Содержание к диссертации
Введение
1. Фазовый годограф релейной системы. Определение периодического движения 35
1.1. Понятие фазового годографа. Определение основного уравнения фазового годографа 36
1.2. Фазовый годограф релейных систем, содержащих звенья с ограничителями в объекте управления 41
1.3. Общий случай расположения звена с ограничителем в объекте управления 51
1.4. Фазовый годограф релейных систем с упругими ограничителями в объекте управления 58
1.4.1. Математическая модель звена с ограничителем типа упругий механический упор 59
1.4.2. Особенности фазового годографа 63
1.4.3. Построение фазового годографа 65
1.5. Фазовый годограф релейных систем с кусочно-линейными объектами управления 76
2. Устойчивость автоколебаний 89
2.1. Критерий устойчивости периодических движений в релейных системах с нелинейным объектом управления 90
2.2. Устойчивость периодических движений для систем с ограничителями в объекте управления 93
2.3. Устойчивость периодических движений для систем с упругими ударными взаимодействиями 103
2.4. Устойчивость периодических движений в системах с кусочно-линейными объектами управления 110
Релейные системы с трехпозиционным управлением.
3. Определение периодических движений 119
3.1. Понятие фазового годографа системы. Основное уравнение фазового годографа 120
3.2. Построение фазового годографа для объектов с ограничителями 129
3.3. Особенности построения фазового годографа для кусочно-линейных объектов управления 137
3.4. Определение периодических движений в системах с двумя управляющими релейными элементами 142
4. Устойчивость периодических движений 150
4.1. Алгебраический критерий устойчивости для нелинейного объекта управления общего вида 152
4.2. Устойчивость периодических движений в системах с ограничителями 158
4.3. Устойчивость периодических движений в системах с кусочно-линейными объектами управления 167
Релейные системы с цифровым управлением.
5. Периодические движения в релейных системах с цифровым управлением 176
5.1. Периодические движения в релейно-импульсных системах с двухпозиционным релейным элементом 177
5.2. Периодические движения в релейно-импульсных системах с трехпозиционным релейным элементом 184
5.3. Периодические движения в системах с цифровым управлением 190
5.4. Приближенный критерий устойчивости периодических движений 194
5.5. Возникновение квазистохастических процессов 201
6. Синтез релейных автоколебательных воздушно динамических рулевых приводов с цифровым управлением 207
6.1. Математическая модель воздушно-динамического рулевого привода 214
6.2. Фазовые годографы привода 223
6.3. Формирование структуры системы и контроль автоколебаний 230
6.4. Методика синтеза и оптимизации системы управления 241
6.5. Анализ синтезированной системы методом цифрового моделирования 249
7. Синтез автоколебательного пневмопривода с двумя управляющими релейными элементами 259
7.1. Математическая модель привода. Построение фазового годографа 260
7.2. Синтез и оптимизация системы управления 267
7.3. Линеаризация привода по полезному сигналу 271
7.4. Результаты синтеза 276
Заключение 281
Литература
- Фазовый годограф релейных систем, содержащих звенья с ограничителями в объекте управления
- Устойчивость периодических движений для систем с ограничителями в объекте управления
- Особенности построения фазового годографа для кусочно-линейных объектов управления
- Устойчивость периодических движений в системах с ограничителями
Введение к работе
Актуальность темы. Современная теория автоматического управления имеет достаточное количество эффективных инструментов анализа и синтеза линейных систем управления. Результаты, полученные в нелинейной теории, имеют, как правило, частный характер и относятся к определенному классу нелинейно-стей. В настоящее время фундаментальной проблемой теории управления является разработка методов анализа и синтеза новых важных и более широких классов нелинейных систем. Одним из таких классов являются релейные системы управления. Эти системы традиционно широко применяются в различных областях техники, что обусловлено рядом их преимуществ по сравнению с другими типами систем управления. К основным достоинствам релейных систем следует отнести простоту конструкции, настройки и эксплуатации. При этом во многих случаях они позволяют получить более высокие динамические характеристики. Релейные системы могут обладать большим быстродействием вследствие того, что управляющий сигнал в них изменяется практически мгновенно и объект управления всегда подвержен максимальному управляющему воздействию. Одной из характерных особенностей релейных систем является их склонность к автоколебаниям. Такой режим часто используется в качестве рабочего. Именно наличие автоколебаний позволяет добиваться нечувствительности системы к воздействию многих внешних возмущений, устранять вредное влияние отдельных нелинейных характеристик объекта управления.
Исследованию релейных автоколебательных систем посвящены многочисленные работы. Наиболее известными в этой области авторами являются А.А. Андронов, Ю. И. Неймарк, П. В. Бромберг, Гамель, ЯЗ. Цыпкин. За последние 30 лет на кафедре систем автоматического управления Тульского государственного университета под руководством профессора Н.В. Фалдина сформировалась научная школа по исследованию релейных систем. В рамках указанной школы значительный вклад в теорию релейных систем внесли С.А. Руднев, Н.В. Пученков, Ю.И. Лебеденко, Н.В. Панферов, А.Е. Чернов, П.Ю. Федоровский. Однако, во всех указанных трудах речь, как правило, идет о системах с линейным объектом управления (ОУ). К сожалению, реальные технические объекты управления, практически всегда, являются нелинейными и только при наличии соответствующих методов анализа и синтеза можно обеспечить высокое качество системы управления, а иногда и, вообще, решить задачу синтеза. Таким образом, актуальной является задача разработки прикладной теории релейных систем с нелинейными объектами управления.
