Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор методов анализа и прогноза временных рядов с долговременной корреляционной зависимостью. Постановка задачи исследования 13
1.1 Временные ряды с долговременной корреляционной зависимостью 13
1.2 Постановка задачи диссертации 18
1.3 Основные результаты раздела 19
2 Фрактальный анализ временных рядов 20
2.1 Пространственные фрактальные объекты 21
2.2 Генерирование фрактальных временных рядов 27
2.3 Фрактальная размерность временных рядов 40
2.4 Главные компоненты временных рядов 55
2.5 Основные результаты раздела 63
3 Прогнозирование рядов с долговременной корреляционной зависимостью 65
3.1 Параметрические модели временных рядов 65
3.2 Методология Бокса-Дженкинса 78
3.3 Модель ARFIMA (p,d,q) временного ряда 84
3.4 Оценивание параметра d 95
3.5 Модель обучения на примерах 102
3.6 Минимизация эмпирического и структурного рисков 106
3.7 Применение нейронных сетей для прогнозирования рядов 116
3.8 Основные результаты раздела 124
4 Модельные и экспериментальные исследования 127
4.1 Моделирование фрактальных шумов 127
4.2 Моделирование фрактальных рядов 133
4.3 Экспериментальные исследования реальных рядов... 139
4.4 Основные результаты раздела 160
Заключение 163
Список использованных источников
- Временные ряды с долговременной корреляционной зависимостью
- Пространственные фрактальные объекты
- Параметрические модели временных рядов
- Моделирование фрактальных шумов
Введение к работе
Актуальность исследования. Все формальные процедуры прогнозирования предусматривают перенос прошлого опыта в неопределенное будущее. Такие алгоритмы прогнозирования построены на предположении, что условия, породившие полученные ранее данные, неотличимы от условий будущего. Исключение составляют только те переменные, которые точно распознаны моделью прогнозирования. В подавляющем большинстве случаев предположение о неразличимости прошлого и будущего не выполняется в полной мере.
Одним из возможных методов улучшения точности прогнозирования служит применение новых разрабатываемых моделей, способных к более адекватному описанию наблюдаемых данных и получению прогнозных оценок путем экстраполяции. Для построения модели временного ряда не требуются знания ни производства, ни условий, в которых протекает тот или иной процесс. Модель строится только на основе имеющейся числовой информации. Задача аналитика в этом случае заключается в том, чтобы выяснить статистическую закономерность, которой подчиняются отсчеты, образующие временной ряд, и сделать прогноз на будущее, основываясь на этой закономерности.
Процедуры прогнозирования могут классифицироваться как качественные и количественные. На одном полюсе находится чисто качественный аппарат, не требующий явного математического оперирования данными. На другом количественный аппарат, состоящий из процедур, которые на выходе дают числовые оценки прогноза. Отметим, что некоторые количественные алгоритмы требуют значительно более тщательной и изощренной техники обработки данных, чем другие. В данной работе рассматривается количественный подход к получению оценок прогноза как единственно верной отправной точке для эффективного прогнозирования событий.
Зависимость структуры ряда от времени играет ключевую роль при прогнозировании, моделировании и анализе временных рядов различной природы. Несмотря на наличие достаточно простых и хорошо разработанных алгоритмов прогнозирования, основанных, например, на построении «наивных» моделей, процедур сглаживания, регрессионных моделей, существуют временные ряды, которые плохо описываются этими моделями, и требуются более сложные алгоритмы для представления таких временных процессов.
В последние годы появился увеличивающийся интерес к временным рядам, обладающим долговременной положительной корреляционной зависимостью. В английском языке синонимами этого понятия являются такие термины как long memory (долгая память), long-range dependence (долговременная зависимость), strong dependence (сильная зависимость) или persistence (персистентность). Ни у одного из этих терминов еще нет адекватного перевода на русский язык, поэтому в работе такой ряд будем называть рядом с долговременной корреляционной зависимостью (ДКЗ).
В задаче прогноза и анализа временных рядов со сложной структурой часто используются модели класса ARIMA{p,d,q) (авторегрессионные проинтегрированные скользящего среднего -Autoregressive Integrated Moving Average) порядка (p,d,q), которые моделируют различные ситуации, встречающиеся при анализе стационарных и нестационарных рядов. В зависимости от анализируемого ряда модель ARIMA (p,d,q) может трансформироваться к авторегрессионной модели AR(p), модели скользящего среднего MA(q) или смешанной модели ARM A (p,q). При переходе от нестационарного ряда к стационарному, значение параметра с/, определяющего порядок разности, принимается равным 0 или 1, т.е. этот параметр имеет только целочисленные значения. Однако из поля зрения исследователей выпадала ситуация, когда параметр d может принимать дробные значения.
