Содержание к диссертации
Введение
1. Управление по состоянию 19
1.1. Управление по состоянию для непрерывных систем 19
1.1.1. Задача анализа 19
1.1.2. Синтез оптимального управления 31
1.2. Управление по состоянию для дискретных систем 39
1.2.1. Задача анализа 39
1.2.2. Синтез оптимального управления 47
1.3. Примеры 50
1.4. Выводы 61
2. Управление по выходу 63
2.1. Фильтрация 63
2.2. Управление по выходу 70
2.2.1. Управление по выходу: непрерывный случай 71
2.2.2. Управление по выходу: дискретный случай 77
2.3. Примеры 84
2.4. Выводы 91
3. Управление при наличии неопределенностей 93
3.1. Лемма Питерсена и ее обобщения 93
3.1.1. Лемма Питерсена 94
3.1.2. Радиусы знакоопределенности и невырожденности . 97
3.1.3. Лемма Питерсена для нескольких неопределенностей . 107
3.2. Управление по состоянию: робастный вариант 117
3.2.1. Непрерывный случай 117
3.2.2. Дискретный случай 128
3.3. Фильтрация: робастный вариант 137
3.4. Нехрупкий регулятор 144
3.5. Примеры 164
3.6. Выводы 180
Заключение 182
Литература 185
- Синтез оптимального управления
- Синтез оптимального управления
- Управление по выходу: непрерывный случай
- Лемма Питерсена для нескольких неопределенностей
Введение к работе
Актуальность темы. Задача о подавлении внешних возмущений является одной из основных в теории управления и рассматривается в различных ее разделах. В линейно-квадратичной оптимизации рассматриваются задачи со случайными гауссовскими помехами (т. н. линейно-квадратичная гауссов-ская задача, LQG). Проблема Н^-оптимизации связана либо с гармоническими внешними возмущениями, либо со случайными гауссовскими, либо с возмущениями из класса L^ (т.е. убывающими с течением времени). Однако во многих практических случаях внешние возмущения являются просто ограниченными; какая-либо дополнительная информация о них отсутствует.
Задачей о подавлении неслучайных ограниченных внешних возмущений стали интересоваться еще в середине прошлого века. В 1940-е годы т. н. проблемой о накоплении возмущений занимался Б.В. Булгаков. Однако основное внимание тогда уделялось проблеме анализа — каково максимальное отклонение, вызываемое произвольными ограниченными внешними возмущениями, что, по сути, являлось задачей программного оптимального управления, поскольку внешние возмущения рассматривались как управления. Лишь значительно позже появляются работы по компенсации ограниченных возмущений, в которых, впрочем, не предлагались методы синтеза оптимальных регуляторов.
Впервые задача об оптимальном подавлении неслучайных ограниченных возмущений в дискретном случае была сформулирована в работе 1; ее полное решение было построено в работах А.Е. Барабанова и О.Н. Граничина и, позже, — М. Далеха и Дж. Пирсона. Впоследствии эта теория получила название 1\-оптимизации. Однако методы /і-оптимизации имеют ряд существенных недостатков: ее применение к задаче синтеза оптимального управления часто приводит к регуляторам очень высокого порядка; отметим и асимптотический характер получающихся оценок. Обобщение приведенных результатов на непрерывный случай (L\-оптимизация) вызывает дополнительные сложности.
Наряду с /i-оптимальным управлением хорошо известны также методы динамического программирования для подобных задач. Заметим, что ограниченные возмущения также изучаются в работах, посвященных исследованию собственно множеств достижимости; отметим Л.С. Гноенского с соавторами, Д. Бертсекаса и И. Родеса, A.M. Формальского, а также в теории дифференциальных игр (Н.Н. Красовский, А.И. Субботин, B.C. Пацко, Т. Башар).
1 Якубович Е.Д. Решение задачи оптимального управления для линейных дискретных систем // Автоматика и телемеханика. 1975. №9. С. 73-79.
Специальные методы борьбы с внешними возмущениями предложены в теории систем переменной структуры. Управление на скользящих режимах для решения этой проблемы изучается в работах СВ. Емельянова, С.К. Коровина, В.И. Уткина, В.А. Уткина и других. В целом, подавление неслучайных ограниченных возмущений традиционно считается трудной задачей в теории управления.
