Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ проблемы оптимизации размещения объектов в форме полимино 9
1.1. Актуальность задачи размещения сложных объектов 9
1.2. Анализ существующих методов и подходов к оптимизации пространственно распределенных структур 20
1.3. Цели и задачи исследования 27
Выводы по первой главе 28
Глава 2. Разработка модели и методов оптимизации прямоугольных структур из полимино 29
2.1. Разработка математической модели структур антенных решеток, составленных из подрешеток в форме полимино 29
2.2. Разработка метода оптимизации на основе оценки неравномерности структур 37
2.3. Разработка метода оптимизации на основе оценки самоподобия структур 48
Выводы по второй главе 58
Глава 3. Разработка алгоритма оптимизации на основе генетического алгоритма 59
3.1. Проблема применения генетического алгоритма 59
3.2. Разработка алгоритма «снежный ком» для оптимизации структур, составленных из полимино 79
3.3. Сравнение алгоритма Гви—Лима и алгоритма «снежный ком» по степени заполненности структур 96
3.4. Заполнение структур двумя типами полимино одновременно 102
3.5. Сравнение алгоритма Гви—Лима и алгоритма «снежный ком» по степени заполненности структур с двумя формами полимино 113
Выводы по третьей главе 116
Глава 4. Применение алгоритмов оптимизации структур из полимино в проектировании антенных решеток 118
4.1. Применение алгоритма Гви—Лима для оптимизации структур фазированных антенных решеток 119
4.2. Применение разработанного алгоритма «снежный ком» для оптимизации структур фазированных антенных решеток 124
4.3. Сравнение алгоритма Гви—Лима и алгоритма «снежный ком» по уровню боковых лепестков 129
4.4. Применение разработанного алгоритма и метода оптимизации для формирования двух лепестков в диаграмме направленности 136
Выводы по четвертой главе 150
Заключение 151
Литература 152
- Анализ существующих методов и подходов к оптимизации пространственно распределенных структур
- Разработка метода оптимизации на основе оценки самоподобия структур
- Сравнение алгоритма Гви—Лима и алгоритма «снежный ком» по степени заполненности структур с двумя формами полимино
- Применение разработанного алгоритма «снежный ком» для оптимизации структур фазированных антенных решеток
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Экономия ресурсов была и остается важной задачей при решении технических проблем и массовом производстве продукции. Это одинаково справедливо как для снижения материалоемкости, так и для экономии используемых компонентов при проектировании систем. В данном ключе такая задача часто сводится к задаче оптимального раскроя или оптимальной упаковки. Примерами являются оптимальное размещение грузов в контейнерах и на палубе судна, расположение форм деталей на листе металла для штампования, расстановка электронных компонентов на печатных платах и их соединение и другие. По комбинаторной сложности эти задачи относятся к классу NP-сложных. Кроме геометрических критериев, на эффективность того или иного решения задачи могут влиять различные технологические ограничения. В виду этого, наибольший интерес в решении таких задач вызывает применение эмпирических методов, таких как эволюционные алгоритмы, в частности, генетические.
В данной работе задача упаковки рассматривается на примере проектирования антенных решеток, составленных из подрешеток. Фазированная антенная решетка (ФАР) представляет собой большую планарную структуру из специальных элементов, объединенных в сложную техническую систему. С целью снижения числа компонентов ФАР ее элементы группируются в подрешетки с вынесением одного или нескольких компонентов на уровень подрешеток. Такая группировка вносит изменения в систему питания ФАР. С целью снижения уровня нежелательного бокового излучения было предложено использовать под-решетки неправильной формы.
Подрешетки требуется расставлять так, чтобы избегать возникновения периодичности в структуре. Каждая такая структура имеет свою уникальную диаграмму направленности (ДН) с подавленными боковыми лепестками. С точки зрения технологических особенностей производства ФАР, наиболее предпочтительным типом формы подрешеток является тип полимино. Ввиду очень большого числа возможных структур ФАР, которые можно получить с помощью заданной формы подрешеток, стоит задача отыскания структуры, оптимальной по некоторым критериям. Таким образом, оптимизация структур фазированных антенных решеток, составленных из подрешеток в форме полимино, является актуальной задачей.