Для анализа этой проблемы в работах зарубежных ученых, в первую очередь, СИ/.Granger, J.R.Hosking, P.M.Robinson, R. Beran, был предложен новый класс моделей ARFIMA(p,d,q), допускающий возможность нецелого параметра с/ и получивший название авторегрессионный дробно интегрированный процесс скользящего среднего (Autoregressive Fractional Integrated Moving Average) [52, 57]. Такие ряды обладают своей спецификой: медленно спадающей корреляцией, самоподобием, дробной размерностью. Прогнозирование временных рядов с помощью модели ARFIMA(p,d,q) открывает более широкие перспективы для повышения точности прогноза, что подчеркивает актуальность темы исследования.
Цель диссертационной работы заключается в разработке алгоритмов прогнозирования временных рядов, обладающих долговременной корреляционной зависимостью, и оценке точности прогнозирования.
Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие основные задачи: . • создание алгоритмов моделирования фрактальных временных рядов с ДКЗ;
• разработка алгоритмов прогнозирования для временных рядов, характеризующихся ДКЗ;
• применение искусственных нейронных сетей для получения прогнозных оценок временного ряда;
• экспериментальные исследования точности прогнозирования реальных временных рядов, обладающих ДКЗ.
Методы исследования. Для решения поставленных задач используются . методы теории вероятностей, корреляционно спектрального анализа, нейросетевого моделирования, статистической обработки экспериментальных данных.
Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе:
1. Разработан алгоритм моделирования фрактальных временных рядов (зарегистрирован в Отраслевом фонде алгоритмов и программ), основанный; на методе случайного срединного смещения.
2. Предложен метод идентификации параметров модели ARFIMA(p,d,q) для прогнозирования реальных временных рядов.
3. Получены прогнозные оценки временных рядов с использованием моделей искусственных нейронных сетей;
4. Проведено экспериментальное исследование точности прогноза различными методами на реальных временных рядах.
Степень новизны научных результатові
1. Разработанный алгоритм моделирования фрактальных временных рядов отличается от известных тем, что позволяет создавать ряды по заданным значениям показателя Херста, являющегося в определенной степени классификатором рядов, и необходимой длине исходных данных.
2. Новым в предложенном алгоритме прогнозирования является начальный выбор параметров р и q модели ARMA(p,q) по виду и характеру изменения частной автокорреляционной функции временного ряда и последующая трансформация к модели ARFIMA(p,d,q) с вычислением показателя с/.
3. Развитие нейросетевой технологии в задаче прогнозирования, реализованной в работе, заключается в использовании и построении различных конфигураций нейронных сетей, введении этапа тестирования полученной сети, расчете ошибок прогнозирования на обучающей и тестовых выборках.
4. Новизна экспериментальных исследований состоит в комплексном изучении реальных и смоделированных временных рядов, включающем в себя анализ авто- и частной корреляционных функций, спектральной плотности, расчет и вычисление главных компонентов ряда, построение прогнозных оценок ряда и оценку точности прогноза.
Степень обоснованности и достоверности научных результатов
Обоснованность полученных научных положений и выводов подтверждается сопоставлением прогнозных оценок и их точности, полученных посредством различных, рассмотренных в диссертации, моделей: нейросетевой и модели с ДКЗ. Кроме того, модель ARFIMA(p,d,q) позволяет перейти к более простым ситуациям описания временных рядов.
Достоверность научных результатов обосновывается экспериментальным изучением реальных временных рядов, включающим статистическую проверку и построение автокорреляционной функции и спектральной плотности, которые являются основными критериями принадлежности анализируемых данных к модели ARFIMA(p,d,q).
Практическая ценность. Предложенные в работе методы прогнозирования временных рядов, основанные на модели временных рядов с ДКЗ, позволяют увеличить точность прогнозных оценок и достоверность выводов. Такие методы могут быть использованы в различных ситуациях и сферах деятельности, где необходимо получать информацию о будущем поведении систем.
Полученные результаты и разработанные алгоритмы используются в аналитической деятельности инвестиционной компании «Доходъ», учебном процессе ГУАП и Международного банковского института.
Программная разработка «Исследование фрактальных рядов» зарегистрирована в Отраслевом фонде алгоритмов и программ Федерального агентства по образованию.