Нелинейность технического объекта управления во многих случаях обусловлена наличием различного рода ограничителей. Это могут быть ограничители типа насыщение или ограничители типа механический упор. Последние в свою очередь можно разделить на жесткие и упругие. Вообще, важными для практики являются кусочно-линейные объекты управления. Именно указанным классам нелинейных ОУ уделено основное внимание в диссертационной работе.
Системы с двухпозиционным релейным управлением наряду с многочисленными преимуществами имеют существенный недостаток. В них невозможно
управлять амплитудой автоколебаний независимо от частоты. При проектировании реальных систем требования технического задания часто оказываются противоречивыми. С одной стороны требуется уменьшить амплитуду автоколебаний, а с другой не увеличивать их частоту. В этом случае перспективным является использование трехпозиционного управления. Такие системы являются более гибкими, так как имеют дополнительный параметр управляющего релейного сигнала- его скважность. Это позволяет изменять амплитуду автоколебаний независимо от их частоты. Однако, методы анализа и синтеза этих систем требуют разработки, поскольку в литературе практически не представлены.
Следует отметить сложность рассматриваемых в диссертации систем. С одной стороны сам релейный элемент представляет собой разрывную статическую нелинейность, т.е. является существенно нелинейным звеном. С другой стороны объекты управления также являются нелинейными и могут иметь сложную математическую модель. Например, звено с ограничителем типа жесткий механический упор описывается дифференциальным уравнением второго порядка с разрывной правой частью, причем разрывной (из-за удара об упор) является и фазовая траектория звена.
Практически все современные технические системы реализуются в цифровом виде. Наличие компактных и высокопроизводительных микроконтроллеров позволяет значительно проще реализовывать сложные законы управления. Кроме того, современное состояние микроэлектроники и цифровой техники предоставляет широкие возможности для модернизации устаревших аналоговых систем. Релейные системы с цифровым управлением являются специфическим классом систем автоматического управления, которые в научно-технической литературе рассмотрены весьма слабо. В таких системах имеет место дискретизация сигналов по времени и уровню. Они имеют ряд особенностей и обладают свойствами, которые не характерны, для систем с непрерывным временем. Развитие таких систем существенно сдерживается отсутствием теории, позволяющей проводить их анализ и синтез. Это потребовало разработки теоретических методов исследования релейных систем с цифровым управлением.
С использованием разработанной теории в диссертации решены прикладные задачи синтеза двух релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов соответственно с двух и трехпозиционным управлением. Такие приводы в последнее время широко используются в малогабаритных управляемых ракетах. Они не требуют специального источника питания, а используют энергию набегающего воздушного потока, отличаются простотой конструкции, малой стоимостью, удобны в эксплуатации и хранении. Воз душно-динамический привод как объект управления является существенно нелинейной динамической системой. Нелинейность привода обусловлена, прежде всего, наличием в нем механических упоров, которые приводят к нелинейностям специфического вида. Качество и точность наведения ракеты на цель существенно зависят от ошибок, которые вносит привод в формирование вектора перегрузки. Чем меньше эта ошибка, тем выше качество процесса наведения и вероятность поражения цели. Ошибка в формировании вектора перегрузки определяется системой управления привода. Располагая соответствующими методами синтеза, можно минимизиро-
вать ошибку привода и тем самым повысить качество процесса наведения. Настоящая работа направлена, в том числе, на разработку методики синтеза воздушно-динамических рулевых приводов малогабаритных управляемых ракет. Создание такой методики является непростой задачей, так как с одной стороны указанные приводы, как уже отмечалось, являются существенно нелинейными системами. С другой стороны, вследствие изменения скорости ракеты и плотности воздуха, параметры привода могут изменяться в широких пределах (для зенитных управляемых ракет малой дальности в сотни и более раз). Далее, к приводам предъявляются жесткие требования по массогабаритным показателям. Это исключает применение каких-либо сложных систем управления.
Объектом исследования являются релейные автоматические системы с нелинейными объектами управления.
Целью работы является решение важной научно-технической проблемы, состоящей в создании прикладных методов анализа и синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления. Разработка на основе указанных методов методики синтеза релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов, позволяющей получать системы с наилучшими в рамках заданной структуры характеристиками.
Основными задачами, решенными в диссертации, являются
-
Разработка на основе понятия фазового годографа общего подхода к анализу и синтезу релейных автоколебательных систем с нелинейными ОУ.
-
Разработка методов определения параметров периодических движений в релейных системах с двух и трехпозиционными релейными элементами (РЭ) и нелинейными объектами управления.
-
Разработка методов оценки устойчивости автоколебаний в указанных релейных системах.
-
Создание простых в применении методов анализа релейных систем с цифровым управлением.
