтез распределенного регулятора, обеспечивающего заданное распределение корней характеристического уравнения замкнутой системы.
-
Для объекта с распределенными параметрами впервые решена задача построения класса бесконечномерных регуляторов, обеспечивающих заданное желаемое распределение полюсов и части нулей передаточной функции замкнутой системы. Передаточные функции объекта, регулятора и замкнутой системы рассматриваются в
классе мероморфных функций. Передаточная функция регулятора имеет свободный параметр — произвольную целую функцию.
-
Разработан новый частотный метод исследования устойчивости распределенной системы управления с помощью модальной сосредоточенной системы управления. Получены достаточные условия устойчивости распределенной системы управления. Разработан частотный критерий устойчивости распределенных систем управления. Исследование устойчивости проводится по трансцендентной передаточной функции разомкнутой системы, которая может иметь счетное число полюсов или конечное число алгебраических точек ветвления на мнимой оси. Число полюсов в правой полуплоскости предполагается конечным.
-
Впервые разработан эффективный метод построения конечномерных регуляторов для объектов с распределенными параметрами. Синтез регуляторов осуществляется в частотной области по конечномерной рациональной аппроксимации распределенного объекта.
-
Впервые решена задача многократного дифференцирования на полубесконечном интервале времени широкого класса сигналов, определяемого дифференциальными неравенствами. Синтез дифференцирующих устройств осуществляется в пространстве состояний по части переменных вектора состояний. Построенный дифференциатор является помехозащищенным.
-
Разработан новый метод построения модальных дифференциаторов широкого класса сигналов. Синтез дифференциаторов сводится к построению следящей системы с модальным регулятором объекта, представляющего собой цепочку интегрирующих звеньев. Дифференциаторы, синтезированные на основе предлагаемого подхода, являются помехоустойчивыми по отношению к высокочастотным помехам. Доказано, что ошибка дифференцирования сигналов из рассматриваемого в диссертации класса может быть сделана сколь угодно малой за счет увеличения порядка передаточной функции модального дифференциатора.
Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.
Практическая ценность работы. Результаты работы могут найти применение в различных отраслях промышленности при решении задач автоматизации процессов управления объектами с распределенными объектами. На основе теоретических разработок получены практические методики и программы, позволяющие производить автоматизированный анализ и синтез систем автоматического управления. Это дает возможность сократить время проектирования регуляторов, повысить их точность и надежность, уменьшить степень риска при эксплуатации.
Поддержка. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 07-07-00007-а «Построение конечномерных робастных регуляторов для объектов с распределенными параметрами»).
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийских семинарах "Нейроинформатика и ее приложения" (Красноярск, 1996, 1997), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1997), Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Дубна, 1998), Международной конференции "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства" (Воронеж;, 1998), Международной конференции по проблемам управления (Москва, 1999), Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (Воронеж;, 2000), Международной научно-технической конференции "Кибернетика и высокие технологии XXI века" (Воронеж, 2000, 2001, 2005-2008), семинарах Института автоматизации при университете Бундесвера (г. Гамбург, Германия) , кафедры автоматического регулирования Университета Саарланда (г. Саарбрюкен, Германия), Института техники измерений и автоматического регулирования Университета Ганновера (г. Ганновер, Германия), Института Макса Планка динамики комплексных технических систем (г. Магдебург, Германия), ПСА РАН (г. Москва), МГТУ им. Н. Э. Баумана (г. Москва) и кафедры технической кибернетики и автоматического регулирования Воронежского госуниверситета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 38 работах, из них одна монография и 10 публикаций в изданиях, рекомендованных перечнем ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 176 наименований. Работа содержит 304 страницы машинописного текста и 43 рисунка.
Методы управления объектами с распределенными параметрами
Проблемы управления объектами с распределенными параметрами привлекают все большее внимание специалистов в области теории автоматического управления. Об этом свидетельствует появление в отечественных и зарубежных изданиях многочисленных публикаций как теоретического, так и прикладного характера, проведение различных конференций и симпозиумов, посвященных этим проблемам.