Степень разработанности темы. Проблема оптимальной упаковки двумерных объектов представлена большим объемом научных исследований. В качестве наиболее известных можно назвать отечественных ученых В. А. За-лгаллера, Л. В. Канторовича, В. М. Картака, Э. А. Мухачеву, И. П. Норенкова, И. В. Романовского, В. Д. Фроловского, а также зарубежных ученых A. Bortfeldt, H. Dykhoff, G. Scheithauer.
Задача оптимального размещения подрешеток в фазированных антенных решетках решалась различными путями в работах таких отечественных и зару-
бежных ученых, как В. В. Денисенко, Ф. И. Емельченков, Ю. В. Кривошеев, С. П. Скобелев, А. А. Толкачев, А. В. Шишлов, С. А. Щелкунов, S. Gambadoro, R. Haupt, T. Isernia, A. Morabito, R. J. Mailloux, A. Massa, V. Pierro, S. Santarelli, R. Tang и других.
Объектом исследования является проблема оптимизации размещения сложных объектов, связанная с синтезом прямоугольных структур, составленных из полимино.
Предметом исследования является многокритериальная оптимизация заполнения прямоугольной области фигурами типа полимино, рассматриваемая на примере проектирования фазированных антенных решеток с учетом технических ограничений.
Целью работы является повышение эффективности функционирования фазированных антенных решеток, включающее подавление боковых лепестков, за счет оптимизации их структур, составленных из подрешеток в форме поли-мино.
Задачи исследования:
-
Разработать математическую модель структуры антенной решетки, составленной из подрешеток в форме полимино.
-
Разработать метод оптимизации размещения полимино на основе критерия оценки неупорядоченности структур из полимино.
-
Разработать алгоритм структурно-параметрического синтеза прямоугольных структур, составленных из полимино.
-
Разработать программное обеспечение на основе предложенного алгоритма для решения задачи оптимизации структуры антенных решеток.
-
Оценить эффективность предложенного алгоритма и полученных структур методом математического моделирования.
Методы исследования. Результаты работы получены с использованием основных положений системного анализа, теории случайных процессов, теории оптимизации, комбинаторики, численных методов, теории электрической связи, методов математического и компьютерного моделирования.
Результаты, выносимые на защиту:
-
Математическая модель структуры антенных решеток, разработанная на основе системного анализа технических особенностей излучающих структур и позволяющая описывать решетки, составленные из подрешеток в форме поли-мино.
-
Метод оптимизации размещения полимино, основанный на вычислении автокорреляционной функции развертки Гильберта и позволяющий оценивать степень неупорядоченности структур из полимино.
-
Алгоритм структурно-параметрического синтеза прямоугольных структур, составленных из полимино, основанный на эволюционном принципе и позволяющий эффективно заполнять структуры.
-
Программное обеспечение для решения задачи оптимизации структуры антенных решеток, основанное на предложенном алгоритме и позволяющее проектировать антенные решетки.
-
Результаты моделирования, показывающие эффективность предложенного алгоритма и структур антенных решеток, полученных с его помощью, позволяющие провести сравнительный анализ с достижениями в области.
Научная новизна полученных результатов:
-
Новизна предложенной математической модели структуры антенных решеток, основанной на матричном представлении ориентаций полимино, заключается в том, что она отличается учетом геометрических и электродинамических свойств и позволяет описывать структуры антенных решеток, составленных из подрешеток в форме полимино.
-
Новизна предложенного метода оптимизации, основанного на вычислении автокорреляционной функции, заключается в том, что он отличается применением рекурсивной развертки Гильберта и позволяет осуществлять многокритериальную оптимизацию с учетом оценки неупорядоченности структур из полимино.
-
Новизна предложенного алгоритма оптимизации планарных структур, основанного на эволюционном принципе, заключается в том, что он отличается способом расстановки полимино в структуре и позволяет повысить степень заполненности структур.
Теоретическая и практическая значимость полученных результатов выражается в двух составляющих. Во-первых, предложенный алгоритм оптимизации позволяет решать широкий круг практических задач, сводимых к расстановке полимино в прямоугольной области, с соответствующими критериями. Во-вторых, разработанное программное обеспечение позволяет проектировать антенные решетки, превосходящие по своим показателям существующие аналоги. Разработанный критерий оценки неупорядоченности структур не зависит от формы полимино и размеров структуры и, таким образом, может применяться для широкого класса задач от оптимальной упаковки до анализа изображений.
