Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача аппроксимационной сплайновой фильтрации сигналов систем с нестационарными возмущениями 14
1.1. Математические основы вычисления сплайновых функций и решений задач аппроксимации на основе нелинейных и линейных моделей 14
1.1.1. Вычисление кубических интерполяционных сплайновых функций 14
1.1.2. Задачи аппроксимации на основе нелинейных и линейных моделей 17
1.2. Аппроксимационная фильтрация сигналов систем с нестационарными возмущениями 20
1.2.1 Модели систем с нестационарными возмущениями, модели наблюдений, общая задача аппроксимационной фильтрации 20
1.2.2. Особенности применения существующих методов фильтрации для сигналов систем с нестационарными возмущениями 26
1.2.3. Обзор публикаций по методам и алгоритмам аппроксимационной фильтрации 30
1.3.Постановка задачи аппроксимационной сплайновой фильтрации сигналов систем с нестационарными возмущениями 34
Выводы к главе 1 38
Глава 2. Разработка методов аппроксимационной сплайновой фильтрации 39
2.1. Базовый метод аппроксимационной сплайновой фильтрации 39
2.1.1. Метод вычисления аппроксимационных сплайновых функций с нерегулируемыми условиями на концах интервалов наблюдений 39
2.1.2. Метод вычисления аппроксимационных сплайновых функций с регулируемыми условиями на концах интервала наблюдений 45
2.2. Метод аппроксимационной сплайновой фильтрации на основе дискретных ортогональных полиномов 48
2.2.1. Задача формирования системы дискретных ортогональных полиномов 48
2.2.2. Метод вычисления аппроксимационных сплайновых функций на основе дискретных ортогональных полиномов 52
2.2.3. Пример аппроксимационной сплайновой фильтрации на основе дискретных ортогональных полиномов 58
2.3. Метод аппроксимационной сплайновой фильтрации на основе дискретных полиномов второго порядка 59
Выводы к главе 2 68
Глава 3. Алгоритмы аппроксимационной сплайновой фильтрации сигналов систем с нестационарными возмущениями 70
3.1. Система цифровой обработки экспериментальных характеристик ЛА, полученных в результате испытаний в аэродинамической трубе 70
3.2. Алгоритмы аппроксимационной сплайновой фильтрации экспериментальных характеристик ЛА 74
3.3. Системы цифровой фильтрации звуковых сигналов 81
3.4. Алгоритм аппроксимационной сплайновой фильтрации для устранения шумов в звуковых сигналах 85
3.5. Алгоритмы преобразования частоты дискретизации звуковых сигналов 91
3.6.Алгоритм аппроксимационной сплайновой фильтрации на основе ортогональных полиномов для преобразования частоты дискретизации звуковых сигналов 93
Выводы к главе 3 99
Глава 4. Экспериментальные и модельные исследования алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации сигналов систем с нестационарными параметрами 101
4.1. Программный комплекс аппроксимационной сплайновой фильтрации для модельного исследования наблюдений сигналов систем с нестационарными возмущениями 101
4.2. Экспериментальное исследование алгоритма аппроксимационной сплайновой фильтрации характеристик ЛА 104
4.3. Экспериментальное и модельное исследование алгоритма аппроксимационной сплайновой фильтрации шумов в звуковых сигналах 112
4.4. Модельное исследование алгоритма аппроксимационной сплайновой фильтрации для преобразования частоты в звуковых сигналах 117
Выводы к главе 4 123
Заключение 125
Литература 128
- Аппроксимационная фильтрация сигналов систем с нестационарными возмущениями
- Метод аппроксимационной сплайновой фильтрации на основе дискретных ортогональных полиномов
- Алгоритм аппроксимационной сплайновой фильтрации для устранения шумов в звуковых сигналах
- Экспериментальное и модельное исследование алгоритма аппроксимационной сплайновой фильтрации шумов в звуковых сигналах
Введение к работе
В диссертации решена научно- техническая задача разработки и применения методов и алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации для сигналов систем с нестационарными возмущениями. Результаты работы могут быть применены в информационных системах для многих предметных областей.
