Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Достаточные условия устойчивости линейных нестационарных систем 23
1.1. Об устойчивости в целом решения х = 0 линейной нестационарной системы 24
1.2. Об эквивалентности условий устойчивости квазиподобных систем 50
1.3. Синтез абсолютно устойчивых систем управления. Устойчивость системы при возмущении правых частей 54
1.4. Задача о движении объекта по заданной траектории 62
ГЛАВА 2. Вопросы о стабилизации программного движения быстроходного морского судна 68
2.1. Математическая модель движения быстроходного морского катера 68
2.2. Замкнутая система управления быстроходным катером 75
2.3. Алгоритм функционирования системы управления движением 80
ГЛАВА 3. Система управления быстроходным морским судном по дифференту 86
3.1. Оптимальный закон изменения дифферента и обеспечивающее его программное управление 86
3.2. Синтез стабилизирующего управления 89
3.3. Результаты компьютерного моделирования синтезированной системы 91
3.4. Варианты применяемых квадратичных форм 96
Заключение 100
Литература 103
- Об устойчивости в целом решения х = 0 линейной нестационарной системы
- Математическая модель движения быстроходного морского катера
- Алгоритм функционирования системы управления движением
- Оптимальный закон изменения дифферента и обеспечивающее его программное управление
Введение к работе
1. Актуальность проблемы и общие формулировки рассматриваемых в работе задач
При решении задач анализа, синтеза, компьютерного и имитационного моделирования систем управления динамическими объектами достаточно часто встречаются ситуации, когда в качестве математических моделей объектов выступают линейные нестационарные системы дифференциальных уравнений. Часто практически значимые ситуации осложняются необходимостью учета нелинейных ограничений, определяемых возможностями реализации управляющих воздействий. Следует отметить, что в технических приложениях широко используются методы, базирующиеся на «замораживании» коэффициентов с последующим рассмотрением объектов как стационарных. Однако такой подход далеко не всегда применим при решении конкретных задач, что определяет необходимость в дальнейшем развитии теории и соответствующих вычислительных методов.
Важность этой задачи подчеркивается именами выдающихся ученых, посвятивших ей ряд фундаментальных исследований: A.M. Лётов, В.И. Зубов, А.А. Красовский, В.В. Солодовников, B.C. Пугачёв, А.И. Лурье и многие другие.
Вопросы решения прикладных задач нашли свое отображение в работах Е. А. Барбашина, А. А. Красовского, А. М. Лурье, В. И. Зубова, В. А. Якубовича и других специалистов.
Тем не менее, интенсивное развитие современной вычислительной техники в последние годы определило потребность и предоставило новые возможности в развитии исследований по указанному направлению. Следует подчеркнуть, что проблема еще далеко от своего исчерпывающего решения, поскольку даже для линейных нестационарных систем полный анализ можно провести лишь для весьма частных случаев. Особые трудности возникают при решении задач синтеза нестационарных систем.
Изложенные обстоятельства определяют актуальность работы, направленной на отыскание и исследование класса нестационарных систем, на которые возможно расширить область применимости методов, изначально ориентированных на стационарные объекты.
Не менее важной задачей является учет нелинейных ограничений при синтезе нестационарных систем. Особую актуальность представляет развитие специализированных подходов к решению прикладных задач анализа и синтеза нестационарных систем управления движением, возникающих в судостроении.
Основное внимание в настоящем исследовании уделяется разработке и программной реализации алгоритма управления, обеспечивающего движение нестационарного нелинейного объекта по заданной траектории с одновременным удовлетворением дополнительных требований на качество переходного процесса. Для достижения заявленной цели требуется решить следующие формализованные задачи:
Задача 1. Для систем вида
х = А(ґ)х, Vx0GR\f>0 (B.l)
с матричной функцией А (О, удовлетворяющей условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши, выделить класс матриц A(f), для которого вопрос об асимптотической устойчивости нулевого решения определяется только свойством гурвицевости матрицы А (0 в любой момент t > 0.
Задача 2. Для систем вида (В.1) с матрицей, представленной в виде А(0 = В(0 + Вт(0, где Br(0 = Br(f + T), Т>0, выделить класс матриц В(0, для которого вопрос об устойчивости системы (В.1) определяется мультипликаторами матрицы монодромии системы у = Вг(0у.
Задача 3. Для абсолютно устойчивых систем управления вида:
х = D(f)х + b(t)tp(S), D(f) = А(0 + b(Os*(0,
S = с (Ox, (В.2)
<р(5) є Ф = {(р: (р є С, \ср\ < к < оо, #>() > 0 при
где D(/) - матрица, принадлежащая классам, указанным в задачах 1 или 2 (ее
гурвицевость для любого t > О обеспечивается заданием вектора s линейной части обратной связи), выбором вектора c(t) и функции q>{д) є Ф добиться устойчивости нулевого решения с одновременным выполнением условия
W(x) —> min. Здесь W(x) > 0 при х Ф О - некоторая положительно определенен
ная функция фазовых координат.
Задача 4. Для систем вида (B.I), (В.2), подверженных постоянно действующему аддитивному возмущению r(t) в правых частях, определить свойства
системы, при которых решение будет устойчиво по отношению к возмущениям, принадлежащим некоторым заданным пространствам.
Задача 5. Для систем управления по состоянию со вполне управляемым объектом при каждом фиксированном / > t+, U < требуется определить свойства матрицы A(f) и вектора b(f), при которых условия устойчивости системы
x = (A(0 + b(Os*(0)x (В.З)
и системы
y = T"1(A(0 + b(Os*(0)Tj, (В.4)
где у = Т~ х, T(t) - матрица управляемости для системы (В.З), совпадают.