Такой интерес к проблемам управленияраспределенными объектами обусловлен не только развитием теории и методов управления, но и практической значимостью важнейших прикладных задач, которые необходимо рассматривать в рамках теории распределенных систем. Строго говоря, почти все реальные объекты управления можно рассматривать как объекты с распределенными параметрами. Задачи управления такого рода объектами валены и интересны уже с той точки зрения, что они возникают в самых различных областях современной науки. Помимо чисто научного интереса проблемы управления распределенными системами имеют большое число практических приложений как в различных отраслях промышленности; так и в отдельных технических задачах. Проблема синтеза управляющих систем для объектов с распределенными параметрами является основной задачей теории управления распределенными системами [82]. Это объясняется, во-первых, значимостью проблемы синтеза для решения важных прикладных задач, во-вторых, необходимостью применения сложного математического аппарата, что в значительной степени затрудняет разработку методов синтеза управляющих систем для распределенных объектов, и, в-третьих, определенными трудностями при технической реализации управляющих систем.
Центральная проблема синтеза регуляторов обладает принципиальной спецификой применительно к построению систем автоматического управления динамическими объектами с распределенными параметрами, в рамках моделей которых описывается широкий класс управляемых процессов самой различной физической природы [9, 88]. Возникающие здесь особенности по сравнению с объектами с сосредоточенными параметрами обусловлены, прежде всего, необходимостью использования сигналов обратной связи по пространственно-распределенному выходу объекта с распределенными параметрами для формирования соответствующих алгоритмов управле -40 ния, а реализация синтезируемых структур систем автоматического управления затрудняется сложностями создания требуемых измерительных, наблюдающих и регулирующих устройств. Простейший и достаточно широко распространенный на практике путь решения задач синтеза систем автоматического управления объектами с распределенными параметрами связан с изначальным приближенным представлением объекта известными методами «подходящей» моделью объекта с сосредоточенными параметрами и последующим применением хорошо разработанного аппарата теории управления сосредоточенными системами (метод исходной дискретизации [90]). К недостаткам такого подхода относятся, прежде всего, возможная потеря сущностных физических свойств объекта управления, порождаемых пространственной распределенностью параметров, а также ряд проблем технического характера, таких, как высокая размерность вектора переменных состояния сосредоточенной модели, неустойчивость процесса аппроксимации относительно погрешностей промежуточных вычислений и др.
Альтернативный способ, обеспечивающий сохранение основных качественных особенностей объекта с распределенными параметрами, заключается в решении задачи синтеза непосредственно для моделей распределенных систем с использованием методов аппроксимации лишь на заключительном этапе с целью получения конкретных результатов по уже найденной стратегии управления (метод завершающей дискретизации [90]). Большинство задач синтеза систем автоматического управления объектами с распределенными параметрами в такой постановке рассматривалось на основе метода динамического программирования в интересах аналитического конструирования регуляторов для линейной модели объекта управления и квадратичного функционала качества в идеализированных и реализуемых условиях соответственно полного и неполного измерения управляемых функций состояния [11, 23, 24, 94]. Алгорит -41 мы управления определяются здесь решениями систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Рикатти, нахождение которых сопряжено со значительными вычислительными трудностями. Другой путь заключается в использовании методов управления в пространстве состояний при модальном представлении объекта с распределенными параметрами бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд гармоник разложения распределенной управляемой величины в сходящийся бесконечный ряд по некоторой ортонормированной системе функций пространственных координат с последующим удержанием на этапе реализации только конечного числа управляемых мод [2, 10, 52, 90]. Эффективные регулярные методы синтеза линейных систем автоматического управления могут быть получены для достаточно широкого класса объектов на основе структурной теории распределенных систем, базирующейся на соответствующих обобщениях понятий передаточных функций распределенных звеньев и их соединений [10, 12, 87]. В работе [88] задача синтеза регуляторов в системах управления с распределенными параметрами рассматривается с этих позиций применительно к типовым моделям управляемых функций состояния и различным видам управляющих воздействий, в том числе с учетом практических возможностей реализации требуемого характера их пространственного распределения. Получаемые результаты распространяются на задачи синтеза систем автоматического управления распределенных объектов более сложной структуры. Весь анализ проводится в детерминированной постановке для идеализированного варианта, предусматривающего возможность осуществления полного и безинерционного измерения текущего состояния вполне наблюдаемого объекта с распределенными параметрами, хотя в действительности обратные связи по распределенному выходу объекта с распределенными параметрами могут быть получены лишь с некоторой погрешностью путем их конструирова -42 ния с помощью соответствующих наблюдателей по оценкам состояния объекта при его всегда неполном измерении [10, 24].