Актуальность работы. Цифровая фильтрация к настоящему времени представляет собой хорошо разработанную область прикладной математики. В практике цифровой фильтрации сигналов и временных рядов используется целый арсенал математических методов, к которым, в основном, можно отнести: 1.Методы цифровой фильтрации на основе рекурсивных и нерекурсивных разностных уравнений; 2. Методы цифровой фильтрации на основе регрессионного анализа с использованием линейных и нелинейных моделей; 3.Методы цифровой фильтрации на основе Wavelet-модельных функций. 4.Методы цифровой фильтрации на основе авторегрессионных моделей; 5.Методы цифровой фильтрации на основе сплайновых функций. Перечисленные методы успешно применяются для фильтрации сигналов в большом числе научно- технических задач.
Однако, следует отметить, что в современной практике цифровой обработки сигналов существует целый класс научно- технических задач, для которых требуется производить фильтрацию сигналов систем с нестационарными возмущениями, которые наблюдаются на существенно ограниченных временных интервалах, в условиях значительных изменений во времени для исходных функциональных зависимостей, с нестационарными спектральными характеристиками и с неравномерной дискретизацией.
К числу таких важных в практическом отношении научно- технических задач, требующих фильтрации сигналов указанных типов для предметных областей экспериментальной физики, экспериментальной механики, измерительной техники, радиоэлектроники и т.д. можно указать: цифровую фильтрацию наблюдений зашумлённых быстропроте-кающих процессов (взрывного типа) со сложными видами параметрических модуляций; фильтрацию структурно- сложных нестационарных гидроакустических сигналов; фильтрацию зашумлённых наблюдений допле-ровских сигналов в акустическом, радио и оптическом диапазоне; фильтрации сигналов типа акустической эмиссии и т.д. Перечисленные математические методы цифровой фильтрации для указанных задач, в ряде случаев, работают в недостаточной степени эффективно.
Необходимо отметить, что вследствие постоянного развития и совершенствования современных компьютерных средств, появляются
новые технические возможности для решения сложных математических задач фильтрации, основанные на реализации больших быстродействий и больших объёмов памяти.
Предлагаемый в данной работе метод аппроксимационной сплай-новой фильтрации ориентирован на цифровую обработку сигналов с указанными специальными свойствами и с учётом применения современных компьютерных средств. С одной стороны, применение сплайнов позволяет осуществлять аппроксимацию достаточно сложных функциональных зависимостей; с другой стороны, математический аппарат для сплайнов реализуется на основе решений систем линейных уравнений, что не представляет особых технических сложностей в вычислительном плане.
Актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью реализации решений современных задач фильтрации для практики цифровой обработки сигналов, учитывающих их нестационарный характер. Приведённые выше аргументы позволяют сделать вывод об актуальности темы предлагаемой диссертационной работы.
Целью данной диссертации является разработка методов и алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации шумов в сигналах систем с нестационарными возмущениями и их реализация в задачах цифровой обработки информации экспериментов в аэродинамической трубе и цифровой обработки звуковых сигналов для устранения шумов и изменения частоты дискретизации.
Основные задачи. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе потребовались:
1.Формирование общей постановки задачи вычисления аппрок-симационных сплайновых функций.
-
Создание системы методов аппроксимационной сплайновой фильтрации.
-
Разработка системы алгоритмов и соответствующего программного обеспечения для реализации решения задач фильтрации шумов в сигналах систем с нестационарными возмущениями.
-
Проведение экспериментальной проверки разработанных методов и алгоритмов на реальных задачах и сигналах.
-
Реализация математического моделирования для оценивания эффективности предложенных методов и алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации.
Объектом исследования являются сигналы систем с нестационарными возмущениями, характеризующиеся существенно ограниченными временными интервалами наблюдения, значительными изменениями во времени для исходных функциональных зависимостей, нестационар-4
ными спектральными характеристиками и с неравномерной дискретизацией.
Предметом исследования являются методы аппроксимационной сплайновой фильтрация шумов в наблюдениях сигналов систем с нестационарными возмущениями.
Методы исследования. Исследования проводились на основе использования методов цифровой обработки сигналов, методов оптимизации, методов статистического анализа данных и методов математического моделирования.
Теоретическую и методологическую основу исследования по данной диссертации составили работы отечественных и зарубежных специалистов в области теории и применения сплайновых функций и методов статистического анализа экспериментальных данных: Стечкин Б.С., Завьялов Ю.Н., Субботин Ю.С., Квасов Б.И., Катковник В.Я., Вапник В.Н., Поляк Б.Т., Пугачёв В.С., Крянев А.В., Мишулина О.А., де Бор К, Алберт Дж.,Huber P.J., Unser M., а также Himmelblau D.M.,Rabiner L.R., Bendat J.S., Jenkins G.M., Otnes R.K., Anderson T.W.