Задача 6. Реализовать теоретические результаты, полученные при решении задач 1-5, для анализа и синтеза системы управления движением быстроходного морского глиссирующего судна.
2. Обзор литературы по теме исследований
Актуальность темы работы, значимость сформулированных целей исследования и целесообразность рассмотрения поставленных задач подтверждается анализом современного состояния соответствующих разделов теории устойчивости и теории синтеза систем управления.
Современная трактовка проблемы устойчивости движения была заложена в XVIII веке в трудах великого французского математика и механика Ж. Ла-гранжа, который дал своё определение устойчивости положения равновесия для некоторых механических систем в виде условия минимума потенциальной энергии. Как самостоятельный раздел математики, теория устойчивости получила распространение после выхода в свет классической работы А. Пуанкаре [51] и особенно после опубликования в 1892 году первого издания знаменитого мемуара Ляпунова "Общая задача об устойчивости движения".
Начиная с этого времени, проблема устойчивости изучалась и продолжает исследоваться до сих пор многими научными школами в России и за рубежом. Следует упомянуть фамилии крупных отечественных ученых: В.Г. Андронов, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, В.И. Зубов, Н.Н. Красовский, М.Г. Крейн, А.Н. Летов, А.И. Лурье, И.Г. Малкин, С.Л. Соболев, Н.Г. Четаев. Ведущие зарубежные школы представлены такими именами, как Ж. Ла-Саль, С. Лефшец, В. Ган, Р. Белман, О. Перрон, Ж. Массер, Д. Шаферер. Соответствующие классические исследования отражены в работах [3], [4], [5], [16], [21], [22], [23], [24], [25], [26], [27], [28], [31], [32], [33], [34], [39], [40], [43], [64], [67], [70].
Проблема анализа условий устойчивости движения, определяемого системой дифференциальных уравнений вида
x = F(x,0,xg9V\/>/0 (В.5а)
в силу отсутствия исчерпывающего решения продолжает оставаться одной из центральных в прикладной механике, качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления.
Применительно к управляемым системам во второй половине XX века
была сформулирована и вызвала большой интерес задача синтеза такого управления и, при котором решение у = 0 системы
y=F(y,Mi) (В.56)
было бы устойчиво в целом или хотя бы в некоторой окрестности начала координат. При этом рассматриваются два способа реализации обратной связи: a) u = fj(y,0 - безинерционный регулятор; б) u = f2 (у, f) + f3 (и) - регулятор с собственной динамикой. К настоящему времени эта задача далеко не полностью исследована.
Поскольку при подстановке найденного закона управления u =u(y,t) в систему (В.56) мы получаем систему вида (В.5) с правой частью F(y,0 = F(y,f,u(y,/))» то ясно, что обе отмеченные задачи качественно близки и получение новых условий устойчивости для системы (В.5) дает возможность синтезировать стабилизирующие регуляторы.
Предлагаемая работа имеет своей целью получение достаточных условий устойчивости линейных нестационарных систем вида
х = А(Ох (В .6а)
и синтез на их основе стабилизирующего управления для объекта
у = A(t)y+ h(t)u. (В.бб)
Центральным решаемым вопросом является поиск дополнительных условий, накладываемых на матрицу А(/), при которых устойчивость системы
(В.ба) обеспечивается гурвицевостью матрицы A(t) в любые моменты времени t > U, где U < - некоторое число.
Важность поставленной задачи не исчерпывается тем, что модели (В.ба) и (В.бб) описывают широкий класс реальных объектов. Рассмотрим систему вида (В.5) и выделим некоторое её невозмущённое движение f(t) = x(t,x0), т.е.
f(0 = F(f(0,0- Сделаем в (В.5) замену переменных по формуле x = x + f(/) и введем обозначение G(x,f) = F(x + f(t),t)-F(f(t),t). При этом получим сис-
тему дифференциальных уравнений вида
x = G(x,0 (В.7)
относительно функций х(/). Она имеет очевидное положение равновесия х(0 = 0. Таким образом, решению f (t) = x(t,x0) системы (В.5) однозначно соответствует нулевое положение равновесия системы (В.7).
На основании первого метода Ляпунова вопрос об устойчивости движения х(0 = 0 для систем вида (В.7) с гладкими стационарными функциями Gj(x) = G(x,/) решается путем анализа системы первого приближения.
В общем случае анализ устойчивости невозмущённого решения системы общего вида (В.5) сводится к анализу линейных систем вида (В.ба).
Укажем фундаментальные положения по данному вопросу, приведенные в классических работах.
Самим А. М. Ляпуновым были получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости в целом линейных стационарных систем при условии, что А(/) = Ас- постоянная матрица.
Среди нестационарных систем в наибольшей мере изучены системы с периодическими матрицами А(/) = A(t + T), где Г > 0 - некоторое конечное
число [64]. При этом теорема Флоке-Ляпунова и теорема Ляпунова о приводимости позволяют сформулировать условия устойчивости. Это можно сделать либо в терминах свойств мультипликаторов матрицы монодромии Х(Г), либо
в терминах собственных чисел показательной матрицы К = — 1пХ(Г).
Мультипликаторы матрицы монодромии всегда могут быть вычислены приближёнными методами с точностью, определяемой точностью задания правых частей ([36]), однако при решении конкретных задач часто возникают ситуации, когда разработчику необходимо знать границы области устойчивости в зависимости от параметров системы. В случае, когда мультипликаторы находятся далеко от границы круга Ы^1, могут быть использованы свойства не-
прерывности. Однако чаще всего приходится рассматривать поведение системы, когда мультипликаторы лежат вблизи или на самой окружности z\ = 1.