Достоверность полученных результатов основана на использовании апробированных научных положений, методов исследования, корректном применении математического аппарата, согласованности новых научных результатов с известными теоретическими положениями. Достоверность теоретических положений и выводов подтверждается результатами апробации разработанного алгоритма оптимизации структур антенных решеток и соответствием результатов имеющимся экспериментальным данным.
Апробация результатов. Основные результаты работы обсуждались на: XII, XIII и XIV Международных научно-технических конференциях «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций», Уфа, 2011, 2012 и 2013; XIII, XIV и XV Международных конференциях «Computer Science and Information Technologies», Гармиш-Партенкирхен, Германия, 2011, Гамбург, Германия, 2012
и Вена, Австрия, 2013; 7-й Всероссийской зимней школе-семинаре аспирантов и молодых ученых «Актуальные проблемы науки и техники», Уфа, 2012; Международной конференции «IEEE International Symposium On Antennas And Propagation», Чикаго, США, 2012; 19-м национальном совещании по электромагнетике RiNEM, Рим, Италия, 2012; 7-й Европейской конфереции «Antennas And Propagation», Гетеборг, Швеция, 2013.
Публикации. Результаты диссертационной работы отражены в 15 публикациях, в том числе в 3 статьях в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК, и в 10 публикациях в сборниках материалов международных и всероссийских конференций. Также по результатам работы получено 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и приложений. Содержит 166 стр. машинописного текста, из которых основной текст составляет 143 стр., 106 рисунков, библиографический список из 122 наименований.
Анализ существующих методов и подходов к оптимизации пространственно распределенных структур
В предыдущем параграфе была обоснована актуальность темы исследования. Теперь необходимо проанализировать имеющиеся достижения в науке. Анализ достижений в области будет производиться с двух сторон. С одной стороны будут рассмотрены алгоритмы и методы оптимизации двумерных структур, составленных из объектов неправильной формы. То есть будет проанализирована геометрическая или системная составляющая работы. С другой стороны, будет произведен анализ методов борьбы с боковыми лепестками в фазированных антенных решетках.
Существуют аналитические и эмпирические методы упаковки объектов в структуры. Например, Чинн и Гримальди в своей работе аналитически упаковывают полимино в прямоугольные области наименьшего размера, которыми потом покрывают структуру [41].
Выбор в пользу эмпирических методов делается по следующим причинам
1. Такой критерий оценки структуры ФАР, как уровень боковых лепестков, находится в сложной неявной зависимости от самой структуры и может быть вычислен только путем моделирования всей системы. Таким образом, задача оптимизации представляет собой отыскание глобального максимума в большом дискретном пространстве решений [42].
2. Число структур, которые можно получить путем заполнения большой прямоугольной области полимино, настолько велико, что не представляется возможным перебрать и смоделировать все варианты.
К эмпирическим методам относят оптимизацию, реализующую поиск решения в некоем сложном многомерном пространстве. Имеется целый ряд исследований по сравнению разных оптимизационных алгоритмов, таких как метод роя частиц с генетическим алгоритмом [43, 44], эволюционными алгоритмами [45, 46] и муравьиным алгоритмом [47]. Некоторые исследователи интересовались комбинированием метода роя частиц с такими генетическими механизмами, как размножение и отбор [48–50]. Было предложено много вариаций оригинального метода роя частиц. Например, параллельная оптимизация нескольких меньших роев [51–53], добавление отрицательной энтропии для перемешива ния частиц [54], распространение информации о находках внутри ограниченного числа ближайших соседей [55–58], варьирование объектов поиска во времени [59], применение метода роя частиц для управления мутацией в эволюционных методах [60], рассредотачивание сгруппировавшихся частиц для повышения разнообразия [61], применение нечеткой логики для корректировки параметров алгоритма [62]. Дэниел Борингер и Дуглас Вернер сравнивали метод роя частиц с генетическим алгоритмом [63] и показали, что последний обладает лучшими способностями к формированию диаграммы направленности. Имеются примеры использования генетического алгоритма в электромагнетике и проектировании антенн [64, 65].
Среди эмпирических методов выбор сделан в пользу генетического алгоритма (ГА) по следующим причинам:
1. Независимость алгоритма от области задачи. В данной работе задача представляет собой совокупность многих параметров, для которых необходимо найти оптимальные значения. 2. Дискретность природы задачи. Так как ФАР представляет собой регулярную решетку, и полимино располагаются в узлах этой решетки, имея строго обозначенные возможные ориентации, область поиска является дискретным пространством.
