Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Методы исследования. цель диссертации 9
1.1. Устойчивость стержневых систем с учетом физической нелинейности 9
1.2. Устойчивость систем, состоящих из пластин и оболочек, с учетом
физической нелинейности 22
1.3. МКЭ в задачах устойчивости деформируемых конструкций 27
1.4. Цель диссертации 30
Выводы по первой главе 32
ГЛАВА 2. Постановка задачи устойчивости с учетом физической нелинейности 33
2.1. Устойчивость по А.М. Ляпунову 33
2.2. Исходные предположения и уравнение статики МКЭ в приращениях с учетом физической и геометрической нелинейности 35
2.3. Критерий устойчивости системы в рамках МКЭ с учетом физической нелинейности 38
Выводы по второй главе 44
ГЛАВА 3. Устойчивость стержневых систем с учетом физической нелинейности 46
3.1. Общие соотношения 46
3.2. Анализ устойчивости стальных стержневых систем на основе концепции Шенли 49
3.3. Анализ устойчивости стальных и железобетонных стержневых систем на основе концепции «нулевой отпорности» (разные диаграммы, условия их применимости в зависимости от эксцентриситета) 54
3.4. Общий алгоритм решения задачи устойчивости стержневых систем с учетом физической нелинейности 69
Выводы по третьей главе 72
ГЛАВА 4. Устойчивость систем, состоящих из пластин и оболочек, с учетом физической нелинейности 74
4.1. Предварительные замечания 74
4.2. Анализ устойчивости равновесия системы с учетом физической нелинейности 77
Выводы по четвертой главе 78
ГЛАВА 5. Численные примеры и верификация разработанных алгоритмов 79
5.1. Результаты исследования устойчивости для стальных стержневых систем 79
5.2. Результаты исследования для железобетонных стержневых систем 101
5.3. Результаты исследования для систем пластин и оболочек 102
5.4. Использование разработанного метода в ПК MicroFe 105
Выводы по пятой главе 110
Основные результаты и выводы 111
Литература 112
- МКЭ в задачах устойчивости деформируемых конструкций
- Критерий устойчивости системы в рамках МКЭ с учетом физической нелинейности
- Анализ устойчивости стальных и железобетонных стержневых систем на основе концепции «нулевой отпорности» (разные диаграммы, условия их применимости в зависимости от эксцентриситета)
- Анализ устойчивости равновесия системы с учетом физической нелинейности
МКЭ в задачах устойчивости деформируемых конструкций
Подход Энгессера-Кармана, основанный на использовании приведенного модуля долгое время оставался единственным при рассмотрении продольного изгиба неупругих стержней. Одним из основных предположений при разработке этой теории являлось то, что стойка остается прямой при увеличении осевой нагрузки вплоть до достижения последней критической величины, после чего стойка изгибалась и происходила потеря устойчивости. В 1946-1947 гг. Шенли опубликовал первые статьи [113], где подверг сомнению данное предположение. Он предположил возможность потери устойчивости при силах, меньших P . Шенли исследовал возможность возникновения отклоненных состояний равновесия при нагружении стойки, начиная с некоторого момента, характеризуемого силой P+ P , и показал, что P+ совпадает с касательно-модульной нагрузкой P. При дальнейшем нагружении стойки вплоть до значения P возникает зона разгрузки. То, что данное предположение верно, если одновременно с изгибом происходит возрастание сжимающей нагрузки (концепция продолжающегося нагружения), также подтверждалось Ю.Н. Работновым [68] в 1952г. Фактически Шенли указал нижнюю границу для сжимающей силы, начиная с которой, могут возникать новые формы равновесия стойки. С этой точки зрения касательно-модульную силу можно считать критической [62]. Однако во второй половине ХХ века дискуссия продолжилась.
В результате большого количества независимых исследований было выявлено, что при тщательной организации опытов в условиях упругой работы материала экспериментальные точки оказываются вблизи гиперболы Эйлера, а с наступлением физической нелинейности они оказываются разбросанными [17].