В целом следует отметить, что уже для систем вида (В.6а) с периодическими матрицами А (0 аналитические условия устойчивости, подобные критерию Гурвица, пока не найдены. Для общего случая ситуация представляется еще более сложной.
Отмеченные соображения и определяют актуальность вывода относительно простых достаточных условий устойчивости. Решение этой задачи для матрицы А(/) общего вида будет проводиться в работе при помощи второго
метода Ляпунова. Этот метод является универсальным и достаточно эффективным подходом к решению широкого круга задач как теоретического, так и практического характера. Большое число примеров можно найти, например, в монографиях [25], [36], [50].
По поводу применения этого подхода отметим, что Е.А. Барбашин и Н.Н. Красовский [5] продемонстрировали, что в случае асимптотической устойчивости в целом решения х = 0 стационарной системы существует функция Ляпунова со свойствами V(x) > 0 и V(x) —» о при ||х|| —> , V < 0, причём множество V = 0 содержит только единственную целую траекторию х = 0. Тем самым было показано, что в принципе теоремы второго метода Ляпунова допускают обращение. Затем, при некоторых дополнительных условиях И.Г. Малкин [47] получил аналогичный результат для нестационарных систем и, наконец, теорема 52 в работе [23] В.И. Зубова позволила смягчить условия, приведенные в [47]. Все эти результаты позволяют получить исчерпывающие, т.е. необходимые и достаточные, условия устойчивости систем общего вида.
Все перечисленные выше результаты по существу связаны лишь с фактом существования функции Ляпунова и не всегда указывают конструктивные пути её поиска. Так, например, для линейных нестационарных систем уравнение Ляпунова представляет собой матричное дифференциальное уравнение ви-
да P(f) + A*(OP(0 + P(OA(f) = -Q(0, где А (О - матрица системы, Q(0 = Q*(0 > 0 - заданная матрица, « *» - знак эрмитова сопряжения. Ясно, что
найти решение Р(0 = Р (t) этого уравнения и получить условия, при которых Р(0 > 0 не легче, чем проинтегрировать исходную систему (В.ба).
Теперь отметим результаты, полученные в [18] вторым методом Ляпунова для матриц А(0 специального вида. Пусть матрица А(ґ) имеет треугольную
форму и является гурвицевой и ограниченной при t >0. Тогда система (В.ба) устойчива. Рассмотрим числовую матрицу II = diag {h,}". Зададим число 1\ = \ и выберем число Л2=/і2(/і,) так, чтобы верхняя левая клетка размером 2x2
матрицы Q = —А (/)Н —А(/)Н была положительно определена. Затем выберем число / = h3(h1,h2) > О так, чтобы была определённо положительной левая верхняя клетка размером 3x3. Продолжим этот процесс, выбирая fyfc+i =hk+i(Jh>h2>—>hk) >0 на каждом шаге до к=п — \. Поскольку ||A(f)|| < лте < оо такой выбор hk возможен. В результате на траекториях системы
получим —(х HxJ < 0 при х Ф 0, что и доказывает устойчивость.
Пусть теперь матрица А(0 нормальная, т.е. A (t)A(t) = A(t)A (t) . Если А(0 - гурвицева, то система (В.ба) устойчива. Действительно, в силу теоремы
Шура существует унитарная матрица U(0: U*AU = diag {A(f)}"_,. Сделаем в системе (В.ба) замену x = U(Oy, тогда для у получаем систему
y = diag{X(t)}liy-V\t)ti(t)y.
Поскольку U U = I, то U и = -U U, т.е. матрица U U - косоэрмитова.
Следовательно, для функции V(0 = ||y|| выполнено условие
(У * У)* = -у * diag {Л.. }у < 0. Таким образом, ||х|| = ||у | —> 0 при * -» о.
Рассмотрим также результат, полученный в работе [2]. Матрица A(f,x) в
работе [2] названа почти эйлеровой, если она имеет постоянные корневые векторы, т.е. существует стационарное линейное преобразование х=Ту, приводящее эту матрицу к нормальной жордановой форме.
Показано, что матричная функция имеет постоянную матрицу канонического базиса в том и только в том случае, если она перестановочна со своим интегралом
t J(x,0= JA(x9r)dr. о
При этом для нестационарной системы (В.6а) решение имеет вид
A(r)dr
x(t) = е' хо, что можно проверить подстановкой.
Поскольку А(/) приводится к жордановой форме, то по функции от жор-данова блока получаем, что решение, соответствующее собственному числу кратности к, будет
\s.(T)dz
= ехр
\diagC(j)di
/
1 t О 1
О О
Л-1 \
(*-1)!
Следовательно, если VR&X^rfdT —» - то |x(f,x0)|| —> 0 при t —> со.
'о
Далее в работе [2] показан способ построения почти эйлеровой матрицы B(t,x,t0) по исходной матрице А(г) с сохранением равенства A(t)x = B(t,x,tQ)x.
Это всегда можно сделать, поскольку соответствие между А(?)х и F(t, х) не однозначное.
Ясно, что если F(/,x) = А(г,х), то и C(t,x) = А(/) + А(х) также удовлетворяет равенству C(r,x) = F(f,x) при выполнении условия A(x)x = 0Vxe 9Г. При указанном в цитируемой работе способе построения почти эйлеровой матрицы,
она оказывается разрывной на гиперплоскостях N*A(/)x s = 1,..л, где Nf - левая собственная строка матрицы A(t0).
В результате необходимо доопределить поле направлений преобразованной системы на поверхностях разрыва с тем, чтобы сохранить старые решения и исследовать устойчивость решения дифференциального включения
xeB(x,t,t0)x. (В.8)
Задача (В.8) не проще задачи (В.ба), поэтому сразу можно говорить только лишь об устойчивости систем, матрицы которых перестановочны со своим интегралом.