Передаточные функции астатических систем
Как известно [101], системы автоматического регулирования принято подразделять на статические и астатические. Разделение на такие системы зависит от того, имеет или не имеет система ошибку регулирования в установившемся состоянии при воздействиях, удовлетворяющих определенным условиям.
Определение 2.9. Система автоматического регулирования называется статической по отношению к внешнему воздействию, если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому установившемуся постоянному значению, отклонение регулируемой величины также стремится к постоянному значению, зависящему от величины воздействия. Если же отклонение регулируемой величины стремится к нулю вне зависимости от величины воздействия, то система автоматического регулирования называется астатической.
Следует отметить, что одна и та же система может быть статической, например, по отношению в внешнему возмущению и астатической по отношению к задающему (управляющему) воздействию.
В [101] показано, что система автоматического регулирования является астатической по отношению к задающему воздействию, если передаточная функция системы для ошибки Фє(р) имеет нуль какого-либо порядка при р = 0.
Определение 2.10. Система автоматического регулирования имеет астатизм ZA-ГО порядка, если передаточная функция системы для ошибки Фє(р) имеет нуль v-ro порядка при р = 0.
Можно показать, что если управляющее воздействие представляет собой алгебраический многочлен от t степени т, то система регулирования с астатизмом v-то порядка не имеет статической ошибки при m v, имеет конечную статическую ошибку при m = v и имеет бесконечную статическую ошибку при m v.
Используя определение 2.10, нетрудно проверить, что система ав -94 томатического регулирования имеет астатизм v-vo порядка, по1 отношению к задающему воздействию, если передаточная функция разомкнутой системы Ф(р) имеет полюс ІА-Й кратности при р = 0. Рассмотрим теперь условия, которым должны удовлетворять передаточная функция разомкнутой системы Ф (р) и передаточная функция Ф/(р) по отношению к возмущающему воздействию /() для того, чтобы замкнутая система имела- астатизм требуемого порядка. Система автоматического регулирования имеет астатизм ZA-ГО порядка по отношению к возмущающему воздействию /(), если передаточная функция Ф/(р) по отношению к этому воздействию имеет нуль кратности v при р = 0. При этом, если передаточная функция объекта W(p) имеет полюс (или нуль) кратности fj, при р = 0, то для того чтобы, замкнутая система обладала астатизмом ь -то порядка по отношению к возмущающему воздействию, передаточная функция разомкнутой системы Ф(р) должна иметь полюс кратности v + fj, (кратности v — [і 0 в случае нуля) при р = 0.
При анализе и синтезе систем автоматического регулирования широко применяются коэффициенты ошибки, которые определяют статические свойства системы [74]: порядок астатизма относительно-задающего воздействия, добротность системы и установившееся значение ошибки.
Определение 2.11. Коэффициентами ошибки называются коэффициенты Со, Сі, С 2, ... степенного ряда, в который может быть разложена передаточная функция для ошибки Фе(р) = Со + -Р + Р2 + ffp3 + . . (2.64) Из разложения (2.64) нетрудно найти значения коэффициентов ошибки #Фе(р) . СІ = hm , г = 0,1, 2,... , р- о арг -95 или, учитывая равенство Фе(р) = 1-Ф(р), получаем Со = 1ііп[і-Ф(р)1 С{ = -\ип -р&,г = 1,2,... . (2.65) Для астатизма і -го порядка относительно задающего воздействия необходимо выполнение следующего условия: С0 = d = ... = С„-1 = 0. (2.66) Из разложения (2.64) и формулы Е(р) = Ф(Р)0(р), определяющей преобразование Лапласа Е(р) для ошибки s(t) при задающем воздействии g(t), G(p) = {#()}, нетрудно получить установившееся значение для ошибки eycrW - C0g(t) + (t) + p(t) + 5(t) + ... .
Синтез следящих систем при заданных классах внешних воздействий
Рассмотрим задачу построения следящей системы, блок-схема которой представлена на рис. 3.2.