Разными авторами были предложены формулы для аппроксимации зависимости критического напряжения от гибкости стержня X при расчете на продольный изгиб за пределами упругости, из которых наиболее приемлемыми оказались следующие: где постоянные а,Р можно подобрать таким образом, чтобы парабола плавно сопрягалась с гиперболой Эйлера, имея с ней общую касательную.
Однако основным требованием для составления эмпирических формул является их соответствие опытным данным на продольный изгиб для стержней различной гибкости.
Первые исследователи вопроса, связанного с внецентренным сжатием неупругих стержней, столкнулись с трудностями, связанными с необходимостью рассмотрения различных случаев расположения упругой и пластической области в поперечном сечении, вследствие чего решение становилось зависимым от формы этого сечения. Задачу об определении критической силы внецентренно нагруженных стержней, как задачу об устойчивости впервые исследовал Т. Карман. При этом выпучивание стержней предполагалось в плоскости, проходящей через одну из главных осей симметрии поперечного сечения. На основе его теории Е. Хвалла в ряде статей, опубликованных в период с 1928 по 1937 гг., например [99], тщательно исследовал устойчивость внецентренно сжатых стержней и полученные результаты для различных форм сечений обобщил в виде таблиц и диаграмм.
Решение Е. Хвалла отличалось громоздкостью вычислений и плохо обозримой графоаналитической формой расчета, что не позволяло применять этот метод в практических расчетах. Но, вероятно, правильно полагать, что этой работой был дан толчок для создания более простых методов расчета. И, начиная с 30-х годов, именно это направление привлекло к себе наибольшее количество исследователей во многих странах. Так, Ежек [104] внес ценный вклад в решение этой задачи. Он дал аналитическое решение задачи устойчивости за пределами упругости шарнирно опертого внецентренно сжатого стержня, основанное на использовании модели идеального пластического материала (диаграмма Прандтля). Применение одной диаграммы избавило от необходимости рассматривать различные диаграммы для каждого из материалов и позволило разрабатывать общие методы для расчета конструкций. Этой диаграммой четко разграничивались упругая и пластическая стадии работы конструкции. Благодаря чему было обосновано понятие пластического шарнира, имевшее большое значение для понимания часто наблюдавшихся случаев значительных пластических деформации конструкции при сохранении ее несущей способности.
Еще одним допущением являлось то, что изогнутая линия стержня принималась как полуволна синусоиды. Это допущение оказалось вполне оправданным, и приближенные методы расчета на устойчивость сжато-изогнутых стержней, построенные на этом допущении, достаточно точны с практической точки зрения [20].
В трудах отечественных ученых подход Хваллы, Ежика также получил большую популярность. Так А.Р. Ржаницын, принимая гипотезу плоских сечений, изложил аналогичный метод определения критических состояний внецентренно сжатого стержня на кривой длина – прогиб при заданной сжимающей силе [70]. Основываясь на тех же подходах, в разной степени упрощенные методы расчета на устойчивость для сжато-изогнутых стержней предлагали А.С. Вольмир, А.В. Геммерлинг и др. [17,20,65].
В конечном счете, принимая допущения об искривлении оси стержня по полуволне синусоиды о свойствах материала, подчиняющимся диаграмме Прандтля, а также рассматривая уравнения равновесия для центрального сечения относительно сжимающей силы и момента, можно получить выражение для экстремального значения среднего по сечению напряжения для основных сечений в зависимости от гибкости и эксцентриситета [17].
Критерий устойчивости системы в рамках МКЭ с учетом физической нелинейности
Важным и новым в соотношении (2.41) является то, что жесткости, используемые для построения матриц К , Kg и Кст , разные. Так К и Кст матрицы касательных жесткостей конструкции, отвечающих положению равновесия й +р (нагрузка Р) и приращению нагрузки АР соответственно. А матрица Kg - матрица секущих жесткостей конструкции, т.к. соответствует распределению напряжений для положения равновесия uQ (нагрузка Q).
