Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Состояние проблемы и постановка задачи робастного управления в условиях возмущений и запаздывания 12
1.1. Обзор современных методов и задач адаптивного и робастного управления 12
1.2. Общие сведения 30
1.3. Постановка задачи 45
1.4. Математические модели 47
1.5. Выводы 48
Глава 2. Математические модели систем с запаздыванием и методы линеаризации 49
2.1. Грубая модель линеаризации 49
2.2. Базовая модель линеаризации 59
2.2.1. Управление системой с запаздыванием в объекте 59
2.2.2. Управление системой с запаздыванием в управлении 67
2.3. Выводы 72
Глава 3. Оценки и критерии устойчивости получаемых решений 74
3.1. Оценивание запаздывания в грубой модели линеаризации 74
3.2. Оценивание запаздывания в базовой модели линеаризации 80
3.3. Сравнение решений грубой и базовой моделей линеаризации 104
3.4. Оценка решений модели исходного объекта и модели базовой линеаризации 107
3.4.1. Оценка точности полученного решения 108
3.4.2. Оценка решения при терминальном управлении 112
3.5. Выводы 113
Глава 4. Терминальное управление 115
4.1. Постановка задачи 115
4.2. Синтез модели мажоранты 116
4.3. Моделирование 118
4.4. Выводы 121
Глава 5. Управление по выходному сигналу 122
5.1. Постановка задачи 122
5.2. Синтез наблюдателя 123
5.3. Моделирование 127
5.3. Выводы 132
Заключение 134
Список литературы 137
- Постановка задачи
- Управление системой с запаздыванием в объекте
- Сравнение решений грубой и базовой моделей линеаризации
- Синтез модели мажоранты
Введение к работе
Диссертация посвящена нахождению методов синтеза линейного стационарного робастного стабилизирующего и терминального управления для объектов с возмущением в виде параметрической неопределенности в структуре и неизвестным по величине запаздыванием.
Актуальность темы. Задача адаптивно-робастного управления параметрически и функционально неопределенными объектами в условиях возмущений и запаздывания относится к фундаментальным и актуальным проблемам современной теории и практики автоматического управления. Идеализация, связанная с линейностью объекта управления, стационарностью его параметров, возможностью измерения его переменных состояния, отсутствием запаздывания и возмущающих воздействий, постепенно уходит из рассмотрения в рамках современной теории управления. Современные требования к техническим системам стимулируют развитие таких направлений теории автоматического управления, как: нелинейное, адаптивное и робастное управление, а также управление в условиях запаздывания. В современной теории автоматического управления особое внимание уделяется методам адаптивного и робастного управления по выходу (т.е. без измерения производных выходной переменной или переменных состояния объекта). Мотивация данных научных исследований обусловлена тем, что управление по выходу позволяет уменьшить затраты на проектирование и разработку различных датчиков, которые в свою очередь, увеличивают размерность математической модели системы и вносят дополнительные погрешности, связанные с ошибками измерений.
В настоящее время известные методы адаптивного, робастного и нелинейного управления, нацеленные на синтез регуляторов, отличаются сложностью инженерной реализации. Например, популярные в теоретическом научном мире итеративные процедуры синтеза требуют от инженера-разработчика обширных знаний в области теории нелинейного управления.
Большинство известных схем адаптивного и робастного управления предусматривают высокую размерность регулятора, которая может в несколько раз превышать размерность объекта. Очевидно, что высокая размерность регулятора приводит к удорожанию системы управления, а также к возможному запаздыванию в управлении, вызванным компьютерной обработкой алгоритма (для систем, построенных на базе цифровых контроллеров). А, как известно, наличие неучтенного запаздывания может пагубно повлиять на устойчивость и качество системы управления. Таким образом, разработка новых методов адаптивного, робастного и нелинейного управления, позволяющих получать более простые и малоразмерные регуляторы является еще не решенной задачей современной теории управления. В тоже время разработка новых фундаментальных методов может оказаться необходимой предпосылкой при решении ряда перспективных задач.
Стоит также отметить, что при создании адаптивных алгоритмов при хороших теоретических показателях часто неприменимы на практике из-за сложности построения или невозможности построения наблюдателя, необходимого для их работы. Будучи же построенным, наблюдатель может стать сам причиной технического сбоя в системе управления.