Существует иной подход к данной проблематике, основанный на методе эллипсоидального оценивания. Эллипсоиды довольно широко используются в различных задачах теории гарантированного оценивания, фильтрации и минимаксного управления в динамических системах при наличии неопределенностей. Принципиальными в этом направлении можно считать работы Ф. Швеппе, Д. Бертсекаса, А.Б. Куржанского, Ф.Л. Черноусько. Отметим, что во многих случаях эллипсоиды оказываются удобными аппроксимациями для областей достижимости динамических систем; это позволяет широко их использовать в задачах анализа.
В теории систем и автоматического управления также активно применяется концепция инвариантности, см. монографию 2. Среди различных форм инвариантных множеств особо выделяются эллипсоиды из-за их простой структуры и прямой связи с квадратичными функциями Ляпунова. Ввиду этого, в рамках эллипсоидального описания в качестве технического средства может быть использован мощный аппарат линейных матричных неравенств (Linear Matrix Inequalities, LMI) и полуопределенного программирования (Semidefinite Programming, SDP). Первой работой, в которой систематически изложена техника LMI, является книга 3, а первой монографией на русском языке, посвященной этому вопросу, является книга4.
Необходимо упомянуть, что техника LMI, очень популярная в последнее время, уже использовалась в целях подавления возмущений. Однако отметим, что в большинстве работ не рассматривались задачи подавления Loo-ограниченных возмущений; так, в монографии Д.В. Баландина и М.М. Когана техника LMI применялась для подавления возмущений, ограниченных в Ь2-норме. В статье 5 решаются задачи анализа и синтеза при ограниченных внешних возмущениях, но лишь в непрерывном случае; кроме того, в ней не
2Blanchini F., Місті S. Set-Theoretic Methods in Control. Birkhauser, 2008.
3Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Philadelphia: SIAM, 1994.
4Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: Физматлит, 2007.
bAbedor J., Nagpal К., Poolla К. A linear matrix inequality approach to peak-to-peak gain minimization // Int. J. Robust and Nonlinear Control. 1996. V. 6. P. 899-927.
используется явно техника LMI.
В диссертации предлагается общий подход к широкому классу задач, связанных с подавлением неслучайных ограниченных внешних возмущений. Он основан на методе инвариантных эллипсоидов и систематическом использовании техники LMI. Применение этой концепции позволяет свести синтез оптимального регулятора к поиску наименьшего инвариантного эллипсоида замкнутой динамической системы. Такой подход приводит к простым оптимальным (или субоптимальным) регуляторам; он имеет большой потенциал и возможности для обобщений и в равной мере распространим как на непрерывный, так и на дискретный вариант задачи.
Для решения полученных задач существуют мощные вычислительные методы и соответствующие пакеты программ, среди которых отметим свободно распространяемые программные пакеты YALMIP и SeDuMi для системы MATLAB, а также пакет cvx.
Целью диссертационной работы является разработка методов подавления ограниченных внешних возмущений в непрерывных и дискретных линейных системах в терминах инвариантных эллипсоидов на основе систематического использования техники LMI и сведения задач к формату SDP. Рассмотрены случаи управления по состоянию, фильтрации, управления по выходу с использованием наблюдателя и их робастные варианты.
Методы исследования. В диссертационной работе используются методы теории оптимального управления, оптимизации, линейных матричных неравенств, линейной алгебры, а также компьютерное моделирование.
Научная новизна. Полученные в диссертации результаты и доказательства утверждений являются новыми. К основным новым результатам относятся следующие:
-
Разработан метод синтеза оптимального управления с помощью статической линейной обратной связи по состоянию в линейных непрерывных динамических системах с неслучайными ограниченными внешними возмущениями.
-
Предложен метод решения задачи фильтрации (оценки состояния динамической системы по измерениям) в линейных непрерывных стационарных системах с неслучайными ограниченными внешними возмущениями.
-
Разработан простой и универсальный способ подавления неслучайных ограниченных внешних возмущений в линейных непрерывных динамических системах с помощью линейной обратной связи по выходу с использованием наблюдателя.
-
Предложен способ построения нехрупкого (т. е. допускающего вариации его параметров) регулятора для подавления неслучайных ограниченных внешних возмущений в линейных непрерывных динамических системах.
-
Аналогичные п.п. 1-4 методы разработаны для линейных дискретных динамических систем с неслучайными ограниченными внешними возмущениями.
-
Разработаны методы решения робастных вариантов задач, рассмотренных в п.п. 1, 2, 4, 5.