Ґ п \
В монографии [21] рассматриваются системы вида х= УУА^
\к=0 j
х с по-
линоминальными коэффициентами, и доказывается, что для такой системы свойство устойчивости зависит только от собственных чисел матрицы А„.
После замены независимой переменной по формуле т = получаем
и + 1
dx систему — = Апх + A(t)x, где А(0 —> 0 при / —» . Решение этой системы пред-dv
ставимо в виде х(ґ,х0) = Х(/)х0, где X(t) - матрициант. Заметим, что для любой линейной системы можно по любому Vf >0 выбрать число S>0 таким образом, что при VT< на интервале гє[0,Т] будет выполнено условие
с*
||х(/,х0) - х0| < — как только |х0| < 8. Выберем Т< <» из условия ||А(/)| - І Для
любого *є[0,Т] и указанное выше число 5>0. Отсюда получаем
||х(Т)-х0||< —, |А(0|^2 и |А(0|—»0. Если Ап - гурвицева и число є доста-
точно мало, то определив Н из уравнения Ляпунова А*Н + НАЛ = -21 получим при t > Т, Т(х*Нх)* < -2х*х + є2х*х. Ясно, что решение х = 0 асимптотически устойчиво.
Перечень частных случаев, в которых второй метод Ляпунова позволяет
решить задачу анализа устойчивости может быть продолжен, но общий метод построения функции Ляпунова для систем с матрицей А(/) произвольного вида
в настоящее время не известен.
В работах [68], [71] использовался другой метод исследования устойчивости системы (В.ба). Рассматривается неоднородная система вида
x = A(Ox + U(0,x(f0) = 0, x,Ue9t\ (В.9)
Предполагается, что U(0 принадлежит некоторому функциональному
пространству. Например, пространству измеримых функций L2 с нормой
(
о» \2
J]|U(0f dt < оо, где |U(0| - евклидова норма,
о )
Доказана группа теорем, которые позволяют по реакции системы на постоянно действующее возмущение сделать вывод об устойчивости или неустойчивости системы (В.ба).
Приведём одну из таких теорем. Если для любой функции U(f) є L2 задача (В.9) имеет ограниченное решение при t>t0, то существует функция
N(0>0 и число а>0 такие, что решение уравнения (В.ба) при Vx0g9V и
і/ t > t0 удовлетворяет неравенству ||x(f)|| < N(t0)e~aU~'yi ||x(f0)||.
Это условие, очевидно, гарантирует устойчивость системы (В.ба), хотя и не равномерную по параметру t0.
t+\ Если |А(ґ)| ограничена при V/ или sup [|А(5)||й?5<о<', то условие огра-
ниченности решения уравнения (В.9) при VU(f)e L2 является необходимым и
достаточным условием асимптотической устойчивости системы (В.ба).
Теоремы указанной группы позволяют выделить круг систем "подозрительных" с точки зрения устойчивости, а также доказать неустойчивость некоторых из них. Однако получить конструктивные критерии устойчивости не удается, хотя подобным подходом интересовались такие крупные учё-
ные, как Заде и Калман [71], [74].
Теперь обратимся к задаче синтеза систем управления, решаемой в данной работе. Конкретизируем описание системы (В.66). Задача синтеза стабилизирующего управления рассматривается в двух постановках.
Для безинерционного регулятора требуется определить такое скалярное управление в форме обратной связи по состоянию, которое обеспечит устойчивость. Иными словами решается задача определения стабилизирующего управления в замкнутой системе
х = А(/)х + Ь(/)м(Г,х),
(В.Юа) u(t,x) = s (Ох.
Здесь Ь(/) - вектор распределения управления, s (/) - подлежащий поиску вектор обратных связей.
Другой рассматриваемый случай учитывает динамику регулятора [4], [43]
х = А0)х + Ь(/)и(ґ,х),
(В.106) й =s (t)x-p(t)u.
Здесь функция pit) > 0 определяет динамику регулятора.
Ясно, что если наряду с вектором обратных связей s (/) можно выбирать и функцию p{t) > 0, то расширяя вектор состояния объекта, задачу для системы (В. 106) можно свести к задаче для системы (В.Юа), тогда как при заданном p(t) > 0 эти системы требуют раздельного исследования.
Важность сформулированных задач обусловлена, во-первых, тем, что системы (В.Юа), (В.106) описывают широкий класс реальных объектов и не менее существенно то обстоятельство, что системы (В.Юа), (В.106) описывают первое приближение при синтезе стабилизирующего управления для нелинейных систем.
Заметим, что до начала 90-х годов вопросы синтеза в приведенной постановке слабо отражены в публикациях. В 90-х годах появились работы, которые в значительной мере развили соответствующий исследовательский аппарат. В
работе [20] по заданному вектору наблюдаемости было построено преобразование вида y = T(t)x, которое переводит матрицу системы в матрицу Фробе-ниуса, а вектор S - в 1-й орт. Затем в работе [58] с использованием этого преобразования была решена задача стабилизации системы (В. 10а) по заданной паре (А(0,Ь(0). Необходимость построения преобразования, аналогично преобразованию Готье [69] определялось тем, что в нестационарных системах условия устойчивости систем с матрицами D(f) и D* (t) различны [20], [58].
Остановимся на результатах работы [20] несколько подробнее и покажем, почему задача, сформулированная в ней, не теряет своей актуальности. В
работе [20] полагается, что при f>0 и к = 0,2п-1 непрерывны и ограничены
производные —77~- В то же время для единственности непрерывного решения
d^A dtk
системы достаточно, чтобы матрица А(0 была бы непрерывна почти всюду и интегрируема на любом конечном отрезке оси t. Условие (2и -1)-кратной дифференцируемости весьма обременительно, но это условие является принципиальным для преобразования Готье, что требует подробного пояснения.