-
Разработка методики синтеза релейных автоколебательных систем.
-
Разработка алгоритмического и программного обеспечения для синтеза релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов с использованием методов конечномерной оптимизации.
Методы исследования. Отличительной особенностью релейных систем является то, что в них известна форма сигнала, поступающего с релейного элемента на вход объекта управления. В методах Цыпкина, Гамеля и Поспелова (они относятся к релейным системам с линейными объектами управления) это обстоятельство используется для определения возникающих в релейной системе автоколебаний. Однако, результаты исследований, проведенных автором, позволяют сделать вывод о том, что априорные знания о форме сигнала, поступающего на объект управления, являются той информацией, основываясь на которой можно построить удобную для практического использования теорию релейных систем с нелинейными объектами управления. На основе метода фазового годографа получены результаты, позволяющие исследовать релейные системы с нелинейными объектами управления. При получении теоретических результатов использовались методы теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, нели-
нейной теории автоматического управления, теории дискретных систем, теории матриц. При анализе и синтезе конкретных систем широко применялись численные методы решения дифференциальных уравнений, цифровое моделирование.
Научная новизна работы. В диссертации разработаны новые теоретические методы и практические методики анализа и синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления. Получены следующие новые научные результаты:
1. Методы построения фазового годографа для систем с двухпозиционным
релейным элементом. Выявлены особенности фазового годографа, т.е. установле
но, когда он является гладкой вектор-функцией, в каких случаях имеет разрывы и
точки ветвления. Получено дифференциальное уравнение, решением которого яв
ляется ФГ. Для кусочно-линейных объектов управления оно позволяет сущест
венно упростить (сократить время) построения фазового годографа. Разработаны
алгоритмы локализации и вычисления всех ветвей неоднозначности для следую
щих классов объектов управления:
системы с произвольно расположенными звеньями типа жесткий механический упор;
системы с упругими ограничителями;
кусочно-линейные объекты управления общего вида.
-
Методы оценки устойчивости периодических движений в системах с двухпозиционным релейным элементом. Разработан алгебраический критерий устойчивости автоколебаний в системах с нелинейным объектом управления. Устойчивость автоколебаний сведена к устойчивости линейного разностного уравнения, которая определяется собственными числами некоторой матрицы G. Для систем с кусочно-линейными объектами управления, в том числе и при наличии звеньев с ограничителями, получены аналитические зависимости, задающие матрицу G в явном виде.
-
Методы определения периодических движений в системах с трехпозици-онным управлением. Разработаны методы построения фазового годографа с полным выделением всех его ветвей неоднозначности для объектов с ограничителями и кусочно-линейными ОУ. Получено дифференциальное уравнение, позволяющее уменьшить требования к вычислительным ресурсам, необходимым для построения ФГ. Создан также метод нахождения параметров периодических движений в системах с двумя управляющими двухпозиционными релейными элементами.
-
Методы оценки устойчивости автоколебаний в системах с трехпозицион-ным релейным элементом. Получен алгебраический критерий асимптотической орбитальной устойчивости периодических движений для систем с произвольным нелинейным объектом управления. Получены аналитические зависимости, позволяющие вычислять матрицы линеаризованного оператора сдвига для различных ОУ и видов периодических движений.
-
Методы анализа периодических движений в релейных системах с цифровым управлением. Разработаны алгоритмы определения параметров автоколебаний в релейно-импульсных и цифровых системах с двух и трехпозиционным управлением. Предложен простой способ определения устойчивости периодических движений в таких системах. Кроме того, разработан приближенный усилен-
ный критерий, который более полно учитывает специфику таких систем. Выявлены условия возникновения квазистохастических процессов и возможность использования такого режима в качестве рабочего.
6. Методика синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления. На основе разработанных теоретических положений получен алгоритм, позволяющий рассматривать задачу синтеза, как задачу конечномерной оптимизации и формировать системы с наилучшими в рамках заданной структуры показателями качества.
Практическая ценность работы состоит в том, что на базе единого подхода разработаны прикладные методы синтеза и оптимизации релейных автоколебательных систем с различными нелинейными объектами управления. Полученные в диссертации теоретические результаты имеют выраженную практическую направленность. Их хорошая сочетаемость с методами конечномерной оптимизации и простая программная реализация позволяют получать системы с наилучшими показателями качества.
Следует отметить вычислительную экономичность созданных методов. Все трудоемкие с вычислительной точки зрения операции выполняются однократно на предварительном этапе и в процессе оптимизации, когда анализируется большое количество вариантов, не используются. Это позволяет упростить синтез, и многократно сократить сроки проектирования релейных систем.
Самостоятельное значение имеет разработанная в диссертации методика синтеза воздушно-динамических рулевых приводов, посредством применения которой в работе синтезированы два привода с высокими динамическими характеристиками.