3. Непрерывность области значений целевой функции. В отличие от области поиска, критерии, описывающие потенциальные решения, являются величинами непрерывными. Данная концепция хорошо вписывается в природу генетических алгоритмов.
Теперь обратимся к вопросам борьбы с боковыми лепестками. Как уже говорилось, паразитные боковые лепестки возникают из-за накопления ошибки в фазовом сдвиге среди регулярно расположенных подрешеток. Подрешетки и элементы внутри них могут располагаться в узлах равномерной и неравномерной сеток. В первом случае говорят, что решетка эквидистантная, а во втором неэквидистантная. Форма подрешеток может быть прямоугольной или неправильной. Таким образом, подходы к разбиению антенной решетки на подрешет-ки могут быть разделены на четыре группы.
Первая группа представляет самый простой случай, когда прямоугольные подрешетки располагаются на равномерной сетке. Другими словами, ФАР разбивается на одинаковые прямоугольные группы из нескольких излучателей. Несмотря на то, что в данном случае поверхность антенной решетки заполнена максимально эффективно (рисунок 1.6), соответствующая диаграмма направленности характеризуется интерференционными максимумами ввиду периодичности структуры (рисунок 1.8) [66].
Разработка метода оптимизации на основе оценки самоподобия структур
Эксперименты с методом цветовой фильтрации показали, что рассчитываемое значение неравномерности почти никак не связано с моделируемым значением уровня боковых лепестков. Пришлось искать новый подход к поиску критерия оптимизации, способного заменить УБЛ.
Так как речь идет о неупорядоченности структур, имеет смысл применить понятие автокорреляции. Автокорреляционная функция выражает степень самоподобия функции при определенном сдвиге аргумента. Существует двумерное выражение автокорреляционной функции, однако его вычислительное время растет экспоненциально с ростом площади области определения двумерной
Неравномерность и уровень боковых лепестков структур одинакового размера, составленных из L-октомино функции (в нашем случае это площадь структуры). Поэтому было решено использовать одномерное выражение.
Для вычисления одномерной автокорреляционной функции от двумерной функции необходимо эту функцию превратить в одномерную. Другими словами, получить ее развертку [91]. Структура состоит из конечного числа дискретных элементов, поэтому развертка будет также дискретной и конечной. Существует несколько разных разверток. Самая простая — последовательная развертка, которая последовательно объединяет строки или столбцы структуры (рисунок 2.12). Однако применительно к данной задаче представляет особый интерес рекурсивная развертка Гильберта [92, 93].
Развертка Гильберта представляет собой непрерывную линию, проходящую через все элементы структуры [94]. В зависимости от размеров структуры требуется разное количество итераций (рисунок 2.13). При этом размер структуры, покрываемой разверткой, является степенью двойки.
Развертка Гильберта такой структуры вернет вектор s, состоящий из ориентаций полимино, которым принадлежат элементы. Автокорреляционная функция от функции f(t) в общем случае определена следующим выражением:
Следует уточнить операцию перемножения векторов. Во-первых, вектор составляется не из всех элементов структуры, а только из центров полимино, то есть в нем присутствуют только ориентации центров полимино. При этом длина вектора не сокращается, все остальные элементы приравниваются к -1. Во-вторых, нам важно найти не произведение номеров ориентаций, а количество их совпадений. Поэтому, перемножение заменено на условное пересечение. Подавление боковых лепестков обратно пропорционально самоподобию структуры. Поэтому, для того, чтобы сделать УБЛ и самоподобие прямо пропорциональными, ставится знак минус:
Анализ метода автокорреляции будет производиться по двум критериям. Во-первых, будет проанализирована зависимость уровня боковых лепестков от самоподобия структуры. Во-вторых, будет проанализирована стабильность самоподобия, то есть насколько сильно варьируется его значение для схожих структур.
На рисунке 2.16 показаны графики рассчитанного значения самоподобия по методу автокорреляции и уровня боковых лепестков, полученного путем численного моделирования для полосы rsim = 1,3. Эксперименты проводились для структур размером 32 32, составленных из полимино разных типов. Числовые данные представлены в таблице 2.7.
