Содержание к диссертации
Введение '.:. 5
1. Инварианты и канонические формы динамических систем 9
Скалярные линейные стационарные динамические системы 9
Инварианты динамических систем 10
Сингулярные числа и функции оператора свертки и ганкелева оператора 11
Линейные операторы динамической системы и их сингулярные функции 12
Свойства ганкелевых сингулярных чисел динамических систем 18
Эквивалентные преобразования линейных систем 18
Канонические представления динамических систем 21
Сопровождающие канонические формы 22
Жорданова каноническая форма 23
Последовательная каноническая форма 24
Цепные канонические формы 25
Двухдиагональные канонические формы 26
Сбалансированные представления динамических систем 27
Сбалансированная каноническая форма 28
Фазовое разложение Гловера 31
Системы с кратными сингулярными числами 32
Моносингулярные динамические системы 35
Свойства моносингулярных систем 36
Частотные характеристики моносингулярных систем 39
Взаимосвязь сингулярных чисел и частотных характеристик систем 40
Выводы и результаты 43
2. Анализ и синтез бисингулярных систем 45
Структура бисингулярных систем 45
Частотные характеристики бисингулярных систем 47
2.3. Синтез бисингулярных систем с заданным характеристическим полиномом 52
2.4. Выводы 54
3. Анализ циклических полисингулярных систем 56
Циклические бисингулярные системы 56
Сингулярные числа циклических систем 57
3.3. АФХ-эквивалентные передаточные функции 59
Достаточное условие АФХ-эквивалентности 61
Частичное совпадение диаграмм Найквиста 67
Сингулярные числа АФХ-эквивалентных систем 71
Неоднозначность декомпозиции 72
Корневой метод декомпозиции АФХ-эквивалентной системы 75
Матричный подход к задаче декомпозиции 79
Линейные электрические схемы с кратными сингулярными числами 83
Полисингулярность схем из одинаковых блоков 85
Выводы 86
4. Применение сингулярных чисел при решении прикладных задач 88
4.1. Сингулярные числа в задачах технической диагностики 88
4.1.1 Применение сингулярных чисел матрицы измерений для технической диагностики. 88
4.1.2. Тестовый контроль бисингулярных систем 95
4.2. Программное обеспечение для анализа и синтеза динамических систем с кратными
сингулярными числами 97
Программа построения сбалансированного канонического представления 97
Матричный алгоритм декомпозиции 101
Корневой алгоритм декомпозиции 105
Синтез полисингулярных электрических схем 108
Выводы 111
Литература 114
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 119
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 138
Список использованных сокращений
SISO Single input single output
MIMO Multiple input multiple output
АЧХ Амплитудно-частотная характеристика
АФХ Амплитудно-фазовая характеристика
ЛДС Линейная динамическая система
ПФ Передаточная функция
ФЧХ Фазочастотная характеристика
Введение к работе
Актуальность темы
К управляемым динамическим системам относится широкий класс технических систем. В настоящее время наблюдается интенсивное развитие и усложнение управляемых динамических систем, поэтому, несмотря на богатый арсенал существующих методов, задача анализа и синтеза различных классов таких систем не теряет своей актуальности. В частности, для теории и практики представляет интерес исследование специального класса линейных динамических систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами. Ганкелевы сингулярные числа динамической системы являются ее важнейшими инвариантами и могут применяться в решении задач из разных областей теории управления. Они естественным образом возникают при построении сбалансированного представления системы, которое имеет широкое применение вте-ории минимальных реализаций. В задачах редукции знание сингулярных чисел позволяет оценить порядок редуцированной системы и степень различия в поведении исходной и редуцированной систем. В задачах технической диагностики сингулярные числа могут применяться как эффективные диагностические признаки.
Наличие двух, трех или большего количества групп кратных сингулярных чисел существенно влияет на свойства системы и ее частотные характеристики. Далее такие системы называются бисингулярными, трисингулярными и полисингулярными соответственно.
Важные результаты, касающиеся систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами, были получены в работах Гловера (К. Glover), Обера (R. Ober), Макиежовски (J. Maciejowski), Неванлины (R. Nevanlinna), Пика (G. Pick), Нехари (Z. Nehari) и др. [3-5, 7-16]. В частности, Обером были исследованы сбалансированные представления таких систем, Гловером было найдено разложение передаточных функций полисингулярных систем в сумму фазовых слагаемых, Нехари решил проблему расширения произвольной системы до ближайшей фазовраща-тельной. В то же время основное внимание в известных работах уделялось системам с различными ганкелевыми сингулярными числами, в то время как теория бисингулярных, трисингу-лярных и полисингулярных систем развита недостаточно.
Отсюда следует актуальность исследования линейных динамических систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами, что важно для решения многих прикладных задач.