Научная новизна. В данной диссертации содержат научную новизну:
1. Постановка и метод решения задачи цифровой фильтрации сигналов систем с нестационарными возмущениями, которые являются новыми благодаря использованию аппроксимационных сплайновых функций;
2.Метод аппроксимации, основанный на применении регулирования для сплайновых функций условиями на концах интервалов наблюдений и ортогональных полиномов;
3.Решение задачи обеспечения оптимального расположения сплайновых узлов для аппроксимационных сплайновых функций, основанное на разработанной специальной процедуре поиска экстремума нулевого порядка;
4.Алгоритм решения задачи устранения шумов в звуковых сигналах, базирующийся на применении аппроксимационной сплайновой фильтрации;
5.Алгоритм решения задачи преобразования частоты дискретизации сигналов, использующий аппроксимационные сплайны.
Практическая значимость результатов диссертации заключается в том, что разработанные методы и алгоритмы являются в значительной степени универсальными и могут быть использованы во многих приложениях.
1.Разработанные методы и алгоритмы аппроксимационной сплайновой фильтрации могут быть применены в предметных областях экспериментальной физики, экспериментальной механики, измерительной техники, радиоэлектроники для цифровой обработки сигналов систем с нестационарными возмущениями.
2.Практическая значимость результатов подтверждается использованием разработанных методов и алгоритмов для фильтрации экспериментальных данных от моделирующих установок типа аэродинамическая труба. 3.Результаты диссертации практически значимы, что подтверждается использованием разработанных методов и алгоритмов для задачи фильтрации шумов в звуковых сигналах.
4. Результаты диссертации практически значимы, что подтверждается
применением разработанных методов и алгоритмов для задачи преобразо
вания частоты дискретизации в звуковых сигналах.
5. Полученные в диссертации результаты имеют практическое значение, о
чём свидетельствуют выданные акты внедрения результатов и свидетель
ства гос. регистрации программ на ЭВМ Роспатентом.
Основные научные результаты, выносимые на защиту
1.Постановка и метод решение задачи цифровой фильтрации сигналов систем с нестационарными возмущениями на основе аппроксимационных сплайновых функций,
2.Метод обеспечения оптимального расположения сплайновых узлов для сплайновых функций,
3.Решение задачи устранения шумов в звуковых сигналах на основе ап-проксимационной сплайновой фильтрации,
4. Алгоритм сплайновой фильтрации по частям для сверхдлинных последовательностей данных,
5.Алгоритм преобразования частоты дискретизации сигналов на основе аппроксимационных сплайнов.
Достоверность работы. Научные положения и выводы, полученные в диссертации, являются достоверными и обоснованными, что подтверждается проведёнными в работе теоретическими исследованиями и математическим моделированием, применением соответствующего рассматриваемой проблеме адекватного математического аппарата, сравнением полученных результатов с общеизвестными исследованиями. Достоверность подтверждена результатами практического применения разработанных методов и алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:
1.Научная сессия НИЯУ МИФИ, Москва, 2009, 2010,
2.Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и её приложения», РНТОРЭС им. Попова А.С., Москва, 2009,
3.Международная научно- техническая конференция «Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения», МИРЭА, 2010,
4.«Неразрушающий контроль и техническая диагностика». 18-аяВсероссийская конференция с международным участием. НГТУ, Нижний Новгород, 2008.
Соответствие паспорту специальности и критериям ВАК.
Диссертационная работа соответствует паспорту специальности 05.13.01 -системный анализ, управление и обработка информации (в информационных системах) – пункт 4 и удовлетворяет критериям, установленным Положением о присуждении учёных степеней (утверждено постановлением Правительства Российской Федерации от 24.09.2013г №842), и требованиям ВАК, предъявляемым к кандидатским диссертациям.
Публикации.
Материалы диссертации опубликованы в 15 печатных работах, из них 4 статьи в журналах, включённых ВАК РФ в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий и 2 статьи в журналах, представленных в международной базе цитирования Scopus
Структура и объём работы.
Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Общий объём основного текста, без учёта приложений 134 стр., с учётом приложений –145 стр. Диссертация содержит 19 рисунков. Список литературы включает 99 источников. В приложении включены копии актов о внедрении результатов диссертационной работы и копии свидетельств об официальной регистрации разработанных программ для ЭВМ и описание лабораторной работы.
Все научные результаты и внедрения выполнены соискателем лично. Соискатель лично осуществлял апробацию результатов научных исследований.
