Введение к работе
Актуальность темы. В реальных условиях параметры управляемых систем и действующих на них возмущений могут быть известны неточно или определены неоднозначно. Это приводит к тому, что, как правило, приходится учитывать неопределённость или неполноту описания систем, которая присутствует в их математических моделях. Информация о не полностью определённых параметрах может ограничиваться лишь границами областей их изменения, заданных, например, техническими допусками. В таких условиях приходится иметь дело с семейством систем, параметры которых могут принимать любые значения в заданных пределах; при этом говорят о системах с интервальной параметрической неопределённостью.
Проблема анализа и обеспечения устойчивости систем с неопределённостью занимает одно из центральных мест в теории и практике управления. Основополагающими в её исследовании были работы А.И. Лурье, М.А. Айзермана, В.А. Якубовича, Е.С. Пятницкого. В них упомянутая задача получила название задачи об абсолютной устойчивости. В последнее время интенсивно развивается более общий подход к обеспечению требуемых свойств систем по отношению к неопределённости, называемых робастностъю. Решению задач абсолютной и робастной устойчивости, робастного управления и стабилизации посвящено огромное количество работ, в их числе работы Я.З. Цыпкина, Б.Т. Поляка, В.Л. Харитонова, Л.Б. Рапопорта, В.В. Александрова, Ю. Аккермана, Б.Р. Бар-миша и других исследователей.
Не менее актуальны задачи обеспечения динамической точности и подавления возмущений систем с неопределённостью. Точность характеризуется максимально возможными отклонениями фазовых координат или функций от них от надлежащих режимов. Впервые задача экстремального анализа точности систем с неопределённостью была рассмотрена Б.В. Булгаковым. Значительный вклад в её развитие внесён Н.Т. Кузовковым, Я.Н. Ройтенбергом, В.В. Александровым, Л.С. Гноенским, A.M. Формальским, РМ. Улановым.
Важное значение имеет исследование колебательности систем с неопределённостью. Для одномерных систем гг-го порядка И.Т. Кигурадзе, Н.Х. Розовым и В.В. Александровым предложена классификация систем по типу осцилляционных свойств их решений. Системы отнесены к одному из п классов, в том числе, абсолютно неколебателъные, абсолютно колебательные и колебательные системы разных типов.
Понятие динамической точности систем с неопределённостью по смыслу близко понятию динамической устойчивости упругих систем. Это открывает широкие возможности для новых приложений задачи Булгакова. Получение аналитических условий динамической устойчивости и гарантированных оценок максимальных отклонений систем с распределёнными параметрами - достаточно сложная задача, имеющая значительный теоретический и практический интерес.
Анализ подходов, используемых для её решения, свидетельствует о том, что в вопросах применения современных методов и результатов теории колебаний, робастной устойчивости и управления имеются пробелы. Так, в существующих методиках нормирования (оценки опасности) вибрации упругих конструкций - трубопроводов с пульсирующей транспортируемой средой не представлены способы определения максимально возможных амплитуд колебаний диагностируемых параметров: виброперемещений и виброскорости. Остаётся нерешённой и проблема отыскания наиболее опасных пульсаций давления среды в трубопроводах, приводящих к их колебаниям с максимальными амплитудами. Решение может быть получено с помощью редукции к задачам того же содержания для последовательности систем с сосредоточенными параметрами.
Тематика диссертации тесно примыкает к вариационному методу анализа абсолютной устойчивости, развитому Е.С. Пятницким и его учениками в ИПУ РАН. Утверждения, доказанные в диссертации с помощью и на основе задачи Булгакова с нефиксированным временем дополняют и углубляют результаты, полученные вариационным методом Е.С. Пятницкого.
Развитие качественных методов анализа робастности различных динамических свойств систем управления с неопределённостью, получение аналитических и конструктивных критериев проверки их наличия по-прежнему остаются актуальными в теории робастных систем как с теоретической, так и с практической точек зрения. Актуальность темы работы определяется целесообразностью разработки метода анализа экстремальных режимов систем с неопределённостью и нахождения их экстремальных отклонений] метода, позволяющего получать аналитические критерии колебательности, ро-бастной устойчивости и стабилизации, динамической точности и управляемости. Актуальны и задачи повышения динамической устойчивости трубопроводов и разработки методики нормирования их вибрации по наиболее опасному варианту.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическим планом договора о научном сотрудничестве РГУ нефти и газа им. Губкина с ОАО ГАЗПРОМ "ПРОМГАЗ".
