Содержание к диссертации
Введение
1 Математические модели течений, постановки краевых задач и вспомогательные результаты 22
1.1 Крыловой профиль в стационарном потоке жидкости или газа 23
1.1.1 Модель идеальной несжимаемой жидкости. Постановки краевых задач 23
1.1.2 Дозвуковое течение газа. Модель Чаплыгина 35
1.1.3 Безотрывное обтекание профиля вязким потоком 42
1.2 Основные обратная и вариационная обратная краевые задачи аэрогидродинамики 46
1.2.1 Основная ОКЗА: условия разрешимости и квазирешения 46
1.2.2 Основная вариационная ОКЗА: оптимизируемые функционалы и множество допустимых решений 63
2 Не пустота множества корректности и квазирешения с ограничением максимума скорости 80
2.1 Об однозначной разрешимости оптимизационных задач 80
2.1.1 Постановка оптимизационных задач 80
2.1.2 Конечномерная аппроксимация 83
2.2 Непустота множества допустимых функций 85
2.2.1 Решение эквивалентной задачи 85
2.2.2 Итерационные алгоритмы 86
2.2.3 Анализ результатов вычислительных экспериментов 88
2.3 Вариационные методы в задаче о квазирешениях 95
2.3.1 Функции Лагранжа и двойственные задачи 95
2.4 Итерационные алгоритмы 97
2.5 Примеры построения квазирешений 103
3. Численно-аналитические методы решения вариационных ОКЗА 117
3.1 Основная вариационная ОКЗА 117
3.1.1 Эквивалентная задача 117
3.1.2 Конечномерная аппроксимация и функция Лагранжа119
3.2 Численная оптимизация 121
3.2.1 Итерационные алгоритмы 121
3.2.2 Анализ результатов вычислительных экспериментов 123
3.3 Максимизация аэродинамического качества 128
3.3.1 Свойства оптимизируемого функционала. Точные оценки 128
3.3.2 Крыловые профили с повышенным аэродинамическим качеством 133
Литература 139
- Крыловой профиль в стационарном потоке жидкости или газа
- Об однозначной разрешимости оптимизационных задач
- Основная вариационная ОКЗА
Введение к работе
Основным объектом исследований в настоящей диссертации являются вариационные обратные краевые задачи аэрогидродинамики (ОКЗА) — в работе развиты и практически реализованы численно-аналитические методы решения трех классов названных задач.
Первый класс составляют задачи построения квазирешений ОКЗА, учитывающих ряд физических ограничений. Последние не только связаны с обеспечением соответствия решения обратной задачи выбранной математической модели течения жидкости и газа {замкнутость контура искомого крылового профиля, совпадение получаемой величины скорости потока на бесконечности с заданным значением), но и учитывают такие свойства течения, как ограниченность максимальной величины скорости на контуре заданным значением и отсутствие отрыва потока.
Второй класс задач — это основная вариационная ОКЗА, решаемая в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ) или модели Чаплыгина дозвукового адиабатического течения газа. В этих задачах речь идет о нахождении формы крыловых профилей, обеспечивающей максимальное значение коэффициента подъемной силы при дополнительных ограничениях (в частности, при ограничении максимального значения скорости заданной величиной).
Третий класс задач — это вариационные ОКЗА, связанные с максимизацией аэродинамического качества и решаемые в приближении теории пограничного слоя и в предположении безотрывности обтекания.
Все три названных класса задач являются подмножествами класса вариационных обратных краевых задач (ОКЗ).
Как известно (например, [17]), прямыми называют краевые задачи, в которых требуется найти функцию или систему функций, удовлетворяющих в заданной области некоторому дифференциальному уравнению
в частных производных или системе таких уравнений, а на границе области — заданным условиям. В отличие от прямых задач в обратных краевых задачах (ОКЗ) граница области (или отдельные ее участки) и функция (решение дифференциального уравнения) отыскиваются по двум краевым условиям на искомой границе. Поэтому ОКЗ составляют часть обширного класса краевых задач с неизвестными границами.