Рассмотрим разомкнутую систему (В.66) и скалярную функцию
yl = S (0х, а также векторную функцию у =
2/- dA
dt Здесь матрицы Zk(t), к = 3,4... введены таким образом, что при к = 1,п выпол
где дифференцирование производится в силу системы (В.66). Далее рассматривается последовательность матриц Z0 = I, Z,(/) = A(t), Z2(t) = A2(/)
нены равенства yk = d
(к~х . HJ * ^
x. Затем вводятся векторы
с/ * s*(/)z,_w(o
f jk\ k-\
Ъ(0 =
Zk(t)--Tk
\ dt j
1 dJf (t\
b(0, rt(/) = ft(/)-^C/fl k-f\ r0(0 = b(/),
j=\ dV
sit *
к = 1,/1-1 и матрица G(t) = {r0 (0,^(0,..-,1^,(0}.
Если матрица G(0 ограничена и невырождена при />0, то будет огра-
/
\
g*G-'(0
d_ dt
gG-\t) + gG-\t)Mt)
ничена и матрица Т(0;
при Vg = const, ge 9Г,
z^^wwo]
\j=o
При этом в работе [20] доказано следующее утверждение: если матрицы G(0 и Т(0 не вырождены и ограничены, то замена у = T(f)x переводит систему (В. 10а) в систему
у = А(0у + Ьи,
, (В.11)
u = s у,
где А(0 имеет форму Фробениуса, b = g - произвольный вектор, для которого
0
Далее в работе выбираются параметры, которые обеспечивают замкнутой системе экспоненциальную устойчивость. При условии достаточной гладкости правых частей этот метод позволяет стабилизировать объекты с ограниченными матрицами А(0 общего вида. Однако при этом предполагается, что мы можем распоряжаться векторами Ь(0 и s(0 с тем, чтобы добиться полной управляемости и наблюдаемости системы (невырожденности матриц G(0 и Т(0). В классической постановке для стационарных систем по заданной вполне управляемой паре (А(0,Ь(0) мы всегда можем выбрать вектор s, обеспечивающий системе устойчивость [71]. В рассматриваемом случае матрицы управляемости Т(0 и наблюдаемости G(0 оказались зависящими друг от друга, поэтому можно представить ситуацию, когда при некоторых t матрица Т(0 станет вырожденной или неограниченной.
В принципе найденные в работе [20] преобразования подобия позволяют
привести гладкую систему к канонической фробениусовой форме и решить задачу синтеза стабилизирующего управления. Однако возможности практической реализации предлагаемых алгоритмов ограничена их вычислительной сложностью. Так, модель управления механическим динамическим объектом в трёхмерном пространстве сама по себе имеет шестой порядок. Учет инерционности регуляторов приводит тому, что замкнутая система будет иметь девятый или десятый порядок. В результате для приведения системы к каноническому виду необходимо вычислять производные очень высоких порядков А(2л-1), что существенно усложняет алгоритм управления.
Не менее важно и следующее обстоятельство. Из физических соображений для большинства практически важных случаев можно ожидать гладкости модели системы, но трудно гарантировать их практическую голоморфность.
Кроме того, для многих объектов модели получаются в результате натурных исследований с последующей статистической обработкой данных и построением некоторой модели регрессии. Ясно, что для таких моделей гарантировать полную адекватность получаемых оценок реальным матрицам нельзя. Это требует развития теории с разработкой методов синтеза стабилизирующих управлений, использующих информации только о матрице системы.
3. Цели и основные результаты исследований
Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на выявление простых достаточных условий асимптотической устойчивости нулевых решений линейных нестационарных систем. Целью также является разработка и программная реализация алгоритма управления, обеспечивающего движение нестационарных объектов с учетом нелинейностей в приводе исполнительных органов. При этом должно быть обеспечено движение по заданной траектории с желаемым качеством переходных процессов. Предлагаемые подходы должны быть адаптированы для решения прикладных задач по управлению движением морских судов.
Для реализации поставленных целей рассматриваются следующие задачи:
среди класса линейных нестационарных систем выделяются системы, для которых вопрос об устойчивости в целом может быть выполнен на основании критерия Рауса-Гурвица, выполненного для моментов времени t>t,, где и < - некоторое число;
среди аналогичного класса систем выделяются системы, для которых вопрос об устойчивости можно решить аналогично системам с Т-периодической матрицей;
для абсолютно устойчивых систем, на классе допустимых управлений, синтезируется управление, обеспечивающее оптимальное демпфирование некоторой заданной положительно-определённой формы фазовых координат системы;
исследуются вопросы устойчивости возмущённых нестационарных систем с возмущениями из некоторого заданного класса;
для вполне управляемых по Калману при каждом фиксированном t > О систем управления выделяется такой класс, для которого задача поиска стабилизирующего управления решается аналогично линейному стационарному случаю;
обеспечивается алгоритм программной реализации найденных решений в реальном масштабе времени использованием современных программных средств.
Методы исследований. Для решения задач исследуемых в диссертационной работе в качестве базового используется второй метод Ляпунова. Кроме того, применяются методы теории абсолютной устойчивости и методы анализа систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Для практической реализации разработанных алгоритмов привлекаются современные компьютерные технологии.
Научная новизна результатов работы состоит в определении новых классов управляемых объектов, описываемых обыкновенными нестационарны-
ми линейными дифференциальными уравнениями, которые допускают применение методов анализа и синтеза линейных стационарных систем. Разрабатывается новая методика синтеза алгоритмов управления, позволяющая учесть нелинейности привода и в целом повысить надёжность работы системы управления. Обеспечивается программная реализация разработанных алгоритмов в реальном масштабе времени, позволяющая уменьшить шаг дискретности за счет сокращения объема вычислений по сравнению с методом замороженных коэффициентов.
