Содержание к диссертации
Введение
1 Основы анизотропийного анализа 11
1.1 Анизотропия случайного вектора 11
1.2 Средняя анизотропия последовательности случайных векторов 18
1.2.1 Вычисление средней анизотропии в пространстве состояний 21
1.3 Анизотропийная норма линейной системы 23
1.3.1 Вычисление анизотропийной нормы в частотной области 24
1.3.2 Вычисление анизотропийной нормы в пространстве состояний 33
1.4 Выводы к главе 1 35
2 Основы синтеза анизотропийных регуляторов 36
2.1 Постановка задач синтеза анизотропийных регуляторов . 36
2.2 Решение задачи синтеза оптимального анизотропийного регулятора 38
2.2.1 Седловая точка условия оптимальности 39
2.2.2 "Наихудший" формирующий фильтр 41
2.2.3 Оптимальный оцениватель 42
2.2.4 Оптимальный регулятор 44
2.3 Решение задачи синтеза субоптимального анизотропийного регулятора 45
2.4 Выводы к главе 2 48
3 Анизотропийный анализ в случае ненулевого математического ожидания 49
3.1 Анизотропия случайного вектора с ненулевым математическим ожиданием 49
3.2 Средняя анизотропия последовательности случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями . 53
3.3 Анизотропийная норма линейной системы в случае ненулевого математического ожидания 58
3.3.1 Вычисление анизотропийной нормы в частотной области 60
3.3.2 Вычисление анизотропийной нормы в пространстве состояний 68
3.4 Синтез формирующего фильтра 73
3.4.1 Соединения формирующих фильтров 73
3.4.2 Синтез формирующего фильтра по заданному уровню средней анизотропии 77
3.5 Выводы к главе 3 89
4 Синтез анизотропийных регуляторов в случае ненулевого математического ожидания 90
4.1 Постановка и решение задачи синтеза 90
4.2 Численный пример 95
4.3 Выводы к главе 4 102
Заключение 103
Литература 105
- Средняя анизотропия последовательности случайных векторов
- Седловая точка условия оптимальности
- Средняя анизотропия последовательности случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями
- Синтез формирующего фильтра по заданному уровню средней анизотропии
Введение к работе
Диссертация посвящена задачам анизотропийного анализа - вычислению средней анизотропии последовательности и анизотропийной нормы системы - и задаче синтеза анизотропийных регуляторов для случая ненулевых математических ожиданий случайных векторов внешнего возмущения.
Актуальность темы. Реальные динамические системы функционируют в условиях различных возмущений. Одной из основных задач при построении управления для динамических систем в присутствии внешнего или параметрического возмущений является обеспечение заданных характеристик системы или понижение влияния возмущений на определенные характеристики системы. Задачи подавления влияния внешнего возмущения восходят к работам Г.В. Щипанова по теории инвариантности и в настоящее время решаются в рамках различных теорий в зависимости от модели объекта и класса возмущений. Важным классом систем с управлением являются системы со стохастическими возмущениями.
Одним из ярких результатов 60-х годов XX века в теории автоматического управления явилась теория построения регуляторов для линейных систем при наличии квадратичного критерия качества (Р.Е. Кал-ман, A.M. Летов), обеспечившая мощный инструмент для синтеза многомерных систем управления. LQG-задача - это задача построения управления для объекта с линейной динамикой, возбужденной аддитивным гауссовским белым шумом, и критерием качества, представимым в виде интеграла от положительно-полуопределенной квадратичной формы. В реальных задачах LQG-регулятор работал достаточно хорошо, если аддитивная помеха была гауссовским белым шумом. Однако, если у входного возмущения была достаточно большая ковариация, системы с LQG-регуляторами не удовлетворяли требованиям, предъявляемым к замкнутыми этими регуляторами системам управления.