Следуя [28], [29] (см. также [33]), используем термин "вариационные обратные краевые задачи" для обозначения такого класса двумерных (плоских) краевых задач с неизвестными границами, в которых искомыми являются как решение дифференциального уравнения в частных производных, так и сама область его определения, причем последняя обладает некоторым экстремальным свойством, а на ее границе задается одно краевое условие (как в прямых задачах). Экстремальное свойство искомой области выражается в виде требования максимизации (минимизации) заданного функционала (обычно при дополнительных ограничениях), причем этот функционал выражает некое экстремальное свойство как искомой области, так и искомой функции. При этом сама граница (или только некоторая ее часть) остается искомым элементом решения. Поэтому такие задачи примыкают, с одной стороны, к краевым задачам с неизвестными границами. С другой стороны, по самой своей постановке названные задачи относятся как к задачам оптимального проектирования (например, [108], [116]), так и к задачам оптимизации систем с распределенными параметрами (см. [74]). Исследования вариационных ОКЗ (в том числе и вариационных ОКЗА), проведенные в [1], [2], [7] -[10], [28], [29], [39], [40], [42] - [47], [91] - [93] (см. также [33], [95], [34]), показали, что применение методов теории ОКЗ [12], [82] позволяет свести их к задачам классического вариационного исчисления. При этом наличие или отсутствие дополнительных ограничений существенно влияет на картину разрешимости задач. Естественным источником вариационных
ОКЗ являются теории, связанные с моделированием природных явлений (например, течений жидкости или газа). Одной из них является классическая аэрогидродинамика, а получающиеся при этом вариационные ОКЗА в смысле практических приложений имеют прямое отношение к проблемам оптимального проектирования инженерных объектов.
Основные заслуги в создании теории ОКЗ как раздела математического анализа и математической физики принадлежат известным казанским математикам и механикам Г. Г. Тумашеву, М. Т. Нужину, Ф. Д. Гахову, С. Н. Андрианову, а также Л. А. Аксентьеву, В. Н. Монахову, Р. Б. Са-лимову и М. И. Хайкину. Основные направления приложений методов этой теории в механике сплошных сред разработаны Г. Г. Тумашевым, М. Т. Нужиным, Н. Б. Ильинским, О. М. Киселевым, В. В. Клоковым, Р. Б. Салимовым и другими.
Исследования теоретического и прикладного характера по ОКЗ и история развития этой теории, охватывающая более семидесяти лет, отражены в ряде монографий и обзорных статей (см. [5], [6], [12], [17], [32], [33], [34], [50], [62], [65], [67], [71], [75], [82], [94], [95], [104], [111], [ИЗ], [115], [118], [119], [120]).
Обратные краевые задачи аэрогидродинамики, с одной стороны, послужили отправной точкой в создании общей теории обратных краевых задач (раздел которой они и составляют), и, с другой стороны, изучались самостоятельно в силу их специфичности и широких практических приложений. Отличительной особенностью ОКЗА, как и ОКЗ, является их конструктивный характер, так как речь идет не об изучении свойств известного объекта, а о создании инженерных аэродинамических объектов с заранее заданными свойствами. ОКЗА образуют широкий класс задач, для решения которых необходимы специальные подходы и изучению которых посвящены к настоящему времени сотни работ.
Первые постановки ОКЗА дали Вейниг [125], [126], Бетц [89] и Ман-
глер [115], а затем Г. Г. Тумашев (см. (80], [81]). Вскоре описания этих постановок вошли в монографии по аэродинамике Бетца [90] и Прандт-ля [117], ставшие сегодня классическими и широко известными. Одновременно Глауэртом, Эпплером, Лайтхиллом, Г. Ю. Степановым, а несколько позднее Вортманном, Либеком и другими (см. [96] - [103], [128], [129] и библиографию в [33], [75], [95], [104]) были начаты работы по практическому проектированию профилей и их решеток на основе решения ОК-ЗА. В этом направлении были достигнуты существенные результаты, на
і базе которых впоследствии развились методы проектирования ламинар-
ных профилей (работы Эпплера и Вортманна), гидропрофилей (статьи Эпплера и Шена), лопаток турбомашин (исследования Г. Ю. Степанова), высоконесущих профилей (работы Смита и Либека). Эти достижения продемонстрировали целый ряд преимуществ подхода при проектировании, базирующегося на решении обратной задачи, и поставили его в один ряд с классическими методами, основанными на решении прямой задачи. Основополагающие теоретические результаты по ОКЗА получили Вейниг, Бетц, Манглер, Л. А. Симонов, Г. Г. Тумашев, Лайтхилл, В. М. Шурыгин, Вудс, Г. Ю. Степанов, М. Т. Нужин, Эпплер, Ворт-манн, Либек и многие другие ученые. Среди отечественных исследователей значительное количество работ выполнено учеными ЦАГИ им. Н. Е. Жуковского и Казанского университета. Такие важные теоретические вопросы, как корректность постановок задач, описание возможных решений и другие, были исследованы с 1980-х годов, их результаты отражены в монографиях [33], [34], [95]. Анализ выполненных работ позволил выявить общие тенденции развития теории и приложений ОКЗА,
1 подробно изложенные в [32], [33], [95], [34].
