Содержание к диссертации
Общая характеристика работы 5
Вводная часть. Системный подход и теории сложных систем 16
Введение 16
A. Основные свойства сложных систем 23
B. Значение теории систем 33
C. Проблема формализации в рамках теории систем 36
D. Теория системи структура систем 42
E. Задачи синтеза сложных систем 54
Часть L Системы типа «вход-выход» и их качественный анализ 66
Глава I. Вопросы декомпозиции реакции, реализуемости и построения пространства состояний для а-систем 66
1. Общие а-системы 67
2. Линейные временные а-системы 71
3. Декомпозиция реакций и-системы 72
4. Задача реализуемости линейных ст-систем 73
5. Алгоритм построения пространства состояний для а-систем 75
6- Алгоритм построения передаточных матриц для а -систем 80
Глава 2. Устойчивость и управляемость в а -системах 83
7. Сведения об управляемости в линейных дифференциальных системах «вход-выход» 83
8. Постановка задачи об управляемости в а-системах. Условия управляемости 89
9. Исследование устойчивости в а-системах с помощью функций Ляпунова 95
Глава 3. Синтез асимптотически устойчивых детерминированных управляемых уравнений 105
10. Постановка задачи 105
11. Достаточные признаки стабилизируем ости 107
12. Синтез управляемых уравнений 110
Часть Н. Синтез т-систем 118
Глава 4. Основные понятия теории т-систем 124
1. Основные определения теории т-систем 124
2. Процедуры над общими т-системами 127
3. Двойственные х-системы 137
Глава 5, Характеристика некоторых классов т-систем 146
4. Примеры двойственных т-систем 147
5. Аналитическое определение т-систем, полученных при применении процедуры two к двойственным т-системам 159
Глава 6. Нахождение взаимосвязей т-систем 178
6. Нахождение связей между общими т-системами, определенными на произвольных банаховых пространствах 178
7. Нахождение связей между общими т -системами, определенными на произвольных рефлексивных пространствах 180
8. Нахождение связей между общими т-системами, определенными на произвольных гильбертовых пространствах 185
9. Нахождение связей между общими т-системами, определенными на произвольных конечномерных пространствах 185
Глава 7. Синтез парных т-систем 189
10. Пространства типа пересечения 190
И. Способы синтеза парных т-систем 192
12. Пространства типа суммы 196
Глава 8. Двойственность и изометрия парных т-систем 201
13. Двойственность между пространствами типа суммы и типа пересечения 201
14. Совпадение пространств типа суммы 204
15. Совпадение пространств типа пересечения 209
Глава 9. Построение новых интерполяционных функторов 222
16. Необходимые сведения об интерполяции линейных операторов 222
17. Развитие теории интерполяционных функторов , 230
18. Свойства интерполяционных функторов 244
19. Интерполяционные функторы на парах линейных ограниченных и ядерных операторов 263
Часть III. Качественный анализ динамических т -систем 291
Глава J 0, Исследование свойств линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве 292
1, Основные определения и предварительные сведения 294
2. Качественное исследование динамических т -систем 315
Глава 11. Допустимость для т-систем 323
3, Допустимость пар систем банаховых пространств 323
4, Подпространства, являющиеся общими т-системами 335
Глава 12. Развитие метода функций Ляпунова исследования дихотомии для динамических т -систем 345
5. Дихотомия решений эволюционных т-уравнений 345
6. Функции Ляпунова, определенные на т-системах 365
Литература 370
Введение к работе
Диссертация посвящена развитию методов синтеза и качественного анализа сложных систем.
Актуальность темы. Развитие методов синтеза сложных систем и их качественного анализа чрезвычайно актуально в связи с резким возрастанием числа исследуемых и проектируемых сложных систем в различных областях естествознания и техники. На современном этапе развития системного анализа нет строгого математического определения сложной системы, охватывающего все интуитивные представления о реальных системах. На неформальном языке сложная система есть система, обладающая по крайней мере одним из следующих свойств: 1) большим числом переменных и большим числом связей между ними и другими частями системы, 2) большими порядком уравнений, определяющих систему, 3) большим числом нелинейных элементов, фигурирующих в системе. Параметры сложных систем часто имеют нечисловую природу, порождающую существенную зависимость их качественного анализа и синтеза от вводимых метрик или топологий. В научной литературе встречаются такие названия сложной системы, как многомерная, многосвязная, многокомпонентная, высокосложная, большая, многоуровневая.
