Содержание к диссертации
стр.
ВВЕДЕНИЕ 5
Современное состояние вопроса. Цели и задачи иследования 11
постаіювка задач статики и динамики изотропных и ортотропных пологих оболочек вращения. Общая методика их решения 22
2.1. Основные соотношения теории пологих геометрически нелинейных
оболочек 22
Уравнения пологой оболочки вращения в безразмерном виде 29
Выражения для определения усилий, моментов и перемещений через безразмерные функции напряжений и углов поворота 35
Граничные условия 38
Определение констант интегрирования уравнений оболочки 41
2.2. Общая методика решения системы дифференциальных уравнений
геометрически нелинейной пологой оболочки 45
Исходные положения методики 45
Выбор базисных функций 48
Ансамблирование и решение системы алгебраических уравнений 50
3. Задачи статики пологих оболочек вращения 57
Методика решения задачи определения напряженно-деформированного состояния линейной изотропной пологой оболочки вращения 57
Исследование точности и сходимости разработанной вычислительной процедуры 62
Методика решения задачи определения напряженно-деформированного состояния геометрически нелинейной изотропной пологой оболочки вращения 64
Исследование точности и сходимости вычислительной процедуры 65
3.8. Исследование влияния параметров изотропной пологой оболочки на ее
напряженно-деформированное состояние 68
Исходные положения 68
Анализ влияния величины нагрузки на напряженно-деформированное состояние оболочки 71
Анализ влияния формы образующей на напряженно-деформированное состояние оболочки 73
Анализ влияния геометрических параметров на напряженно-деформированное состояние оболочки 76
Анализ влияния условий закрепления оболочки на напряженно-деформированное состояние оболочки 81
3.9. Методика решения задачи определения напряженно-деформированного
состояния линейной ортотропной пологой оболочки вращения 88
Исследование точности и сходимости разработанной вычислительной процедуры 93
Методика решения задачи определения напряженно-деформированного состояния геометрически нелинейной ортотропной пологой оболочки вращения 96
Анализ влияния соотношения жесткостей ортотропной оболочки ортотропной оболочки на напряженно-деформированное состояние оболочки 96
Выводы 103
4. Свободные колебания пологих оболочек вращения относительно
начального деформированного состояния 106
Методика решения задачи на свободные колебания для линейной изотропной пологой оболочки вращения 106
Исследование точности и сходимости разработанной вычислительной процедуры ПО
Методика решения задачи на свободные колебания геометрически нелинейной изотропной пологой оболочки вращения 112
Исследование точности разработанной вычислительной процедуры ..114
Анализ влияния параметров оболочки на минимальные частоты и
соответствующие им формы свободных колебаний 115
Основные положения 115
Исследование влияния величины нагрузки, определяющей начальное деформированное состояние оболочки на значения частот и форм свободных колебаний оболочки 115
Исследование влияния геометрических параметров оболочки на значения частот свободных колебаний 116
Исследование влияния условий закрепления на значения частот и форм свободных колебаний оболочки 117
Исследование влияния формы образующей оболочки на значения частот и форм свободных колебаний оболочки 119
Методика решения задачи на свободные колебания линейной ортотропной пологой оболочки вращения 123
Исследования точности и сходимости разработанной вычислительной процедуры 126
Методика решения задачи на свободные колебания геометрически нелинейной ортотропной пологой оболочки вращения 127
Исследования точности и сходимости разработанной вычислительной
процедуры 128
4Л0. Анализ влияния соотношения жесткостей ортотропной оболочки на
минимальные частоты и формы свободных колебаний 129
4.11. Выводы 132
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 135
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. 137
ПРИЛОЖЕНИЕ 148
Введение к работе
Повышение экономичности и улучшение эксплуатационных свойств пространственных тонкостенных конструкций является актуальной задачей строительства, машиностроения и других отраслей промышленности. Учет нелинейной стадии деформирования конструкций позволяет выявить неиспользованные ресурсы несущей способности. При расчете пологих оболочек в некоторых случаях величины усилий и перемещений, полученные с учетом геометрической нелинейности, больше, чем полученные по линейной теории, и учет проявлений геометрической нелинейности является необходимой задачей.
Аналитические решения можно получить лишь для простейших нелинейных задач теории оболочек. В большинстве случаев для проведения расчетов приходится применять численные методы.