Цель исследования состоит в разработке эффективного метода для исследования экстремальных режимов систем управления с нестационарной неопределённостью и его применении к решению теоретических и прикладных задач анализа колебательности систем, робастности их динамических свойств и выявления связей между ними. Метод назван методом экстремальных отклонений. Поставленная цель достигается решением следующих основных задач:
1) исследование осцилляционных свойств решений систем управления второго и третьего порядка с нестационарной параметрической неопределённостью, классификация систем по признаку колебательности, то есть разделение систем на абсолютно неколебательные и колебательные разных типов;
2) построение траекторных воронок двумерных систем управ
ления с нестационарной параметрической неопределённостью;
3) исследование абсолютной устойчивости, неустойчивости
и полной управляемости двумерных систем управления с неста-
ционарнои параметрической неопределённостью, выявление связей между указанными динамическими свойствами;
-
экстремальный анализ динамической точности систем управления второго порядка с внешними или/и параметрическими возмущениями, построение областей достижимости;
-
робастная стабилизация ограниченным управлением параметрически возмущаемой системы второго порядка;
-
исследование абсолютной устойчивости систем управления третьего порядка с нестационарной параметрической неопределённостью;
-
разработка методики нахождения экстремальных пульсаций давления среды в трубопроводе и расчёта его динамической реакции на экстремальные возмущения.
Методы исследования. Используется аппарат теории колебаний и устойчивости, теории управления и систем с переменной структурой, метод фазового портрета и метод Фурье.
Достоверность результатов основана на использовании апробированного математического аппарата, корректностью постановки задач, адекватностью исходных предположений и допущений, строгостью математических выкладок и доказанностью сформулированных утверждений. Ряд результатов включен в "Классический университетский учебник" МГУ им. М.В. Ломоносова по оптимальному управлению движением.
Научная новизна полученных результатов.
1) Разработан метод экстремальных отклонений для анализа экстремальных режимов систем управления второго и третьего порядка с нестационарной параметрической неопределённостью. Метод позволяет получать доведённые до формул в терминах параметров систем или легко проверяемые критерии их колебательности и не колебательности, абсолютной устойчивости и неустойчивости, робастной стабилизации, управляемости и динамической точности. Метод состоит из двух этапов: а) анализ поведения траекторий систем на фазовой плоскости и в фазовом пространстве, классификация
множеств решений и разделение систем аналитическими критериями на абсолютно неколебательные и колебательные разных типов; б) анализ экстремальных режимов колебательных систем разных типов на основе решения задачи Булгакова об экстремальном отклонении с нефиксированным временем.
-
Проведено полное исследование осцилляционных свойств двумерных систем с параметрической неопределённостью. Впервые в форме аналитических критериев произведена их классификация по признаку колебательности. Критерии абсолютной не колебательности, колебательности в по ложите льном или/и отрицательном направлении позволяют осуществить глобальную отделимость соответствующих множеств решений систем.
-
Дифференциально-геометрическим способом синтезированы кусочно постоянные матричные управления, задающие ветви границ траекторных воронок двумерных систем с нестационарной параметрической неопределённостью. Моменты переключений найдены в виде функций от параметров систем. Установлены аналитические критерии абсолютной устойчивости, полной неустойчивости и полной управляемости. Выявлена взаимосвязь между колебательностью, устойчивостью, неустойчивостью и управляемостью. Показано, что в условиях Гурвица абсолютно неколебательные системы абсолютно устойчивы и не вполне управляемы, а критерий полной управляемости колебательных систем является следствием критериев абсолютной устойчивости и неустойчивости.
-
В форме обратных связей найдены наихудшие возмущения, приводящие к максимальным отклонениям от нулевого положения систем второго порядка с внешним, а также аддитивно-параметрическим возмущением. Получены устойчивые предельные циклы, ограничивающие области достижимости систем и определены их максимальные отклонения.
-
Решена задача о робастной стабилизации ограниченным управлением параметрически возмущаемой системы второго порядка. Разработаны два способа робастной стабилизации: минимаксный и с помощью скользящего режима.
-
Для одномерных систем третьего порядка с параметрической неопределённостью установлен аналитический критерий неколебательности по первой производной и произведена классификация систем по этому признаку. Методом экстремальных отклонений в сочетании с принципом максимума Понтрягина получен конструктивный критерий абсолютной устойчивости колебательных систем, основанный на использовании отображения Пуанкаре.
-
Метод экстремальных отклонений впервые применён к исследованию вибрации упругой конструкции — трубопровода с пульсирующей транспортируемой средой.
Практическая значимость и реализация результатов.
-
Разработанный метод экстремальных отклонений позволяет исследовать важную прикладную проблему возможности возникновения резонансных процессов в системах с неопределённостью. Найдены наихудшие, с точки зрения обеспечения устойчивости, стабилизации и точности, воздействия на системы и экстремальные движения, осуществляющие максимальные отклонения от желаемого положения.