Положения диссертационной работы, выносимые на защиту:
1. Алгоритм моделирования фрактальных временных рядов, которые обладают долговременной корреляционной зависимостью, отличающийся от известных тем, что позволяет создавать ряды по заданным значениям показателя Херста и необходимой длине ряда.
2. Алгоритм прогнозирования временного ряда по модели ARFIMA(p,d,q), включающий начальный выбор параметров р \л q модели ARMA(p,q) по виду и характеру изменения частной автокорреляционной функции временного ряда и последующую трансформацию к модели ARFIMA(p,d,q) с вычислением показателя d.
3. Нейросетевое прогнозирование временных рядов, основанное на построении различных типов нейронных сетей и выборе наиболее пригодной сети по величине погрешности прогноза на обучающей и тестовой выборках.
4. Экспериментальное исследование реальных и смоделированных временных рядов, в частности, анализа авто- и частной корреляционных функций, спектральной плотности, расчета и нахождения главных компонентов, построения прогнозных оценок ряда и оценке точности прогнозирования.
Апробация работы. Результаты отдельных этапов работы докладывались и обсуждались на заседаниях 11, 12 и 14
Международных студенческих школ-семинаров «Новые информационные технологии» (Москва, МИЭМ, 2003, 2004, 2006), 9 и 11 Международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов (Москва, МЭИ, 2003, 2005), 4 и 6 Международных научно-практических конференциях «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания» (Санкт-Петербург, МБИ, 2005, 2007), 3 Всероссийской научной конференции «Управление и информационные технологии» (Санкт-Петербург, ЛЭТИ, 2005), 3 школы-семинара БИКАМП-01 (Санкт-Петербург, ГУАП, 2001), 8 и 9 научных сессий аспирантов ГУАП (Санкт-Петербург, ГУАП, 2005, 2006).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 научных работах.
Временные ряды с долговременной корреляционной зависимостью
Вначале оценим литературные источники по фрактальному анализу ВР, поскольку такие ряды являются самоподобными и характеризуются дробной размерностью.
Понятие фрактала, введенного в научный обиход Б.Мандельбротом в 1975г. не имеет (по крайней мере, пока) строгого определения [27, 28] . Следуя духу начал Евклида, предложившего три описания линии, ни одно из которых не может претендовать на строгое определение с точки зрения современной математики (длина без ширины, граница двух областей и «то, что имеет одно измерение»), Мандельброт поясняет понятие фрактала как некоего образования, самоподобного или самоаффинного в том или ином смысле. Только такое нарочито широкое пояснение позволяет охватить без видимых досадных пробелов и потерь достаточно мощное множество объектов, называемых фракталами[10].
До недавнего времени сравнительно мало внимания уделялось одной из разновидностей симметрии: инвариантности при изменении размеров, называемой самоподобием, или, если речь идет о более чем одном масштабном (скейлинговом) факторе, самоаффинностью. Чрезвычайно плодотворные концепции самоподобия и самоаффинности пронизывают всю природу - от распределения атомов в веществе до распределения галактик во Вселенной. Самоподобие глубоко проникло и в математику. Около трехсот лет назад немецкий философ и математик Г.Лейбниц воспользовался масштабной инвариантностью бесконечно длинной прямой для того, чтобы дать определение прямой. Неологизм «фрактал» введен лишь в 1975г., однако можно считать, что фрактальная геометрия появилась давно, а главными фигурами в развитии идей фрактальной геометрии были Ф.Хаусдорф (1868-1942) и А.С.Безикович (1891-1970).
Фрактальные формы обнаруживают пространственное самоподобие. Фрактальные временные ряды имеют статистическое самоподобие во времени. Они являются случайными фракталами и имеют больше общего с естественными объектами, чем чистые математические фракталы. Фрактальные формы дают хорошую основу для интуитивного постижения, поскольку для них самоподобие имеет наглядный смысл. По аналогии с ними легче будет понять фрактальные временные ряды.
Для временного ряда классическая геометрия предлагает малую помощь для понимания основ поведения ряда: система так сложна, что предсказание становится невозможным. В статистическом смысле число степеней свободы или факторов, влияющих на систему, является очень большим. Фрактальная размерность, которая описывает, как объект или временной ряд заполняет пространство, является произведением всех факторов, влияющих на систему [33]. Временные ряды являются случайными, когда они обусловлены большим числом равновероятных событий. Неслучайные ряды отражают неслучайную природу влияния на их поведение.
