Введение к работе
Актуальность работы. Модели нелинейных динамических систем с мультипликативными взаимодействиями процессов широко распространены на практике и встречаются при описании объектов и систем различной физической природы. Они часто встречаются при описании процессов в электромеханических системах, при исследовании динамики твердого тела, геомагнитного поля и атмосферных процессов Земли, исследовании процессов в экологических системах, при системном анализе заболеваемости, описании динамики химических процессов и в других случаях.
Известные подходы к исследованию процессов в данных системах базируются, в основном, на результатах имитационного моделирования. В ряде работ, посвященных анализу технических объектов, производится линеаризация моделей с последующим использованием линейной теории управления для исследования динамики в малой окрестности установившихся режимов. Анализ модели с помощью более общих методов исследования нелинейных систем имеет место лишь в отдельных работах (второй метод Ляпунова).
Несмотря на распространенность систем с мультипликативными связями процессов, они не рассматриваются с позиций единого класса нелинейных систем. Отсутствует анализ возможностей и особенностей применения наиболее распространенных классических методов исследования нелинейных систем при исследовании объектов данного класса. Значимость этой задачи определяется также целесообразностью распространения методов исследования нелинейных технических систем на системы другой природы, порождающие при описании модели мультипликативного типа. Поэтому задача разработки обобщенной модели систем с мультипликативными взаимодействиями процессов и исследование особенностей ее динамики является актуальной.
Цель работы. Разработка обобщенной модели и исследование равновесных состояний динамических объектов с нелинейным взаимодействием процессов мультипликативного характера.
Основные задачи. Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач:
-
Анализ математического описания объектов и систем различной физической природы с мультипликативным взаимодействием процессов и разработка их обобщенной модели.
-
Исследование влияния мультипликативных связей переменных на динамические свойства модели.
-
Исследование динамики систем при малых отклонениях от положения равновесия.
-
Исследование устойчивости в большом равновесных положений мультипликативных систем.
-
Исследование периодических режимов мультипликативных систем.
Методы исследования – теория управления, теория дифференциальных уравнений, функциональный анализ, имитационное моделирование.
Научная новизна работы заключается в следующем:
-
Разработана обобщенная модель динамических систем различной физической природы с нелинейным взаимодействием процессов мультипликативного характера и получены зависимости общих динамических свойств модели от масштабного соотношения линейной и мультипликативной компонент ее уравнений в нормальной форме Коши.
-
Разработана общая классификационная таблица для мультипликативных систем второго порядка, устанавливающая возможные типы динамики системы в окрестности особых точек в зависимости от параметров ее модели.
-
Для мультипликативных систем предложена модифицированная форма квадратичной функции Ляпунова, позволяющая увеличить точность оценки размера области выполнения условий устойчивости по второму методу Ляпунова по сравнению с оптимальной квадратичной формой.
-
Показана возможность распространения на системы с нелинейным элементом мультипликативного типа метода гармонического баланса исследования периодических режимов. Для модели общего вида получены уравнения гармонического баланса по основной гармонике с постоянной составляющей и предложен графоаналитический метод их решения, оперирующий с характеристиками только линейных звеньев исходной модели.
Практическая значимость полученных результатов состоит в следующем:
Основные теоретические результаты работы доведены до уровня их практического применения (методики применения, классификационные таблицы).
Разработан программный модуль, позволяющий на основе полученных результатов проводить исследования возможных установившихся режимов, определять их устойчивость с нахождением областей устойчивости, определять наличие автоколебаний с нахождением их параметров.
Достоверность полученных результатов. Обоснованность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, подтверждается результатами имитационного моделирования, сравнением с известными экспериментальными данными, а также сопоставлением полученных в работе результатов с результатами, полученными для частных случаев другими исследователями, представленными в литературных источниках.
Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на трех научно-технических конференциях и семинарах и опубликованы в 6 печатных работах, включая 2 статьи в изданиях из перечня ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемых источников. Текст диссертации изложен на 136 страницах. Список литературы включает 76 наименований. В работе содержится 34 рисунка и 4 таблицы.