Процесс создания сложной системы может быть условно разбит на этапы: а) сбор и обработка исходной информации, б) создание математической модели сложной системы, в) исследование возможностей созданной математической модели путем ее качественного анализа, г) моделирование на ЭВМ с целью количественного анализа и обработки выходных данных. На этапе качественного анализа могут быть предложены рекомендации по методам сбора и обработки исходной информации и выходных данных, а также по приемам моделирования.
При разработке сложных систем актуально изучение следующих качественных свойств: 1) реализуемости сложной системы, 2) существования --у сложной системы пространства состояний и характер этого пространства; -3) регулярности, 4) устойчивости; 5) ограниченности; 6) дихотомии; 7) допустимости. Перечисленные свойства систем до сих пор недостаточно изучены из-за возникающих трудностей различного характера (большое число связей, большое число нелинейностей, не сводимых к одной нелинейности, и т.д.).
Синтез представляет собой соединение различных объектов в единое целое (сложную систему), которое осуществляется как в процессе исследования объектов, так и в практической деятельности (в противоположность анализу как разложению сложного объекта на составляющие, с которыми он неразрывно связан). В теоретических исследованиях синтез выступает в форме взаимосвязи теорий, относящихся к одной предметной области. В таких научных направлениях, как кибернетика и теория систем, синтезируются данные о структурных свойствах объектов различных научных дисциплин. Для современной науки характерен не только синтез внутри отдельной научной дисциплины, ни и между разными научными дисциплинами (междисциплинарный синтез), В качестве уровней описания и изучения сложных систем в диссертации выбраны теоретико-множественный уровень для а-систем (систем типа «вход-выход») и алгебраический уровень для т-систем (систем типа алгебраического кольца). Эти уровни, как показывает развитие системного анализа за последние десятилетия, оказались одними из наиболее важных и эффективных уровней описания и изучения сложных систем.
Теория а-систем находит многочисленные приложения во всех областях естественных наук, математики и техники в силу того, что а-система определяется на языке ее наблюдаемых свойств как некоторое отношение между объектами произвольной природы. Если «система» определяется конкретными математическими конструкциями (конечными уравнениями, обыкновенными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями в частных производных, интегро-дифференциальными уравнениями и уравнениями других типов), то эти конструкции определяют некоторое отношение, то есть а-систему. Если «система» определяется словесно в условиях неполной или нечеткой информации, то словесные утверждения в силу их лингвистических функций также определяют некоторое отношение, то есть а-систему. Поэтому всякая система всегда является отношением, а более низкие уровни описания системы используют свои специфические средства; математические, лингвистические, программные и т.п. Различные подсистемы о-системы с той или иной структурой пространства состояния служат описанием самых разных задач науки и техники.
Развитие теории а -систем на теоретико-множественном уровне описания является актуальной задачей системного анализа, В этом направлении большой теоретический и прикладной интерес представляет нахождение алгоритмов построения пространства состояний, вопросы реализуемости о-систем и декомпозиции реакций а-систем. Качественный анализ динамических а-систем является чрезвычайно актуальной задачей системного анализа. Для линейных и в особенности нелинейных а-систем в недостаточной мере исследованы вопросы устойчивости, управляемости и стабилизируемое™. В связи с тем, что метод функций Ляпунова достаточно эффективен для исследования различных подсистем с-систем, то возникает актуальная задача разработки метода функций Ляпунова для о-систем, являющихся более «сложными» по сравнению с изученными ранее.
Развиваемый в диссертации алгебраический уровень описания состоит в наделении объектов системы модифицированной структурой кольца.
Сложные системы такого типа названы в работе т-системами. Теория т-систем находит приложения в качественной теории и теории устойчивости динамических систем, в спектральной теории операторов, геометрии банаховых пространств, в теории интерполяции линейных операторов, в теории случайных процессов, в теоретической физике.