Сравнение алгоритма Гви—Лима и алгоритма «снежный ком» по степени заполненности структур с двумя формами полимино
В этом параграфе приводится сравнение работы алгоритмов Гви—Лима и снежного кома в работе с двумя формами полимино. Использовались следующие параметры:
- размер структуры: M = N = {20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60};
- число итераций: K = 50;
- размер популяции: P = 10;
- элитизм: включен;
- зерно ГПСЧ: s = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70}. Полученное значение степени заполненности структуры для каждого размера усреднялось по семи разным зернам ГПСЧ. Для каждого алгоритма использовались соответствующие откалиброванные параметры.
На рисунке 3.41 приведен график средней степени заполненности структур из полимино типа L-тромино и L-октомино. Для сравнения на графике также скопированы результаты, полученные заполнением полимино одной формы (рисунки 3.24 и3.25). Можно видеть, что структуры, заполненные одновременно L-тромино и L-октомино занимают промежуточное место по заполненности между структурами, заполненными этими полимино по отдельности. При этом АСК демонстрирует меньший разброс, чем АГЛ. Числовые данные приведены в таблице 3.26.
На рисунке 3.42 приведен график средней степени заполненности структур парами полимино типа L-октомино и L-тетромино. Числовые данные приведены в таблице 3.26. Заполненность структур, произведенных АСК, превосходит аналогичные от АЛГ на 7–9%.
В качестве заключительного анализа применения пар полимино приводится ряд экспериментов по заполнению квадратной области размером 32 32 элемента разными парами полимино. На рисунке 3.43 приведен график средней степени заполненности структур разными парами полимино. Числовые данные приведены в таблице 3.27.
Как видно из графика, оба алгоритма демонстрируют наилучшее заполнение при использовании пары L-тромино и L-октомино. В связи с этим далее в работе будет анализироваться только эта пара при рассмотрении синтеза антенных решеток из двух форм подрешеток.
Таким образом, было проведен сравнительный анализ результатов работы алгоритмов Гви—Лима и снежного кома с точки зрения заполненности получаемых структур при работе с двумя формами полимино одновременно. Сравнение показало, что алгоритм снежного кома заполняет структуры на 6–10% лучше, чем алгоритм Гви—Лима.
1. Описаны вопросы, встающие при применении генетического алгоритма, и указана последовательность их решения. Был подробно описан алгоритм Гви—Лима для заполнения прямоугольных структур формами типа полимино, включая принцип круговой расстановки и целевую функцию. Была произведена калибровка параметров и приведены примеры работы. Анализ примеров показал, что данный алгоритм не способен хорошо заполнять структуры из полимино, и что требуется разработать другой алгоритм, который решит эти проблемы.
2. Разработан алгоритм «снежный ком», отличающийся способом расстановки полимино в структуре, позволяющий лучше заполнять структуры формами полимино по сравнению с алгоритмом Гви—Лима. Параметры алгоритма были откалиброваны. Получены и приведены примеры работы алгоритма. Анализ примеров показал, что степень заполненности структур возросло до 98-100%.
3. Проведен сравнительный анализ результатов работы алгоритмов Гви-Ли-ма и снежного кома с точки зрения заполненности получаемых структур. Срав Рисунок 3.43 – Заполненность структуры 32 32 разными парами полимино нение показало, что алгоритм снежного кома заполняет структуры в среднем на 10% лучше, чем алгоритм Гви—Лима.
4. Описано заполнение структуры двумя формами полимино одновременно и соответствующие изменения в работе алгоритмов. Приведены примеры работы обоих алгоритмов с двумя формами. Применение двух форм позволило повысить степень заполненности структур у обоих алгоритмов.
5. Проведен сравнительный анализ результатов работы алгоритмов Гви—Ли-ма и снежного кома с точки зрения заполненности получаемых структур при работе с двумя формами полимино одновременно. Сравнение показало, что алгоритм снежного кома заполняет структуры на 6–10% лучше, чем алгоритм Гви—Лима.
Применение разработанного алгоритма «снежный ком» для оптимизации структур фазированных антенных решеток
В этом параграфе приведены примеры диаграмм направленности тех антенных решеток, структуры которых были получены разработанным алгоритмом снежного кома. Всего приведено четыре примера. Применялись те же параметры, что и в предыдущем параграфе.Таким образом, приведены примеры диаграмм направленности и характеристики антенных решеток, структуры которых были получены разработанным алгоритмом снежного кома. Анализ примеров говорит о том, что алгоритм снежного кома синтезирует структуры с большим подавлением боковых лепестков в диаграмме направленности.
