Содержание к диссертации
Введение
Г Л А В А I. ПОСТАНОВКА И АНАЛИЗ ЗАДАЧ РАЗМЕЩЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ ФИЗИЧЕСКОГО ПОЛЯ
1.1. Основная оптимизационная задача размещения источников и классификация размещений 16
1.2. Математическая модель основной оптимизационной задачи и анализ ее особенностей 22
1.3. Построение области допустимых решений 28
Г Л А В А 2. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ЗАДАЧ РАЗМЕЩЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ С НОСИТЕЛЯМИ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
2.1. Аппроксимация в задачах размещения источников физических полей 39
2.2. Оценка погрешности распределения поля при замене носителей источников 49
Г Л А В А 3. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ К ЗАДАЧАМ РАЗМЕЩЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
3.1. Общая схема решения задачи размещения источников 63
3.2. Условия перехода от задачи размещения источников физических полей к задаче размещения геометрических объектов 70
3.3. Переход к задаче размещения геометрических объектов на основе структурно-вариационного метода 79
Г Л А Б А 4. РЕШЕНИЕ ТЕСТОВЫХ И ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ РАЗМЕЩЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ .
4.1. Построение приближенных моделей носителей источников поля 91
4.2. Решение задач нерегулярного осесиммет-ричного размещения источников тепла
4.3. Размещение источников тепла в области с подвижной границей
4.4. Размещение источников сложной формы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 126
ЛИТЕРАТУРА 128
ПРИЛОЖЕНИЕ 140
- Основная оптимизационная задача размещения источников и классификация размещений
- Аппроксимация в задачах размещения источников физических полей
- Общая схема решения задачи размещения источников
- Построение приближенных моделей носителей источников поля
Введение к работе
В "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на 1981 - 1985 гг. и на период до 1990 г." было указано на необходимость сосредоточить усилия на дальнейшее развитие комплексной автоматизации проектно-конструкторских работ с применением современных электронных вычислительных машин. В различных областях науки и техники, таких как энергетика,строительство, электроника и других, проблема автоматизации проектирования выдвигает задачи не только более точного изучения протекания физических процессов в технических системах, но и ставит ряд новых задач в области оптимизации структуры полей и элементов конструкций. Особый практический интерес представляют вопросы рационального размещения источников физических полей с носителями сложной формы с учетом требуемых геометрических и физических ограничений. Подобные задачи оптимизации являются естественным расширением задач размещения источников простой формы с точки зрения их места в общей постановке задач проектирования конструкций. Следует отметить, что,хотя решения подобных задач не всегда служат основой реального проекта, они,тем не менее,являются необходимым источником информации и о предельных возможностях конструкцией о состоянии элементов конструкций в зависимости от конкретных факторов.
Моделями ряда реальных конструктивных элементов, например, в радиоэлектронной аппаратуре, могут служить платы внутри блока, элементы на каждой плате и т.д. При этом каждая комбинация их размещения влечет за собой анализ температурного поля блока. В связи с этим возникает необходимость обосновать размещение пассивных и активных элементов с учетом теплообмена между ними и ограничений на значения поля в заданной системе точек.
Примерами других моделей могут служить тонкостенные конструкции, испытывающие воздействие определенных натр ужений, распределенных в некоторых областях произвольной формы, и другие.
Настоящее исследование вызвано потребностью практики в автоматизации проектирования ряда технических систем, общим при создании которых является разработка методов формализации и алгоритмизации задач размещения дискретных стационарных источников физических полей произвольной формы с учетом: а) вида краевой задачи, описывающей поле; б) геометрической формы области, в которой осуществляет ся размещение; в) геометрической формы носителей источников и их энерге тических характеристик; г) ограничений, наложенных на качественные и количествен ные характеристики поля, а также на местоположение источников в области размещения.
Для решения задач рационального размещения источников необходимо иметь, с одной стороны, метод расчета физического поля от нескольких источников, а с другой - метод формализации и алгоритмы решения задач размещения геометрических объектов.