В настоящее время нет универсального метода, одинаково эффективного для решения каждой из задач. Поиск эффективных методов, позволяющих с максимальной точностью и минимальными затратами времени и усилий проектировщика осуществлять расчеты конструкций, остаётся актуальной задачей.
В практике проектирования часто встречаются оболочки из ортотропного материала: железобетона, полимерных материалов с армированием, навивные оболочки и т.п. Развитие методов расчета ортотропных оболочек в нелинейной стадии способствует более полному пониманию картины деформирования реальных конструкций.
При исследовании конструкций, испытывающих воздействие динамических нагрузок, учет геометрической нелинейности приводит к появлению особенностей в их работе, которые не наблюдаются при расчетах в линейной стадии. Такая ситуация возникает при определении частот и форм свободных колебаний конструкции относительно некоторого начального деформированного состояния, которое может быть обусловлено действием некоторой статической нагрузки, например, собственного веса конструкции, снеговой нагрузки и т.п. Точное моделирование работы таких конструкций в рамках геометрически нелинейной теории является важной задачей.
Целью настоящей работы является:
построение на основе метода Бубнова-Галеркина в смешанной конечно-
элементной формулировке новых математических моделей изотропных и орто-
тропных геометрически нелинейных пологих оболочек вращения при статиче
ских и динамических воздействиях;
решение новых задач деформирования оболочек с целью установления ра
циональных параметров оболочек.
Научная новизна работы:
построена математическая модель пологих геометрически нелинейных изотропных и ортотропных оболочек вращения на основе метода Бубнова-Галеркина в смешанной конечно-элементной формулировке;
разработана новая методика для определения частот и форм малых свободных колебаний пологих изотропных и ортотропных оболочек вращения относительно начального геометрически нелинейного деформированного состояния на основе метода Бубнова-Галеркина в смешанной конечно-элементной формулировке.
Достоверность результатов диссертационной работы основана на:
корректности математических моделей, взятых в качестве основы разработанных методик и строгости используемого математического аппарата;
сопоставлении результатов численных экспериментов с известными аналитическими решениями.
Практическая ценность работы: разработаны методики расчета и комплекс программ, позволяющие определять НДС, частоты и формы малых свободных колебаний относительно начального деформированного состояния для пологих геометрически линейных и нелинейных оболочек вращения из изотропного или ортотропного материала с произвольной формой образующей, законом распределения нагрузки, упруго-податливыми закреплениями, переменными вдоль образующей характеристиками материала и толщиной; методики и программа позволяют проводить анализ влияния геометрических и физических параметров оболочки, нагрузки и условий закрепления на НДС, значения частот и форм свободных колебаний;
решен ряд новых задач по исследованию НДС, частот и форм свободных колебаний пологих геометрически нелинейных изотропных и ортотропных оболочек вращения;
на их основе численных исследований НДС, частот и форм свободных колебаний пологих геометрически нелинейных изотропных и ортотропных оболочек вращения выработаны рекомендации для проектирования, касающиеся выбора рациональных форм и условий закрепления оболочек.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложения.
В первой главе приведен обзор литературы, касающейся методов решения задач теории пологих оболочек из изотропного и ортотропного материала. В основном внимание уделено геометрически нелинейным постановкам задач и численным методам их решения. Описаны несколько подходов к решению задач теории оболочек, основанных на идее метода конечных элементов. Особое внимание уделено методу конечных элементов на основе метода Бубнова-Галеркина. Подчеркнуты достоинства конечно-элементной постановки задач в смешанном виде. Дан обзор методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений. На основе проведенного обзора, уточнены формы реализации целей настоящей работы.
Во второй главе получены основные соотношения геометрически нелинейной теории пологих ортотропных и изотропных оболочек для решения задач на малые свободные колебания и задач определения напряженно-деформированного состояния. Уравнения формулируются в смешанном виде и выражаются в безразмерных функциях усилий и углов поворота образующей оболочки. Записаны граничные условия на краях оболочки и в центре (для замкнутой в центре оболочки). Граничные условия на опорном контуре представлены в виде упруго-податливой заделки.