Аппроксимационная фильтрация сигналов систем с нестационарными возмущениями
1. В рамках данной работы мы будем рассматривать динамические системы конечной размерности, которые находятся под действием нестационарных возмущений достаточно общего вида, представляющих собой суммы амплитудно и частотно модулированных узкополосных функций. Исследуем характер возникающих при этом вынужденных нестационарных по амплитуде и частоте вынужденных колебаний в такой системе. Указанное исследование необходимо для того, чтобы обоснованно подходить к выбору моделей при обработке наблюдений выходных сигналов подобных систем.
Для конечномерного линейного случая уравнения рассматриваемые системы выглядят следующим образом где х -вектор фазовых координат системы размерности п, u(t) -вектор возмущения; матрицы М,С,К можно интерпретировать, как матрицы инерции, демпфирования и жёсткости, t0 t tf - интервал времени, на котором рассматриваются движения системы. Общее решение для (1.2.1), как известно, состоит из двух слагаемых: общего решения системы (1.2.1) с нулевой правой частью и некоторого частного решения. Для устойчивых систем первое слагаемое, зависящее от начальных условий x(t0) с течением времени стремится к нулю. Вынужденные колебания будем связывать с получением частных решений для (1.2.1).
Разберём случай одночастотных нестационарных возмущений, которые в комплексной форме могут быть следующим образом u(t) = Е0 (t)e](р(ґ), E0(t)r = (Е01 (t),..., E0n(t)), где E0(t)-некоторая векторная функция амплитудной модуляции, q (t) функция фазовой модуляции. Выражение еж) представляет собой скалярный множитель. Будем отыскивать вынужденные колебания для (1.2.1) в форме x(t) = E(t)eM), E(t) -комплексный вектор. Подставим выражение для x(t) в исходную систему (1.2.1), с учётом выражений для производных Х(Ґ),Х(Ґ), получим, освободившись от множителя еж) справа и слева, дифференциальное равенство, связывающее функции модуляций входа и выхода
где E0(t)- матрица размерности (n,L) и (ej,p(t))T =(ем(0 ,...,ем(0) соответствующий вектор, размерности (1,1). По-прежнему вынужденное движение будем искать в форме x(t) = E(t)eMt), где E(t)-прямоугольная матрица. Продифференцировав x(t) дважды, и проделав соответствующие выкладки, с учётом, что ti(p(t) -вектор, получим матричные выражения типа (1.2.2). Нетрудно видеть из анализа (1.2.2), что имеет место суперпозиция по выходным функциям для l = l,...,L, которые могут быть вычислены отдельно друг от друга.
Таким образом, выходные функции систем (1.2.1) для случая нестационарных возмущений рассматриваемого вида, представляют собой сумму узкополосных функций с нестационарными амплитудами и частотами, которые в данной работе, для удобств, будем называть нестационарными колебательными сигналами 2. Рассмотрим ряд вопросов, связанных определением вида функциональных моделей сигналов и формированием модельных наблюдений.
Целесообразно рассмотреть три варианта соотношений, которые описывают возможные сигналы систем с нестационарными возмущениями. Предлагаемые здесь варианты соотношений позволяют сформировать модели наблюдений сигналов систем с нестационарными возмущениями. Подобные модели необходимы для широкого круга задач анализа эффективности фильтрации сигналов указанных систем во многих предметных областях. Например, для цифровой обработки сигналов нестационарных колебаний механических систем [40, 41, 87] или модулированных сигналов для радиотехнических систем [5, 42]. Скалярный одночастотный нестационарный колебательный сигнал x(t) на фиксированном отрезке времени t0 t t, (7 =0) описывается соотношением (1.2.3) x(t) = E(t) cos cp(t) + E0 (t) (1.2.3) где E(t)- переменная во времени амплитудная функция, (p(t)- в общем случае нелинейная фазовая функция, E0 (t) - медленная аддитивная трендовая функция. Поскольку фаза и частота связаны через производную (p(t)= co(t), то для (1.2.3) функция (o(t) определяет переменную частоту сигнала. Введённые модулирующие функции могут иметь ограничения по нулевым и первым производным на отрезке времени t0 t t,
Условия- ограничения (1.2.4) для (1.2.3) имеют вполне очевидный физический смысл. Так, для переходных процессов (разгон или торможение) энергетических машин с вращающимися элементами, колебания в некоторых точках машин, при определённых упрощениях, могут быть описаны соотношениями типа (1.2.3). Очевидно, условия-ограничения на нулевые производные для E(t) и co(t) связаны с заданием определённых режимов работы машин, условия- ограничения на первые производные E(t) и cb(t) связаны с ограничениями мощностных характеристик машин. Почти аналогичным образом может быть прояснена физика условий - ограничений для E0 (t) и E0 (t).