Теоретическим исследованиям, вопросам развития и обоснования методов и алгоритмов размещения геометрических объектов сложной формы посвящены работы Л.В.Канторовича, В.А.Залгалле-ра, В.Л. Рвачева, Ю.Г. Стояна, Н.И. Гиля [l-4j и других авторов [5,6J .
В работах [з ,4j для формализации и решения соответст- вующих задач использовался специально разработанный метод функции плотного размещения и ее годограф. Данный подход сов-местно с методами последовательно-одиночного размещения [3,4] и сужающихся окрестностей {6,7J позволили организовать итерационный процесс поиска рационального значения функции цели в соответствующих задачах размещения геометрических объектов.
Основные методы расчета физических полей тел с внутренними дискретными источниками приведены в работах [8 - 24] .
Дадим анализ работ, в которых рассматривались вопросы размещения источников физических полей, и наиболее близких по характеру исследований.
Задачи размещения источников физических полей могут быть сведены к задачам управления системами с распределенными параметрами [25] . В ряде работ [26-28 J рассматриваются вопросы управления системами с распределенными параметрами путем рационального выбора параметров подвижного воздействия (источника). Вопросам управления непрерывной функцией распределения источников физического поля посвящены работы [29,30J . Основные способы и особенности регулирования параметрических полей рассмотрены в работах [зі-ЗЗ J . Разработанные методы решения задач оптимизации распределенных систем широко использовались в ряде работ [34-44J . Характерной чертой рассматриваемых в диссертационной работе задач является то, что функция распределения источников является финитной, области ее носителей имеют сложную конфигурацию.
Задачам рационального размещения элементов радиоэлектронных устройств с учетом тепловой совместимости посвящены работы [і5-І7, 22, 45-53] . Например, в работе [22 ] исследуются вопросы анализа теплового поля, создаваемого дискретными ис- точниками, и разработка рекомендаций для размещения ближайшего источника. Автор работы [54 ] предлагает алгоритмы размещения тепловых источников по тепловому показателю качества проектируемого устройства. Алгоритмы основаны на использовании тепловых коэффициентов, учитывающих взаимовлияние источников.
Вопросы математической постановки некоторых оптимизационных задач размещения источников физических полей определенной геометрической формы с учетом ограничений на их местоположение и результирующее поле рассматривались, например, в работах [55-66 ] .
Учет функциональных связей и форма размещаемых объектов для определенного класса задач рассматриваются в работе [б7] , где решается задача размещения сосредоточенных масс в заданной области с целью минимизации отклонения центра тяжести системы от заданной точки.
Вопросы размещения источников различной физической природы исследовались во многих работах [б8-71J . Так, вопросу рационального размещения источников электромагнитного поля внутри экранирующей оболочки с учетом ограничений на значения магнитной напряженности посвящена работа СМ. Аполлонского [72 ] , где приведен численный пример решения задачи размещения (выделения множества точек возможного местоположения) источника электромагнитного поля таким образом, чтобы результирующая магнитная напряженность поля в заданной системе точек не превысила наперед заданной величины магнитной напряженности.
Методы ж алгоритмы рационального размещения деталей изоляционных конструкций сложной геометрической формы, находящихся под воздействием электрического поля, содержатся в работе [73J, где для расчета электрического поля в межобмоточном изоляцион- ном промежутке высоковольтного трансформатора использовался конечно-разностный метод, который позволил повысить точность решения соответствующей краевой задачи.
Вопросом математической постановки и методам решения задач рационального размещения статических нагрузок, действующих на прямоугольную пластину, посвящены работы [74-76 J . В них показано, что задачи размещения заданного числа разнотипных нагрузок, с целью минимизации максимального прогиба пластины, приводят к нелинейным задачам математического программирования. Метод основан на идее минимизации функции цели по группам переменных [77 J. Рациональному размещению нагрузок на тонких плитах по критерию основной частоты посвящены работы [78-80 ] .