Качественный анализ динамических т-систем является актуальной задачей системного анализа. Такой анализ до настоящего времени не проводился- Как теоретический, так и прикладной интерес представляют вопросы допустимости в динамических т-системах в связи с тем, что свойство допустимости можно рассматривать как устойчивость при постоянно действующих возмущениях. Важным направлением исследования является получение условий дихотомии и устойчивости в динамических т -системах.
Результаты диссертации, относящиеся к синтезу нормированных и парных т-систем, являются продолжением исследований по операторным идеалам А Пича, Дж. Вензеля, С.Г. Крейна и других автров. Результаты по применению т-систем к интерполяции операторов продолжают исследования С.Г. Крейна, ВІІ Овчинникова, ЕМ Семенова, Ю.И. Петунина и других авторов. Результаты диссерташш по устойчивости динамических а-систем продолжают исследования А.М. Ляпунова, КЕ. Жуковского, Н.Г. Четаева, МП Крейна, H.R Красовского, KIL Персидского, В.И, Зубова, В.В. Румянцева, В.М Матросова, АА Шестакова, В.Н. Щенникова, Т. Ура, О. Перрона и других ученых. Результаты по качественному анализу с -систем являются продолжением исследований А.Ф. Филиппова, М, Месаровича и Яг Такахары, Д.Баню, ВМ Матросова, В,И. Зубова, Т, Ура, П. Сейберта и других ученых.
Основные цели работы: разработать в рамках теории т-систем методы синтеза т-систем и выяснить связи между т-системами; развить теорию устойчивости и управляемости для динамических а-систем; развить теорию допустимости и дихотомии для динамических т-систем; построить в рамках теории т-систем новые интерполяционные функторы и получить новые интерполяционные теоремы; разработать методику синтеза оптимальных управлений с обратной связью, описываемых управляемыми многомерными дифференциальными уравнениями.
Методы я исследования, В диссертации развиты теоретико-множественный и алгебраический уровни описания сложных систем. В диссертации используются методы системного анализа, теории множеств, функционального анализа, современной алгебры, теории управления, теории вещественной и комплексной интерполяции, качественной теории и теории устойчивости решений классических динамических систем. Основные щеп и положения, выносимые на защиту: 1) разработаны методы синтеза т-систем и найдены связи между т -системами; 2) построены новые интерполяционные функторы; 3) развит метод функций Ляпунова для о -систем; 4) развит метод функций Ляпунова для т-систем; 5) изучены свойства допустимости и дихотомии для т-систем; 6) получены признаки устойчивости для подсистем сг-систем; 7) осуществлен синтез оптимальных управлений с обратной связью для управляемых а-систем, описываемых многомерными дифференциальными уравнениями вида x = g(t9xfu\ teRt лей", utR1.
Научная новизна состоит в решении ряда задач качественного анализа подсистем а-систем; в исследовании устойчивости и стабилизируемости а-систем; в развитии метода функций Ляпунова для динамических линейных т-систем; в развитии метода функций Ляпунова для подсистем динамических ст-систем; в развитии методов синтеза нормированных т-систем, обобщающих т-системы Пича; в синтезе новых интерполяционных функторов и получении новых интерполяционных теорем; в исследовании дихотомического поведения, допустимости и устойчивости в смысле Ляпунова линейных динамических т -систем.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретико-множественный и алгебраический уровни описания систем характеризуются значительной мощностью теоретической базы и в то же время эффективностью и значимостью в прикладном отношении. При этом каждому из этих двух уровней описания свойственен свой круг задач, выделить который явилось также важной задачей исследования.
Результаты по синтезу и качественному анализу сложных систем, рассмотренных в диссертации, находят применение в областях глобального моделирования и в теории иерархических (организационных) систем.
Кроме того, результаты диссертации находят применение в качественной теории эволюционных конечномерных и бесконечномерных динамических систем, в теории устойчивости динамических систем, в теории операторных идеалов в смысле Пича, в теории интерполяции линейных операторов, в теории случайных процессов, в квантовой механике, в теории интегральных операторов .