4.3. Сравнение алгоритма Гви—Лима и алгоритма «снежный ком» по уровню боковых лепестков
В этом параграфе приводится сравнение работы алгоритмов Гви—Лима и снежного кома с точки зрения формирования требуемой диаграммы направленности. Использовались следующие параметры:
- размер структуры: M = N = {20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60};
- число итераций: K = 50;
- размер популяции: P = 10;
- элитизм: включен;
- зерно ГПСЧ: s = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70}. Полученное значение уровня боковых лепестков для каждого размера
усреднялось по семи разным зернам ГПСЧ. Для каждого алгоритма использовались соответствующие откалиброванные параметры.
На рисунке 4.12 приведен график среднего уровня боковых лепестков структур, составленных из полимино типа L-тромино. УБЛ оптимизировался для полосы r = 1,3. График УБЛ для тех же структур, но оптимизированных под r = 1,818 показан на рисунке 4.13. Числовые данные приведены в таблице 4.10. Видно, АСК демонстрирует лучший УБЛ для структур всех размеров.
На рисунке 4.14 приведен график среднего уровня боковых лепестков структур, составленных из полимино типа L-тромино. УБЛ оптимизировался для полосы r = 1,3. График УБЛ для тех же структур, но оптимизированных под r = 1,818 показан на рисунке 4.15. Числовые данные приведены в таблице 4.12. Здесь тоже АСК выигрывает у АГЛ, при этом вполне логично, что данные для полосы r = 1,818 улучшились.
Данный анализ является ключевым и заключительным в исследовательской работе. Он доказывает сразу несколько важных пунктов, которые высказывались в предыдущих главах:
1. Разработанный алгоритм снежного кома способен оптимизировать сложные структуры, составленные из полимино. При этом повышается не только степень заполненности структуры, но и подавление боковых лепестков в диаграмме направленности.
2. АСК по всем показателям превосходит алгоритм Гви—Лима для всех размеров структур.
3. С ростом размеров структур уровни боковых лепестков снижаются.
4. В более широкой полосе r = 1,818 УБЛ выше, чем в полосе r = 1,3 для одной и той же структуры.
Таким образом, произведен заключительный сравнительный анализ работы алгоритмов Гви—Лима и снежного кома. Анализ с точки зрения формирования требуемой диаграммы направленности и уровня боковых лепестков показал, что разработанный алгоритм снежного кома способен синтезировать антенные решетки, обладающие характеристиками, превосходящими существующие аналоги, в том числе полученные алгоритмом Гви—Лима.
Применение разработанного алгоритма и метода оптимизации для формирования двух лепестков в диаграмме направленности
В предыдущих параграфах было показано, что разработанный алгоритм «снежный ком» позволяет синтезировать структуры антенных решеток, превосходящих по своим характеристикам существующие аналоги. Таким образом, была выполнена поставленная задача оптимизации структуры фазированных антенных решеток.
Кроме количественных показателей было решено привести в работе также качественные преимущества разработанного метода и алгоритма. Как было показано в третьей главе, рассматриваемые алгоритмы способны работать с двумя формами полимино одновременно. Разработанное программное обеспечение позволяет так настроить питающую сеть подрешеток, что одна часть подрешеток формирует излучение в одном направлении, а другая — в другом. Таким образом, в диаграмме направленности возникают два главных лепестка. Это позволяет осуществлять прием и передачу сигналов одновременно в двух направлениях.
В этом и следующем параграфах реализуется формирование двух главных лепестков в диаграмме направленности под разными углами с разницей в 90 градусов. Для этого используются структуры, составленные из двух форм полими-но. Все полимино одной формы формируют лепесток в направлении (45, 45), а полимино другой формы формируют лепесток в направлении (-45, -45) (в сферических координатах).
Как известно, излучаемая мощность решетки пропорциональна числу излучателей. В примерах 1–6 алгоритм сам решает, сколько полимино каждой формы должно содержаться в структуре. Таким образом, можно видеть, что уровни главных лепестков слегка отличаются. В примерах 7–12 в алгоритме жестко прописано, что количество подрешеток в форме L-тетромино должно в два раза превышать количество подрешеток в форме L-октомино. Этим достигаются равные площади решетки, излучающие в каждом направлении. Соответственно, мощность лепестков становится одинаковой.
