Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы проектирования и идентификации технических систем 9
1.1. Методы проектирования технических систем с учётом вариаций параметров 9
1.2. Методы параметрической идентификации динамических моделей механических систем 15
1.3. Цель работы, задачи исследований 29
Глава 2. Разработка метода параметрической идентификации с использованием функций чувствительности 32
2.1. Алгоритм чувствительности 33
2.2. Упрощение модели чувствительности 41
2.3. Исследование алгоритма чувствительности 54
2.4. Алгоритм параметрической идентификации линеаризованных динамических моделей 57
2.5. Выводы по главе 2 63
Глава 3. Построение оценок допусков на параметры технических систем 65
3.1. Определение допусков на реализацию программного управления 65
3.2. Вычислительные алгоритмы получения оценок 71
3.3. Использование уравнения в вариациях второго порядка...75
3.4. Пример вычисления оценок 82
3.5. Выводы по главе 3 84
Глава 4. Информационные технологии и алгоритмы исследования динамики систем 86
4.1. Система прикладного программного обеспечения для исследования динамики многомерных механических систем 86
4.2. Результаты опытной эксплуатации модуля параметрической идентификации 103
4.3. Выводы по главе 4 110
Заключение 112
Список литературы 115
- Методы проектирования технических систем с учётом вариаций параметров
- Алгоритм чувствительности
- Определение допусков на реализацию программного управления
- Система прикладного программного обеспечения для исследования динамики многомерных механических систем
Введение к работе
Актуальность темы. Действительные значения параметров элементов технических систем всегда отличаются от расчетных, принятых при проектировании. Такие отклонения обусловлены действием целого ряда факторов. Это приводит к тому, что существует различие между результатами аналитических прогнозов и истинным поведением системы. Инженеру необходимо оценить степень соответствия между математической моделью и реальной системой заранее, уже на стадии синтеза, поскольку во многих случаях получение ответа на вопрос в результате накопления практического опыта может оказаться слишком дорогостоящим. В инженерной практике параметры, содержащие априорную аналитическую или апостериорную измеримую информацию относительно системы, могут быть определены только с некоторой точностью. Кроме того, параметры изменяются в зависимости от внешних условий и от времени. Вследствие этого, модель, принятая при проектировании, существенно отличается от реального объекта, что значительно уменьшает эффективность разработанной системы управления. В связи с этим, необходимо оценивать реальные значения параметров в режиме нормального функционирования технических объектов. Техника имеет дело с номинальными (расчётными) значениями параметров и с соответствующими допусками. Поэтому одной из наиболее важных и вместе с тем весьма сложных проблем, возникающих при проектировании и эксплуатации технических систем, является проблема учёта отклонений реальных значений параметров технических объектов от расчётных и обеспечения требуемого качества функционирования объектов.
Цель работы. Оценивание параметров линеаризованных моделей механических систем в виде уравнений Лагранжа второго рода размерно-
сти до 50 степеней свободы с числом оцениваемых параметров до 50 и более. Разработка соответствующего программного обеспечения. Исследование влияния на динамику технических систем вариаций параметров различной природы, являющихся элементами функциональных пространств. Разработка методики оценивания допусков на параметры, обеспечивающих гарантированное качество функционирования объектов, с помощью норм операторов.
Объект исследования. Объектами исследования являются технические системы, описываемые двумя типами математических моделей. При идентификации в пространстве состояний исследуются линеаризованные динамические модели многомерных механических систем лагранжевои структуры (в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка). Такие модели описывают в практически важном случае малых колебаний конструкции движение широкого круга подвижных технических объектов: такими объектами могут быть и железнодорожный вагон и управляемый космический телескоп, представляющий собой крупногабаритную упругую конструкцию. При разработке методики оценивания допусков на параметры технических систем с помощью норм операторов использовалась модель в виде системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши. Такие модели являются классическим средством описания электрических цепей и микроэлектронных систем управления.