Следуя принципу поглощения [13], классы задающих воздействий g{t) и внешних возмущений /() системы автоматического управления будем описывать соответствующими дифференциальными (разностными) уравнениями L1{a)g{t) = 0, L2(a)f(t) = 0, (3.37) с произвольными начальными условиями. Здесь Li(cr), 2(0") — некоторые алгебраические многочлены от а; а — либо оператор дифференцирования (crf(t) = —р—, непрерывный случай), либо оператор опережения {erf {г) = /(г-fl), дискретный случай). Конкретные представители классов задающих и возмущающих воздействий определяются начальными условиями уравнений (3.37).
Для повышения качества управления синтезируем передаточную функцию регулятора, использующего полезную информацию о задающих воздействиях и внешних возмущениях. Метод построения регулятора без особых трудностей сводится к описанной выше процедуре синтеза модальных регуляторов. Действительно, рассмотрим
Нерасширенный объект с передаточной функцией w w - ладЩ - лїгі (3-38)
где Цр) = L1(p)L2(p) Є Dlr, Li(p) Є %.., і = ЇД г = г і + г2. Для расширенного объекта (3.38) полиномиальное уравнение (3.8) принимает вид
B(p)S0(p) + Л (р)Ло(р) = (р). (3.39)
Здесь А (р) = A(p)L(p) Є 3lm , 77г = m + г. Отметим, что полином D(p) естественно выбирать устойчивым.
Замечание 3.5. Так как предлагаемые в данной диссертации методы синтеза модальных систем управления рассматриваются для непрерывных и дискретных объектов, то устойчивым многочленом (многочленом Гурвица) условимся называть полином, корни которого находятся строго в левой полуплоскости комплексной переменной (непрерывный случай), или, если все корни этого многочлена лежат на комплексной плоскости внутри единичного круга с центром в начале координат (дискретный случай).
Если многочлены В(р) Є "Лі и А (р) Є Лт взаимно простые, то, как следует из теорем 3.1 и 3.2, для любого многочлена D(p), п m -\-l, существует единственная пара многочленов SQ(P) Є Лт -і и Ro(p) Є Лп-гп , являющихся решением полиномиального уравнения (3.39). При этом передаточная функция регулятора для исходного объекта (3.1) примет вид
ш = Ш = Ш + А(рЩр)С(р) V[P R(p) [До(р) - В(р)С(р)]Цр) (д-и где, как и ранее, С(р) Є Лк-і — произвольный полином. Заметим, что при известном So(р) для нахождения Ro(p) можно воспользоваться формулой D(p) - B(p)S0(p) А(р) Ro{p)L{p) = -119 Нетрудно проверить, что условие реализуемости передаточной функции регулятора (3.40), передаточных функций замкнутой (3.28) и разомкнутой (3.29) систем задается следующим неравенством: п т + X + k. (3.41) Далее ограничимся рассмотрением непрерывного случая и покажем, что ошибка регулирования e(t) стремится к нулю при t — со. По структурной схеме, представленной на рис. 3.2, находим изображение по Лапласу для ошибки Eip) - Це(і)} - 1 + v{p)w(p) 1 + v{p)w{p) - (3-42) где G(p) = {#()}, F(p) = {/()}. Отсюда, принимая во внимание равенства (3.1) и (3.40), получаем ад = ад + « (Р). (з.4з) Так как функции g(t) и f(t) удовлетворяют дифференциальным уравнениям (3.37), то в пространстве изображений справедливы следующие равенства: L1(p)G(p) = G0(p), L2(p)F(p) = F0(p), (3.44) где коэффициенты многочленов GQ(P) Є $ п-і и Fo(p) Є $ r2-i определяются значениями д (0), і = 1,7 і — 1, и / (0), j = 1,гг — 1 соответственно. С учетом равенств (3.44) формула (3.43) примет вид (Д0(р) - В(р)С(р)) {A(p)L2(p)Go(p) + B(p)L1{p)F0{p)) т= т Так как полином D(p) является устойчивым, то s(t) — 0 при t — со. Дискретный случай рассматривается аналогично.