Сферы науки и техники, где в настоящее время используются или намечены к применению методы теории фракталов, достаточно разнообразны, например: фрактальное сжатие изображений [35] при передаче информации, анализ ФВР в экономике при наличии самоподобных рядов [11,33,56], самоподобные процессы при трафике [65-67]. Еще одно из применений фракталов - это машинная графика [7]. С помощью фракталов можно создать (описать) поверхности очень сложной формы [36], и, изменяя всего несколько коэффициентов в уравнении, добиваться практически бесконечных вариантов исходного изображения. Фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Таким образом, можно сделать вывод о том, что в вопросах анализа ФВР имеющиеся источники достаточно полно отражают сложившееся положение дел [3,39]. Из новых задач, решение которых может продвинуть вперед состояние дел по анализу ФВР, следует указать на применение сингулярного разложения (использование главных компонентов) [8].
В решении проблемы прогнозирования временных рядов важную роль играет методология Бокса-Дженкинса [1,30], предложенная еще в 70-х гг. прошлого века. Эта методология основывалась на параметрической модели класса ARIMA(p,d,q) и сводилась к идентификации модели и оценке ее параметров. В работах, посвященных анализу временных рядов, первым шагом, как правило, является определение порядка интегрированности ряда, т.е. выборе значения параметра d процесса ARIMA(p,d,q). Обычно ограничиваются выбором между d = 0 и d = 1.
Пространственные фрактальные объекты
Приведем определение фрактала, данное Б.Мандельбротом[27]: фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Развитие фрактальной геометрии стало одним из самых полезных и прекрасных открытий в математике [33]. С помощью фракталов математики создали систему, которая описывает природные формы, используя небольшое количество терминов и правил. Большинство природных форм и временных рядов наилучшим образом описываются фракталами.
Евклидова базовая структура, состоящая из аксиом, теорем, доказательств, легла в основу плоской геометрии, которая широко используется и поныне. Евклид свел природу к чистым и симметричным объектам: точка, одномерная линия, двумерная плоскость, трехмерное тело. В реальности природа отвергает симметрию. Природные объекты огрубленных форм не являются разновидностями чистых евклидовых структур. Создание компьютерных изображений гор при помощи евклидовой геометрии представляет собой невообразимую задачу, которая требует множества строк программного кода и большого количества обращений к датчику случайных чисел. С помощью же фрактальной геометрии гора может быть создана на экране дисплея посредством всего лишь нескольких повторно применяемых правил.
Фрактальные формы обнаруживают пространственное самоподобие. Фрактальные временные ряды имеют статистическое самоподобие во времени. Они являются случайными фракталами и имеют больше общего с естественными объектами, чем чистые математические фракталы.
История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса — самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая.
Кривая Коха, предложенная в 1904 г. шведским математиком Хельге фон Кохом (1870 - 1924), является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берется единичный отрезок, делится на три равные части и средний интервал заменяется равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге операция повторяется для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д.
Построение триадной кривой Коха Предельная кривая и есть кривая Коха (рис.2.1). Кривая Коха примечательна тем, что нигде не имеет касательной, т.е. нигде не дифференцируема, хотя всюду непрерывна. Снежинка Коха (рис.2.2) является одной из самых популярных фрактальных геометрических фигур, что объясняется ее симметрией и изяществом. Для построения этой фигуры используются те же правила, что и для триаднои фигуры Коха, с той лишь разницей, что в качестве исходного элемента применяется равносторонний треугольник.
Рисунок 2.2 - Построение снежинки Коха Каждая из сторон треугольника разбивается на три равных отрезка, средний из которых удаляется, а вместо него достраивается угловой фрагмент с длиной стороны, равной 1/3 длины исходного отрезка. Далее та же операция проделывается со всеми новыми получившимися отрезками. В результате возникает симметричная, похожая на снежинку, бесконечно изломанная кривая, которая представляет собой самоподобное множество. Отличительной особенностью этой линии является то, что она, будучи замкнутой, тем не менее, нигде себя не пересекает, поскольку достраиваемые треугольники каждый раз достаточно малы и никогда не «сталкиваются» друг с другом.
После п итераций периметр снежинки становится в (4/3)п раз больше периметра исходного треугольника. При п - оо периметр снежинки является бесконечно большим, следовательно, длина перестает быть удобной величиной для количественной характеристики периметра. Необходимо ввести какую-то новую меру, которая позволила бы различать фракталы, порождаемые разными генераторами.