Методы исследований. В диссертационной работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, линейной алгебры, теории чувствительности, теории линейных управляемых систем.
Научную новизну диссертации представляют следующие основные результаты, которые выносятся на защиту:
- алгоритм вычисления функций чувствительности линеаризованных моделей механических систем лагранжевои структуры, допускающий
идентификацию в реальном времени параметров моделей размерности до 50 степеней свободы с числом оцениваемых параметров до 50 и более;
- функциональный метод параметрической идентификации с использованием функций чувствительности, основанный на схеме Ньютона-Канторовича решения функциональных уравнений;
прямой алгоритм параметрической идентификации линеаризованных динамических моделей в пространстве состояний;
методика оценивания допусков на параметры технических систем, обеспечивающих гарантированное качество функционирования объектов, с помощью норм операторов;
оценки на норму вектора вариаций параметров, гарантирующих отклонение возмущенной фазовой траектории от номинальной в заданных пределах.
Практическая ценность. Полученные результаты и разработанная система прикладного программного обеспечения внедрены на предприятии НПО им. С. А. Лавочкина. Результаты исследований могут быть использованы при проектировании, анализе и параметрической идентификации многомерных механических систем, при проектировании электрических цепей и микроэлектронных систем управления.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзной школе по электромеханическим системам в Москве в ноябре 1983 г., на конференции "Численные методы в аэродинамике и механике сплошных сред" в Иркутске в мае 1984г., на семинарах Института динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск, 1985-1999гг., ИрГУПС, 2000-2003гг., на Международной конференции "Математика, информатика, управление " в Иркутске в июне 2000г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в восьми печатных работах [31], [60-66], из них пять статей в сборниках и трудах всероссийских конференций и семинаров и три свидетельства о ре-
гистрации программ в Российском агентство по патентам и товарным знакам.
Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем работы - 138 страниц, из них 114 страниц основного текста, 9 рисунков, 1 таблица, библиография из 134 наименований на 12 страницах, приложение на 12 страницах.
В главе 1 дан обзор литературных источников по вопросам темы диссертации. Сформулированы цель и задачи исследования.
В главе 2 дано описание процедуры упрощения модели чувствительности для линеаризованных динамических моделей лагранжевой структуры многомерных механических систем. Предложен функциональный метод параметрической идентификации с использованием функций чувствительности, основанный на схеме Ньютона-Канторовича решения функциональных уравнений. Приведено описание разработанного прямого алгоритма параметрической идентификации линеаризованных динамических моделей.
Третья глава посвящена описанию методики обоснования допусков на параметры автоматических систем с помощью норм операторов исходя из заданных требований к качеству системы. Использована техника оценки координат или нормы решения уравнений возмущённого движения с применением интегральных неравенств Гёльдера. Для получения оценок использовались уравнения в вариациях первого и второго порядка. Получены оценки на норму вектора вариаций параметров, гарантирующих отклонение возмущенной фазовой траектории от номинальной в заданных пределах.
В четвёртой главе приводится описание системы прикладного программного обеспечения для исследования динамики многомерных механических систем и результаты опытной эксплуатации модуля параметриче-
ской идентификации. Разработанный программный комплекс применялся для исследования ряда моделей механических систем, в том числе для синтеза модели управляемого космического телескопа, имеющей 177 степеней свободы, вычисления амплитуд вынужденных колебаний и решения задачи собственных значений. Проведена идентификация динамической модели объекта 45-го порядка с 21 оцениваемым параметром.
В заключении приведены основные теоретические и практические результаты диссертационной работы.
Приложение к диссертации содержит описание основных элементов интерфейса системы прикладного программного обеспечения для исследования динамики многомерных механических систем и результаты численного эксперимента по идентификации динамической модели реального объекта.