Вариационные ОКЗА реализуют один из подходов к оптимизации аэродинамических форм и в двумерном случае заключаются в построении профилей, обладающих оптимизированными характернека-
ми (максимальным коэффициентом подъемной силой или аэродинамическим качеством, минимальным коэффициентом сопротивлением и др.). В случае течения ИНЖ или дозвукового течения газа они сводятся к вариационным ОКЗ для аналитических функций.
Названные выше исследования по ОКЗ и ОКЗА внесли существенный вклад в развитие теории плоско-параллельных течений жидкости (прежде всего, идеальной и несжимаемой) или газа (как правило, при дозвуковых скоростях).
і Теория плоско-параллельных течений идеальной несжимаемой жид-
кости — наиболее развитый раздел современной гидромеханики. Основополагающие результаты современной теории плоских задач гидромеханики идеальной жидкости изложены во многих учебниках и монографиях (см., например, [24], [25], [64], [72], [73], [106]). Большинство задач гидродинамики существенно нелинейно, и точное аналитическое решение является здесь скорее исключением, чем правилом. Поэтому важное значение имеют вопросы существования и единственности решения соответствующих краевых задач. При исследовании ОКЗ и ОКЗА в этом направлении достигнуты впечатляющие результаты благодаря применению методов теории функций и функционального анализа.
Многочисленные исследования по ОКЗ, выполненные за прошедшие годы (см. обзоры [С], [12] и монографию [82]), показали, что некоторые из ОКЗ некорректны по Адамару. Однако иногда условия разрешимости этих задач удается выразить в явном виде и при их выполнении обосновать существование единственного и устойчивого решения. Сказанное относится, прежде всего, к внешним ОКЗ в постановке М. Т. Нужина (ис-
* комая область содержит бесконечно-удаленную точку, причем значение
искомой функции в бесконечности задано заранее) и, соответственно, к ОКЗА, которые сводятся к названным выше внешним ОКЗ. Некорректность этих задач проявляется в том, что имеются условия разрешимости,
записываемые в явном виде (но не через исходные данные задачи), которые могут не выполняться. Следовательно, получаемое в аналитической форме единственное решение ОКЗ не попадает в множество допустимых решений. Поэтому для "спасения" задачи необходимо применить какой-либо метод регуляризации. Соответствующие подходы разработаны в хорошо развитой теории некорректных задач (см., например, [78]). Один из них связан с введением понятия квазирешения задачи и развитием методов построения квазирешений с обоснованием выполнения требований корректности.
Под квазирешениями некорректной задачи В. К. Иванов [48] предложил понимать всякие элементы множества U допустимых решений (множества корректности), реализующие расстояние от элемента, характеризующего решение и определенного по начальным данным задачи, до множества U. Вопрос о нахождении квазирешений ОКЗ поставили Л. А. Аксентьев и Л. Н. Журбенко [И]. Впервые определение квазирешения внешней ОКЗ, реализующее подход В. К. Иванова, дано в работе [27]. Там же доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости квазирешений. Названный подход был перенесен на ОКЗА в [30], [31], [94] и ряде последующих работ. Теория квазирешений ОКЗА подробно изложена в монографиях [33], [95]. Там же описаны случаи, когда квазирешения могут быть построены в аналитическом виде. Квазирешения, учитывающие ограничение на максимум скорости, исследованы в недавних работах [37], [38], [41]. Ряд новых результатов в этом направлении получен в настоящей диссертации. Для них характерно, что построить квазирешения в явном виде не удается, и поэтому необходимо было разработать ряд численно-аналитических методов построения квазирешений, реализовать их численно, провести вычислительные эксперименты и проанализировать полученные в них результаты.