Математическая постановка и общая схема решения некоторых задач рационального размещения тел в задачах теплообмена излучением приведены в работе [81 ] , где процесс теплообмена описывается системой интегральных уравнений относительно плотностей эффективных потоков излучения.
Создание математического обеспечения (комплекса программ) 82 J и разработка устройств для решения и моделирования физических процессов [83-85] имеет важное значение для решения задач размещения источников с носителями простой формы.
В вышеперечисленных работах отмечено, что картина физического поля зависит от многих факторов: взаимного пространственного расположения источников, их интенсивности и общего числа, характеристик области, в которой происходит размещение. Показано также, что численный расчет суммарного поля усложняется, а соответственно увеличивается время решения задачи размещения, если носители источников имеют сложную геометрическую форму. Поэтому считается целесообразным схематизировать типы источников, а для этого принять ряд упрощающих предпосылок по геометрической форме носителей источников. В настоящее время наибольшее распространение получила схематизация процессов теплообмена, предложенная Г.Н.Дульневым [вб] . Сущность этого эмпирического метода состоит в том, что источник сложной формы представляется в виде тела с изотермической поверхностью (нагретой зоны), для которого и проводится расчет теплового режима. С помощью этого метода определяют среднеповерхнос тнуто температуру нагретой зоны. Организовать же автоматический поиск такой нагретой зоны представляет собой сложную самостоятельную задачу. Кроме того, для перехода от реального источника к нагретой зоне требуется проводить анализ погрешности для каждого рассматриваемого класса источников [87-88J . Однако вопрос аналитического представления погрешности не исследовался, кроме учета погрешности в случае замены пространственных неоднородных воздействий в граничных условиях осреднениями [89 J . JB данной работе предлагается упростить задачу расчета физического поля от нескольких источников сложной формы путем замены носителей источников областями сравнительно простой формы с учетом анализа погрешности распределения поля. При этом простая форма носителей определяется тем, что для расчета поля с новой системой источников существуют или аналитические, или более быстродействующие приближенные методы решения.
Кроме того, в данной работе рассматривается вопрос перехода от задач размещения источников физических полей к задачам размещения геометрических объектов. Это связано с тем, что какой бы метод расчета физического поля не использовался, трудно рассчишвать на анализ большого числа вариантов размещения источников из-за больших затрат машинного времени на получение каждого варианта размещения источников. В ряде случаев задачи размещения источников физических полей возможно свести к задачам размещения геометрических объектов без учета ограничений на поле. Так, если минимальное допустимое значение температурного поля в контрольных точках области превышает максимум распределения поля при плотном размещении источников, то такие источники можно размещать как геометрические объекты [90] . Но это ограничение является очень жестким и выполняется для небольшого числа задач. Однако число задач размещения источников формализованных как задачи размещения геометрических объектов можно значительно увеличить, если найти способ замены реальных источников новыми, в определенном смысле близкими к исходным, но уже с другими интенсивноетями и другими размерами, но для которых выполняется это ограничение. Выводу условий, обеспечивающих такой переход, посвящены некоторые материалы данной работы.
Итак, целью предлагаемого диссертационного исследования является разработка методов, построение и численная реализация алгоритмов оптимизации нерегулярно расположенных источников с носителями сложной конфигурации в некоторой области произвольной формы, с учетом выполнения определенных требований к окончательному проекту.
В первой главе осуществлена общая постановка рассматриваемых в работе задач. Приведена классификация по типам размещения источников, по виду источников и областей, в которых осуществляется их размещение. Выделен класс носителей источ- - II - ников поля, с помощью которого характеризуется геометрическая форма реальных источников. Формализуется задача, математическая постановка которой приводит к задаче нелинейного математического программирования. Осуществлен подробный анализ особенностей рассматриваемых задач и отмечены наиболее существенные, что позволило сделать вывод о необходимости разработки специального подхода для их решения. С помощью аппарата ф - функций и формализации физических ограничений в зависимости от параметров размещения источников,построена область допустимых решений.