Реализация результатов. Диссертационная работа выполнена на кафедре систем автоматического управления Тульского государственного университета и в ней нашли отражение результаты исследований, проведенных автором в рамках гранта № 05-08-33506 Российского фонда фундаментальных исследований «Прикладная теория релейных систем с нелинейными объектами управления», выполнявшегося в 2005-2008гг. В 2008 году по тематике диссертации автором был получен грант Президента РФ для поддержки молодых российских ученых № МК-3963.2008.8 «Синтез и оптимизация релейных автоколебательных рулевых приводов малогабаритных управляемых ракет». Результаты, полученные в диссертации, использовались при проведении хоздоговорных работ с ГУЛ «КБ Приборостроения» на тему «Разработка метода синтеза и оптимизации релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов ПТУР и ЗУР малой дальности». Методика синтеза и оптимизации релейных воздушно-динамических рулевых приводов внедрена в практику проектирования указанного предприятия. Кроме того, результаты исследований внедрены в учебный процесс Тульского государственного университета в лекционный курс «Динамика нелинейных систем управления» и используются студентами при выполнении дипломных проектов и магистерских диссертаций.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Общий подход к анализу и синтезу релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления.
2. Методы анализа и синтеза релейных автоколебательных систем с двухпо-
зиционным управлением, включающие:
а) метод построения фазового годографа для трех классов нелинейных
объектов управления (кусочно-линейные ОУ, системы с жесткими механически
ми ограничителями, системы с упругими ограничителями);
б) критерий устойчивости автоколебаний для систем с нелинейным ОУ.
Аналитические зависимости для матриц, по собственным числам которых оцени
вается устойчивость систем с кусочно-линейными ОУ и систем с различными ти
пами ограничителей;
в) методика синтеза и оптимизации релейных регуляторов.
3. Методы анализа и синтеза релейных систем с трехпозиционным управле
нием, в том числе систем с двумя управляющими РЭ, включающие:
а) метод определения параметров периодических движений и построения
фазового годографа, алгоритмы локализации и определения ветвей неоднозначно
сти ФГ для кусочно-линейных ОУ и объектов с ограничителями;
б) алгебраический критерий асимптотической орбитальной устойчивости
автоколе баний;
в) методика синтеза и оптимизации автоколебательных систем.
-
Алгоритмы определения автоколебаний и способы оценки их устойчивости в релейно-импульсных системах и релейных системах с цифровым управлением.
-
Методика синтеза релейных автоколебательных рулевых приводов с двух и трехпозиционным управлением.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на двух Международных молодежных научных конференциях "XXV и XXVIII гага-ринские чтения" (Москва, 1999г. и 2002г.), III международной научно-технической конференции "Управление в технических системах-XXI век " (Ковров, 2000г.), Всероссийской молодежной научной конференции "VI Королевские чтения" (Самара, 2001г.), VI всероссийской конференции "Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов" (Москва, 2002г.), пяти Всероссийских научно-технических конференциях "Проблемы специального машиностроения" (Тула, 1999г., 2001г., 2002г., 2003г., 2005г.), VII Всероссийской юбилейной научно-технической конференции "Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов" (Москва, 2005г.), Всероссийской научно-технической конференции "Мехатронные системы (теория и проектирование)" (Тула, 2006г.), Международной научно-практической конференции "Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте '2007" (Одесса, 2007г.), II международной конференции «Системный анализ и информационные технологии» (Обнинск, 2007г.), Восьмой всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Н. Новгород, 2008г.), Международной научной конференции "Математическая теория систем" (Москва, 2009г.).
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех частей, семи глав, выводов по результатам исследований, списка литературы из 225 наименований. Диссертация изложена на 305 страницах, содержит 133 рисунка и 9 таблиц.
Фазовый годограф релейных систем, содержащих звенья с ограничителями в объекте управления
Предполагается, что удар оп упор является абсолютно неупругим. Предположение о неупругости удара во многих случаях позволяет корректно описывать системы с ограничителями типа механический упор. Однако при исследовании быстродействующих малоинерционных систем возможны ситуации, когда упругость ударов об ограничитель будет оказывать существенное влияние на протекающие в объекте управления процессы. Это приводит к необходимости разработки методов анализа и синтеза систем релейных автоколебательных систем, позволяющих учитывать упругость ударов об механические ограничители и выявлять особенности таких систем.
Существуют различные подходы к описанию удара двух тел, различающиеся степенью идеализации процессов в рассматриваемых объектах. Неотъемлемой частью теоретической механики является стереомеханическая теория удара абсолютно твердых тел, основы которой были заложены И. Ньютоном. Задачи об ударе, решаемые в рамках теории сплошных сред, предполагают определение меняющихся в процессе развития удара полей контактных напряжений и деформаций, общей длительности соударения, сопутствующих ему пластических течений и волновых процессов. Более грубая стереомеханическая теория основана на понятии коэффициента восстановления удара, определяемого экспериментально, исходит из допущения о мгновенности удара и позволяет определить только ударные импульсы и послеударное динамическое состояние рассматриваемой ударно-колебательной системы. Вместе с тем использование этой теории позволяет рассматривать достаточно сложные задачи об ударе, эффективное решение которых в рамках теории сплошных сред является в настоящее время проблематичным.