Приведена общая методика формирования разрешающих уравнений и их решения на основе метода Бубнова-Галеркина в смешанной конечно-элементной формулировке. Описана методика ансамблирования системы нелинейных алгебраических уравнений оболочки и ее решения.
В третьей главе описаны методики формирования смешанных конечно-элементных соотношений и решения задач по определению напряженно-деформированного состояния пологих осесимметричных оболочек. Рассмотрены следующие случаи:
изотропная оболочка в рамках линейной теории деформирования;
изотропная оболочка в рамках геометрически нелинейной теории;
ортотропная оболочка в рамках линейной теории деформирования;
ортотропная оболочка в рамках геометрически нелинейной теории.
Получены матрицы и вектора смешанных конечных элементов в анали
тическом виде, не требующие численного интегрирования.
Для разработанных конечных элементов имеется возможность задать жесткость оболочки в отношении растяжения-сжатия и в отношении изгиба независимо друг от друга. Это позволяет использовать конечные элементы для расчета ребристых, многослойных и железобетонных оболочек после вычисления их приведенных характеристик.
Проведено сравнение результатов расчета оболочки с решениями других авторов. Исследована точность и сходимость методик расчета.
Исследовано влияние величины нагрузки, геометрических параметров, формы образующей и условий закрепления на напряженно-деформированное состояние оболочки в линейной и геометрически нелинейной стадии деформирования. Определены оптимальные формы образующей оболочки и условия закрепления.
Исследовано влияние соотношения упругих постоянных материала оболочки в радиальном и тангенциальном направлении и величины нагрузки на ее напряженно-деформированное состояние. Определены оптимальные соотношения модулей упругости материала.
Даны рекомендации по выбору формы образующей, условий закрепления и соотношения модулей упругости материала оболочки.
В четвертой главе описаны методики формирования разрешающих смешанных конечно-элементных уравнений для задач определения частот и форм малых свободных колебаний пологих оболочек вращения относительно на-
чального напряженно-деформированного состояния. Рассмотрены четыре случая (ортотропный и изотропный материал, линейная и геометрически нелинейная теория), такие же, как и при решении задач по опрелению напряженно-деформированного состояния оболочек в главе 3.
Матрицы и вектора смешанных конечных элементов получены в аналитическом виде и не требуют численного интегрирования. Для разработанных конечных элементов имеется возможность задать жесткость оболочки в отношении растяжения-сжатия и в отношении изгиба независимо друг от друга.
Проведено сравнение результатов расчета оболочки с решениями, полученными с использованием других методов решения. Исследована сходимость методики расчета.
Исследовано влияние величины нагрузки, определяющей начальное напряженно-деформированное состояние оболочки, ее геометрических параметров, формы образующей и условий закрепления на частоты и формы свободных колебаний оболочки. Определены оптимальные формы образующей оболочки и условия закрепления.
Исследовано влияние соотношения модулей упругости материала оболочки в различных направлениях и условий ее закрепления на частоты и формы свободных колебаний.
Даны рекомендации по выбору формы образующей, условий закрепления оболочек при решении задач динамики оболочек.
В заключении описаны основные результаты и сделаны выводы по диссертационной работе.
В приложении приведены справки о внедрении работы.
Апробация работы состоялась на следующих конференциях и семинарах:
семинарах кафедры сопротивления материалов и строительной механики КурскГТУ в 2001, 2002, 2003, 2004, 2005г.г.;
научном семинаре кафедры информатики и прикладной математики МГСУ, 2002г;
конференциях инженерно-строительного факультета КурскГТУ, проходивших в 2002г. и 2003г.;
конференции «Молодежь и XXI век» КурскГТУ, проходившая в 2004г.;
семинаре кафедры теоретической механики и мехатроники КурскГТУ 2005г.;
семинарах кафедры строительной механики МГСУ, 2005г., 2006г.
По материалам и результатам исследований опубликовано 2 статьи в реферируемом издании [98], [99] и 2 статьи в изданиях регионального значения [97], [101].
Разработанное в рамках работы программное обеспечение внедрено:
в составе комплекса программ для расчета конструкций на предприятии ОАО «Геомаш» (г.Щигры);
в учебный процесс КурскГТУ, в частности дисциплины «Численные методы и САПР объектов строительства» кафедры ГСХ и СМ..
Справки о внедрении приведенны в Приложении.