Теоретическая и практическая ценность. В целом диссертационная работа носит теоретический характер. Разработанные подходы к подавлению внешних возмущений в линейных динамических системах основаны на методе инвариантных эллипсоидов и предполагают систематическое использование техники линейных матричных неравенств и сведение задач к формату полуопределенного программирования. Предложена новая техника доказательств, использующая модифицированный вариант б'-процедуры.
Вместе с тем, полученные результаты представляются значимыми и с практической точки зрения. Разработанные методы могут найти применение в целях подавления внешних возмущений в разнообразных технических системах. Результаты диссертационной работы также могут быть использованы в учебном процессе.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на IX Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" имени Е.С. Пятницкого (Москва, 2006), Конференции по принятию решений и управлению CDC06 (Сан-Диего, США, 2006), XIV Международной школе-семинаре по динамике и управлению (Звенигород, 2007), Международной конференции, посвященной 150-летию со дня рождения A.M. Ляпунова "LMC2007" (Харьков, Украина, 2007), II школе-семинаре "Управление большими системами" (Воронеж, 2007), III Международной конференции по физике и управлению "PhysCon 2007" (Потсдам, Германия, 2007), XIV Международной конференции по автоматическому управлению "Автоматика-2007" (Севастополь, Украина, 2007), XVII Всемирном конгрессе ИФАК (Сеул, Корея, 2008), IX Крымской международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Алушта, Украина, 2008), VIII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Н.Новгород, 2008), XII Международной научно-технической конференции "Моделирование, идентификация и синтез систем управления" (пос. Канака, Украина, 2009), XVI Между -
народной конференции по автоматическому управлению "Автоматика-2009" (Черновцы, Украина, 2009), а также на научно-исследовательских семинарах ИПУ РАН.
Исследования по теме диссертации проводились в соответствии с плановой тематикой работ ИПУ РАН (направление 3101 "Разработка методов управления динамическими системами в условиях неопределенности") и программы Отделения ЭММПУ РАН "Робастные и адаптивные методы управления движением".
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-31], из них 11 статей в ведущих рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК. Все результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 130 наименований. Объем диссертационной работы 198 страниц; в текст включен 31 рисунок.
Синтез оптимального управления
Задача фильтрации (т. е. оценки состояния динамической системы по измерениям) при случайных возмущениях допускает практически исчерпывающее решение с помощью фильтра Калмана. Однако во многих ситуациях предположение о случайности шумов является неоправданным; часто известно лишь, что все возмущения являются ограниченными, а в остальном произвольными. В этом случае можно строить гарантированные (а не вероятностные) оценки состояний. Такой подход был предложен в конце 60-х -начале 70-х годов прошлого века в работах американских ученых Г. Виценха-узена, Д. Бертсекаса и И. Родеса, Ф. Швеппе [92]. Примерно в это же время подобные проблемы разрабатывались в семинаре Н.Н. Красовского такими исследователями как А.Б. Куржанский, А.И. Субботин, Ю.С. Осипов и другие, см. [30]. Существенный вклад в этот круг исследований внес Ф.И. Черноусько [47]. В частности, в работах [30,47,92] была развита эллипсоидальная техника фильтрации. Обзор результатов в этой области можно найти в [29,34,45,65,78].
В настоящем разделе рассматривается проблема фильтрации с ограниченными неслучайными возмущениями для линейных стационарных задач, когда все параметры модели не зависят от времени. Более того, ищется оценка состояния такая, что ее ошибка гарантированно заключена в единый эллипсоид {инвариантный эллипсоид) для всех моментов времени, т. е. оценка является равномерной. Сам фильтр также ищется в классе линейных стационарных фильтров. В этом суженном классе задач и оценок проблема оказывается полностью разрешимой, т.е. удается построить оптимальный фильтр и оценку состояния. Этим данная постановка задачи отличается от упомянутых выше; там рассматривались более общие модели, однако получаемое решение было лишь субоптимальным, а равномерность оценок не имела места.
Применяемый аппарат LMI ранее не очень широко применялся в задачах фильтрации; исключением может служить статья [53]. В работах [106,111], которые мы опишем ниже, во-первых, даются более простые и точные оценки качества фильтрации; во-вторых, они обобщаются на дискретный случай; в-третьих, исследуется поведение оценок при больших начальных уклонениях.