Кроме того, в известных работах при изучении ганкелевых сингулярных чисел делается акцент на описание в пространстве состояний (сбалансированное представление, грамианы управляемости и наблюдаемости), приводящее на практике к громоздким и трудоемким вычислениям. В связи с этим представляется актуальным исследование систем с кратными ганкеле-
выми сингулярными числами, использующее такие классические способы математического описания линейных систем, как передаточные функции и частотные характеристики.
Цель работы и задачи исследования
Целью диссертации является разработка методов анализа и синтеза линейных динамических систем с кратными сингулярными числами и исследование их свойств. К числу основных направлений исследования относятся:
постановка и решение задач анализа бисингулярных систем, включая отыскание алгебраических критериев бисингулярности; разработку методов определения ганкелевых сингулярных чисел системы непосредственно по передаточной функции; получение канонических (рорм бисингулярных систем и исследование их частотных характеристик;
постановка и решение задач параметрического и структурного синтеза1 бисингулярных динамических систем с заданными характеристиками, включая разработку алгоритмов синтеза систем с заданными ганкелевыми сингулярными числами и полюсами передаточной функции;
разработка алгоритмов и программ анализа и синтеза систем с кратными сингулярными числами и применение их для решения прикладных задач.
При этом под параметрическим синтезом понимается задача построения бисингулярных систем с заданными значениями ганкелевых сингулярных чисел и других параметров системы. Рассмотрено две постановки задачи синтеза, когда в качестве дополнительных параметров выступают коэффициенты ее характеристического полинома, либо передаточные функции пары моносингулярных систем, входящих в состав блочно-сбалансированного представления синтезируемой системы.
Методы исследования
При получении теоретических результатов использовались методы системного анализа, классической и современной теории управления, аппарат линейной алгебры, а также теория инвариантов динамических систем.
При выполнении аналитических выкладок использовался пакет MAPLE. Численное моделирование и компьютерные эксперименты проводились в среде MATLAB и SIMULINK.
Научная новизна
При решении поставленных задач получены следующие новые научные результаты:
- Проведен анализ и установлены свойства канонических представлений систем с кратны
ми сингулярными числами, получены алгебраические критерии бисингулярности.
Поставлена и решена задача структурного синтеза бисингулярных систем с заданными
сингулярными числами на базе фазовращательных блоков.
- Поставлена и решена задача параметрического синтеза бисингулярных систем с задан
ными сингулярными числами и характеристическим полиномом.
Введено понятие АФХ-эквивалентных систем и получено описание систем с совпадающими диаграммами Найквиста, решена задача синтеза таких систем.
Разработаны способы декомпозиции АФХ-эквивалентных систем и отыскания их минимальных представлений.
Найдено уравнение диаграммы Найквиста для циклических бисингулярных систем.
Практическая ценность
Практическая ценность диссертации заключается в разработке эффективных алгоритмов анализа и синтеза линейных динамических систем с кратными сингулярными числами. Разработанные алгоритмы позволяют:
синтезировать бисингулярные динамические системы с заданными параметрами; определять сингулярные числа бисингулярных систем непосредственно по амплитудно-частотной характеристике;
синтезировать системы с совпадающими диаграммами Найквиста. Разработан комплекс программ на языке пакета MATLAB для построения канонических форм динамических систем.
Полученные результаты полезны для решения ряда прикладных задач аппроксимации, редукции и технической диагностики.
Основные положения, выносимые на защиту
Методы анализа систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами и способ определения сингулярных чисел непосредственно по передаточным функциям и частотным характеристикам.
Методы и алгоритмы структурного и параметрического синтеза систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами.
Алгоритмы декомпозиции передаточных функций систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами.
Способ синтеза линейных электрических схем с кратными ганкелевыми сингулярными числами.
Внедрение результатов работы
Результаты работы были использованы при выполнении НИР по грантам РФФИ № 04-01-
00464 (Экстремальные задачи математической диагностики динамических систем), № 04-07-
90354 (Информационно-поисковая система графологического анализа и идентификации рукописных текстов) и № 08-08-00228 (Техническая диагностика систем автоматического управления на основе алгебраических инвариантов), а также нашли применение в учебном процессе кафедры вычислительных систем и сетей ГУАП. Акты внедрения приведены в приложении 2.
Апробация работы
Основные положения докладывались и обсуждались на XIV-м Международном научно-техническом семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2005 г.), на конференции «Компьютерные технологии, коммуникации, численные методы и математическое моделирование» (СПбГТУ, 2007 г.), а также на IV-й Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания (Смирновские чтения)» (С.-Петербург, 2006г.), на восьмой - десятой научных сессиях ГУАП.
Основные положения докладывались и обсуждались на научных семинарах лаборатории компьютерного моделирования кафедры вычислительных систем и сетей ГУАП.
Публикации
По теме диссертации опубликованы 10 печатных работ, в том числе две статьи в журналах, рекомендуемых ВАК.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений, а также списка литературы из 97 наименований. Изложение известных результатов снабжено ссылками, заимствованные теоремы приводятся без доказательств.
Основной материал изложен на 119 страницах машинописного текста и содержит 27 рисунков.