В силу сказанного выше стереомеханическая теория широко используется в настоящее время при описании динамики ряда механизмов и процессов ударного и виброударного типа. Использование стереомеханической теории удара позволяет свести задачу об ударно-колебательных движениях механических систем к интегрированию существенно нелинейных кусочно-непрерывных дифференциальных уравнений. При этом рабочему режиму движения анализируемого механизма обычно отвечает устойчивое периодическое решение этих уравнений, отличающееся тем, что внутри одного периода движения реализуются один или два удара.
Теоретические и экспериментальные исследования, однако, показали, что в действительности весьма вероятными оказываются движения качественно иного типа, в ходе которых после основного удара реализуется серия повторных учащающихся соударений уменьшающейся интенсивности. Аналитическое описание этого явления в рамках стереомеханической теории приводит к понятию о бесконечно-ударном процессе, т.е. о бесконечной последовательности учащающихся соударений уменьшающейся до нуля интенсивности, и эта последовательность соударений в конечное время завершается установлением длительного контакта между взаимодействующими телами. Бесконечно-ударный процесс, обусловленный не вполне упругим характером отдельных соударений, называют квазипластическим (как бы абсолютно неупругим) ударом благодаря его внешнему сходству с абсолютно неупругим ударом, реализующимся в рассматриваемой системе .при всех прочих равных условиях. Были предложены аналитические и численные методы расчета бесконечноударных движений. В процессе исследований был выявлен ряд специфических свойств бесконечноударных процессов применительно к системам, непрерывным в интервалах между ударами, а также в системах с дополнительной нелинейностью разрывного типа (пара сухого трения, дополнительная ударная пара, неудерживающая связь). Среди них важнейшим является свойство нечувствительности бесконечно-ударных процессов к значению коэффициента удара или, иными словами, по существу, к тому, в каких условиях происходит каждое единичное соударение. Это означает, что при определенных условиях конечное динамическое состояние системы по завершении бесконечно-ударного процесса совпадает или весьма близко к состоянию этой системы после того, как в начальный момент произошло абсолютно неупругое соударение при всех прочих равных условиях. Соответственно, количественное описание бесконечно-ударных движений, нечувствительных к значению коэффициента удара, существенно упрощается.
Отдельный интерес представляет исследование релейных систем с кусочно-линейными объектами управления. В этом случае движение системы в разных областях фазового пространства описывается разными и совершенно не связанными между собой дифференциальными уравнениями. Определение периодических движений в таких системах и оценка их устойчивости также рассматриваются в настоящей диссертационной работе.
К релейным системам управления, работающим в автоколебательном режиме, обычно предъявляются жесткие требования на параметры автоколебаний (частоту и амплитуду), на точность режима слежения, режима стабилизации, жесткость системы и т.п. В релейных системах с двухпозиционным релейным элементом амплитуда автоколебаний однозначно связана с их частотой. В релейных системах с трехпозиционным релейным элементом амплитуда автоколебаний зависит как от частоты так и от параметра у, с помощью которого задается скважность сигнала с выхода релейного элемента. Таким образом, в релейных системах с трехпозиционным релейным элементом появляется возможность управлять амплитудой автоколебаний, не изменяя их частоту. В некоторых случаях это бывает важно, так как требования на частоту и амплитуду могут носить противоречивый характер. Далее, применение трехпозиционных релейных элементов позволяет уменьшить амплитуду автоколебаний, что приводит к повышению точности режима слежения. Однако трехпозиционный релейный элемент имеет зону нечувствительности. Это порождает в релейной системе при отсутствии входного сигнала два установившиеся состояния: состояние покоя, т.е. имеет место тривиальное решение вида x(t) = 0 (здесь x(t) - фазовый вектор системы), и периодическое движение. Каждое из указанных состояний имеет свою область притяжения. Так как нормальным режимом работы релейной системы является автоколебательный, то требуются специальные меры по возбуждению автоколебаний, что ухудшает эксплуатационные характеристики системы.
Перспективным выглядит использование вместо трехпозиционного релейного элемента двух идентичных двухпозиционных релейных элементов. При суммировании сигналов, поступающих в режиме автоколебаний с выходов релейных элементов, смещенных относительно друг друга по фазе, получается сигнал, аналогичный сигналу с выхода трехпозиционного релейного элемента.
Анализ литературы показывает, что теория релейных систем с трехпозиционным управлением практически не разработана. Среди немногочисленных публикаций можно выделить работы [199], [173], однако они относятся релейным системам с линейными объектами управления. Таким образом, актуальной является задача разработки методов анализа и синтеза систем с трехпозиционным релейным элементом и нелинейными объектами управления.
Устойчивость периодических движений для систем с ограничителями в объекте управления
Как следует из равенств (2.30) и (2.31), две строки матрицы Q, соответствующие х, их2, являются нулевыми. Далее в [154] показано, что при оценке устойчивости автоколебаний одно собственное число матрицы G обязательно равно нулю. Для определения собственных чисел матрицы G использовалось программное средство Matlab. Были получены следующие значения собственных чисел матрицы G: Л = [і.32-10"5; -0.138; 1.43-10"4; 0; 0; о]. Поскольку они удовлетворяют неравенствам (2.14), то возникающее в релейной системе периодическое движение асимптотически орбитально устойчиво.
Устойчивость периодических движений для систем с упругими ударными взаимодействиями.