Достоверность полученных рсіультатов основана на корректности постановок исследуемых задач, строгом и обоснованном использовании методов системного анализа, на сравнении с результатами, полученными с помощью других методов, на обсуждениях на научных семинарах и конференциях. Для утверждений диссертации приведены полные математически корректные доказательства.
Публикации, Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2-33] среди которых имеются статьи в ведущих рецензируемых журналах, статьи в межвузовских сборниках научных трудов, тезисы в трудах научных конференций, две монографии.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались; на научном семинаре XXVI Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 1994г.); на конференции по функциональному анализу и уравнениям математической физики, посвященной 80-летию С. Г. Креина, Воронежский государственный университет (Воронеж, 1997г,); на научном семинаре по качественной теории и теории устойчивости динамических процессов Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 1998 - 2002 гг.); на научном семинаре по вариационным принципам в математике и естествознании Российского университета дружбы народов (Москва 1998, 1999 гг. ); на четвертой межвузовской конференции «Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта» Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 1999г.); на XXXV-XXXVH Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин в Российском университете дружбы народов (Москва, 1999-2002 гг.); на научном семинаре кафедры математического анализа в Московском государственном университете (Москва, 1999г,); на Минском городском семинаре по дифференциальным уравнениям (Минск, 2000г.); на научно-исследовательском семинаре по нелинейному анализу Вычислительного центра РАН им. А, Л Дородницына (Москва, 2002 г.); на совместном заседании кафедры математического моделирования и кафедры информатики и методов оптимизации Тверского государственного университета (Тверь, 2002г.).
Структура диссертации. Диссертация состоит из вводной части и трех частей, содержащих 12 глав. Главы состоят из пунктов. Нумерация глав сквозная по всей диссертации, а в каждой части используется автономная нумерация пунктов.
Основные результаты, выносимые па зашиту. На защиту выносится пять групп результатов:
1. Разработка в рамках теории т-систем методов синтеза т-систем и выяснение связей между т-системами, а именно: а) разработка метода синтеза т-систем вида ij (і, J=0,1); б) разработка метода синтеза парных т-систем; в) нахождение связей между т-системами, определенными соответственно на произвольных банаховых пространствах, на произвольных гильбертовых пространствах и на произвольных конечномерных пространствах. В рамках развитой теории доказана двойственность и изометрия парных т-систем для случаев пространств типа суммы и типа пересечения. Полученные результаты являются продолжением исследований А.Пича, Дж,Вензеля, СГ. Крейна и других ученых. Синтезированные сложные системы имеют теоретическое значение и прикладное значение в теории случайных процессов квантовой механике, геометрии банаховых пространства, теории броуновского движения и других областях естествознания.
2. Развитие теории устойчивости и управляемости для динамических G-систем, а именно: а) обобщение классического метода функісий Ляпунова на динамические а-системы наиболее высокого уровня описания (с пространством состояний, наделенном лишь структурой предпорядка); б) формализация для а-систем наиболее высокого уровня описания понятий устойчивости, из которых вытекают для а-систем более низкого уровня описания (с более богатыми по структуре пространствами состояний) известные понятия устойчивости: устойчивость реакции, устойчивость в смысле Ляпунова изолированной траектории (в частности, состояния равновесия), структурная устойчивость, орбитальная устойчивость множества в пространстве состояний; в) формализация для а-систем наиболее высокого уровня описания понятия функции Ляпунова, из которого вытекают для а-систем более низкого уровня описания известные понятия функции Ляпунова, предложенные А,М. Ляпуновым, НХ. Четаевым, В.И. Зубовым, В.М Матросовым, Т. Иосидзавой, Д. Башо и другими учеными; г) получение условий устойчивости для a-систєм наиболее высокого уровня описания; д) получение условий управляемости для инвариантных по времени линейных а-систем (обобщение результата Р. Калмана). Полученные результаты, с одной стороны, обобщают и дополняют результаты А.М. Ляпунова, НТ. Четаева, А.А. Маркова, В,В. Немыцкого, В.В. Румянцева, В.М. Матросова, В.И. Зубова, А А. Шестакова и других ученых и, с другой стороны, из нкх вытекают новые результаты для а-систем более низкого уровня описания. Ранее не было единого подхода в изучении орбитальной устойчивости множеств с помощью функций Ляпунова в рамках классической теории динамических систем. Исследование в рамках теории о-систем орбитальной устойчивости множеств с помощью функций Ляпунова дает возможность одним и тем же способом и с помощью одного и того же типа функций Ляпунова изучать орбитальную устойчивость как компактных, так и некомпактных множеств для а-систем с метрическим пространством состояний.