Синтез оптимального управления
В главе рассмотрен синтез обратной связи по выходу, которая минимизирует размер инвариантных эллипсоидов динамической системы. Поскольку цель диссертации — систематическое использование техники линейных матричных неравенств и сведение задач к формату полуопределенного программирования, то, как и выше, задача синтеза управления по выходу сведена к условиям в виде LMI и задаче SDP. При этом использована оценка состояния, получаемая с помощью наблюдателя Люенбергера. В частности, 1) предложен метод решения задачи фильтрации в линейной стационарной системе с ограниченными внешними возмущениями; при этом в рассматриваемом классе задач и оценок удалось построить оптимальный фильтр и оценку состояния, являющуюся равномерной; 2) по сравнению с [53], во-первых, даны более простые и точные оценки качества фильтрации; во-вторых, они обобщены на дискретный случай; в-третьих, исследовано поведение оценок при больших начальных уклонениях; 3) разработан подход к решению задачи подавления ограниченных внешних возмущений в линейной динамической системе с помощью линейной обратной связи по выходу с использованием наблюдателя Люенбергера; результаты обобщены на дискретный случай; 4) разработан способ подавления Loo-ограниченных внешних возмущений для непрерывных и дискретных линейных динамических систем с помощью линейной обратной связи по выходу с использованием наблюдателя; 5) исследованы различные обобщения задачи по сравнению с [53]; в частности — случаи ненулевых начальных условий, ограниченных управлений, различных критериев оптимальности; 6) систематически используется (и это одна из целей данной работы) техника линейных матричных неравенств и сведение задач к формату полуопределенного программирования, для которого существуют мощные вычислительные средства. Это дает возможность получать численные решения для различных задач. В разделе предлагаются различные обобщения и уточнения одной леммы о робастной матричной знакоопределенности, результат которой часто привлекается при решении задач квадратичной устойчивости, построении ро-бастно квадратично стабилизирующих регуляторов, в робастной LQR-задаче и др. Одним из основных средств исследования является аппарат линейных матричных неравенств. В работе [84] исследовалась следующая модель матричной неопределенности. Рассматривается вещественная симметричная матрица G Є &пхп и ее возмущение вида где А Є Wxq — возмущающая матрица, з.М Є Жпхр и N Е Rqxn — постоянные "обрамляющие" матрицы соответствующих размерностей, задающие структуру неопределенности. Подчеркнем, что здесь возмущение для симметричной матрицы G задается с помощью матрицы А, которая не обязана быть симметричной и даже квадратной.
Такая форма задания неопределенности для симметричных матриц естественным образом возникает в задачах, связанных с построением квадратичной функции Ляпунова для динамической системы, матрица которой содержит произвольную, но ограниченную по норме матричную неопределенность А. Именно этим фактом прежде всего объясняется многообразие приложений, в которых встречается модель (3.1.1). Для такой модели в работе Я. Питерсена [84] было получено необходимое и достаточное условие того, что при всех ограниченных по норме возмущениях А; мы будем называть эти условия леммой Питерсена.
В исходной статье [84] обсуждаемая здесь лемма использовалась при решении робастной версии задачи о линейно-квадратичном регуляторе, а в [76,98] она применялась в синтезе робастного //те-управления. В работах [81, 82] этот результат привлекался для построения общей квадратичной функции Ляпунова для интервального матричного семейства; схожая модель неопределенности рассматривалась в [94] при выводе нового вершинного результата о квадратичной устойчивости интервальной системы.
Настоящий раздел посвящен развитию и обобщениям леммы Питерсена, при этом основное внимание уделяется связи полученных результатов с линейными матричными неравенствами и задачами полуопределенного программирования. Необходимость в таких обобщениях (имеющих, кроме всего прочего и самостоятельный интерес) возникает при решении задач о робаст-ном подавлении внешних ограниченных возмущений в системах, содержащих ограниченную по норме матричную неопределенность; они будут рассмотрены в последующих разделах главы.
Управление по выходу: непрерывный случай
В диссертации исследован комплекс вопросов, связанных с проблемой подавления неслучайных ограниченных внешних возмущений в линейных управляемых системах. Для решения поставленной проблемы используется метод инвариантных эллипсоидов, который сводит синтез оптимального регулятора к поиску наименьшего инвариантного эллипсоида замкнутой динамической системы.
Применение концепции инвариантных эллипсоидов позволило переформулировать исходную проблему в терминах линейных матричных неравенств, а сам синтез регулятора непосредственно свести к задачам полуопределенного программирования и одномерной выпуклой минимизации, легко решающихся численно.