Практическая значимость работы определяется тем, что на основании проведённого теоретического исследования предлагаются алгоритмы анализа и синтеза систем управления, учитывающие нестационарную специфику рассматриваемых задач. Программная реализация алгоритмов управления позволяет в режиме реального времени работать с системами большой размерности, что расширяет возможности практического использования результатов работы.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 75 наименований.
Первая глава является теоретической основой диссертационной работы. Она посвящена исследованию вопросов устойчивости линейных нестационарных систем, решению задачи синтеза абсолютно устойчивых систем, методам выбора оптимальных разрывных управлений. В качестве базы для предлагаемых подходов используется второй метод Ляпунова. В первом параграфе осуществляется вывод новых достаточных условий устойчивости линейных нестационарных систем и доказывается ряд вспомогательных утверждений, используемых в работе. Во втором параграфе главы обсуждается вопрос о возможности расширения сферы применимости полученных результатов на более сложные случаи. В третьем параграфе первой главы рассматриваются вопросы, связанные с синтезом абсолютно устойчивых систем и производится выбор допустимого управления, оптимального по отношению к демпфированию некоторой положительной формы W(x) > 0 от фазовых координат. Кроме того, изучается
вопрос об устойчивости движения по отношению к постоянно действующим возмущениям из некоторых заданных пространств. В четвёртом параграфе главы рассматривается вопрос о стабилизации движения объекта по заданной траектории.
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с приложением полученных теоретических результатов для синтеза системы стабилизация движения быстроходного глиссирующего морского судна. В первом параграфе главы описана заданная модель невозмущённого движения судна и сформулирована задача синтеза законов управления. Во втором параграфе выполнена аппроксимация кривой разгона судна зависимостью, и на её основе модель динамики преобразована к виду (В.бб) с разделением уравнений на две независимые подсистемы: бокового движения и движения по дифференту. Для подсистем проведен анализ выполнения условий теорем параграфа 1.2. В третьем параграфе подробно описана предлагаемая блок-схема реализация бортового алгоритма управления боковым движением судна.
В третьей главе детально рассматривается синтез законов управления судном по дифференту. При этом для анализа, синтеза и моделирования системы управления широко используется стандартное программное обеспечения интегрированного пакета MATLAB. Результаты моделирования проиллюстрированы графиками.
В заключении формулируются основные результаты диссертации и приводятся выводы из проделанной работы.
Основными результатами, которые получены в результате проведённых исследований и выносятся на защиту, являются следующие:
Применение второго метода Ляпунова позволило выделить классы линейных нестационарных систем, для которых анализ устойчивости можно выполнять аналогично стационарным системам.
Определены классы матриц А(0 и векторов распределения управления
Ь(0, которые допускают распространение методов синтеза стабилизирующих
управлений стационарными системами на нестационарный случай.
Разработан метод синтеза абсолютно устойчивых нестационарных систем с учетом разрывных нелинейностей в приводе управляющих органов.
На множестве допустимых разрывных управлений #?(<т) є Ф определена функция (pQ(<7), обеспечивающая устойчивость нулевого решения и оптимальность по отношению к демпфированию заданной функции.
Предложен метод анализа устойчивости рассматриваемых систем по отношению к внешним возмущениям из определенных классов.
Разработан и реализован в программном виде для реального масштаба времени алгоритм стабилизации движения системы относительно заданной траектории.
Выполнены практические расчёты для быстроходного морского судна, демонстрирующие работоспособность и эффективность разработанных в диссертации теоретических положений и вычислительных методов.
Апробация работы. Диссертация в целом, а также её отдельные положения и полученные результаты докладывались на 11-м Международном семинаре IFAC "САО 2000", на XXXI научной конференции факультета ПМ-ПУ СПбГУ, на семинарах кафедры компьютерных технологий и систем факультета ПМ-ПУ и на семинарах лаборатории компьютерного моделирования систем управления НИИ ВМ и ПУ СПбГУ.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 4 печатных работах [26], [27], [28], [75].
Об устойчивости в целом решения х = 0 линейной нестационарной системы
При решении задач анализа, синтеза, компьютерного и имитационного моделирования систем управления динамическими объектами достаточно часто встречаются ситуации, когда в качестве математических моделей объектов выступают линейные нестационарные системы дифференциальных уравнений. Часто практически значимые ситуации осложняются необходимостью учета нелинейных ограничений, определяемых возможностями реализации управляющих воздействий. Следует отметить, что в технических приложениях широко используются методы, базирующиеся на «замораживании» коэффициентов с последующим рассмотрением объектов как стационарных. Однако такой подход далеко не всегда применим при решении конкретных задач, что определяет необходимость в дальнейшем развитии теории и соответствующих вычислительных методов.
Важность этой задачи подчеркивается именами выдающихся ученых, посвятивших ей ряд фундаментальных исследований: A.M. Лётов, В.И. Зубов, А.А. Красовский, В.В. Солодовников, B.C. Пугачёв, А.И. Лурье и многие другие.
Вопросы решения прикладных задач нашли свое отображение в работах Е. А. Барбашина, А. А. Красовского, А. М. Лурье, В. И. Зубова, В. А. Якубовича и других специалистов.