3, Развитие теории допустимости и дихотомии для динамических т-систем, а именно: а) формализация понятия функции Ляпунова, из которого вытекают определения функций Ляпунова, предложенные НТ. Четаевьш, Т. Иосидзовой, X. Массерой-Х. Шеффером и другими авторами, б) распространение классического метода функций Ляпунова для эволюционных уравнений на эволюционные т-уравнения; в) получение условий допустимости и дихотомии. Указанные результаты являются обобщением результатов, полученных ранее в работах О. Перрона, Н,Н. Красовского, М.Г. Крейна, X. Массеры-Х. Шеффера, В, Коппела, и кроме того, из полученных в работе результатов вытекают новые утверждения о дихотомии и допустимости систем, описываемых дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах.
4. Построение в рамках теории т-систем новых интерполяционных функторов и получение интерполяционных теорем. Полученные результаты имеют теоретическое значение и прикладное значение в теории линейной интерполяции и в теории приближений. Результаты об интерполяции операторов являются продолжением исследований С.Г. Крейна, В.И. Овчинникова, ЕМ Семенова, Ю.И. Петунина и других ученых.
5. Разработка методики синтеза оптимальных управлений с обратной связью для о-систем, описываемых управляемыми многомерными дифференциальными уравнениями вида dx!dt g{tixiu) где tє[і0ісо)у xeRn, ueR1, и в рамках этой методики выделение класса стабилизирующих управлений для управляемых многомерных дифференциальных управлений, для которых g(t7x,u) = A(t)x + B(t)u либо g{t, х,и) = f(t9 х) + B(ttx)u при надлежащих свойствах функций A{t\ 5(/), f(t,x)n B(t,x). Результаты о синтезе получены с помощью модификации классической теоремы Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости в целом невозмущенного движения для уравнения dxfdt = F(t,x\ (,x)E[tQ, )xRr1.
Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность ректору РГОТУПС доктору технических наук, профессору А.Т. Демченко и проректору РГОТУПС доктору технических наук, профессору В.И. Апатцеву за поддержку и внимание к работе.
Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту доктору физико-математических наук профессору А.А, Шестакову за помощь в работе и ценные советы. Автор выражает глубокую благодарность руководителям научного семинара по теории устойчивости и качественной теории динамических систем Российского государственного открытого технического университета путей сообщения, докторам физико-математических наук А.А. Шестакову и О.В. Дружининой за многочисленные советы при написании работы и обсуждения полученных результатов.
Автор выражает глубокую благодарность руководителю научного семинара по математическим методам нелинейного анализа ВЦ РАН доктору физико-математических наук профессору Е,А. Гребеникову, руководителю научного семинара по вариационным принципам в математике и естествознании РУДН доктору физико-математических наук, профессору В.М Савчину, доктору физико-математических наук профессору ІІЗ. Ишмухаметову, доктору физико-математических наук профессору АН. Кудинову, доктору технических наук профессору А.Н. Катулеву, доетору физико-математических наук профессору Е,А. Андреевой, доктору физико-математических наук профессору Я,В. Радьгао за советы и обсуждение.
В течение ряда лет существенную поддержку и помощь при разработке математического аппарата диссертации оказывал руководитель Воронежской математической школы доктор технических наук профессор С.Г. Крейн, чьи советы и рекомендации способствовали улучшению работы.
Автор выражает благодарность старшему лаборанту кафедры «Высшая математика» РГОТУТТС А.Н. Журцовой за помощь в оформлении работы.