Для гладкой кривой ее приближенная длина Цг) определяется как произведение числа Л/ прямолинейных отрезков, умещающихся на кривой, на длину такого отрезка г, т.е. Цг)-N-r. При длине шага г-+ о величина Цг) стремится к конечному пределу: длине L рассматриваемой кривой. Иначе обстоит дело в случае фракталов. Произведение N г обращается в бесконечность, так как при г- оо учитываются все более мелкие извивы фрактала. Однако асимптотически это стремление к бесконечности происходит по некоторому четко определенному степенному закону от г. Иначе говоря, существует некоторый критический показатель 0Н Л такой, что произведение N-rD" остается конечным. При показателях меньших, чем DH , произведение расходится, т.е. обращается в бесконечность, а при показателях, больших DH , стремится к нулю.
Параметрические модели временных рядов
Многие данные в практических ситуациях искажены помехами, поэтому нет возможности не только раскрыть реальную структуру сигнала, но и сделать прогноз. Методология ARIMA, разработанная Боксом и Дженкинсом в конце 70-х гг. прошлого века [1], позволяет подобрать модель и сделать прогноз даже в таких неблагоприятных условиях. Общая модель ARIMA включает параметры авторегрессионной модели, модели скользящего среднего и, кроме того, показатель дифференцирования (разности), поэтому в общем виде модель записывается как ARIMA (р, d, q), где р, d и q порядки соответствующих моделей. Поскольку в основе предлагаемой далее модели для предсказания фрактальных временных рядов лежит модель ARIMA, рассмотрим вначале кратко главные особенности моделей этого класса.
Часто показатели, представленные ВР, имеют настолько сложную структуру, что моделирование таких рядов путем построения моделей тренда, сезонности и применения других традиционных подходов не приводит к удовлетворительным результатам. В последнее время большое внимание уделяется моделированию стационарных ВР. Наиболее распространенными моделями для стационарных ВР являются модели авторегрессии и скользящего среднего.
Модель авторегрессии Рассмотрим класс авторегрессионных моделей, которые сокращенно обозначаются AR(p) (autoregressive process) порядка р. Уравнение для этой модели можно записать в виде Х(=Ф,Х +Ф2Х1_2+... + ФрХ(_р+а1. (3.1)
Модель (3.1) называется процессом авторегрессии порядка р или сокращенно AR(p). Такое название объясняется тем, что линейная модель вида F = с1х1 +с2х2+... + сгхг +є, связывающая «зависимую» переменную F с множеством «независимых» переменных хь х2, . . ., хг плюс случайная ошибка є обычно называется моделью регрессии: говорят, что F регрессирует на хь х2, . . ., хг. В равенстве (3.1) переменная Xt регрессирует на свои предшествующие значения, поэтому модель называется авторегрессионной. Следовательно, авторегрессионный процесс можно охарактеризовать как модель, в которой текущее значение ряда в момент t выражается через конечное число прошлых значений (систематическая зависимость от прошлых значений) и величину возмущения at, которое не зависит от прошлого.
С помощью оператора сдвига B = Xt_JXt модель (3.1) можно записать в эквивалентной форме (1-Ф18-Ф2В2-...-ФрВр)у,=а,, которая после введения оператора авторегрессии Ф(В) принимает вид Ф(В)Х, =а,. (3.2)
Отметим, что процесс AR будет только тогда стабильным, если все параметры находятся в определенном диапазоне: например, в модели AR(1) единственный параметр должен находиться в интервале -1 Ф1 +1. В противном случае прошлые эффекты будут накапливаться, и значения последующих величин Xt устремятся к бесконечности, т.е. ряд не будет стационарным. Если в модели больше одного параметра, то должны быть определены подобные ограничения для всех параметров. Для выполнения условия стационарности все корни многочлена Ф(В) должны лежать вне единичного круга, т.е. все корни соответствующего характеристического уравнения должны быть по модулю больше единицы и различны [1,2]. Приведем основные соотношения для модели AR(p). Умножив левую и правую части (3.1) на Xt.k, получим xt_kxt = ФЛ-,Л + Ф2 ,-,Л-2+-+ФЛЛр