Во второй главе проводится анализ способов построения приближенных моделей задач размещения источников с носителями сложной формы. В связи с этим предварительно рассмотрены некоторые подходы к аппроксимации геометрической формы носителей источников. Для линейных стационарных задач с независящими от координат теплопроводностью и коэффициентом теплоотдачи сделан расчет погрешности распределения поля при замене источников сложной формы на простые. Полученные результаты дают количественные оценки погрешности, что позволило с заданной точностью выбирать приближенную модель задачи размещения источников с носителями сложной формы.
В третьей главе приведена общая схема решения задачи размещения источников физических полей. Рассмотрены различные подходы к определению приближения к .локальному экстремуму для данного класса задач. Показано, что время поиска этого приближения на много меньше, если задача размещения источников формализуется как задача размещения геометрических объектов. Получены условия, позволяющие осуществить такую формализацию.
В четвертой главе предложенные методы и алгоритмы исполь- зованы для решения практических, тестовых и модельных задач размещения источников физических полей. Решается задача определения максимального числа источников, которые могут находиться в приборе герметичного исполнения, с учетом требуемых геометрических и температурных ограничений. Автоматизируется поиск габаритов прибора для заданного набора тепловыделяющих элементов. На тестовых примерах показана эффективность предложенных методов замены источников сложной формы на простые с одновременным поиском размеров последних. Приведены временные характеристики расчета температурного поля пластины с источниками сложной формы и расчета температурного поля с новой системой источников простой формы.
Приводятся результаты решения задачи минимизации максимального значения поля, порождаемого окружающей средой и набором источников с носителями сложной формы,путем их размещения на пластине конечных размеров.
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем: - разработан подход к задаче оптимизации размещения ис точников с носителями сложной формы; - построены математические модели задач размещения источ ников, описывающие с различной степенью детализации носители источников; -оценена погрешность температурного поля, порождаемая заменой источников сложной формы источниками с простой формой носителей; - получены условия возможности сведения задач размещения источников с учетом ограничений на их местоположение и тем пературное поле к решению задач с учетом ограничений только - ІЗ - на местоположение источников.
Практическая ценность работы заключается в реализации нового подхода к решению задач размещения источников с носителями сложной формы, что в конкретных ситуациях позволяет более обосновано , подойти к проектированию ряда технических систем, подвергнутых воздействию этих источников.
Диссертационная работа является продолжением исследований, проводимых в Харьковском ордена Трудового Красного Знамени институте радиоэлектроники и Институте проблем машиностроения ДО УССР под руководством профессора Ю.Г. Стояна в области разработки методов и алгоритмов решения задач геометрического проектирования и выполнена в соответствии с индивидуальным планом аспирантской подготовки с отрывом от производства и планами научно-исследовательских работ; - "Разработка комплекса программ математического обеспе чения автоматизированной системы проектирования радиоэлектрон ной аппаратуры" (J& IP 80000478); - "Система автоматизированного проектирования плат с неод нотипными элементами под комбинированный монтаж" ( Ш IP 0I8290I0753); - "Разработка математического обеспечения для проектирова ния двухслойных печатных плат" (Jfc IP 0I840062I75); - договором о научно-техническом сотрудничестве с Инсти тутом проблем машиностроения Ж УССР.
Разработанные в диссертации методы и алгоритмы внедрены в практику автоматизированной подготовки производства. Итоги внедрения результатов работы отражены в соответствующих документах. Полученный экономический эффект составляет 53 тыс.руб.
Апробация работы. Основные результаты и выводы диссерта- пин докладывались и обсуждались на семинаре "Математические методы геометрического проектирования" при Научном совете по комплексной проблеме "Кибернетика" АН УССР (1980,1983,1984 гг.), на Общемосковском семинаре "Проблемы управления распределенными системами с подвижным воздействием" (1984 г.), на научно-технической конференции Института проблем машиностроения АН УССР (1980 г.), на Ш Республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" (1982 г.), на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Харьковского института радиоэлектроники (1979, 1980, 1983 гг.).