В диссертации решены следующие основные задачи. 1) Разработан метод синтеза оптимального управления с помощью статической линейной обратной связи по состоянию для непрерывных и дискретных линейных динамических систем с ограниченными внешними возмущениями. Исходные задачи сведены к эквивалентным условиям в виде линейных матричных неравенств и задаче полуопределенного программирования. 2) Предложенный подход учитывает возможную неопределенность в начальном состоянии системы, а также наличие ограничений на управление. 3) Помимо случая евклидовых ограничений исследован случай интервальных ограничений на допустимые возмущения. 4) Предложен метод решения задачи фильтрации (оценки состояния динамической системы по измерениям) для непрерывных и дискретных динамических систем с ограниченными внешними возмущениями. Построен оптимальный фильтр и найдена равномерная оценка состояния. 5) Разработан способ подавления ограниченных внешних возмущений для непрерывных и дискретных линейных динамических систем с помощью линейной обратной связи по выходу с использованием наблюдателя. При этом используется оценка состояния, получаемая с помощью наблюдателя Люенбергера. 6) Получены разнообразные обобщения и уточнения леммы Питерсена о ро-бастной матричной знакоопределенности, которая часто используется при решении задач квадратичной устойчивости, построении робастно квадратично стабилизирующих регуляторов, в робастной LQR-задаче и др. 7) Предложен способ построения нехрупкого (допускающего вариации параметров) регулятора в форме статической линейной обратной связи по состоянию для подавления ограниченных внешних возмущений в непрерывных и дискретных линейных динамических системах. 8) Разработаны методы решения робастных вариантов задач синтеза оптимального управления с помощью линейной обратной связи по состоянию, задачи фильтрации, а также задачи построения нехрупкого регулятора для непрерывных и дискретных линейных динамических систем с ограниченными внешними возмущениями. 9) Введено понятие "наихудшего" внешнего возмущения и матричной неопределенности и получены соотношения для их определения в непрерывном и дискретном случае. 10) Доказательства полученных утверждений основываются на новой технике, использующей модифицированный вариант S-процедуры — с двумя ограничениями. Эффективность полученных результатов продемонстрирована на примерах систем достаточно большого порядка. Для линейных стационарных систем предлагаемая в диссертации техника особенно проста и наглядна, однако, идеология инвариантных эллипсоидов может быть применена и в более общих ситуациях.
Лемма Питерсена для нескольких неопределенностей
В главе предложен простой и универсальный подход к решению задачи робастного подавления произвольных ограниченных внешних возмущений с помощью статической линейной обратной связи по состоянию. Как и в предыдущих главах, применение концепции инвариантных эллипсоидов позволило переформулировать исходную проблему в терминах линейных матричных неравенств и свести ее к задачам полуопределенного программирования и одномерной минимизации, легко решающихся численно.
Эффективность полученных результатов продемонстрирована на примерах систем достаточно большого порядка.
Сравним полученные результаты с ранее известными, в частности, с результатами, полученными в наиболее близкой по тематике работе [81]. 1) Работа [81] посвящена вопросам устойчивости и стабилизации интервальной системы. В диссертации рассмотрена задача в существенно более общей постановке; при этом: — разработан простой и универсальный подход к решению задачи робастного подавления ограниченных внешних возмущений в линейной динамической системе с помощью линейной обратной связи по состоянию; — предложен метод решения задачи робастной фильтрации для линейной стационарной системы с ограниченными внешними возмущениями; — предложен способ построения нехрупкого регулятора, т. е. допускающего вариации его параметров. 2) Получены разнообразные обобщения и уточнения леммы Питерсена о ро-бастной матричной знакоопределенности, которая часто привлекается при решении задач квадратичной устойчивости, построении робастно квадратично стабилизирующих регуляторов, в робастной LQR-задаче и др.; необходимые условия устойчивости системы, полученные в [81], являются ошибочными (см. [82]). 3) В равном объеме рассмотрен как непрерывный, так и дискретный вариант задачи; в [81] исследован только непрерывный случай. 4) В качестве целевой функции выбран критерий следа; это позволило свести соответствующую проблему к стандартной задаче SDP; в работе [81] не рассматривается понятие инвариантного эллипсоида и тем более авторы не задаются целью его минимизации. 5) Введено понятие "наихудших" матричной неопределенности и внешнего возмущения и получены соотношения для их определения в непрерывном и дискретном случае.