Взяв математическое ожидание от обеих частей последнего равенства, приходим к рекуррентному соотношению для автоковариаций (напомним, что Mat=MXt=0, M(Xt.kat)=0 при к 0 и М(Х&)=о а) Rk = ФА-1 +Ф2Я -2 +- + Wp. к О, RQ=Ф,R,+Ф2R2+... + ФpRp. Поделив все члены в (3.3) на DXt, находим, что автокорреляции удовлетворяют аналогичному соотношени рк=Ф,рк_, + Ф2рк_2+... + Фррк_р или Ф(В)рк=0, /с 0 , (3.4) а дисперсия процесса может быть записана в виде ОХ(=ст2а0-Ф,р,-...-Фррр)-\ Заметим, что уравнение для рк аналогично уравнению, которому удовлетворяет сам процесс Xt. Из этих уравнений следует, что все автокорреляции в модели AR(p) определяются первыми р автокорреляциями р-(рь- , РР)\ также ими определяются и параметры Ф=(Фі,...,Фр). Для того чтобы выразить Ф через р, с помощью уравнений (3.4) для к=1, . . . ,р составим линейную систему, которую запишем в матричном виде как
Моделирование фрактальных шумов
Раздел носит итоговый завершающий характер, в котором на основе проведенного ранее теоретического анализа приводятся результаты моделирования и эксперимента. Вначале рассматриваются вопросы моделирования рядов, обладающих свойством долговременной корреляционной зависимости (ДКЗ). В первую очередь, это относится к временным рядам, представляющим самоподобные фрактальные шумы, поэтому здесь уделяется внимание процессам моделирования и анализа полученных результатов. По виду автокорреляционной функции и спектральной плотности можно принять решение о том, что ряд имеет свойство ДКЗ, поэтому смоделированные ряды сопровождаются соответствующими рассчитанными оценками корреляции и спектра. Проводится сопоставление полученных временных рядов с другими рядами, в частности, с рядом логистического отображения, который при определенных значениях управляющего параметра приводит к хаосу. Далее описывается метод случайного срединного смещения, дается алгоритм его расчета, выполняется анализ полученного временного ряда с помощью автокорреляционной функции и спектральной плотности. Последующая часть раздела связана с анализом реальных временных рядов, относящихся к экономике. В качестве таких рядов выбрано изменение цен акций ведущих российских компаний.
В общем случае зависимость спектров мощности (квадраты амплитуд преобразования Фурье) от частоты характеризуется степенным законом вида f p. Среди шумов большой известностью пользуется белый шум со спектральным показателем /3 = 0. Иначе говоря, спектр белого шума не зависит от частоты. Подобно спектру белого света спектр белого шума является плоским только в некотором конечном диапазоне частот. Тем не менее, эти спектры позволяют моделировать бесчисленное множество процессов в широком диапазоне научных дисциплин.
Проинтегрировав белый шум один раз по времени, получаем коричневый шум (проекцию броуновского движения на одно пространственное измерение), который, как отмечалось выше, имеет спектр мощности, пропорциональный г2. Но белый и коричневый шумы далеко не исчерпывают все спектральные возможности: между ними располагается розовый шум со спектром г1, а за коричневым - черный, пропорциональный гр, где /3 2.
И розовый, и коричневый шумы распространены весьма широко. Розовые процессы возникают во многих физических ситуациях (фликкер-шум) и находят эстетические применения в музыке и других видах искусства. Черные спектры описывают развитие во времени многих катастрофических событий: разливы рек, различные аварийные ситуации, обвал рынка и др.
В качестве примера самоподобного процесса приведем результаты моделирования коричневого и розового шумов. Генерирование коричневого шума сводится к суммированию независимых случайных чисел и реализуется сравнительно легко посредством табличного расчета в Excel. На рис.4.1 приведена реализация процесса, определяющего коричневый шум, длиной 1000 точек.
На рис.4.2 приведены рассчитанные с помощью пакета Statistica 6.0 АКФ и СП, откуда по характеру изменений этих параметров следует вывод о том, что коричневый шум обладает свойством долговременной корреляционной связи.
Следует отметить следующий факт, который подчеркивается в [46]: несмотря на то, что модель генерирует ряд с некоторым свойством Р и мы обнаруживаем это свойство в анализируемых данных, совсем не очевиден вывод о том, что модель соответствует реальному механизму генерации данных. Рассматриваемая модель - один из кандидатов механизма генерации, но и другие модели могут также воспроизводить ряд, имеющий это свойство Р. Проблема становится еще более сложной, если учесть, что мы оперируем только оценками АКФ и СП.
Сравнительно простой метод генерирования розового шума состоит в том, чтобы сложить несколько релаксационных процессов со значениями времен релаксации г, образующими самоподобную прогрессию с коэффициентом подобия 10 (или еще меньше - для лучшей сходимости). Во втором разделе подробно описывался процесс, приводящий к розовому шуму.