При исследовании устойчивости периодических движений в малом, традиционным подходом является оценка устойчивости с помощью точечного отображения поверхности переключений, линеаризованного в окрестности исследуемых колебаний. При исследовании устойчивости периодических движений автономных релейных систем наибольший интерес представляет оценка орбитальной асимптотической устойчивости, при наличии которой траектория возмущенного движения "наматывается" на предельный цикл автоколебаний, соответствующий невозмущенному периодическому движению. Далее, как и выше, рассмотрим критерий асимптотической орбитальной устойчивости автоколебаний "в малом", который, является необходимым условием устойчивости этих движений в целом.
Выше был рассмотрен метод оценки устойчивости автоколебаний в релейных системах с ограничителями в объекте управления. При этом ударные взаимодействия, возникающие в системе, считались абсолютно неупругими. Такое упрощение не всегда позволяет адекватно описывать происходящие процессы. Оценка устойчивости периодических движений в релейных системах, содержащих звенья с упругими механическими ограничителями в объекте управления, обладает определенной спецификой и требует разработки соответствующих методов.
Рассмотрим релейную систему с объектом управления, состоящим из последовательно соединенных линейных блоков и звена с ограничителем в форме упругого механического упора. Математическая модель такого звена приведена в п. 1.4.1. Устойчивость автоколебаний для релейных систем с любым нелинейным объектом управления оценивается по собственным числам матрицы G = 0 j.—— (см. п. 2.1). Основную сложность при этом составляет вычисление матрицы сдвига на полупериоде Q. Рассмотрим построение этой матрицы для рассматриваемых объектов.
Одной из особенностей релейных систем содержащих в своем составе звено с ограничителем в форме упругого механического упора является разнообразие формы периодических движений, способных возникать в таких системах. Возможные периодические движения могут различаться по количеству ударов об ограничитель на полупериоде, по наличию участков движения на ограничителе, по взаимному расположению участков движения в открытом ядре и участков движения на ограничителе. Кроме того, возможен случай, когда в процессе периодических движений удары об ограничитель отсутствуют (в данном случае объект управления является линейным и матрица сдвига для него определяется выражением О = -ест ). С точки зрения вычисления матрицы сдвига Q возможные периодические движения имеет смысл различать только по количеству ударов об ограничитель, так как не имеет значения, какой именно ограничитель (положительный или отрицательный) достигается на полупериоде.
Рассмотрим получение матрицы сдвига Q для симметричных периодических движений с однократным достижением ограничителя на полупериоде. Пусть период автоколебаний равен 2Т, а удар об ограничитель происходит в момент времени t = ti (рис.2.5).
При наличии в объекте управления ограничителя в форме упругого механического упора возможны различные варианты подобных периодических движений, однако, во всех случаях структура матрицы сдвига Q идентична. Будем предполагать, что в фазовом векторе х объекта управления, компонент Х\ соответствует выходной координате звена с ограничителем типа механический упор, а компонент х2 - скорости изменения выходной координаты звена с ограничителем.
В момент достижения ограничителя имеет место разрыв фазовой траектории: x(tl+0) = Nx(tl-0), (2.37) где vV=diag( 1 ,-г, 1,... 1) - матрица пхп, г- коэффициент восстановления. Условие достижения ограничителя имеет вид: Hx—±D, где 7/=(1,0,...0) -матрица lxn, D - координата ограничителя.
Особенности построения фазового годографа для кусочно-линейных объектов управления
Одним из важнейших этапов исследования любой системы автоматического управления является анализ её устойчивости. Для следящих релейных систем, у которых номинальным режимом работы является автоколебательный, эту задачу принято рассматривать как анализ устойчивости периодических движений системы.
Рассмотрим релейную систему, которая описывается уравнениями (3.1), (3.2). Каждому решению x(t) ( Q t xi) этой системы в фазовом пространстве соответствует некоторая линия, т. е. определённая совокупность точек фазового пространства, которую обозначим через L{x(t): t є [/01{]}. Расстояние между некоторой точкой z є X и множеством L можно определить следующим равенством
Предположим, что при y{t) = 0 в фазовом пространстве системы X существует замкнутая фазовая траектория (предельный цикл) xn(t), соответствующая периодическому решению уравнений (3.1), (3.2). Указанный предельный цикл обозначим через L0{xn(t):t e[tQ t{]}. Возмущённую траекторию релейной системы обозначим через x{t).
Периодическое решение автономной системы (3.1), (3.2) хп(0называется орбитально устойчивым по А. М. Ляпунову [ПО], если для любого Д 0 можно найти такое є(А) 0, что для всех решений системы x{t), удовлетворяющих неравенству зд- „( „)! , (4.1) выполняется соотношение p(x(t),L0) A, где векторы x(t) и xn(t) рассматриваются в одни и те же моменты времени.
На практике обычно интересуются асимптотической орбитальной устойчивостью. Периодическое решение автономной релейной системы (1.1), (1.2) xn(t) называется асимптотически орбитально устойчивым [110], если оно устойчиво по Ляпунову и т. е. если xn(t) - асимптотически орбитально устойчивый предельный цикл, то любая траектория x(t), удовлетворяющая условию (4.1), "наматывается" на траекторию xn{t). Отметим, что именно такой тип устойчивости гарантирует возврат системы на прежний режим работы после действия на неё возмущения, т. е. колебания обладают определённой стабильностью и их можно обнаружить при помощи физических экспериментов.