Поэтому, несмотря на всю практическую значимость новых адаптивных методов, в данной диссертации развиваются именно робастные методы, которые в силу их построения имеют значительно более простую структуру и намного удобнее для практической реализации. В предлагаемых в диссертации робастных подходах нет необходимости строить наблюдатель для определения неизвестных значений параметров системы (речь не идет о восстановлении состояния по выходу) для успешного управления объектом. А это является, обычно, ключевым звеном и наиболее громоздким в адаптивном регуляторе. А регулятор, основанный на робастном подходе, полностью эффективен с самого начала управления, в то время как адаптивные регуляторы сначала должны «настроиться» на систему.
Цель работы. Целью диссертационной работы является синтез робастного управления для нестационарных систем с неизвестной величиной запаздывания, справляющегося с задачами стабилизации и терминального управления при заданном диапазоне величины запаздывания. Синтезируется синтез регулятора как при полной информации о состоянии системы, так и в случае управления по выходу. При этом ставится целью создание управления без адаптивного алгоритма и без необходимости оценивания величины неизвестного запаздывания. В случае управления по выходу системы ставится цель построения наблюдателя для оценки только состояния системы, без оценивания неизвестных параметров, в частности, величины запаздывания.
Поставленные в диссертации задачи. Из формулировки цели работы очевидна основная задача: построение регулятора, справляющегося с задачами стабилизации и терминального управления при заданном диапазоне величины запаздывания.
Но так как ставится задача синтеза управления без оценивания величины неизвестного запаздывания, второй задачей диссертации является построение адекватной исходному объекту математической модели для синтеза управления без знания фактического значения запаздывания. Эту задачу можно разделить на две подзадачи: нахождение структуры упрощенной модели и построение соответствующего регулятора для неизвестного запаздывания, т. е., достижение робастности.
Для определения адекватности полученной модели исходному объекту необходимо также оценить ошибку между решениями построенной модели и исходного объекта под действием синтезированного регулятора.
В случае управления по выходу объекта также необходимо решить задачу восстановления вектора состояния, но строя наблюдатель по упрощенной системе, не включающей в себя неизвестные параметры и, в частности, величину запаздывания.
Методы исследования. В диссертации использованы элементы функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, теории матриц, теории игр, теории устойчивости, асимптотические методы, теории управления, в том числе оптимального, робастного, адаптивного и с неполной информацией. Теоретические положения подтверждены представленными в диссертации результатами моделирования в среде MATLAB/SIMULINK.
Научная новизна. В диссертации предложена методика синтеза линейного стационарного управления для задач стабилизации и терминального управления нестационарными объектами с неизвестной величиной запаздывания. Получены критерии применимости синтезированных регуляторов, оценки на состояние управляемого объекта. В случае управления по выходу системы синтезирован линейный стационарный наблюдатель полной размерности, позволяющий синтезируемому с его помощью управлению справится с поставленными перед ним задачами.
Обоснованность выводов диссертации. Достоверность полученных результатов обеспечивается приведенными в диссертации доказательствами, а также публикацией в ведущих рецензируемых журналах, включая журналы, рекомендованные РАН.
Практическая ценность работы. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы в системах управления в различных областях науки и техники. Математическими моделями, рассматриваемыми в рамках данной диссертационной работы, может быть описано большое количество технических систем, в том числе:
электромеханические системы;
космическая техника;
робототехнические системы;
биологические, популяционные модели.
Апробация работы. Основные положения диссертации на протяжении с 2004 по 2009 года докладывались и обсуждались на восьми различных конференциях, включая международные.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано одиннадцать работ, включая статью в журнале, рекомендованном РАН.
Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, пять глав, заключение, список цитируемой литературы, состоящий из 205 наименований, и список работ автора на тему диссертации. В конце каждой главы приведены выводы, кратко характеризующие основные результаты, полученные в главе, в частности, какие поставленные для достижения целей работы в рамках диссертации задачи были полностью или частично решены в резюмируемой главе. Диссертация изложена на 157 страницах.