Далее будем рассматривать класс задач, где конструкция загружена консервативными силами, а деформации достаточно малы, чтобы при вычислениях напряжений, объемных и поверхностных, можно было пренебречь изменениями площадей и объемов. Углы поворотов также будем полагать малыми. Для данного класса задач можно построить более эффективный итерационный алгоритм определения предельной нагрузки устойчивости с учетом физической нелинейности, позволяющий избежать решения задачи в приращениях и свести все к последовательному решению стандартных задач линейно-упругой устойчивости. Для этого при заданной внешней нагрузке Р примем Q = 0, а приращение нагрузки рДР = РР, тогда из (2.41) получим задачу на собственные значения параметра Р в виде: К + ркP =0, (2.42) где К - матрица, соответствующая начальным жесткостям. По спектру Р можно определить Р =min{P j }, а также соответствующее ему значение критической нагрузки Р Р.
Таким образом, решение задачи устойчивости с учетом физической нелинейности требует организации итерационного процесса. Исходя из текущего уровня нагружения системы, необходимо на основании заранее выбранных критериев осуществлять корректировку матриц К и р кP с учетом нелинейной диаграммы деформирования материала. После чего нужно заново решать задачу (2.42). И так до схождения итерационного процесса.
Выводы по второй главе
1. В рамках МКЭ осуществлена постановка задачи устойчивости с учетом физической нелинейности на основе определения устойчивости по А.М. Ляпунову, что позволяет классифицировать как локальную, так и общую потерю устойчивости конструкции. Был сформулирован общий подход к организации итерационного алгоритма решения задачи в форме, удобной для реализации в рамках МКЭ.
2. В качестве основных допущений при записи уравнений статики МКЭ в приращениях с учетом физической и геометрической нелинейности принято, что деформации малы, диссипация отсутствует, внешние нагрузки консервативны, внутренние силы на малом шаге нагружения обладают потенциалом на дополнительных перемещениях, а разгрузка на малом шаге нагружения происходит по той же ветке диаграммы, что и догрузка. 3. Для исследования устойчивости получаемых равновесных форм использован динамический метод анализа устойчивости, что позволило получить удобный для применения в рамках МКЭ критерий устойчивости
Рассмотрим состояние физической нелинейности. Для начала напомним, что система называется линейно-упругой, если для связи между деформациями и напряжениями с достаточной точностью выполняется закон Гука:
Здесь 5Щ - предел пропорциональности материала. Закон Гука выполняется при 5 5Щ (участок ОА). При напряжениях больше зпц наступает стадия физической нелинейности. Поскольку в реальных конструкциях величина деформаций обычно ограничена, то будем рассматривать участок диаграммы до некоторой точки М, в которой деформации и напряжения максимальны - ам и sM. На диаграмме с четко выраженной площадкой текучести, точка M соответствует началу этой площадки. Также стоит отметить, что для некоторых материалов, например бетона, начального линейного участка может и не быть вообще.
Далее рассмотрим задачу линейно упругой устойчивости в форме (2.36), где были приняты допущения, что конструкция загружена консервативными силами, а деформации и углы поворотов достаточно малы. Это задача определения наименьшего собственного значения в форме МКЭ:
Можно построить итерационный алгоритм, в котором параметр критической нагрузки определяется на основе решения линейно-упругой задачи устойчивости вида (3.4), а матрицы обычной и геометрической жесткости К и
Кст корректируются исходя из уровня достигаемых напряжений с учетом нелинейной диаграммы деформирования материала. Тогда важно отметить, что по аналогии с соотношением (2.35) матрица жесткости К должна соответствовать касательным модулям упругости, а матрица геометрической жесткости Кст - соответствующему распределению напряжений, т.е. секущим модулям упругости.