Приведённые определения устойчивости предельных циклов релейной системы относятся к устойчивости "в малом", т. е. к такому типу устойчивости, в определении которого нельзя заранее указать величину є. Исследование устойчивости "в большом" (когда величина є является ограниченной) и в "целом" (область возможных значений вектора x(t0) совпадает со всем фазовым пространством системы) наталкивается на серьёзные трудности принципиального характера, связанные с необходимостью исследования всего фазового пространства, что на практике успешно решается лишь для систем невысокого порядка. Ниже рассматривается асимптотическая орбитальная устойчивость автоколебаний релейных систем с трёхпозиционными релейными элементами "в малом".
Анализу устойчивости "в малом" предельных циклов релейных систем посвящено достаточно большое число работ. Однако практически все они посвящены релейным системам с линейными объектами управления. Например, в монографии Я. 3. Цыпкина [199] исследование устойчивости периодических движений сводится к исследованию устойчивости некоторой импульсной системы, полученной при помощи уравнений в вариациях объекта управления. Такой способ оценки устойчивости предельного цикла релейной системы позволяет получить как алгебраические, так и частотные критерии устойчивости. Однако, эти результаты обладают определёнными недостатками. Например, этим методом можно проверить устойчивость предельного цикла релейной системы по Ляпунову, тогда как с технической точки зрения требуется, прежде всего, асимптотическая орбитальная устойчивость. Применение указанных методов для релейных систем с трехпозиционными релейными элементами приводит к необходимости исследования устойчивости импульсной системы с двумя идеальными импульсными элементами, работающими синхронно, но несинфазно. Кроме того, в случае нелинейного объекта управления эквивалентная импульсная система оказывается также нелинейной. Способы оценки устойчивости таких импульсных систем в настоящее время слабо разработаны. Всё это значительно осложняет практическое использование известных методов и приводит к необходимости разработки новых.
Во второй главе настоящей работы предложен простой и удобный для применения, как на этапе анализа, так и на этапе синтеза алгебраический критерий асимптотической орбитальной устойчивости периодических движений релейных систем с двухпозиционными релейными элементами. Распространим этот метод на случай, когда статическая характеристика релейного элемента имеет зону нечувствительности.
Пусть движение релейной системы описывается системой уравнений и-мерный вектор состояния (фазовый вектор системы), f(x,u) = (f](x,u),...,fn(x,u)) - «-мерная вектор-функция, сг(х) -скалярная функция векторного аргумента, у, с и и - скалярные величины: входной сигнал релейной системы, входной и выходной сигналы релейного элемента. Функция Ф задаётся графиком трёхпозиционного релейного элемента.
Предположим, что при отсутствии входного сигнала уравнения релейной системы (4.2), (4.3) имеют симметричное периодическое решение x(t) с параметрами у0 и Т, которое задаётся точкой фазового годографа х\у,Т). Пусть в невозмущённом движении начальная точка х(0) принадлежит поверхности а(х) = -к, т. е. х(0) — х\у,Т). Внесём в движение возмущение. Предположим, что начальное условие возмущено на некоторую малую величину Sx(0) = Sx
Устойчивость периодических движений в системах с ограничителями
Для рулевых приводов летательных аппаратов рассматриваемого класса определяющим является установившийся режим работы. В этом случае их динамические свойства традиционно оцениваются с помощью частотных характеристик. Сигнал, поступающий на вход привода, является гармоническим у = A0-s m(a ). (6.9)
Можно показать, что выходной сигнал релейной системы в режиме слежения за гармоническими входными сигналами является почти периодической функцией, причем спектр этого сигнала содержит составляющую, имеющую частоту входного сигнала. При оценке точности режима слежения необходимо ориентироваться именно на эту составляющую, так как остальные составляющие движения имеют высокую частоту, и они не отрабатываются ракетой, обладающей большой инерционностью. Указанную составляющую можно выделить из сигнала, разложив его в ряд Фурье. Отметим, что выходным сигналом линеаризованной релейной системы при использовании метода линеаризации, изложенного в [154], является именно основная составляющая движения, имеющая частоту входного сигнала.
Для рассматриваемого воздушно-динамического рулевого привода согласно техническому заданию частота входных сигналов может изменяться в диапазоне здесь тач = 0.436 рад - максимальный угол, на который отклоняются рули ракеты. Задача привода, как можно точнее отслеживать входной сигнал. Отсюда следует, что фазовая характеристика в указанных 230 диапазонах должна как можно меньше отличаться от нуля, а амплитудная от единицы. В этих условиях задачу синтеза релейной системы следует формулировать, как задачу оптимизации. Причем, в качестве критерия оптимизации логично выбрать фазовую характеристику замкнутого привода, так как при синтезе таких систем наиболее сложно удовлетворить требованиям именно по фазовому сдвигу. Далее, в качестве критерия оптимизации будем рассматривать следующую величину. Q= max arg Ф(у & )], (6.12) 0 u) a max здесь а тах - максимальная частота входного сигнала из диапазона (6.10); Ф(я)- передаточная функция замкнутой линеаризованной системы.