Созданная в 80-х годах теория 'Н0о-субоптимального управления, минимизирующая влияние квадратично интегрируемого внешнего возмущения, базировалась на решении уравнений Риккати, содержащих некоторый параметр. Причем эти уравнения были похожи на уравнения в теории синтеза линейных регуляторов для линейных систем с квадратичным критерием качества. В случае, когда значение этого параметра стре-
милось к бесконечности, уравнения для синтеза 'Нсо-субоптимального регулятора превращались в уравнения Риккати для LQG-задачи. Однако "Нсо -оптимальные регуляторы, являясь минимаксными, то есть рассчитанными на наихудший случай входных возмущений, имели свои естественные недостатки - для реализации минимума критерия качества величина управления порой становилась очень большой и такие системы были трудно реализуемы. Системы с 'Ноо-критерием качества являются очень консервативными. Сходство алгоритмов решения описанных выше задач приводило многих ученых к мысли, что должен иметь место подход к управлению динамическими системами со стохастическими возмущениями, в котором задачи Т-І2- и 'Н0о-оптимизации были бы частными случаями. Такая теория была создана. Авторы (Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов А.В.) назвали ее стохастической теорией анизо-тропийного робастного управления. Анизотропийная теория управления существенным образом опирается на теоретико-информационное понятие относительной энтропии при описании неопределенности входных возмущений.
Другой подход к робастному управлению в стохастических системах, использующих понятие относительной энтропии для описания стохастической неопределенности можно найти в работах Петерсена, Угринов-ского и других, где важную роль играет связь между относительной энтропией и свойствами робастности регуляторов, минимизирующих расширенный линейно-квадратичный функционал. Хотя идеи ограничивающих энтропию индуцированных норм и ассоциированного с этим мини-макса находят дальнейшее развитие в литературе по управлению, анизотропийная теория широко не известна.
В классических постановках задач анизотропийных анализа и синтеза в качестве внешних входных возмущений рассматриваются стационарные эргодические последовательности гауссовских случайных векторов с нулевыми математическими ожиданиями. Равенство нулю математических ожиданий векторов означает, что средняя на бесконечном интервале ошибка, обусловленная наличием такого рода возмущений, зависит только от ковариационных матриц векторов последовательности. В качестве наглядного примера выступает уже упоминавшаяся теория 'Нг/Ь^С-управления, где внешнее возмущение - это гауссовский белый шум. Однако в реальных ситуациях, при различных сбоях в оборудовании или наличии нетривиального внешнего возмущения, средние значе-
ния векторов возмущения отличны от нуля. В связи с этим в рамках ани-зотропийной теории имеет смысл в качестве внешнего возмущения рассматривать стационарные эргодические последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми средними. Таким образом, при рассмотрении в анизотропийной теории случая ненулевого математического ожидания у векторов входной последовательности фактически происходит расширение границ ее применения.
Цель работы. Целями диссертационной работы являются решение задач анизотропийного анализа и разработка метода синтеза анизотро-пийных регуляторов для линейных дискретных стационарных систем с внешним возмущением в виде стационарной эргодической последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями.
Методы исследования. В работе применяются математические методы теории управления, линейной алгебры, функционального анализа, теории функций комплексного переменного и теории вероятностей.
Научная новизна. Обобщены понятие средней анизотропии на случай ненулевых математических ожиданий векторов последовательности и понятие анизотропийной нормы системы при данном внешнем возмущении. Получены формулы вычисления средней анизотропии и анизотропийной нормы при различной априорной информации о классе входных возмущений. Разработан метод синтеза формирующего фильтра, генерирующего окрашенную последовательность по заданному уровню средней анизотропии. Разработан метод синтеза анизотропийных регуляторов, обеспечивающих заданное качество замкнутой системы при ограничении на среднюю анизотропию входной последовательности при ненулевом математическом ожидании сигнала на входе системы.
Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической тео-
рий управления линейными объектами, на вход которых поступает внешнее возмущение в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями, и позволяют осуществлять синтез линейных регуляторов, обладающих меньшей степенью консервативности, чем широко использующиеся іУоо-оптимальньїе регуляторы, и применимых для более широкого класса возмущений, чем Нг/Ь(5С-регуляторы.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Обобщение понятия средней анизотропии последовательности на класс последовательностей гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями;
-
Обобщение понятия анизотропийной нормы системы с внешним возмущением в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями;
-
Формула вычисления средней анизотропии последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями в пространстве состояния;
-
Формулы вычисления анизотропийной нормы системы с внешним возмущением в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями в частотной области и пространстве состояний;
-
Метод построения формирующих фильтров, на выходе которых получается случайных сигнал с заданным уровнем средней анизотропии;
-
Метод построения обеспечивающих заданное качество анизотропий-ных регуляторов для линейной системы с внешним возмущением в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими.
Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах Лаборатории №7 ИПУ РАН под руководством доктора технических наук Поляка В.Т., на семинаре кафедры
системного анализа ВМК МГУ под руководством академика Куржан-ского А.В., на семинаре лаборатории механики управляемых систем и лаборатории робототехники и механики ИПМех РАН под руководством академика Черноусько Ф.Л., на семинаре кафедры теории вероятностей МАИ под руководством доктора технических наук Кибзуна А.И., на III-V Всероссийских традиционных молодежных летних школах "Управление, информация и оптимизация" (ТМШ 2011-2013), на конференции "Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах" (УТЭОСС-2012, г. Санкт-Петербург), на XV конференции молодых ученых "Навигация и управление движением" (КМУ-2013, г. Санкт-Петербург), а также на следующих зарубежных конференциях: 11th IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOSP, Caen, France, 2013), 19th International Conference on Process Control (Strbske' pleso, High Tatras, Slovak Republic, 2013).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в одной монографии, двух статьях в российских журналах из перечня ВАК, в трудах двух международных конференций, двух тезисах докладов на Всероссийских конференциях.
Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 109 страницах, содержит 1 таблицу и 20 иллюстраций. Библиография включает 39 наименований.
Средняя анизотропия последовательности случайных векторов
В этом разделе на основе [2,3,19,22-25,35] формулируются основные требования к исследуемым последовательностям и вводится понятие средней анизотропии последовательности случайных векторов.
Пусть {wk} =0 - бесконечная стационарная эргодическая последовательность гауссовских m-мерных случайных векторов [35]. Значит, для нее справедливы соотношения
Указанные свойства стационарности и эргодичности будут необходимы для существования предела в следующем ниже определении. Введем обозначение для случайного вектора, образованного векторами ws,...,Wt последовательности {« доопределение 2. Средней анизотропией последовательности W = iwk}T=o называют число [2,22]
Замечание 1. Важно заметить, что определением средней анизотропии последовательности не может выступать предел усреднения суммы значений анизотропии каждого вектора равный в силу свойств стационарности и эргодичности последовательности {wk} =0 "предельной" анизотропии:
При таком подходе будет теряться информация о динамике самой последовательности и оставаться только предельный случай, являющийся тривиальным и не представляющийся интересным.
Для непосредственного использования формулы (1.6) необходимо уточнить информацию о последовательности W. Пусть V = {vk}kLo стандартный гауссовский белый шум, то есть последовательность некоррелированных между собой гауссовских m-мерных случайных векторов с нулевым средним Ei[vk] = 0 и единичной ковариационной матрицей соу(г &) = Im Предположим также, что последовательность W получается из V с помо щью формирующего фильтра [25]
- спектральная плотность фильтра G или соответствующей ему последовательности {W LQ; () = ( ) обозначает операцию транспонирования комплексно сопряженной матрицы; G(UJ) = lim G{re%UJ) - значение nepers даточной функции G(z) на границе единичного круга; і = у—1 - мнимая единица, а С2 - Т -норма передаточной функции (1.8):
Функционал (1.9) неотрицателен при любых S(UJ) = G (UJ)G(UJ)} И принимает конечное значение, если формирующий фильтр G имеет полный ранг, то есть если rank(G(u;)) =mVwE [—7г,7г); в противном случае в силу того, что det((j( x )) = 0, имеет место равенство и, как следствие, A(W) = +00. Иногда для удобства наряду с обозначением A(W) будет использоваться обозначение А((7), подразумевающее, что последовательность W генерируется формирующим фильтром С из стандартного гауссовского белого шума V.