Условия неравенства в (1.2.4) для E(t), co(t) и E0(t) означают, что данные модулирующие функции вместе с их производными принадлежат замкнутым ограничивающим множествам: E(t)eE(t0,tf), co(t)eco(t0,tf)
Многочастотный нестационарный колебательный сигнал x(t) описывается соотношением (1.2.5) , которое является обобщением (1.2.3)
V 7- ( 7- ( (1.2.5) x(t)=y E(t)cos(p,t) + E0t), где L - число частотных составляющих сигнала, E(t)- амплитудные функции составляющих, /- номера частотных составляющих, cp(t)-фазовые функции составляющих, ф1 (t) = al (t) - параметрические частотные функции составляющих, E0 (t) - медленная аддитивная трендовая функция. Функции E(t), со (t) (ф(і)) и E0 (t) здесь выступают в роли модулирующих функций для (1.2.5).
Векторные (многомерные) нестационарные многочастотные сигналы формируются как обобщение (1.2.5) . Следует особо отметить возможные существенные детали для рассматриваемых здесь сигналов, которые требуется подвергнуть фильтрации. Эти детали определяют особенности рассматриваемой задачи фильтрации. Во-первых, это возможный ограниченный (малый) интервал времени наблюдения; в дискретном случае это приводит к тому, что реализация задачи фильтрации должна производиться на ограниченном (малом) количестве данных. Во-вторых, это возможные большие значения скоростей изменения исходных функций (большие, к примеру, первые производные исходных функций). В третьих, это возможный случай, когда исходный сигнал описывает некоторый сложный колебательный процесс и представляется набором синусоидальных функций, с переменными амплитудами и частотами.
Метод аппроксимационной сплайновой фильтрации на основе дискретных ортогональных полиномов
Формирование аппроксимационных сплайновых функций на основе метода п.2.1 [23, 27], как правило, связано с учётом двух возможных обстоятельств. Первое обстоятельство заключается в том, что определение сплайновых функций приводит к системам линейных уравнений, в ряде случаев, высокого порядка. Так, для примера п.2.1, порядок составляет величину р = п(Ь + 1) + 2(и-1) + 4 ; к примеру, для n = 32,L = 3 порядок принимает значение б = 196 , которое может оказаться, иногда, чрезмерным. Второе обстоятельство состоит в том, что для больших значений L для порядков базисных степенных (полиномиальных) функцийfl(Ті:) = (Ті) , / = 0,1,...,z соответствующая система линейных уравнений может оказаться плохообусловленной. Устранения ограничений из-за указанных обстоятельств, предлагается производить на основе применения ортогональных базисных функций, что должно привести к повышению эффективности решения задачи построения аппроксимационных сплайновых функций. Построение сплайновых модельных функций с использованием базисных дискретных ортогональных полиномов позволит снизить размерность соответствующей линейной системы уравнений и смягчить требования к порядкам степенных (полиномиальных) аппроксимационным базисным функциям. Вычисление дискретных ортогональных полиномов, предлагаемых в данном параграфе, осуществлено на основе применения подходов [23, 27] и источников [86, 88]. Будем полагать, также как и в п.2.1., что аппроксимируемые наблюдения у (Ті), являют собой последовательность, определённую в дискретных точках, удовлетворяющих неравенствам 0 і N f -1. Пусть сплайновые интервалы, являются одинаковыми и состоят из Ns точек, Nsn = Nf; тогда, точки для к -ого сплайнового интервала подчиняются неравенствам Ns(k-1) i Nsk-1, к = 1,...,п. Так как длины сплайновых интервалов не зависят от целочисленного параметра , то будем вычислять базисные ортогональные полиномы на заданном интервале для дискретных точек i = 0,...,Ns-1. Для наблюдений у (Ті) , 0 i Nf-1, сформируем набор базисных дискретных ортогональных полиномов с номерами к = 1,...,п применяя периодические продолжения.