Тем не менее, интенсивное развитие современной вычислительной техники в последние годы определило потребность и предоставило новые возможности в развитии исследований по указанному направлению. Следует подчеркнуть, что проблема еще далеко от своего исчерпывающего решения, поскольку даже для линейных нестационарных систем полный анализ можно провести лишь для весьма частных случаев. Особые трудности возникают при решении задач синтеза нестационарных систем. Изложенные обстоятельства определяют актуальность работы, направленной на отыскание и исследование класса нестационарных систем, на которые возможно расширить область применимости методов, изначально ориентированных на стационарные объекты.
Не менее важной задачей является учет нелинейных ограничений при синтезе нестационарных систем. Особую актуальность представляет развитие специализированных подходов к решению прикладных задач анализа и синтеза нестационарных систем управления движением, возникающих в судостроении.
Основное внимание в настоящем исследовании уделяется разработке и программной реализации алгоритма управления, обеспечивающего движение нестационарного нелинейного объекта по заданной траектории с одновременным удовлетворением дополнительных требований на качество переходного процесса. Для достижения заявленной цели требуется решить следующие формализованные задачи.
Математическая модель движения быстроходного морского катера
Методы исследований. Для решения задач исследуемых в диссертационной работе в качестве базового используется второй метод Ляпунова. Кроме того, применяются методы теории абсолютной устойчивости и методы анализа систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Для практической реализации разработанных алгоритмов привлекаются современные компьютерные технологии.
Научная новизна результатов работы состоит в определении новых классов управляемых объектов, описываемых обыкновенными нестационарны I ми линейными дифференциальными уравнениями, которые допускают применение методов анализа и синтеза линейных стационарных систем. Разрабатывается новая методика синтеза алгоритмов управления, позволяющая учесть нелинейности привода и в целом повысить надёжность работы системы управления. Обеспечивается программная реализация разработанных алгоритмов в реальном масштабе времени, позволяющая уменьшить шаг дискретности за счет сокращения объема вычислений по сравнению с методом замороженных коэффициентов.
Практическая значимость работы определяется тем, что на основании проведённого теоретического исследования предлагаются алгоритмы анализа и синтеза систем управления, учитывающие нестационарную специфику рассматриваемых задач. Программная реализация алгоритмов управления позволяет в режиме реального времени работать с системами большой размерности, что расширяет возможности практического использования результатов работы.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 75 наименований.
Первая глава является теоретической основой диссертационной работы. Она посвящена исследованию вопросов устойчивости линейных нестационарных систем, решению задачи синтеза абсолютно устойчивых систем, методам выбора оптимальных разрывных управлений. В качестве базы для предлагаемых подходов используется второй метод Ляпунова. В первом параграфе осуществляется вывод новых достаточных условий устойчивости линейных нестационарных систем и доказывается ряд вспомогательных утверждений, используемых в работе. Во втором параграфе главы обсуждается вопрос о возможности расширения сферы применимости полученных результатов на более сложные случаи. В третьем параграфе первой главы рассматриваются вопросы, связанные с синтезом абсолютно устойчивых систем и производится выбор допустимого управления, оптимального по отношению к демпфированию некоторой положительной формы W(x) 0 от фазовых координат. Кроме того, изучается вопрос об устойчивости движения по отношению к постоянно действующим возмущениям из некоторых заданных пространств. В четвёртом параграфе главы рассматривается вопрос о стабилизации движения объекта по заданной траектории.
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с приложением полученных теоретических результатов для синтеза системы стабилизация движения быстроходного глиссирующего морского судна. В первом параграфе главы описана заданная модель невозмущённого движения судна и сформулирована задача синтеза законов управления. Во втором параграфе выполнена аппроксимация кривой разгона судна зависимостью, и на её основе модель динамики преобразована к виду (В.бб) с разделением уравнений на две независимые подсистемы: бокового движения и движения по дифференту. Для подсистем проведен анализ выполнения условий теорем параграфа 1.2. В третьем параграфе подробно описана предлагаемая блок-схема реализация бортового алгоритма управления боковым движением судна.
В третьей главе детально рассматривается синтез законов управления судном по дифференту. При этом для анализа, синтеза и моделирования системы управления широко используется стандартное программное обеспечения интегрированного пакета MATLAB. Результаты моделирования проиллюстрированы графиками.
В заключении формулируются основные результаты диссертации и приводятся выводы из проделанной работы. Основными результатами, которые получены в результате проведённых исследований и выносятся на защиту, являются следующие: 1. Применение второго метода Ляпунова позволило выделить классы линейных нестационарных систем, для которых анализ устойчивости можно выполнять аналогично стационарным системам. 2. Определены классы матриц и векторов распределения управления Ь(0, которые допускают распространение методов синтеза стабилизирующих управлений стационарными системами на нестационарный случай.
Алгоритм функционирования системы управления движением
Содержание диссертационной работы составляет рассмотрение комплекса вопросов, связанных с анализом условий устойчивости линейных нестационарных систем и синтезом на этой основе систем управления, стабилизирующих движение некоторого объекта по наперед заданной траектории.
Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на выявление простых достаточных условий асимптотической устойчивости нулевых решений линейных нестационарных систем. Целью также является разработка и программная реализация алгоритма управления, обеспечивающего движение нестационарных объектов с учетом нелинейностей в приводе исполнительных органов. При этом должно быть обеспечено движение по заданной траектории с желаемым качеством переходных процессов. Предлагаемые подходы должны быть адаптированы для решения прикладных задач по управлению движением морских судов.