Методы проектирования технических систем с учётом вариаций параметров
Результаты, полученные в диссертации, относятся к задачам: 1) определения на стадии проектирования допусков на параметры исходя из заданных требований к качеству технических систем при возможных производственных и эксплуатационных отклонениях параметров от расчётных значений; 2) параметрической идентификации линеаризованных динамических моделей механических систем лагранжевой структуры.
Направленность работы определила логическую структуру первой главы, содержащей обзор исследований в этих областях и определяющей место решаемых в диссертации задач в общей проблематике.
Отечественный и зарубежный опыт эксплуатации радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) различного назначения, систем и устройств автоматики, приборов, машин и механизмов показывает, что более 50% всех отказов составляют постепенные (параметрические) отказы [4, 13, 32]. Проблеме проектирования технических систем с учётом возможных параметрических отклонений уделяется большое внимание в отечественной и зарубежной литературе [2, 4, 13, 17, 24, 32]. Сформулируем основные понятия и определим основные этапы проектирования технических устройств с учётом вариаций параметров.
Под параметрами понимают величины, содержащие априорную аналитическую или апостериорную измеримую информацию об объекте [86] или, другими словами, величины, характеризующие свойства или режим работы объекта [20]. Различают внутренние, внешние и выходные параметры технических объектов. Внутренние (или технические) параметры — параметры отдельных элементов объекта. Внешние параметры - параметры среды, влияющие на функционирование объекта. Выходные параметры - параметры, определяющие степень выполнения объектом своего функционального назначения.
Отклонения параметров от номинальных значений обусловлены действием целого ряда факторов. Эти факторы обычно разделяют на производственные и эксплуатационные.
К производственным (или технологическим) факторам относят факторы, вызывающие отклонения параметров в процессе их изготовления: неоднородность исходных материалов, погрешность измерительных инструментов, приборов, дефекты оборудования (неточность шкал, люфты механизмов, вибрации, неравномерность хода). К эксплуатационным факторам относят старение и износ. Под старением понимают физико-химические процессы, вызывающие необратимые изменения параметров. Причины старения - изменение структуры материала, химические взаимодействия, диффузия вещества. Воздействие таких внешних факторов как температура, влажность, нагрузки ускоряет старение. Под износом понимают изменение размеров, формы, массы технического объекта или состояния его поверхности вследствие остаточной деформации от постоянно действующих нагрузок либо из-за разрушения поверхностного слоя при трении. Вследствие старения и износа возникают необратимые изменения параметров. Колебания внешних воздействий, таких как влажность, температура, нагрузки могут вызывать кратковременные обратимые отклонения параметров. Таким образом, отклонения параметров образуются под влиянием различных факторов, действующих в процессе производства, хранения и эксплуатации и имеют случайный характер [32]. Поэтому внутренние параметры следует рассматривать как некоторые случайные функции времени. Следовательно, условия работоспособности могут быть удовлетворены лишь с определённой вероятностью. Поэтому задача выбора номинальных значений параметров элементов системы заключается в определении начальных координат случайного вектора р, составляющими которого являются параметры элементов системы р = (р\, pi, ..., рп). При этом номинальным значением параметра называют математическое ожидание процесса p(t) в момент времени t0 [4]. Возможен случай, когда номинальное значение параметра можно считать неслучайным. На практике ему соответствует ситуация, когда технологический разброс параметров пренебрежимо мал (элементы высокого класса точности) или же начальное значение параметра устанавливается точно в процессе настройки (регулировки) или подбора элементов.
Проектирование обычно сводится к решению ряда задач, относящихся либо к задачам синтеза, либо задачам анализа. Любой технический объект условно можно представить в виде двойки T=(P,S), где Р=(риР2 ,-.., р„) — внутренние параметры, a S — структура объекта [3]. Критерий качества функционирования объекта можно задать в виде функционала I=I(P,S,W), где W- условия эксплуатации объекта. Под термином "качество функционирования объекта" понимается свойство, характеризующее выполнение объектом поставленной перед ним задачи.