Дискретные ортогональные полиномы f{(Ti), / = 0,1,...,z для /; = 0,...,NS -1, которые должны удовлетворять соотношениям вычислим с помощью рекуррентных соотношений и операции нормирования. Определим на первом этапе ненормированные ортогональные полиномы f0l(Ti), I = 0,1,...,z . Назначим в качестве начальных дискретных ненормированных ортогональных полиномов /0 0 (Ті), /0 1 (Г/), которые соответствуют индексам / = 0,1, следующие функций, которые являются кусочно- постоянными и кусочно- линейными
Видно из (2.2.1), что при таком a1 , начальные функции f0,0 (Ti) , f0,1 (Ti) являются ортогональными
Примем по определению, что рекуррентная формула, позволяющая вычислить набор дискретных ненормированных ортогональных полиномов, представляется в следующем виде Убедимся в том, что на основе (2.2.2) образующиеся полиномы являются ортогональными. Сделаем умножение справа и слева для уравнения (2.2.2) на полиномы f0l(Ti), /0м(Г/) ;вычислим сумму по / от 0 до Ns -1. Учитывая необходимость обеспечения ортогональности, получим два линейных уравнения для al+1,b{. Найдём решение для уравнений, запишем формулы для коэффициентов
Располагая начальными ортогональными полиномами /0 0 (Ті), /0 1 (Ті) (2.2.1) , используя (2.2.2), 2.2.3) можно сформировать последовательность ортогональных полиномов f0l(Ті) для / = 2,...,L .
Вычислим производные для сплайновых функций в узлах с целью обеспечения для них необходимой гладкости. Введём полиномиальные функции /0у (77), являющиеся первыми производными для/0г(Г/ )в точках Ті
.Зададимся начальными функциями f0(,10) (Ті) = 0, /0(,1( ) = 1, которые вычисляются дифференцированием начальных функций f00(Ti), /01(Г/ ).Для формирования последовательности производных для исходных ортогональных полиномов воспользуемся соотношением (2.2.2), которое продифференцируем Полиномы, полученные по формулам(2.2.2)- (2.2.4),будут быстро убывающими функциями при увеличении номера индекса l .Для устранения этого неудобного обстоятельства, сделаем переход от ненормированных ортогональных полиномов к нормированным полиномам и их производным с помощью очевидных формул
Алгоритм аппроксимационной сплайновой фильтрации для устранения шумов в звуковых сигналах
Рассмотрим особенности постановки задачи формирования алгоритма фильтрации. Пусть задаётся зашумлённый звуковой сигнал y(Ti), определённый на интервале наблюдения в точках, 0 г: Nf -1, т - интервал дискретизации, T = 1/fd, fd - частота дискретизации. Будем считать, что у (Ті), исходный звуковой сигнал х(Ті) и широкополосная помеха w(i) (высокочастотные шумы), моделируемая случайными нормально распределёнными числами с нулевым математическим ожиданием и заданной дисперсией, величина которой определяет уровень шумов, связаны модельной зависимостью y(Ti) = x(Ti) + w(i). Здесь будет решаться задача формирования алгоритма фильтрации звуковых сигналов с целью устранения широкополосных шумовых помех. Основные проблемы, которые будут рассмотрены, ориентированы на снижение погрешностей и фазовых искажений при фильтрации с помощью предлагаемых аппроксимационных сплайновых фильтров.
В данном параграфе предлагается алгоритм цифрового фильтра для звуковых сигналов, который основан на применении аппроксимационных сплайновых функций. Для определённых удобств рассмотрения в краткой форме здесь повторим некоторые места из второй главы, которые можно считать в качестве справочных и необходимых для записи основных соотношений алгоритма. Главная особенность разработанного алгоритма состоит в возможности фильтрации наблюдений на сверхбольших интервалах времени, а также возможном снижении с.к.з погрешностей и фазовых искажений. Основные результаты по фильтрации звуковых сигналов приведены в [21, 28, 29, 31, 37].
Алгоритм, предполагаемой в данном параграфе задачи фильтрации звукового сигнала y(Ti) состоит в нахождении аппроксимационной сплайновой функции х(Ті), которая должна быть достаточно близкой к исходному звуковому сигналу х(Ті) для 0 г: Nf -1. Основные сведения по особенностям постановки задачи построения аппроксимационного сплайнового фильтра и используемому здесь математическому аппарату содержатся во второй главе настоящей работы.