В соответствии с поставленными целями, центральное внимание в работе уделено следующим направлениям исследований: - среди класса линейных нестационарных систем выделены такие системы, для которых вопрос об устойчивости в целом может быть решен на основании критерия Рауса-Гурвица, применяемого для моментов времени t tt, где tt - некоторое число; - среди аналогичного класса систем выделены системы, для которых вопрос об устойчивости можно решить аналогично системам с Т-периодической матрицей; - для абсолютно устойчивых систем, на классе допустимых управлений, синтезировано управление, обеспечивающее оптимальное демпфирование некоторой заданной положительно-определённой формы фазовых координат системы; — исследованы вопросы устойчивости возмущённых нестационарных систем с возмущениями из некоторого заданного класса; — для вполне управляемых по Калману при каждом фиксированном t О систем управления выделены такой класс, для которого задача поиска стабилизирующего управления решается аналогично линейному стационарному случаю; — обеспечена программная реализация полученных в работе теоретических результатов с использованием современных компьютерных технологий. Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие. 1. Применение второго метода Ляпунова позволило выделить классы линейных нестационарных систем, для которых анализ устойчивости можно выполнять аналогично стационарным системам. 2. Определены классы матриц А (О и векторов распределения управления Ь(ґ), которые допускают распространение методов синтеза стабилизирующих управлений стационарными системами на нестационарный случай. 3. Разработан метод синтеза абсолютно устойчивых нестационарных систем с учетом разрывных нелинейностей в приводе управляющих органов. 4. На множестве допустимых разрывных управлений р(сг) є Ф определена функция р0(сг), обеспечивающая устойчивость нулевого решения и оптимальность по отношению к демпфированию заданной функции. 5. Предложен метод анализа устойчивости рассматриваемых систем по отношению к внешним возмущениям из определенных классов. 6. Разработан и реализован в программном виде для реального масштаба времени алгоритм стабилизации движения системы относительно заданной траектории. 7. Выполнены практические расчёты для быстроходного морского судна, демонстрирующие работоспособность и эффективность разработанных в диссертации теоретических положений и вычислительных методов.
Оптимальный закон изменения дифферента и обеспечивающее его программное управление
Практическая значимость работы определяется тем, что на основании проведённого теоретического исследования предлагаются алгоритмы анализа и синтеза систем управления, учитывающие нестационарную специфику рассматриваемых задач. Программная реализация алгоритмов управления позволяет в режиме реального времени работать с системами большой размерности, что расширяет возможности практического использования результатов работы.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 75 наименований.
Первая глава является теоретической основой диссертационной работы. Она посвящена исследованию вопросов устойчивости линейных нестационарных систем, решению задачи синтеза абсолютно устойчивых систем, методам выбора оптимальных разрывных управлений. В качестве базы для предлагаемых подходов используется второй метод Ляпунова. В первом параграфе осуществляется вывод новых достаточных условий устойчивости линейных нестационарных систем и доказывается ряд вспомогательных утверждений, используемых в работе. Во втором параграфе главы обсуждается вопрос о возможности расширения сферы применимости полученных результатов на более сложные случаи. В третьем параграфе первой главы рассматриваются вопросы, связанные с синтезом абсолютно устойчивых систем и производится выбор допустимого управления, оптимального по отношению к демпфированию некоторой положительной формы W(x) 0 от фазовых координат. Кроме того, изучается вопрос об устойчивости движения по отношению к постоянно действующим возмущениям из некоторых заданных пространств. В четвёртом параграфе главы рассматривается вопрос о стабилизации движения объекта по заданной траектории.
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с приложением полученных теоретических результатов для синтеза системы стабилизация движения быстроходного глиссирующего морского судна. В первом параграфе главы описана заданная модель невозмущённого движения судна и сформулирована задача синтеза законов управления. Во втором параграфе выполнена аппроксимация кривой разгона судна зависимостью, и на её основе модель динамики преобразована к виду (В.бб) с разделением уравнений на две независимые подсистемы: бокового движения и движения по дифференту. Для подсистем проведен анализ выполнения условий теорем параграфа 1.2. В третьем параграфе подробно описана предлагаемая блок-схема реализация бортового алгоритма управления боковым движением судна.
В третьей главе детально рассматривается синтез законов управления судном по дифференту. При этом для анализа, синтеза и моделирования системы управления широко используется стандартное программное обеспечения интегрированного пакета MATLAB. Результаты моделирования проиллюстрированы графиками. В заключении формулируются основные результаты диссертации и приводятся выводы из проделанной работы. Основными результатами, которые получены в результате проведённых исследований и выносятся на защиту, являются следующие: 1. Применение второго метода Ляпунова позволило выделить классы линейных нестационарных систем, для которых анализ устойчивости можно выполнять аналогично стационарным системам. 2. Определены классы матриц А(0 и векторов распределения управления Ь(0, которые допускают распространение методов синтеза стабилизирующих управлений стационарными системами на нестационарный случай. 3. Разработан метод синтеза абсолютно устойчивых нестационарных систем с учетом разрывных нелинейностей в приводе управляющих органов. 4. На множестве допустимых разрывных управлений #?( т) є Ф определена функция (pQ( 7), обеспечивающая устойчивость нулевого решения и оптимальность по отношению к демпфированию заданной функции. 5. Предложен метод анализа устойчивости рассматриваемых систем по отношению к внешним возмущениям из определенных классов. 6. Разработан и реализован в программном виде для реального масштаба времени алгоритм стабилизации движения системы относительно заданной траектории. 7. Выполнены практические расчёты для быстроходного морского судна, демонстрирующие работоспособность и эффективность разработанных в диссертации теоретических положений и вычислительных методов. Апробация работы. Диссертация в целом, а также её отдельные положения и полученные результаты докладывались на 11-м Международном семинаре IFAC "САО 2000", на XXXI научной конференции факультета ПМ-ПУ СПбГУ, на семинарах кафедры компьютерных технологий и систем факультета ПМ-ПУ и на семинарах лаборатории компьютерного моделирования систем управления НИИ ВМ и ПУ СПбГУ. Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 4 печатных работах [26], [27], [28], [75].