Постановка задачи
Перейдем теперь непосредственно к обзору методов адаптивного и робастного управления по выходу нелинейными неопределенными объектами в условиях возмущений и запаздывания. Отличительной особенностью задач управления нелинейными системами является невозможность указать универсальных путей ее решения. Именно этим вызван неугасающий рост публикаций в области нелинейного управления. Большинство методов обсуждались в обзорах [128,181, 183] и монографиях [7, 52, 57, 70, 71, 96, 130, 144, 200], а более поздние работы будут рассмотрены ниже. Особую нишу занимают задачи адаптивного и робастного управления по выходу нелинейными неопределенными объектами. Среди основных методов управления нелинейными объектами можно выделить: 1. методы, предусматривающие поиск функции Ляпунова [20, 31, 52, 61, 70,71, 142, 197,205]; 2. геометрические методы, связанные с точной линеаризацией и поиском диффеоморфного преобразования координат [31, 52, 67, 87, 96, 111, 114-116, 123, 128, 154, 193]; 3. частотные методы, предусматривающие использование критерия Попова, кругового критерия и т.д. [7, 20, 61, 66, 81 - 83, 128]; 4. методы, предусматривающие поиск, так называемой, управляющей функции Ляпунова или функции Беллмана [128, 104, 179, 198]; о
Иллюстрация к модели подводной лодки. 5. методы теории пассивных систем [52, 57, 66, 95, 99, 128]; 6. итеративные процедуры синтеза [31, 37, 128, 129, 131, 146, 172 - 174]. Естественно, что перечисленными методами анализа и синтеза не ограничивается современный уровень развития нелинейной теории. Однако указанные методы являются наиболее распространенными при решении многих теоретических и практических задач управления нелинейными объектами.
Приведем некоторые типовые виды моделей, описывающие востребованные в современной практике объекты. Построение управления с предсказанием остается все еще очень востребованным, и поэтому этой теме посвящено достаточно много современных работ [109, 120, 146, 166, 169, 175]. Интересным примером применения задача управления с предсказанием является задача управления подводной лодкой (см. рис. 1.4).
Аналогичная модель получается при управлении перемещения ноги человекоподобного роботы [143].
В этой модели, как и в других используемых сейчас на практике решение строится с использованием дискретизации, что приводит к возникновению некоторых неточностей в решении. Уменьшение погрешности в таких случаях напрямую связано с уменьшением шага дискретизации, что приводит к необходимости большого объема вычислений.
Конечно, гораздо лучше ситуация становится в случае, когда такая погрешность для управления объектом оказывается несущественной. И отдельно стоит акцентировать внимание на тех случаях, в которых входящим в объект запаздыванием можно полностью пренебречь, в итоге получая в рамках таких задач управление с приемлемой точностью [109, 120, 166].
В случае же, когда отказываются от дискретизации модели, сейчас широко используют только адаптивный подход, получая самонастраивающиеся алгоритмы управления. Пример приведен на рисунке 1.5.
В качестве классической биологической модели объекта с запаздыванием можно привести пример подсчета популяции и ее возрастной дифференциации промысловой рыбы для организации эффективного отлова [107].,
Обширный класс объектов с запаздыванием содержит различные постановки задач слежения, преследования и определения оптимального пути [168].
Достаточно близка к ним по смыслу, хотя и имеет свои особенности, задача синхронизации неравноправных систем [204]. Модель состоит из основной системы Equali:
Если подходить к рассмотренным объектам математически, их можно условно разделить по категориям: К объектам с наличием запаздывания в управлении относится большое количество задач, связанных с компьютерными сетями [120, 140, 152, 167]. Для решения задач из этой сферы повсеместно применяется дискретизация модели и далее производится работа с дискретным объектом. На рисунке 1.6 приведена получаемая дискретная модель объекта для коммуникационной системы, реализованной на нейронной сети с нечеткой логикой:
Также к системам с запаздыванием в управлении относится, пример, задача синхронизации нескольких однотипных нелинейных систем, получающих данные друг о друге с некоторой задержкой по времени
Управление системой с запаздыванием в объекте
Как отмечалось в [15], при известных траекториях изменения параметров для каждого управляемого объекта из множества (2.6) можно синтезировать u(t)eU, при котором функционал принимает минимальное значение. Однако, оптимальное управление для какой-либо известной траектории параметров объекта может оказаться далеко не оптимальным при другой траектории параметров. Более того, управление может и не обеспечить даже устойчивости системы «объект-регулятор» при траекториях параметров, отличных от той, которая использовалась при синтезе оптимального управления. Поэтому при нахождении «универсального» управления также необходимо находить условия, при выполнении которых использование такого управления будет гарантировать выполнение задачи управления. Такое управление будет робастным [65].
Робастным называется управление, которое обеспечивает решение поставленной задачи при любых начальных данных и параметрических возмущениях из определенного диапазона области начальных данных и параметрической области соответственно.