Если рассматривать стержневые системы, где потеря устойчивости элементов происходит в одной из главных плоскостей сечения и отсутствует форма потери устойчивости с выходом из плоскости действия момента, то для корректировки матриц достаточно ограничиться только изменением одного параметра, а именно, модуля упругости материала. Поэтому разрабатываемый алгоритм по аналогии с В.В. Улитиным [89] будем называть алгоритмом корректировки модулей (АКМ). Общее соотношение АКМ может быть представлено в виде:
Как известно, подход Шенли при определении критической нагрузки для центрально сжатого шарнирно опертого стержня основан на использовании касательного модуля. После опубликование его работ в середине XX в. долгое время продолжалась дискуссия о том, можно ли считать касательно-модульную нагрузку действительно критической, или же такой подход приводит к излишнему занижению получаемых значений. Тем не менее, как уже говорилось ранее, Шенли указал нижнюю границу для сжимающей силы, начиная с которой, могут возникать новые формы равновесия стойки. Необходимость применения касательного модуля при анализе устойчивости со всей очевидностью следует из работы Н. Хоффа [92], где подтвержден факт потери устойчивости сжатых стержней при работе материала по касательному модулю. СП. Тимошенко также указывал, что величина критической силы определяется соответствующим значением касательного модуля [83].
Помимо этого, главным достоинством концепции Шенли и причиной ее популярности по сей день являются простота выкладок и удобство в практическом применении по сравнению, например, с использованием приведенного модуля по формуле Энгессера-Кармана. Так в своей работе В.В. Улитин [89] в алгоритме корректировки модулей пользуется именно касательным модулем.
Анализ устойчивости стальных и железобетонных стержневых систем на основе концепции «нулевой отпорности» (разные диаграммы, условия их применимости в зависимости от эксцентриситета)
Для исследования устойчивости стержневых систем в предыдущей главе на основе общей постановки задачи устойчивости с учетом физической нелинейности в рамках МКЭ был предложен итерационный алгоритм, основанный на последовательном решении линейно-упругой задачи для системы и корректировке матриц жесткости элементов. Корректировка осуществлялась для каждого КЭ-стержня, исходя из решения для него вспомогательной задачи с учетом нелинейной диаграммы деформирования материала. Такой подход позволяет эффективно определять параметр критической нагрузки с учетом физической нелинейности для системы, опираясь на результаты, полученные из линейно-упругой задачи устойчивости, методы решения которой хорошо отработаны в современных программных комплексах. Построить такой итерационный алгоритм для стержневых систем удается благодаря тому, что для каждого КЭ-стержня можно сформулировать с помощью некоторых допущений достаточно простую для решения вспомогательную задачу, исходя из решения который, осуществляется корректировка жесткостей элементов.
В случае систем, состоящих из многих пластин или оболочек, применение схожего итерационного алгоритма затруднительно. Проблема вызвана тем, что для каждого оболочечного КЭ необходимо сформулировать вспомогательную задачу устойчивости с учетом физической нелинейности, которую бы можно было бы быстро и эффективно решить. Как показал анализ текущего состояния разработки проблемы устойчивости пластинок, в особенности с учетом нелинейной работы материала, даже для отдельных пластин задача сама по себе является достаточно сложной. Тем более проблематично сформулировать вспомогательную задачу устойчивости с учетом физической нелинейности для отдельной пластинки, исходными данными которой являлись бы результаты линейно-упругого решения задачи устойчивости для всей системы, аналогично тому, как это было сделано для стержней.
Важной особенностью расчета систем пластин и оболочек является то, что в рамках алгоритма типа АКМ нельзя ограничиться корректировкой лишь одного параметра, например модуля упругости, для всего элемента, как предлагает В.В. Улитин [89], рассматривая плоское напряженное состояния в таких элементах и переходя к интенсивностям напряжений. Во-первых, в зависимости от внешних нагрузок состояние физической нелинейности может наступать лишь по одному направлению, при этом, во втором направлении материал продолжит работать в линейно-упругой области. Во-вторых, если на такой элемент действуют изгибающий моменты, то напряжения будут различны по всей его толщине. Учет перечисленных особенностей становится особенно важным при расчете железобетонных плит, где ортотропия дополнительно обусловлена наличием арматурных стержней.