Далее, в диссертации численно-аналитические методы построения
квазирешений ОКЗА обобщены на случай решения основной вариационной ОКЗА.
Среди множества возможных постановок вариационных ОКЗА в [29] выделена постановка (названная основной), которая содержит изопе-риметрическое условие (задание периметра контура профиля) и единственное дополнительное ограничение на значение скорости на контуре (maxu(s) < vmax). В рамках модели ИНЖ точное решение этой задачи при достаточно больших значениях vmax получено в [29], [45], [46]. Это решение дает экстремальное значение подъемной силы как максимизируемой характеристики и, следовательно, точную оценку подъемной силы при учете дополнительных ограничений.
Наряду с точными решениями вариационных ОКЗА, особенно в тех случаях, когда точное решение еще не найдено, важным является развитие численных методов решения названных задач. Отметим, что в этом направлении ранее был выполнен целый ряд исследований (см., например, [42], [43], [44], [47]), в том числе работы последнего времени (см. [39], [40], [53], [93]). Численные результаты по построению решений различных вариационных ОКЗА, полученные в настоящей диссертации, сравнивались с упомянутыми выше точными и численными решениями и, в частности, с данными диссертационной работы [53].
Кратко охарактеризуем содержание настоящей диссертации. Она состоит из введения, трех глав, содержащих 10 параграфов, заключения и списка литературы.
Крыловой профиль в стационарном потоке жидкости или газа
Пусть крыловой профиль (т. е. сечение крыла) — плоская область, ограниченная замкнутым контуром, — расположен в физической плоскости z = х + гу (рис. 1.1, а) и обтекается установившимся (стационарным) однородным потоком жидкости или газа. Обозначим через Gz область течения, содержащую бесконечно-удаленную точку, через Ьг — контур профиля, а через VQO — величину скорости потока на бесконечности. Без ограничения общности положим v — 1.
Будем считать, что контур Lz является спрямляемым (имеет периметр L — 2), замкнутым и гладким за исключением, быть может, единственной точки Б, которую называют задней кромкой. Считаем, что в этой точке задан внутренний к области течения угол, равный Є7Г, є 6 [1,2]. При є = 1 получим всюду гладкий контур. Выберем начало декартовой системы координат (х, у) так, чтобы ее начало совпадало с точкой В (z = 0), а ось абсцисс была параллельна вектору скорости набегающего потока.
Как известно, хордой профиля называется отрезок, соединяющий заднюю кромку В с наиболее удаленной от нее точкой С с координатами (хо, Уо)- Из этого определения видно, что в общем случае таких отрезков может быть несколько. Для физически реальных профилей хорда всегда определяется однозначно.
Обозначим через 6 длину хорды, а через а — угол атаки (по определению это угол между хордой профиля и направлением скорости .
Физическая модель обтекания крылового профиля: а) крыловой профиль в физической плоскости; Ь) типичный вид распределения скорости v(s) падающего потока, см. рис. 1.1, а). В силу приведенных определений имеемю
Часто крыловые профили располагают так, чтобы ось абсцисс была направлена вдоль их хорды. Обозначим через (х , у ) координаты в этой системе координат. С учетом (1.1) переход к ней осуществляется по формулею
Максимальная толщина профиля определяется как длина наибольшего отрезка, соединяющего две точки контура профиля и перпендикулярного хорде. Относительная максимальная толщина тах — это отношение максимальной толщины профиля к его хорде (как правило выражается в процентах).
В силу спрямляемости контура профиля можно определить его дуговую координату 5. Пусть она отсчитывается от значения s = 0 в точке В до значения s = L после полного обхода контура в этой же точке так, что при возрастании s вдоль Ьг область течения остается слева. В качестве масштаба длин выберем полупериметр контура L/2 = 1. Для физически реальных профилей полупериметр их контура незначительно отличается от длины b их хорды.