Пусть Q - множество возможных траекторий a(x,t) и p(x,t), т.е. a{x,t), p(x,t) =Q. и а , р - «наихудшие» значения параметров матриц, лежащих на границе замыкания множества возможных значений параметрических возмущений [15], т.е. а , р ей, при которых соответствующая модель объекта (3.6) будет являться мажорантой для всех остальных моделей с другими возможными траекториями параметров, т.е.
Построим управление для модели (3.7). Будем строить оптимальное управление для функционала качества вида (3.2) и будем искать управление в виде линейной функции состояния объекта u(t) = Kz{t) (2.9) Учитывая вид функционала (3.2), если существует положительно определенная матрица S, являющаяся решением уравнения Риккати-Лурье s[A + a] + [A + a]T S-S[B +P ]R-1[B + P JS + Q = 0, то оптимальное управление для модели (3.7) с функционалом вида (3.2) будет иметь вид u(t) = -R-l[B + fi ]Sz(t) Отметим, что в этом случае матрица S(t) = const, t є [t0,oo]. Для практической значимости данного подхода необходимо наличие достаточно простого в использовании метода определения «наихудших» а,р\ соответствующих мажоранте.
В работе предлагается следующий метод. Пусть дана система (2.6). Выберем и зафиксируем для определенности некоторое управление, построенное по обратной связи, например, вида (2.3). В этом случае система будет параметрически зависеть от a,/3eQ, а в остальном будет полностью определена.
Поставим перед собой теперь следующую задачу. Пусть дана система (2.6) с некоторым управлением по обратной связи, например, вида (2.3): откуда уже представляется возможным определить сами «наихудшие» значения.
В качестве примера, иллюстрирующего принцип предлагаемого подхода, рассмотрим простейшую одномерную модель J В случае моделей более высокого порядка делается все аналогично, хотя вычисления будут уже на порядок сложнее. Для упрощения поиска «наихудших» значений параметров будет полезно следующее утверждение.
Пусть дана система (2.6) с управлением вида (2.9) и множество параметров определено в некоторой открытой области a(x,t), /3{x,t) е Q.
Тогда a , /3 - «наихудшие» значения параметров матриц, лежащие на границе замыкания множества Q.
В результате мы пришли к поэлементному поиску максимума линейной комбинации на отрезке в R1, который, естественно, будет достигаться на одном из концов отрезка, что в совокупности для всего вектора параметров будет означать, что а, р" лежат на границе замыкания множества Q. Но тогда остается вопрос, как определить область значений параметров а , р , другими словами - множество Q. При таком подходе на практике в общем случае это невозможно.
Поэтому при таком методе линеаризации мы вынуждены остановится на объекте (2.1), но соответствующее управление (2.3) может и не справляться с поставленной задачей.
Вектор состояний систем (2.23) сверху и (2.22) снизу. управление успешно справляется с задачей стабилизации, никаких особенностей тут нет. А вот на нижней части рисунка, показывающей поведение самой модели (2.22) при использовании построенного управления (2.25), картина намного интереснее. Хотя управление и в этом случае стабилизирует систему, но справляется со своей задачей явно с трудом. Т.е. вполне возможно, что при большем значении запаздывания или при других значениях весовых коэффициентов при запаздывании управление могло бы уже и не справиться с задачей стабилизации системы.
Сравнение решений грубой и базовой моделей линеаризации
Пусть начальное состояние объекта принадлежит области замыкания множества начальных состояний х 0 є дХ0 при которых условия выполнения поставленной задачи являются «наихудшими». Тогда, при условии успешного выполнения задачи управления, матрицы a(xs), P(xs) и вектор 30,/) будут иметь интервальный характер неопределенности. Пусть Q - множество возможных траекторий a(x,t) и j3(x,t), т.е. a(x,t), /3(х,і)єСї и а , р - «наихудшие» значения параметров матриц, лежащих на границе замыкания множества возможных значений параметрических возмущений и начальных состояний, т.е. a ,fi edQ, при которых удается выполнить поставленную задачу управления объектом jtz{t) = [A + a \{t) + [Bx+ p ]Kz{t) + Z{z,a ,р ), z(t0) = x Q є Х0. (3.33)
Как известно, при известных траекториях изменения параметров для каждого управляемого объекта из соответствующего множества можно синтезировать его частное оптимальное управление, при котором функционал качества принимает минимальное значение. Однако оптимальное управление для какой-либо известной траектории параметров объекта может оказаться далеко не оптимальным при другой траектории параметров. Более того, управление может и не обеспечить даже устойчивости всей системы при траекториях параметров, отличных от той, которая использовалась при синтезе такого оптимального управления.