Тем не менее, возникающие сложности при построении эффективного итерационного алгоритма, аналогичного представленному в 3.4, не запрещают решать задачу напрямую, исходя из общей постановки задачи устойчивости с учетом физической нелинейности, осуществленной в гл. 2. Для этого необходимо решать физически и геометрически нелинейную задачу с пошаговым приращением нагрузки:
В зависимости от полученных на текущем уровне нагружения АР перемещений ii матрицы обычной жесткости К и геометрической жесткости KCT k системы МКЭ должны корректироваться, с учетом новых касательных Ес и секущих Es модулей упругости, определяемых по диаграмме деформирования материала. Вследствие произвольного распределения усилий в конструкции корректировка должна осуществляться для каждого КЭ отдельно. Важно отметить, при определении матрицы обычной жесткости КЛЛ элемента используется касательный модуль Ес, а при определении матрицы геометрической жесткости Кст(е) элемента используется секущий модуль Es.
Таким образом, в отличие от классической процедуры МКЭ, модули в матрицах обычной и геометрической жесткости используются разные - это ключевая особенность предлагаемого метода. В остальном процедура МКЭ стандартна.
Для учета неравномерного распределения напряжений по толщине элемента из-за действия изгибающих моментов будем применять многослойные оболочечные элементы. В работах, посвященных фундаментальным вопросам теории расчета многослойных конструкций, например в [14], отмечается, что для обеспечения в большинстве случаев приемлемой для практических целей точности результатов при построении таких элементов достаточно пользоваться гипотезой прямых нормалей. Понятно, что переход к слоистым конечным элементам потребует на каждом шаге дополнительно определять для них, во-первых, интегрированные жесткостные характеристики, исходя из жесткостей разных слоев, и, во-вторых, деформации в каждом слое отдельно. Эта процедура подробно изложена в современной литературе по МКЭ, например в [1].
Материал пластин и оболочек в каждом слое предлагается рассматривать, как ортотропный, то есть имеющий различные жесткости в двух направлениях главных осей деформации, что позволит учитывать физическую нелинейность в этих направлениях независимо друг от друга. В каждом направлении диаграмма деформирования может иметь произвольный вид, например как на Рис. 3.1.
Таким образом, в рамках предлагаемого подхода расчет МКЭ необходимо проводить для многослойных пластин и оболочек, материал которых ортотропный в каждом слое. Тогда, определив деформации в конечном элементе на некотором k-м шаге нагружения и пересчитав их по отдельности для всех слоев элемента, в каждом слое по каждому направлению ортотропии можно найти свои значения касательного Ес и секущего Es модуля упругости. Далее необходимо определить матрицы обычной К(е) и геометрической Кст(е) жесткости элемента и скорректировать соответствующие матрицы КЛ и КстА. системы МКЭ. И после чего проверить устойчивость найденного положения равновесия, решив линеаризованную задачу вида (4.3).
Анализ устойчивости равновесия системы с учетом физической нелинейности
Так как конструкция шарнирно-стержневая и моменты в элементах конструкции отсутствуют, то для ее анализа при помощи АКМ будем пользоваться концепцией Шенли. Получим распределение усилий от статического действия начального значения нагрузки F = 100 кН. Наибольшие продольные усилия наблюдаются в вертикальных элементах левой нижней ветви конструкции и равны NmaK = 292,3 кН, в соответствующих элементах правой ветви они меньше на полтора порядка. Решая на этом же шаге задачу линейно-упругой устойчивости, получим FKp 0 =1533,4 кН. Весьма важным является тот факт, что форма потери линейно-упругой устойчивости конструкции (Рис. 5.21) практически не зависит от того к какой ветви конструкции приложены внешние сосредоточенные нагрузки. Легко видеть, что максимальные напряжения соответствующие FKp0 существенно больше апц. Применяя АКМ, окончательно получим FKp нел = 401 кН. На Рис. 5.22 приведена форма потери устойчивости с учетом физической нелинейности. Данная форма потери устойчивости реализуется относительно положения равновесия, изображенного на Рис. 5.23. Масштабы для положения равновесия и форм потери устойчивости на рисунках разные. Рис. 5.21. Линейно-упругий случай
В данном случае результаты показывают, что неучет физической нелинейности приводит к завышению параметра критической нагрузки более чем в 4 раза. Также продемонстрировано, что алгоритмы, основанные на шаговом приращении нагрузки без строгой проверки на устойчивость положения равновесия на каждом шаге, не могут правильно определить значение критической нагрузки, а могут помочь только для определения верхней оценки значения критической нагрузки.