Об однозначной разрешимости оптимизационных задач
Определим в пространстве 2[0)27г] аффинное множество и выпуклое замкнутое множество Ki = {Р(7) Є 2[0,2тг] : Р(7) Я(7, /?) для почти всех 7 Є [0,2тг]}, (вид функции Я(7,/3) определен в (1.65)).
Напомним, что в простейшем случае (без учета ограничения на максимум скорости) квазирешение основной ОКЗА было определено в па раграфе 1.2 как решение задачи на минимум функционала на множестве KQ. Очевидно, что в силу строгой выпуклости и непрерывности функционала JQ(P) И непустоты множества KQ существование единственного решения этой задачи будет обеспечено, так как имеют место свойства выпуклости и замкнутости множества корректности. Вместе с тем набор ограничений (1.63), (1.64) — минимально возможный. Учтем дополнительно ограничение (1.65), имеющее физический смысл, указанный выше. Построение квазирешения в этом случае сводится к следующей задаче: найти функцию Р Є К = Kof]Ki, доставляющую минимум функционалу JQ{P).
Ясно, что К — выпуклое замкнутое множество, однако оно не пусто не при всех значениях входных параметров vmax\ В\, B i и /3. Ответ на вопрос о непустоте множества допустимых функций в этом случае дает следующее утверждение, доказанное в [41].
Если vm3X v + 5, 5 0, то найдутся такие постоянная rj г)($) О и функция Р$ Є KQ, что Ps(j) H(j,j3) — ц при почти всех (п. в.) 7Є[0,2ЇГ].
Замечание 2.1.1. Доказательство леммы 2.1.1, проведенное в Ці}, показывает, что величины В\ и 1 не влияют па существование v , потому что при любых значениях В\ и В% множество KQ, очевидно, не пусто. Вместе с тем, остается открытым вопрос, как зависит I величина v от значений В\, . fi и е.
Из леммы 2.1.1 и свойств функционала JQ(P) вытекает следующая теорема существования и единственности квазирешения, учитывающего ограничение на максимум скорости. Теорема 2.1.1. При vmax v задача (2.1) имеет единственное решение, а при итах г; она неразрешима.
Доказательство. Поскольку функционал JQ(P) строго выпуклый, непрерывный и коэрцитивный, а множество К выпуклое и замкнутое, однозначная разрешимость задачи (2.1) определяется непустотой множества К. Теперь доказываемое утверждение непосредственно следует из леммы 2.1.1.
Полученный в теореме 2.1.1 результат легко переносится на задачи минимизации других выпуклых функционалов на множестве К. Одним из них является функционал вида (1.58), фигурирующий в задаче А.
Как и в случае задачи о квазирешениях, принадлежность управляющей функции множеству Ко обеспечивает выполнение условий разрешимости задачи, а принадлежность множеству К\ — выполнение ограничения на максимум скорости.
Основная вариационная ОКЗА
Задачу минимизации функционала IQ(P) на множестве К удобно преобразовать к эквивалентной задаче относительно функции
Для множества KQ( \KI справедливы утверждения леммы 2.1.1, в частности, Kof)Ki ф% При Umax V И К0 (" = 0 при V1Ilax V . В СВОЮ очередь функционал IQ{P) преобразуется к виду.
Далее опускаем индекс 0 у функции Р. Определим па а[0,27г] функционал.
Из результатов [88] вытекает следующее утверждение, подробно обоснованное в [41].
Теорема 3.1.1. Функционал G\{P), определенный равенством (3.1), является собственным, выпуклым и полунепрерывным снизу.
Ясно, что на своей эффективной области D{Gi) = {РЄ L2[0,2TT] : Gi(P) со} функционал G\{P) строго выпуклый. Теперь для доказательства однозначной разрешимости задачи Р = argmin Gi{P) (3.2) остается доказать коэрцитивность функционала G\{P). Это доказательство представлено в [41].
Следствием описанных свойств функционала G\(P) и леммы 2.1.2 является
Теорема 3.1.2. При vmax v задача (3.2) имеет единственное решение Р , а при vmax v она неразрешима.