Вследствие нестационарности параметров математической модели привода в данном случае приходится принимать к рассмотрению целый ансамбль частотных характеристик, описывающих динамические свойства системы на всех режимах работы. Это, несомненно, серьезно осложняет задачу синтеза, так как появляется необходимость выбора такой структуры коррекции и ее параметров, которые удовлетворили бы предъявляемым требованиям к динамике привода во всем диапазоне избыточных давлений.
Выбор структуры и параметров коррекции релейных автоколебательных систем является ключевой задачей, от решения которой зависит успешное проектирование рассматриваемых исполнительных устройств. Сложность такой задачи объясняется тем, что в настоящее время не существует общего рецепта коррекции при синтезе нелинейных систем, содержащих ограничители в виде механических упоров в объекте управления.
Предварительные замечания о схеме коррекции могут быть получены на основании построенных ранее R -характеристик модели (см. 231 п. 6.2). Как было показано, в приводе без корректирующих устройств возникают низкочастотные автоколебания с большой амплитудой. При этом привод является неработоспособным.
Остановимся на вопросе выбора частоты автоколебаний. Нижняя граница частоты автоколебаний выбирается исходя из требований на амплитуду автоколебаний. Будем полагать, что амплитуда автоколебаний привода не должна превышать 25% от Smax. Если не принимать во внимание режимы работы привода с Рн 0.58кг/см", так как они имеют малую продолжительность, то нижняя граница допустимого диапазона частот автоколебаний равна 70 Гц.
Поскольку в приводе используется нейтральный электромагнит, который может работать только в режиме переброса якоря магнита с одного упора на другой, то верхней границей частоты автоколебаний является максимальная частота, при которой якорь магнита бьет по упорам. Эта частота оказалась равной 130 Гц. Таким образом, частота автоколебаний привода должна лежать в диапазоне 70 Гц faem 130Гц.
При численном решении задачи оптимизации на каждом шаге приходится оценивать точность системы и, кроме того, удовлетворяет ли она всем наложенным ограничениям, таким как устойчивость автоколебаний и их частота. В данном случае задача осложняется еще и нестационарностью параметров привода (наличием множества режимов работы). Все это приводит к огромному объему вычислений, которые не под силу даже современным компьютерам. Поэтому при формировании критерия оптимизации целесообразно ориентироваться на какой-либо один из режимов работы. В качестве такого режима был выбран режим, соответствующий Ри = 0.58 кг/см", поскольку было выявлено, что он характеризуется неблагоприятным сочетанием параметров привода. Далее, для упрощения оптимизации, частота автоколебаний для этого режима была зафиксирована на уровне 85 Гц. При этом учитывались ограничения на частоту и устойчивость автоколебаний для остальных характерных режимов, в качестве которых были выбраны режимы с Рн = 2.0 кг/см и Р„ =21.4 кг/см2.
Поскольку система охвачена обратной связью по координате 8, то частота автоколебаний определяется точкой пересечения R характеристикой 8 (Т) прямой -Я, где 2Я- величина петли гистерезиса релейного усилителя мощности. Это означает, что корректирующее устройство можно выбирать по виду 8 (Т).
Для стабильной работы всей системы необходимо существование автоколебаний на каждом из режимов лишь одной частоты. Поэтому корректирующее устройство должно быть таким, чтобы R -характеристика выходной координаты скорректированной системы имела единственную точку пересечения с прямой - Я. При возрастании полупериода Т R- характеристика 8 (Т) должна пересекать прямую —Я сверху вниз, что соответствует необходимым условиям устойчивости автоколебаний (2.32).
Учитывая, что 8 (Т) имеет ярко выраженный положительный максимум, R -характеристика корректирующего устройства должна иметь соответствующего вида минимум. Обратившись к нормированным R -характеристикам типовых звеньев, легко установить, что такими свойствами обладают колебательные звенья. Поскольку в рассматриваемой системе кроме выходной координаты 8 легко поддается измерению лишь управляющий сигнал и , то колебательное звено, включенное в обратную связь релейного усилителя мощности, будем использовать для создания необходимых параметров автоколебаний. Очевидно, что выбор корректирующего устройства, стоящего в обратной связи релейного усилителя и обеспечивающего необходимые параметры автоколебаний не является однозначным. Например, в обратной связи релейного элемента можно использовать два колебательных звена. В этом случае упрощается поиск параметров коррекции, однако, структура системы усложняется. Традиционно для повышения динамических характеристик системы в контур управления системы включается интегро-дифференцирующий фильтр. При этом в процессе оптимизации его постоянные времени 7\ и Т.2 изменяются независимо, то есть в окончательном варианте он может получиться как с преимущественным дифференцированием, так и с преимущественным интегрированием. Единственным ограничением здесь является разнос фильтра п = Тф2 1ТфХ. В данном случае это ограничение было установлено на уровне п 15. Структурная схема скорректированного рулевого привода представлена на рис. 3.14.