Более удобным способом описания формирующего фильтра (1-7) является применение линейной дискретной стационарной системы
с матрицами А Є Mnsxns, В Є Мп хт, С Є Mmxns, D Є ]Rmxm, использующей в качестве входа стандартный гауссовский белый шум V. Для выполнения свойств стационарности и эргодичности последовательности {wk} =Q потребуем от системы (1.10), чтобы матрица А была асимптотически устойчивой: а матрица D - невырожденной: det(D) 7 0. Коэффициенты дк представления (1.8) связаны с матрицами системы (1.10) соотношениями
Следовательно, матричная передаточная функция (1.8) для фильтра (1.10) может быть представлена в виде
Использование (1.10) для описания внешнего возмущения позволяет привести формулу вычисления средней анизотропии A(W) в терминах матриц A,B,C\D.
Теорема 1. [3, теорема 1] Средняя анизотропия A(W) последовательности W, сформированной фильтром G в представлении (1-Ю) с асимптотически устойчивой матрицей А и невырожденной матрицей D из стандартного гауссовского белого шума V, вычисляется по правилу
Седловая точка условия оптимальности
Для произвольных формирующего фильтра G Є Ga и допустимого регулятора К Є /С введем два множества:
Первое множество состоит из регуляторов, являющихся решением взвешенной -оптимизационной задачи при предположении, что на вход системы подается шум W: сгенерированный фильтром G Є Ga. Любой регулятор из этого множества минимизирует дисперсию выхода Z. Несложно заключить, что такая задача эквивалентна стандартной -оптимизационной задаче для объекта т.е. для системы, состоящей из (2.1), (2.2) и (1.21), на вход которой подается гауссовский белый шум.
Второе из описанных выше множеств образовано формирующими фильтрами, генерирующими гауссовские случайные сигналы с наихудшей для замкнутой системы спектральной плотностью S(UJ) = S(q, uS) (см. теорему 2 на стр. 25). Это множество состоит из бесконечного числа фильтров, однако спектральные плотности порожденных ими сигналов одинаковы с точностью до ненулевого скалярного сомножителя. Таким образом, посредством соотношения в общем случае определяется многозначная композиция
Лемма 2. [26, лемма 1] Если регулятор К является неподвижной точкой отображения (K oG )7 т.е. существует такой фильтр G Є Q K), что верно К Є K (G); то этот регулятор является решением задачи синтеза оптимального анизотропийного регулятора (2.3).
Известно, что Т -оптимальные регуляторы плохо справляются с задачей в случаях, когда вместо гауссовского белого шума, на который они рассчитаны, на вход системы поступает другой - к примеру, гауссовский шум со средней анизотропией A(W) 0, а также суммируемые с квадратом последовательности. В то же время Ноо-оптимальные регуляторы излишне перестраховочны (консервативны), если входной сигнал - белый или слабо окрашенный шум. Таким образом, представляется разумным связать неточность априорного знания статистики входных шумов с их окрашенностью, т.е. с мерой отклонения от гауссовского белого шума. Последнее допускает теоретико-информационное описание, на котором и основывается конкретизация поставленной задачи.
Постановка задачи синтеза оптимального анизотропийного регулятора предполагает указание семейства Ga формирующих фильтров, которое, с одной стороны, должно адекватно отражать неопределенность вероятностного распределения входного шума, а с другой - допускать эффективный метод поиска наихудших формирующих фильтров G Є G (K). Иными словами, необходим достаточно универсальный и в то же время удобный способ описания указанной неопределенности. 2.2.2 "Наихудший" формирующий фильтр
Замкнем систему (2.1) некоторым допустимым регулятором К Є /С с n-мерным внутренним состоянием & (/ = dimfc = dima = п), связанным с векторами измерений у и управлений Uk системой уравнений (2.2).