Рассмотрим задачу синтеза системы автоматического управления с параллельным корректирующим звеном, структурная схема которой представлена на рис. 3.3. Здесь W(p) — передаточная функция заданного элемента системы, определяемая равенством (3.1), V(р) — передаточная функция вида (3.2) параллельного корректирующего устройства, подлежащего дальнейшему определению исходя из условия (3.3), где, как и ранее, полином D(p) Е Лп является заданным, a Q(p) — многочлен определенной структуры, у которого к произвольных коэффициентов.
Построение модальных систем управления для объектов с мероморфной передаточной функцией
В данном параграфе решается задача синтеза модальной системы управления для объекта с распределенными параметрами, описываемого мероморфной передаточной функцией. Передаточные функции регулятора и замкнутой системы также рассматриваются в классе мероморфных функций. Иными словами, для бесконечномерного объекта управления решается задача построения бесконечномерного регулятора, обеспечивающего заданное желаемое распределение полюсов и части нулей передаточной функции замкнутой системы. Одним из методов решения таких задач является построение наблюдателя состояний динамического объекта с распределенными параметрами и последующий синтез модального регулятора по оцениваемым с помощью наблюдателя переменным состояния. Однако, как показано в [66], для объектов с сосредоточенными параметрами синтез модального регулятора можно осуществлять непосредственно по передаточной функции замкнутой системы. При этом синтезированный регулятор в своей структуре уже содержит в неявной форме наблюдатель состояний. В настоящей работе развивается идея, предложенная в [66]: модальный регулятор синтезируется по желаемой передаточной функции замкнутой системы. Метод синтеза регулятора сводится к поиску интерполяционного ряда, решающего задачу интерполирования мероморфной функции в счетном числе узлов (не обязательно различных), являющихся нулями некоторой целой функции. В качестве иллюстрации предлагаемого метода в диссертации рассматривается пример построения модального регулятора для однородного механического элемента, испытывающего продольные колебания.
Пусть передаточная функция W(p) объекта управления является мероморфной функцией в конечной комплексной плоскости (исключая точку р = оо). Известно [55, 60], что каждую функцию, меро-морфную в комплексной плоскости, можно представить в виде отношения двух целых функций, не имеющих общих нулей, т. е. можно представить в следующем виде:
W{P) = Ш . (4.21)
Здесь А(р) и В(р) — целые функции, не имеющие общих нулей.
Произвольная целая функция Ф(р) имеет единственную особую точку р = со. При этом, если р = оо — устранимая особая точка, то Ф(р) есть постоянная. Если точка р = оо — полюс порядка п, то Ф(р)
— многочлен (целая рациональная функция) степени п. Если р = оо
— существенно особая точка, то Ф(р) есть целая трансцендентная функция.
Введем в рассмотрение понятие порядка и типа целой функции [55, 103]. Пусть Ф(р) — целая функция и M(r) = max Ф(р).
Определение 4.1. Если существует число /? 0 такое, что М(г) ег для всех достаточно больших г, то Ч?(р) называется функцией конечного порядка. Число р = inf /3 0,
Обозначим-через С Р,С7 множество целых функций порядка р и типа ст. Относительно целых функций А(р) и В{р) будем дополнительно предполагать, что Л(р) и В(р) функции конечного порядка, для которых выполнено одно из следующих условий:
либо 0 рв РА, (4.24)
либо 0 рв = РА, &в СТА- (4.25)
Так как величины р и а являются характеристиками роста (скорости роста) модуля целой функции, то неравенства (4.24) и (4.25) означают, что числитель В(р) мероморфной функции W(p) должен расти не быстрее знаменателя А(р). Поэтому каждое из соотношений (4.24) или (4.25) можно рассматривать как условие физической реализуемости передаточной функции объекта управления (4.21).
Итак, для заданной мероморфной передаточной функции W(p) объекта (4.21) рассмотрим задачу построения мероморфной передаточной функции регулятора У(Р) = , (4.26) обеспечивающего заданное распределение полюсов и части нулей передаточной функции Ф(р) замкнутой системы управления, структурная схема которой изображена на рис. 3.1. В формуле (4.26) предполагается, что искомые функции S(p) и R(p) являются целыми функциями конечного порядка S(p) Є C ps,crs и R(p) Є C PR, JR , для которых выполнено одно из условий физической реализуемости передаточной функции регулятора