Сплайновые интервалы принимаются одинаковыми по размерам и состоящими из N точек, Nn=Nf, где п -число сплайновых интервалов; точки
к-ого сплайнового интервала удовлетворяют неравенствам N(k-1) i Nk-1,k = 1,...,п.. Сплайновые функции /(а,Ті)формируются на основе множества дискретных ортогональных полиномов fk (Ті) и представляются в виде fk(ak,Ti) = aTkfk(Ti) , где атк = (a0k,a1k,...,aLk) - вектор весовых коэффициентов размерности Z,
Условия гладкости для сплайновых функций в узлах записываются в виде системы линейных равенствh0k(а) = 0,\к(а) = 0, к = 1,2,...,п-1; условия на концах интервала наблюдения в виде линейных равенств h2r (а, Р) = 0, г = 1,...,4 , которые определены ранее. Вектор рг =( 1,/ , , ) регулирует условия для онлайновых функций на концах. Допустимое множество записывается известным образом
Формируется сплайновый функционал S(a,y). Нахождение аппроксимационной сплайновой функции осуществляется на основе стандартной задачи оптимизации (3.4.1) а = arg{ min S(a,у)} ,0 / Nf -1. (3.4.1) Вычисление вектора а (и), как известно, сводится к решению систем линейных уравнений размерности (L + \)п + 2(п -1) + 4. В качестве результата фильтрации зашумлённого звукового сигнала /гтт - /ТТ / О т (Г/) примем аппроксимационную сплаиновую функцию х (li)=f(a ,li), которая определяется на основе функции f(a,Ti) после подстановки в неё о а = а В силу линейности задачи (3.4.1) вектор о" связан с вектором наблюденийуг Введём вектор х и матрицу (Nf,T) с размерностями (Nf,V) , (Nf,n(L + l)), которые позволяют записать выражение (3.4.3), связывающее хиав векторно- матричном виде На основе (3.4.2), (3.4.3) можно заключить, что построение аппроксимационного сплайнового вектора х = (Nf,T)a реализуется на основе линейного преобразования вектора наблюдений звукового сигнала у Матричное выражение (3.4.4) представляет собой аппроксимационный сплайновый фильтр; Nf,N,L,T,$ - параметры фильтра. Увеличение числа точек Nf для интервала наблюдения приводит к тому, что при фиксированном числе точек на сплайновом интервале N, возрастает число сплайновых интервалов п. Построение аппроксимационной сплайновой функции при больших/? сводится к решениям систем линейных уравнений значительной размерности, что может привести к значительным вычислительным проблемам. Для больших интервалов времени- большого числа Nf0 наблюдений сигнала y(Ti), 0 / Nf0 -1 - аппроксимационная сплайновая фильтрация может быть реализована по частям на сплайновых участках по Nf точек, iV/0 =Nfr0, r0 - число сплайновых участков. Гладкость аппроксимационной сплайновой функции в точках стыковки участков i = Nfr, г- номер участка, г = 1,...,г0 -1, может быть обеспечена с помощью задания, соответствующим образом, в точках стыковки i = Nfr управляющих векторов Pf =(/?г1,/?г2, Вычислим оценки для значений звукового сигнала и его производных в точках стыковки сплайновых участков i = Nfr, r = 1,...,r0-1. Рассмотрим стандартные задачи аппроксимации наблюдений в окрестности точек стыковки N1 = Nfr -Nd, N2= Nfr + Nd модельными параболическими функциями yM(cr,Ti) = cTrq)(Ti), cTr = (cr1,cr2,cr3), рт (Ті) = (1,Ti,(Ti)2), 2Nd + 1 размер области аппроксимации. Запишем квадратичные функционалы, минимизация которых позволяет наитие"
Экспериментальное и модельное исследование алгоритма аппроксимационной сплайновой фильтрации шумов в звуковых сигналах
Эффективность предложенного аппроксимационного сплайнового фильтра была проанализирована на реальном звуковом сигнале. Число точек сигнала составляло величину JV/0 = 663552, частота дискретизации f d =ААкГц (Т = 2.27-10 5с), длительность записи сигнала - tf0 =Nf0T = 15.063с.
Файл с записью звукового сигнала из формата .wav была преобразован в файл формата .mat для обеспечения возможности вычислений в среде Matlab в результате был сформирован нормированный звуковой сигнал
Использовалась стыковка сплайновых функций на последовательности интервалов по предложенной в п.4.2 схеме.