В работе предлагается использовать метод «наихудших значений». Суть его в следующем. Пусть начальное состояние объекта принадлежит области замыкания множества начальных состояний, при которых условия выполнения поставленной задачи являются "наихудшими". Тогда, при условии успешного выполнения задачи управления, параметры системы будут иметь интервальный характер неопределенности. «Наихудшие» значения лежат на границе замыкания множества возможных значений параметрических возмущений, при которых удается выполнить поставленную задачу управления исследуемым объектом.
Управление, синтезированное с использованием «наихудших значений», обеспечивает отрицательность вещественных частей корней характеристического уравнения исследуемой системы в первом приближении, что является необходимым и достаточным условиями ее асимптотической устойчивости. Использование минимаксного подхода позволяет получить необходимые и достаточные условия существования такого управления для нелинейных нестационарных систем [15], к котором в общем виде можно отнести и системы с запаздыванием, или другими словами, условия стабилизации объекта, строящееся с помощью функции Ляпунова. Выполнение обоих условий гарантирует выполнение задачи робастной стабилизации нестационарного объекта.
Поэтому решение уравнения (3.33) при успешном выполнении задачи управления будет являться мажорантой для всех возможных решений уравнения (3.32) при a(x,t), /3(x,t) є Q..
Синтез регулятора, т.е. поиск матрицы К, будем осуществлять с использованием линейной модели объекта (3.33), которая имеет вид — zM (О = [А + a\zM (/) + \вх + /Г ] и (0, zM (t0) = xQ. (3.34) Если назначить матрицу F в первом слагаемом функционала (6.2) в виде F = S, где положительно определенная матрица S есть решение уравнения Риккати-Лурье s[A + a ]+[A + a]TS-s[Bl+j3 ]R-l[Bl+j3 Ys + O = 0, (3.35) то оптимальное управление для модели (3.34) с функционалом (3.29), в котором вместо x(t) подставим xM(t), будет иметь вид [14] и (0 = -R- [В, +P ]TSхм(0. (3.36) Отметим, что в этом случае матрица S(t) = const, t є [о,т]. Нетрудно убедиться, что синтезированное управление (3.36) обеспечивает отрицательность вещественных частей корней характеристического уравнения системы первого приближения ±zu(fi = 9rz„(t), (3.37) at
Следует отметить, что использование управления (3.39), синтезированного на линейной модели (3.34), для нелинейного объекта (3.33) не изменяет качественной картины расположения траекторий системы «объект (З.ЗЗ)-регулятор (3.39)» в начале координат [11].
Найдем необходимые условия существования стабилизирующего управления вида (3.39) для объекта (3.33). Отметим, что при сделанных предположениях о нелинейной вектор-функции 5(z,t) рассматриваемый объект с управлением вида (3.39) имеет устойчивое состояние покоя при z = 0.
Условия, что матрица йТ и вектор 3(z(7-r)) действительны и что 3(z(f-r)) непрерывен, могут быть заменены любыми другими условиями, обеспечивающими локальное существование решения исходной системы при малых г(г-г) и ґ 0 [9]. Теперь, когда показано, что при выбранном управлении (3.39) система имеет «точку покоя», найдем условия асимптотической устойчивости при произвольных \\z(t0)\\ = z(0)J О. Другими словами, найдем условия асимптотического перехода системы из заданного начального состояния в состояние покоя. последнее выполняется в том случае, если подынтегральное выражение в правой части неравенства (3.41) будет убывать. Потребуем, чтобы положительно определенное подынтегральное выражение убывало монотонно.
Отметим, что запас устойчивости, определяемый выполнением этого требования, сужает область возможных значений начальных условий, при которых сохраняется устойчивость системы. Вполне уместно более узкий класс систем, определенный подобным образом отнести к системам, обладающим свойством «сверхустойчивости» [15].
Синтез модели мажоранты
В этой главе была предоставлена вторая остававшаяся нерешенной часть решения основной поставленной в рамках диссертации задачи - синтез регулятора для решения задачи терминального управления.
Построенная раньше для синтеза стабилизирующего регулятора модель мажоранты решения оказалась вполне пригодной для получения решения задачи терминального управления.
В этой главе была поставлена задача терминального управления и с учетом полученной в 3.4.2 оценки решения синтезирован закон управления, а также сформулированы в виде теоремы условия, гарантирующие выполнение задачи терминального управления.