Теорема 4. [26, теорема 1] Для системы (2.1), удовлетворяющей предположениям в постановке задачи, любого допустимого регулятора К Є /С в форме наблюдателя и произвольного числа а 0 найдется такая единственная пара (q,R), образованная скалярным параметром q Є [О, Ц Ц 2) и допустимым решением R = R уравнения Риккати является одним из представителей семейства наихудших формирующих фильтров G1(K), а анизотропийная норма замкнутой системы вычисля а ется как является иннером (т.е. системой полного пропускания): Q (uj)Q(uj) = 1т. Действительно, следовательно, если Q (UJ)Q(UJ) = Іт: то В случае если пара (Ad, Bci) управляема, оператор в (о;) является иннером тогда и только тогда, когда матрицы С и D удовлетворяют соотношениям [8] В данном разделе идет речь об оптимальном оценивателе для системы, замкнутой "наихудшим" формирующим фильтром. В системе (2.1) матрицы С 2 и D21, вообще говоря, не являются единичной и нулевой матрицами соответственно, т.е. вектор состояния не является полностью наблюдаемым. Значит, искомый регулятор является регулятором полного порядка по выходу, что делает возможным получения оптимальной в среднеквадратичном смысле оценки состояния системы. Обозначим через Т% а-алгебру случайных событий, порожденную историей сигнала наблюдения Y = {yj}j k к моменту времени к. Таким образом, {щ}кє% множество всевозможных сг-алгебр, связанное с последовательностью Y. Определение 5. Допустимый регулятор К Є 1С, имеющий в пространстве состояний реализацию (2.2), называют оценивающим, если последовательность S = { } L0 его состояний совпадает с последовательностью X = {xk} =0 одношаговых прогнозов внутреннего состояния X системы F по сигналу наблюдения Y при наихудшем входном возмущении W, т.е. если когда W = GV, где G Є G (K) - представитель семейства наихудших фильтров с заданным ограничением на среднюю анизотропию.
Представим матрицу С фильтра в виде С = [L\ Ь2], где блоки L\, L2 принадлежат I mxn. Условия, при которых допустимый регулятор является оценивающим, приведены в следующей теореме.
Теорема 5. [26, теорема 2] Если матрицы реализации (2.2) допустимого регулятора в пространстве состояний удовлетворяют соотношениям
Следует отметить, что соотношения, указанные в теореме как достаточные условия, также являются и необходимыми в том смысле, что если регулятор обладает оценивающим свойством, то матрицы его реализации в пространстве состояний могут быть преобразованы с сохранением оценивающего свойства регулятора; иными словами, новые матрицы также будут удовлетворять приведенным в теореме соотношениям.
Средняя анизотропия последовательности случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями
В данной главе приводятся формулы для вычисления средней анизотропии последовательности случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями в пространстве состояний.
Для вычисления средней анизотропии (1.6) стационарной эргодической последовательности гауссовских m-мерных случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями будем считать, что эта последовательность получена с помощью формирующего фильтра из последовательности {vk + MJ Lc гДе ivk}t o представляет собой последовательность попарно некоррелированных гауссовских m-мерных случайных векторов с нулевыми математическими ожиданиями и единичными ковариационными матрицами, а /і - постоянный конечный вектор, т.е. \ц\ оо. Покажем, что для последовательностей, сгенерированных фильтром (3.3) с устойчивой матрицей А и невырожденной матрицей D, предел в выражении (1.6) существует.
Используя (3.2) для расширенного вектора несложно получить выражение где математическое ожидание случайного вектора обозначает его ковариационную матрицу. Введем обозначение для математического ожидания вектора последовательности на стационарном режиме (при к — оо). В силу устойчивости матрицы А системы (3.3) для вектора Л4 справедливо представление Таким образом, ковариационная матрица S в случае ненулевого матожида-ния имеет тот же вид, что и в случае нулевого /і. Это приводит к заключению, что и матрица S (см. теорему 1 на стр. 22) имеет в случае ненулевого математического ожидания то же представление, что и раньше. Действительно, поскольку что приводит к следующей теореме.
Теорема 8. [12] Средняя анизотропия последовательности W, сгенерированной формирующим фильтром G, допускающим представление (3.3) с асимптотически устойчивой матрицей А, невырожденной матрицей D и ограниченным по норме вектором ц, вычисляется по правилу
Следующая теорема устанавливает связь между значением средней анизотропией последовательности с ненулевыми матожиданиями и средней анизотропией последовательности с нулевыми математическими ожиданиями.