1. Рассматривалась фильтрация зашумлённого звукового сигнала цифровым LowPass фильтром Баттерворта десятого порядка и регулируемой относительной частотой среза wc. Оценивание погрешностей фильтрации было осуществлено на основе статистического моделирования. Широкополосные помехи моделировались с помощью датчика случайных чисел. С этой целью были сформированы ансамбли реализаций функций дискретного шума wv(i) от датчика некоррелированных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2 и модельных зашумлённых звуковых сигналов v- номер реализации, v = l,...,M, м- число реализаций. Сигналы yv(Ti) подавались на вход LowPass фильтра; на выходе фильтра образовывались сигналы ylv(wc,Ti), зависящие от wc. Вычислялись оценки математических ожиданий mv(wc) и значения дисперсии afv (wc), v = \,...,Мдля0.05 wc 0.95, 7 = 0.3 по формулам (4.3.1)
Оказалось, что значения mv(wc) на 1-Н.5 порядка меньше значений поэтому погрешность фильтрации al(wc) находилась на основе усреднения по ансамблю реализаций см = 100 по формуле (4.3.2)
На рис.4.8 представлены результаты статистического моделирования график погрешности LowPass фильтра в виде зависимости al(wc) . Из графика погрешности для данной записи звукового сигнала следует, что минимальное значение погрешности, которое обеспечивается LowPass фильтром, достигается при с = 0.3 и составляет величину т[ = 0.205. Рис.4.8. Погрешности полосового фильтра Полученная оценка даёт предельное значение погрешности при использовании традиционного фильтра.
2. Для звукового сигнала без шумов аппроксимационная сплайновая фильтрация реализовывалась на сплайновых интервалах состоящих из N = 6 точек и ортогональных полиномах с ь = 2 . На рис.4.9 фрагмент звукового сигнала без шумов y(Ts), s =i-Nx для точек с номерами Nx i N2, 7VX =1000,TV2 =1150, s = 0,1,...,150 длительностью (N2-N1)T = 0.0034c изображён сплошной кривой с индексом 1.
Пунктирной кривой с индексом 2 показана аппроксимационная сплайновая функция. Видно, что аппроксимационная сплайновая фильтрация с параметрами N = 6,L = 2 в отсутствии шумов обеспечивает практически нулевую погрешность.
Для сравнения, тот же звуковой сигнал без шумов подвергался фильтрации с помощью цифрового LowPass фильтра Баттерворта десятого порядка, с относительной частотой среза wc = 0.3. Кривая с индексом представляет собой выходную функцию полосового фильтра. Традиционный полосовой фильтр в отсутствии шумов работает с погрешностями, которые образуются из-за нестационарных фазовых запаздываний.
3. Звуковой сигнал в шумах подвергался аппроксимационной сплайновой фильтрации. Оценки погрешностей находились с помощью статистического моделирования. Также как и для п.п.1, зашумлённые сигналы yv(Ti) с о = 0.3 подавались на вход сплайнового фильтра; на выходе фильтра образовывались сигналы y2v(N,L,Ti), зависящие от параметров N,L, v = 1,...,M, где м- число реализаций, ь -максимальный порядок ортогональных полиномов. В соответствии с (4.3.3) вычислялись m2v(N,L),
Nf0 -1 Как и в случае моделирования по (4.3.2), (4.3.3), оказалось, что значения m2v(N,L) существенно меньше значений o2v (N,L). Оценка погрешности аппроксимационной сплайновой фильтрации находилась на основе усреднения по ансамблю реализаций с помощью формулы (4.3.4)
На рис.4.10 представлены отдельные реализации функции погрешности a2v(N,L) для значений N =4 34 и L = 2,3. В результате статистического моделирования с М = 100 определены оптимальные параметры сплайнового фильтра, которые составляют значения № = 8, 77=2. Минимальная погрешность составляет величину а2{№,Е) = 0.09, которая существенно меньше, чем соответствующая погрешность для полосового фильтра.
Проведённое статистическое моделирование подтвердило снижение погрешности, достигаемое с помощью аппроксимационной сплайновой фильтрации.
4. Оценка качества воспроизведения звуковых сигналов была осуществлена с помощью группы экспертов. Отдельные вопросы проверки качества воспроизведения были рассмотрены в [72]. Рассматривались исходный звуковой сигнал №1, и звуковые сигналы №2, 3, полученные с помощью традиционной полосовой фильтрации и аппроксимационной сплайновой фильтрации. Звучание сигналов №1-3 было проконтролировано на проигрывателе WindowsMedia. По мнению группы экспертов качество воспроизведения звукового сигнала №3 значительно выше качества воспроизведения звукового сигнала №2 и приближается к качеству звучания исходного сигнала №1.