Эти результаты были также экспериментально подтверждены проведенным моделированием, иллюстрирующим полученные результаты. Таким образом, моделирование полностью подтвердило теоретический выкладки и можно сделать вывод, что предложенный метод линеаризации объекта с неопределенным запаздыванием можно эффективно использовать для решения терминальных задач управления с помощью линейного по состоянию стационарного регулятора.
Кроме представленной задачи терминального управления предлагаемый метод крайне эффективен и в случае управления по выходу системы с неполной информацией о векторе состояния объекта. В этом случае можно строить линейный полноразмерный наблюдатель по модели мажоранты решения.
Ранее мы рассматривали объекты при условии доступности полного измерения вектора их состояния. На практике же часто приходится иметь дело с объектами в условиях наличия неполной информации о векторе состояния объекта.
В этой главе диссертации мы рассмотрим общую постановку задачи стабилизации объекта с управлением по выходу системы и построим наблюдатель, применимый во всех ранее рассмотренных методах управления. Попытки построить наблюдатель с более простой, чем у объекта, структурой, без вхождения в структуру наблюдателя запаздывания уже предпринимались [199], но приводили до сих пор к неизбежному расширению вектора состояния, что приводило к увеличению размерности наблюдателя. В этой главе мы построим наблюдатель той же размерности, что и объект, но без вхождения запаздывания.
Далее упростим систему (6.1), используя разложение x(t -т) = x(t) - x(t)r + (x(t), х(г), г) где О(0, х(т), г) - нелинейный остаток разложения функции x(t) в точке t в ряд Тейлора. Для возможности такого разложения достаточно выполнения тех же условий, которые мы потребовали от системы объекта для линеаризации по первому приближению.
Для построения оценки вектора состояния предлагается следующее решение. Мы не будем пытаться восстановить вектор состояния объекта (5.6), содержащего в своей структуре запаздывание, а вместо этого восстановим состояние объекта, руководствуясь структурой системы (5.7), для которой воспользуемся классическим наблюдателем для восстановления состояния линейных объектов, который отличается простой структурой и легко реализуем в практических задачах [43, 46, 51].
Положительно определенная матрица R, может быть назначена исходя из требований, предъявляемых к качеству переходного процесса в системе [15]: например, при выполнение условия система будет гарантировано устойчива по Ляпунову.
Таким образом, при неполной информации о состоянии исследуемого объекта достаточно применить один из методов линеаризации (например, базовый), построить для получившейся модели (5.7) наблюдатель (5.20), восстанавливающий вектор состояния системы. Для нахождения параметров наблюдателя достаточно решить систему уравнений (5.22) - (5.23).
Проиллюстрируем на примере нашего химического реактора. Но стабилизируем уже по выходному сигналу. Напомним вид системы:
На рисунках 5.3 и 5.4 представлены векторы состояний линеаризованной модели, моделируемого объекта для различных значений величины запаздывания, а на рисунке 5.5 - норма вектора рассогласования, а также посчитанная относительная оценка (3.106) погрепшости решения вследствие предлагаемой линеаризации.
Синтезированное управление полностью справилось с задачей стабилизации. На рисунке 5.3 отражено поведение исходного объекта при «наихудшем» случае - т—2. На рисунке За представлена оценка вектора состояния. Видно, что она несколько отличается от самого вектора состояния, приведенного там же на рисунке ЗЬ. Оценка получилась более сглаженной по сравнению с действительными значениями вектора состояния. Нормы обоих векторов состояния линеаризованной и исходной систем вместе с оценкой нормы ошибки рассогласования представлены на рисунке 5.5.
Нормы векторов состояний цепи двухэтапного химического реактора и его оценки, представленных на рисунке 5.3, а также найденная оценка нормы ошибки рассогласования
На рисунке 5.5 хорошо видно, что в начале переходного процесса оценка оказывается слишком завышенной, в первую очередь, вследствие грубости неравенства (3.102). Но со временем оценка нормы устремляется к нулю, что можно считать выполняемым достаточным условием стабилизации системы.
На рисунке 5.4 представлены результаты моделирования системы при г=1. Качественно все аналогично случаю управления при полной информации о состоянии системы. Стабилизация происходит значительно быстрее, чем в «наихудшем» случае, а оценка получилась очень точной и практически совпадает с действительными значениями вектора состояния объекта.
Похожие диссертации на Робастное управление в условиях возмущений и запаздывания