Теорема 9. [12, теорема 1] Среднюю анизотропию (3.6) последовательности W, сгенерированной формирующим фильтром G с представлением (3.3), где А - асимптотически устойчивая матрица, D - невырожденная матрица, а ц - ограниченный по норме вектор, можно выразить через среднюю анизотропию A0(W) последовательности, сгенерированной фильтром (1-10) с аналогичными условиями на матрицы А и D:
-норма передаточной функции G{z).
Доказательство приведенной теоремы опирается на свойства логарифма и определителя, и не представляет особой сложности:
Такое представление для средней анизотропии служит еще одним доказательством того, что выполнено неравенство A(W) A0(W) в силу того, что 1п(6гІ2 + -М2) 1п(СІ2) для произвольного вектора Л4. Стоит заметить, что равенство A(W) = A0(W) возможно лишь в двух случаях: Л4 = 0 и СІ2 - +оо, первый из которых является тривиальным, а второй - не имеет смысла.
Синтез формирующего фильтра по заданному уровню средней анизотропии
Задача синтеза формирующего фильтра по заданному уровню средней анизотропии может быть рассмотрена в двух вариантах: получить параметризацию в пространстве состояний всех формирующих фильтров, удовлетворяющих А((7) = а, или получить параметризацию какого-то подмножества Ga С JG Є %хт : A(G) = а}. Первая задача в общем случае неразрешима, так как отображение G и а не является взаимно-однозначным. Так, двум различным фильтрам G\ и G может соответствовать один и тот же уровень средней анизотропии. Для решения второй задачи необходимо оговорить класс параметризуемых фильтров. В предыдущем параграфе было показано, что при мультиплексном соединении N фильтров Gi,. .., GN средняя анизотропия сигнала на выходе однозначно определяется значениями средних анизотропии A(Gi),. .., А(Сдг). Решение задачи синтеза формирующего фильтра по заданному уровню средней анизотропии тем легче (меньшее число неизвестных), чем меньше размерность генерируемых им векторов выходной последовательности. Поэтому при решении задачи синтеза фильтра будем считать, что этот фильтр получен в результате мультиплексного соединения других фильтров меньших размерностей [34].
Начнем с получения формул для матриц формирующего фильтра в одномерном случае (ш =1) при известном уровне средней анизотропии A0(W) = а и нулевом математическом ожидании Л4 = 0. Одномерный случай
Предположим, что размерность векторов Wk равна т = 1, т.е. входом и соответственно выходом фильтра G являются последовательности одномерных случайных величин. Пусть математические ожидания векторов последовательностей на входе и выходе фильтра равны нулю, а матрица А системы (1.10) является скалярной, т.е.
В данной главе приведены формулы для вычисления анизотропии случайного вектора с ненулевым средним, средней анизотропии последовательности гауссовских случайных векторов и анизотропийной нормы линейной дискретной стационарной системы в случае ненулевых математических ожиданий случайных векторов последовательности.
Представлены формулы для вычисления анизотропийной нормы в частотной области и пространстве состояний. Показано отличие полученных формул от аналогичных формул для анизотропийной нормы в случае нулевого математического ожидания. Также рассмотрен частный случай, когда известно значение Т -нормы фильтра СІ2, равное следу ковариационной матрицы случайного вектора последовательности на стационарном режиме \\G\\\ = lim tr(cov(wk)) к—7 оо
Отмечено, что среднеквадратичный коэффициент усиления, зависящий от некоторого параметра q, является немонотонной функцией, и вычисление анизотропийной нормы в общем случае представляет сложность, связанную с нахождением всех решений уравнения A2(q) = а. Для частного случая (при известном С2) данную сложность удалось устранить.
Также приведен алгоритм синтеза формирующего фильтра, генерирующего последовательность с заданным уровнем средней анизотропии. Глава 4
Синтез анизотропийных регуляторов в случае ненулевого математического ожидания
В данной главе рассматривается задача синтеза субоптимального ани-зотропийного регулятора в случае ненулевых математических ожиданий гауссовских случайных векторов входной последовательности. Результаты, представленные здесь, опираются на известные методы синтеза анизотропийных регуляторов в случае нулевых математических ожиданий случайных векторов входного возмущения, описанные в главе 2.