Синтез технических объектов принято подразделять на две части [27]: структурный синтез (формирование структуры объекта) и параметрический синтез (выбор значений внутренних параметров). С учётом введённых обозначений задача структурного синтеза сводится к решению оптимизационной задачи где Q - множество допустимых структур, 5 г-оптимальная в условиях W структура.
Алгоритм чувствительности
Отметим, что условие "пропорциональности" (1.7) является более жёстким, чем условие коммутирования (1.6). Но даже условие (1.6) не является оправданным для достаточно сложных упругих конструкций. Поэтому реальные конструкции, описываемые уравнением (1.1), могут и не описываться уравнением типа (1.8). Это означает, что матрица А в уравнении (1.3) не приводится преобразованием подобия к диагональному виду.
Практически все методы идентификации, основанные на измерениях откликов системы во временной области, связаны с обращением матрицы или решением переопределённой системы линейных уравнений методом наименьших квадратов (что тоже связано с обращением некоторой матрицы). Эти методы, если их применять непосредственно, обладают сравнительно низкой точностью. Поэтому во многих работах (см., например, [101, 111, 130]) исследуются методы, повышающие точность операций обращения матрицы или решения переопределённых систем линейных уравнений. В основе всех этих методов лежит метод разложения матрицы на множители. Это методы разложения Холесского (метод квадратного корня), L-D разложения, QR-разложения. Идея этих методов заключается в том, что если исходная матрица имеет разброс элементов от 10"s до 10+s, то каждый из её множителей имеет разброс элементов от Ю 2 до 10+s/2 Поэтому точность обращения каждого множителя резко возрастает по сравнению с точностью обращения исходной матрицы. Эффективным методом при решении систем линейных уравнений, определении обусловленности матриц является разложение матриц по сингулярным числам (SVD-, QSVD-разложения) [84]. Этот метод фактически реализует метод наименьших квадратов, поскольку на SVD-разложении легко находится псевдообратная матрица. Методы SVD и QSVD-разложения обладают также такими достоинствами, как устойчивость вычислений и возможность фильтрации шумов.
Работа [131] посвящена решению переопределённой системы линейных уравнений, используемой в схеме идентификации, методами разложения матриц на множители (в частности методом квадратного корня).
В некоторых работах (например, [84, 118, 127] проводится теоретическое обоснование методов идентификации линейных моделей упругих конструкций во временной области. Так, в работе [127] получены необходимые и достаточные условия идентифицируемости дискретных систем с одним входом и одним выходом. Приведённые условия аналогичны условиям, представленным в [29] и полученным для более общего случая. В работе [118] рассматривается упругая конструкция без демпфирования и без близких собственных частот. Для такой системы получены условия идентифицируемости при известной матрице наблюдателя или при известной матрице при управлении (возбуждающем воздействии).
Работа [55] посвящена идентификации нелинейных механических систем. В ней рассматривается нелинейная динамическая система, которую можно моделировать уравнением где Vit-гауссовский процесс с нулевым средним и известной ковариацией Rk .Предполагается, что неточно известна правая часть уравнения (1.10), т. е. нелинейная функция / и, возможно, постоянная w0 . Формулируется вспомогательная двухточечная краевая задача, решение которой позволяет получить оценки состояний и оценки погрешности модели. К сожалению, предложенный метод обоснован и апробирован только для систем второго порядка. Этот недостаток присущ и для других работ в вышеприведенном обзоре. Исследуемые в этих работах модели имеют небольшой порядок: до 10 степеней свободы. Автором разработана модификация алгоритма параметрической идентификации с использованием функций чувствительности, позволяющая исследовать в реальном времени линеаризованные динамические модели многомерных механических систем.