Основные положения работы, выносимые на защиту.
Показано, что математической моделью оптимизационной задачи размещения источников является задача нелинейного математического программирования.
Разработан новый подход к проблеме оптимизации размещения источников с носителями сложной формы, заключающийся в замене носителей источников сложной формы на простые:
Построены математические модели задач размещения источников, описывающие с различной степенью детализации носители источников.
Приведены исследования приближенных методов анализа распределения физических полей от источников сложной формы.
Приводится анализ погрешности температурного поля, вносимый заменой источников сложной формы источниками с простой формой носителей.
Получены условия, при выполнении которых задачи размещения источников с учетом ограничений на их местоположение и температурное поле сводятся к решению задач с учетом ограниче- ний только на местоположение источников.
Предложена общая схема решения задач размещения источников физического поля сложной формы.
Проведено численное исследование предложенных алгоритмов на тестовых и практических задачах.
Отмечены возможности применения разработанных методов для решения задач размещения источников с носителями сложной формы различной физической природы.
Основной материал диссертации опубликован в работах [91 - 95] .
Основная оптимизационная задача размещения источников и классификация размещений
На этапе проектирования (синтеза) технических устройств возникают задачи оптимизации физических процессов в заданной области (как ограниченной, так и неограниченной) путем рационального выбора характера распределения источников, порождающих соответствующие физические процессы (поля).
Физические поля, порождаемые источниками и окружающей средой, классифицируют по целому ряду признаков. В частное ти, поля делятся на скалярные, векторные и тензорные. Кроме того, поля могут быть одномерными и многомерными, однородными и неоднородными, непрерывными и разрывными, стационарными и нестационар- . шми и т.п. На практике особенно часто встречаются поля, описываемые краевыми задачами математической физики. В работе рассматриваются двумерные, стационарные, однородные, скалярные поля. С учетом этих допущений основная оптимизационная задача формулируется следующим образом.
Основная задача. Необходимо в заданной области разместить источники, в общем случае различные по геометрическим и энергетическим характеристикам, так, чтобы удовлетворить наперед заданным условиям и сообщить некоторой функции цели экстремальное значение.
Задачи размещения источников физических полей (или физических объектов) являются обобщением задач размещения геометрических объектов [3,4] и обладают рядом специфических особенностей, выделяющих их в отдельный класс оптимизационных задач. Для этих задач, как и для задач размещения геометрических объектов, характерно наличие области, в которой необходимо по условию основной задачи осуществить размещение. Обычно область размещения определяет пределы изменения параметров, описывающих положение источников. На характер физического поля и местоположение источников накладываются дополнительные требования, обусловленные назначением проектируемой конструкции, технологией изготовления и т.д. Ими могут быть ограничения, представляющие собой:
- условия, наложенные на характер поля, порождаемого системой источников (это могут быть ограничения на само поле или его дифференциальные характеристики в некоторых заданных точках области);
- условия, наложенные на взаимное расположение источников, которыми могут быть ограничения на кратчайшее или наибольшее расстояние между ними;
- условия, наложенные на местоположение источников в области.
Аппроксимация в задачах размещения источников физических полей
Необходимо в областиОсй осуществить размещение источников поля U{_ , имеющих носители сложной геометрической формы так, чтобы удовлетворить наперед заданным ограничениям. Осуществим формализацию поставленной задачи.
Пусть физическое поле описывается дифференциальным уравнением (1.2) с набором граничных условий (1.3). Введем вектор , определяющий местоположение источников в области где И\ - параметры размещения 1-го источника, соответствующие координатам его полюса. Представим ограничения на физическое поле в системе точек(Хі,Ц\)(і = \,р ) следующим образом
На местоположение источников наложим условия (1.5) - (1.7). Совокупность геометрических ограничений (1.5)-(1.7) образует множество % векторов 2. ,
Таким образом, задача размещения источников сводится к поиску вектора %0 из области W , которая определяется системой неравенств (1.5)-(1.7), (2.1).