Далее рассмотрим применение АКМ и критерия «нулевой отпорности» для расчета на устойчивость железобетонных стержневых систем. Пример 5.10. Устойчивость железобетонных прямоугольных колонн. Сравнение с результатами испытаний.
В данном примере произведен расчет на устойчивость нескольких прямоугольных железобетонных колонн, для которых известны результаты экспериментальных исследований, выполненных в Научно-исследовательском институте бетона и железобетона в под руководством проф. Чистякова Е.А [93]. Ниже в Таблице 12 представлены результаты расчета и испытаний для различных образцов, где l – высота колонны, h – высота сечения колонны, b – ширина сечения колонны, Rb – предел текучести бетона, Rs(Rs`) – предел текучести нижней (верхней) арматуры, As(As`) - площадь нижней (верхней) арматуры, a(a`) – ширина защитного слоя нижней (верхней) арматуры, Nис – предельная сила, полученная в результате испытаний, Nэ – критическая сила по Эйлеру, Nрасч – предельная сила, полученная из расчета АКМ по критерию «нулевой отпорности».
Верификацию разработанного алгоритма и изложенного в главе 4 подхода к исследованию устойчивости оболочечных систем с учетом физической нелинейности, основанного на шаговом физически и геометрически нелинейном расчете со строгой проверкой устойчивости на каждой итерации нагружения и
Для решения задачи применялась как стержневая модель, так и оболочечная модель. В рамках стержневой модели критическая нагрузка с учетом физической нелинейности определялась при помощи АКМ по концепции Шенли согласно 3.2 и [89], т.к. рассматривался случай строго центрального сжатия. В рамках оболочечной модели этот же стержень был задан многослойными оболочечными элементами: всего 600 элементов по 30 слоев в каждой. И далее согласно 4.2 была определена критическая нагрузка для такой оболочечной системы. Также для стержневой и оболочечной модели для сравнения проводился расчет в линейно-упругой постановке.
Разработанный метод расчета и соответствующий итерационный алгоритм вычисления значения параметра критической нагрузки для пространственных конструкций с учетом нелинейной работы материала реализован автором в ПК MicroFe (начиная с версии 2009). ПК MicroFe является подсистемой конечно-элементных расчетов проектирующей системы Ing+, которая предназначена для расчета пространственных конструкций на прочность, устойчивость и колебания. Данный программный продукт первым в РФ (1995 г.) прошел процедуры сертификации на соответствие российским строительным нормам (проверка правильности реализации нормативных документов) (сертификат соответствия № РОСС RU.СП15H00618 от 10.06.2013) и верификации в Научном совете «Программные средства в строительстве и архитектуре» при Российской академии архитектуры и строительных наук (проверка правильности решения линейных и нелинейных задач статики, устойчивости, в том числе и с учетом физической нелинейности, и динамики) (свидетельство о верификации № 01/MicroFe/2009 от 10.06.2009), а также аттестации (аттестационный паспорт № 348 от 21.11.2013) в экспертном совете по аттестации программных средств при Научно-техническом центре по ядерной и радиационной безопасности (НТЦ ЯРБ) Федеральной службы по экологическому, технологическому и атомному надзору (Ростехнадзор).
В рамках ПК MicroFe реализованы следующие возможности для физически нелинейного расчета на устойчивость строительных конструкций предложенными в данной работе методами:
Анализ устойчивости положения равновесия с учетом физической нелинейности для системы пластинок и оболочек относительно заданной внешней нагрузки с применением физически и геометрически нелинейного расчета для заданной внешней нагрузки с последующей автоматической корректировкой матриц жесткости МКЭ и решением задачи на собственные значения.