Обобщая результаты анализа исследований по проблеме учета отклонений реальных значений параметров технических объектов от расчетных и обеспечения требуемого качества функционирования этих объектов можно заключить, что теоретические и практические аспекты решения этой проблемы изучены в настоящее время еще недостаточно. Целью работы является разработка методов оценивания параметрических возмущений. Потребность в таких методах весьма велика как на стадии проектирования так и на стадии функционирования технических систем. Сформулируем задачи исследования. 1. Оценивание параметров линеаризованных динамических моделей механических систем лагранжевой структуры размерности до 50 степе ней свободы с числом оцениваемых параметров до 50 и более. Разработка соответствующего программного обеспечения.
Определение допусков на реализацию программного управления
Общие сведения. Система прикладного программного обеспе чения (СППО) представляет собой прикладную диалоговую систему, предназначенную для автоматизации исследований по динамике при про ектировании многомерных механических систем. Автор являлся ответственным исполнителем и основным разработчиком СППО. Объем СППО составляет 15000 строк исходного текста на алгоритмическом языке высокого уровня. Из 9000 строк оригинального исходного текста СППО автором написаны 8500, остальные 6000 строк представляют собой адаптацию известных численных методов. 4.1.2. Функциональное назначение. СППО предоставляет исследо вателям динамики многомерных механических систем следующие воз можности: 1. Синтез линеаризованных динамических моделей [31]. 2. Машинный анализ динамики построенной математической модели, включающий в себя: а) построение амплитуд вынужденных колебаний [31]; б) интегрирование математической модели; в) исследование проблемы собственных значений; г) анализ чувствительности динамической модели по параметрам. 3. Параметрическая идентификация (ПИ) математической модели (ММ) с использованием следующих алгоритмов: а) прямой вычислительный алгоритм ПИ линеаризованных ММ [29]; б) алгоритм чувствительности ПИ ММ [75]; в) алгоритм идентификации по методу наименьших квадратов [71]. Программный комплекс позволяет проводить синтез линеаризованных динамических моделей, вычисление амплитуд собственных колебаний и анализ чувствительности по параметрам моделей размерности до 200 степеней свободы, интегрирование и вычисление собственных значений — до 100 степеней свободы и параметрическую идентификацию линейных моделей числом обобщённых координат, меньших 50. 4.1.3. Описание задач. Функциональное наполнение СППО включает в себя три проблемных модуля: "Синтез динамической модели", "Анализ динамики"., "Параметрическая идентификация". Проблемные модули "Синтез динамической модели" и "Анализ динамики" взаимосвязаны и позволяют последовательно проводить синтез динамической модели (дифференциальных уравнений движения) по алгоритму, изложенному в [31] и машинный анализ построенной математической модели, включая: а) построение амплитуд и сдвига фаз вынужденных колебаний эле ментов механической системы; б) интегрирование математической модели; в) исследование проблемы собственных значений; г) анализ чувствительности динамической модели по параметрам. Проблемный модуль СППО " Синтез динамической модели" предназначен для синтеза системы дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания механической системы, представляющей совокупность абсолютно твёрдых и деформируемых тел (упругих балок), соединённых в виде топологического дерева, не имеющего замкнутых ветвей (рис.4.1). Тела системы соединены либо посредством невесомых упруго-вязких связей, допускающих малые пространственные поступательные и вращатель ные движения, либо посредством цилиндрических шарниров, допускающих поступательные движения и вращения вокруг одной оси. Абсолютно твёрдые тела, связанные цилиндрическими шарнирами, будем называть роторами. Относительно них делаются следующие предположения: - роторы вращаются с постоянной угловой скоростью; - роторы могут иметь малые статические и динамические дебалан-сы; - роторы располагаются только в концах ветвей топологического дерева. Предлагаемый алгоритм синтеза динамических моделей основан на применении уравнений Лагранжа-Эйлера для основного (несущего) тела и в форме Лагранжа второго рода для остальных элементов динамической схемы. Если присвоить телам механической системы (за исключением роторов) номера jM=l, 2,..., п , а роторам - номера JU = и+1, я+2,..., пр и принять в качестве обобщённых координат, определяющих относительное положение тела с номером ju, углы хи], хМ2, хиз, поступательные перемещения Хц4 Хр5 Х/лб и координаты Хц7, Х, ,..., Хф+а ) (с - число удерживаемых тонов колебаний (л-го тела), то дифференциальные уравнения малых колебаний механической системы рассматриваемого класса будут иметь вид [31]