Поиск вектора %Q осуществляется на основе решения соответствующих задач математической физики, поскольку результирующее поле системы источников зависит от местоположения каждого из источников. А так как задача (1.2)-(1.3) имеет сложную структуру, которая в значительной степени обусловлена формой источников,, то не приходиться рассчитывать на анализ большого числа вариантов размещения. Выход из указанных затруднений связан с разработкой приближенных методов расчета физического поля. Для этого упростим задачу расчета полей от нескольких источников сложной формы путем замены их на другие источники с простыми геометрическими характеристиками.
Общая схема решения задачи размещения источников
В силу конечности множества U вычислительный процесс закончится за конечное число итераций. Отметим, что алгоритм следует рассматривать шире, нежели как подход к получению какой-либо локальной минимали. Цель его состоит в нахождении по возможности меньшего допустимого значения функционала 36 С X). С этой точки зрения необходимо подходить к определению началь-ного приближения, к правилу формирования окрестности V ( %-ь ), к заданию числа вычисляемых значений функции цели в узлах сетки из окрестности V ( ), к выбору критерия останова.
В качестве начального приближения можно выбрать либо произвольную точку JL . JL , либо некоторую точку 2 є W і полученную при решении задачи (8) другим приближенным методом. Подход, позволяющий найти допустимое решение задачи (8) с учетом геометрических и физических ограничений, предложен и описан в следующем параграфе.
Важный вопрос связан с правилом формирования окрестности точки ; . Следует ожидать, что чем больше мощность окрест-ности V (. ) (Д= 1,m ) f относительно которой определен локальный минимум функционала 36 » тем вероятнее значение этого функционала. Однако, с другой стороны, вычисление всех значений 36 относительно окрестности большой мощности сопряжено с высокими временными затратами. Поэтому выбор окрестности V(-L ) С l=i,nx ) определяется прежде всего временем, выделенным на решение задачи, и связан с количеством вычисляемых значений 96 .
Построение приближенных моделей носителей источников поля
Исследование температурных режимов различных технических систем часто приводит к необходимости анализа температурного поля пластин с дискретными источниками энергии. Примерами таких конструктивных элементов, выполненных в виде пластин, являются: платы с элементами полупроводниковых преобразователей на общем теплоотводе; отдельное ребро радиатора; шасси, на котором проводится монтаж деталей, и.т.д. Пусть имеется прямоугольная сложной формы. Будем предполагать, что непрерывное рассеяние тепловой энергии со всех поверхностей источников в окружающую среду происходит за счет конвекции и излучения, а градиент температуры по толщине пластины не изменяется в силу малой толщины по сравнению с другими ее размерами. Характерный размер пластины L , ее толщина d , коэффициент теплопроводности А , сумма полных коэффициентов d с поверхностей пластины и источников такова, чтоВу- -Ц-= О, где DI - критерий Био, а тепловые потоки, рассеиваемые с поверхностей источников, равны, т.е. Гц = г ... г = г.
При данных предположениях расчет температурного поля в пластине сводится к решению следующей краевой задачи [ 10 где - площадь области LJ:(l-1,rrO. Пусть для каждой области У известен характерный размер OL-L - наибольшее расстояние между двумя точками области U-L . Необходимо заменить источники с носителями сложной конфигурации на источники прямоугольной формы таким образом, чтобы значения температурного поля пластины с источниками простой формы были не меньше значений температурного поля, создаваемого источниками сложной формы в некоторых контрольных точках. Условимся, что для каждого прямоугольного носителя одна из сторон известна и равна &і , т.е.ОлвСЦ(Ь 4,ГгО. Найдем вторые стороны носителей прямоугольной формы.