-
Метод экстремальных отклонений может быть применён для исследования широкого класса систем. В качестве практического приложения, иллюстрируещего возможности и эффективность метода, решены задачи определения условий динамической устойчивости участка трубопровода с пульсирующей транспортируемой средой и гарантирующем оценивании диагностируемых при нормировании вибрации параметров.
-
Впервые поставлена и методом экстремальных отклонений решена задача нахождения экстремальных пульсаций давления среды в П-образном трубопроводном элементе. Установлены аналитические условия его динамической устойчивости, определяющие предельную амплитуду пульсации давления среды, и аналитические выражения для максимально возможных амплитуд виброперемещений, виброскорости, динамической составляющей изгибного напряжения, по которым производится нормирование вибрации.
-
Полученные результаты позволяют прогнозировать опасное развитие вибрации упругих систем, совершенствовать методологию её нормирования и могут быть рекомендованы для разработки методики нормирования вибрации по наиболее опасному варианту, направленной на увеличение запаса прочности и сроков эксплуатации упругих конструкций.
-
Ряд результатов работы принят для практического использования ОАО ГАЗПРОМ "ПРОМГАЗ".
Основные положения, выдвигаемые на защиту:
-
Метод экстремальных отклонений для анализа экстремальных режимов динамических систем второго и третьего порядка с неопределённостью при наличии внешних или/и параметрических возмущений.
-
Аналитические критерии абсолютной не колебательности, колебательности, абсолютной устойчивости, полной неустойчивости, полной управляемости двумерных систем с параметрической неопределённостью. Исследование системных связей между перечисленными динамическими свойствами.
-
Аналитические решения задач анализа точности систем управления второго порядка с внешним и аддитивно-параметрическим возмущениями.
-
Два способа робастной стабилизации параметрически возмущаемой системы второго порядка: минимаксный и основанный на использовании скользящего режима.
-
Аналитический критерий абсолютной не колебательности систем третьего порядка с параметрической неопределённостью. Конструктивный критерий их абсолютной устойчивости, полученный методом экстремальных отклонений в сочетании с принципом максимума Понтрягина.
-
Методика нахождения экстремальных пульсаций давления в П-образном трубопроводе и расчёта его динамической реакции, позволившая получить аналитические условия динамической устойчивости, выражения для максимальных амплитуд виброперемещений, виброскорости, изгибного напряжения, по которым производится нормирование вибрации.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
на V, VI, VII, IX Международных семинарах им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 1998 г., 2000 г., 2002 г., 2006 г.;
на XIX Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Москва, МГУ, 1998 г;
на V Международной конференции "Хаос и структуры в нелинейных системах", Астана, Евразийский университет, 2006 г.;
на III и VIII Всероссийских конференциях "Актуальные про
блемы развития нефтегазового комплекса России", Москва,
РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 1999 г., 2010 г.;
В ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН:
на Московском семинаре "Теория автоматического управления" под рук. проф. Б.Т. Поляка, на семинаре лаборатории динамики нелинейных процессов управления под рук. проф. Л.Б. Рапопорта, на семинаре лаборатории теории систем с распределёнными параметрами под рук. проф. А.Г. Бутковского.
В ИПМех им. А.Ю. Ишлинского РАН:
на семинаре "Механика систем", им. акад. А.Ю. Ишлинского
при научном Совете РАН по механике систем под рук. акад.
В.Ф. Журавлёва и акад. Д.М. Климова, 2009 г.;
на семинаре "Теория управления и динамические системы"
под рук. акад. Ф.Л. Черноусько, 2009 г.;
на семинаре "Проблемы механики сплошных сред," под рук.
проф. СВ. Нестерова и проф. Д.В. Георгиевского, 2009 г.;
В Институте машиноведения им. А.А. Благонравова РАН: на Московском семинаре молодых учёных по проблемам машиностроения, под рук. чл.-корр. Н.А. Махутова, 2009 г.;
В МГУ им. М.В. Ломоносова:
на Московском семинаре "Механика деформируемого твёрдого тела", на семинарах "Управление в механических системах", "Нелинейные задачи механики управляемых систем", кафедры прикладной механики и управления;
В Университете Висконсин-Мэдисон (США): на семинарах
факультетов инженерной механики и вычислительной техни
ки под рук. проф. В.Я. Люмельского и проф. Б.Р. Бармиша.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 30 научных работах, в том числе 12 статей — в рецензируемых журналах из списка ВАК РФ.
Структура и объём работы. Представляемая работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложения, списка литературы и включает 240 страниц, 35 рисунков. Библиография содержит 183 наименовения.