Система прикладного программного обеспечения для исследования динамики многомерных механических систем
Системы ОДУ с большими S ( обычно с S, превышающими 105) называют жёсткими или плохо обусловленными системами. Плохая обусловленность математической модели затрудняет численное решение, что чаще всего выражается в росте погрешностей, увеличении затрат машинного времени и требует выбора подходящего численного метода. Ядро блока интегрирования в модуле " Анализ динамики" составляет набор подпрограмм LSODES [109] из пакета программ по решению систем ОДУ ODEPACK. Он позволяет интегрировать жёсткие системы ОДУ, в которых матрица Якоби имеет произвольную разреженную структуру. Используется BDF - метод. Спектр матрицы Якоби V связан с рядом важных свойств механической системы, описываемой математической моделью (4.5) - (4.6) с рас сматриваемой матрицей V. Прежде всего нужно отметить, что необходимым и достаточным условием устойчивости механической системы является отрицательность действительных частей собственных значений, т. е. Re (кк) для всех к= 1,2,..., п. Отличие от нуля мнимых частей хотя бы у некоторых \k говорит о том, что механическая система - колебательная. Возбуждение такой системы вызывает переходный процесс, который будет иметь колебательный характер с частотой, определяемой Im( А, ). Если при этом для всех Хк имеем Re (kk ) 0, то колебания будут затухающими, скорость затухания определяется величинами Re (А ) По выбору пользователя можно определить либо только все собственные значения, либо все собственные значения и соответствующие собственные векторы матрицы Якоби системы ОДУ в форме Копій. Для этого в программный модуль "Анализ динамики" входит набор подпрограмм для определения всех собственных значений и соответствующих собственных векторов действительной матрицы общего вида. Этот набор подпрограмм является составной частью пакета EISPACK [102], предназначенного для решения полной проблемы собственных значений. Исследование проблемы собственных значений осуществляется на основании следующих подпрограмм: BALANC - масштабирование действительной матрицы общего вида; ELMHES - приведение действительной матрицы общего вида к верхней форме Хессенберга элементарными преобразованиями; ORTHES - приведение действительной матрицы к верхней форме Хессенберга ортогональными преобразованиями; HQR - определение собственных значений действительной верхней матрицы Хессенберга; HQR2 — определение собственных значений и собственных векторов действительной верхней матрицы Хессенберга; BALBAK - обратное преобразование собственных векторов действительной матрицы, преобразованной подпрограммой BALANC. По желанию пользователя можно провести анализ чувствительности синтезированной динамической модели по параметрам. В СППО реализован следующий подход к анализу чувствительности. Рассматривается линеаризованная модель упругих колебаний конструкции вида (4.1): Для вычисления функций чувствительности необходимо решать совместно уравнения (4.7) и (4.8). Однако, можно заметить, что перекрёстная связь между этими двумя системами только односторонняя: система (4.7) влияет на систему (4.8), а обратного влияния нет. Поэтому задачу вычисления функций чувствительности можно решать в два этапа, что существенно снижает размерность решаемой задачи и облегчает программную реализацию. На первом этапе находится решение системы (4.7), а затем это решение подставляется в систему (4.8) и находится решение уравнений чувствительности. Последовательность решения задачи анализа чувствительности следующая: 1. С помощью подпрограмм блока вычисления амплитуд и сдвига фаз вынужденных колебаний элементов механической системы находятся вынужденные колебания переменных системы (4.7), которые записываются в виде Х( = bt smwt+cii coswt. 2. Формируется вектор вынуждающей силы (t) в зависимости от выбранного параметра.
