Содержание к диссертации
Введение
1 Краткий аналитический обзор развития изопериметрического метода
1.1 Краткий обзор работ по изопериметрической проблеме в двумерпых задачах теории сооружений 16
1.1.1 Геометрическая основа изопериметрического метода 19
1.1.2 Изопериметрическая проблема в задачах математической физики и строительной механики 25
1.1.3 Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению двумерных задач теории сооружений 33
1.2 Применение изопериметрического метода к решению задач колебаний пластинок 36
1.3 Обоснование выбора темы исследования 39
2 Изопериметрический метод в задачах поперечного изгиба и свободных колебаний пластинок
2.1 Основные зависимости теории свободных колебаний пластинок... 42
2.2 Приведение задачи по определению основной частоты колебаний пластинок к изопериметрическому виду 45
2.3 Использование операции симметризации Штейнера для построения односторонних и двусторонних изопериметрических неравенств 49
2.4 Аналогии между задачами колебаний пластинок и мембран, колебаний и устойчивости пластинок 52
2.5 Построение граничных аппроксимирующих функций в задачах колебаний конструкций в виде пластинок 54
2.5.1 Пластинки в виде правильных фигур 55
2.5.2 Треугольные пластинки 56
2.5.3 Прямоугольные пластинки 56
2.5.4 Эллиптические пластинки 58
2.7 Сущность метода интерполяции по коэффициенту формы. 62
3 Моделирование строительных конструкций в виде пластинок и балок с использование двух видов деформирования
3.1 Взаимосвязь интегральных параметров в задачах свободных колебаний и поперечного изгиба пластинок 65
3.1.1 Об ограниченности сверху произведения WQCOA 65
3.2 Графическая интерпретация взаимосвязи WQ - со 68
3.2.1 Закономерность изменения произведения wooo 68
3.2.2 Функциональная связь WQ - со 72
3.2.3 Функциональная связь WQ - l/co^ 75
3.3 Контроль жесткости балочных конструкций 78
3.4 Моделирование балочных конструкций 81
3.4.1 Контроль жесткости блок с помопдью эталонных конструкций 81
3.4.2 Контроль жесткости блок на основе модельных испытаний 83
3.5 Моделирование пластинчатых конструкций 87
3.5.1 Контроль жесткости коротких пластинок 87
3.5.2 Контроль жесткости пластинок с помощью моделей 88
3.5.3 Контроль жесткости пластинок со сложными граничными уеловиями с помощью моделей 90
3.5.4 Контроль жесткости пластинок сложной формы с помощью моделей 92
4 Определение частот колебаний треугольных пластинок
4.1 Графическая интерпретация изменения коэффициента формы треугольных пластинок при аффинных преобразованиях 96
4.2 Изопериметрические теоремы 101
4.3 Пластинки с шарнирно опертым контуром 101
4.4 Применение изложенной методики к расчету мембран и к решению задачи продольного изгиба пластинок 110
4.5 Пластинки с жестко защемленным контуром 113
4.6 Определение высших частот и форм колебаний пластинок 117
5 Определение основной частоты колебаний четырехугольных пластинок
5.1 Графическая интерпретация изменения коэффициента формы четырехугольных пластинок при геометрических преобразованиях 123
5.1.1 Параллелограммы 123
5.1.2 Трапеции 127
5.2 Изопериметрические теоремы 134
5.3 Параллелограммные шарнирно опертые пластинки 135
5.3.1 Расчет прямоугольных пластинок 135
5.3.2 Расчет ромбических пластинок 136
5.3.3 Расчет параллелограммных пластинок 137
5.4 Параллелограммные мембраны 142
5.5 Параллелограммные жестко защемленные пластинки 143
5.5.1 Расчет прямоугольных и ромбических пластинок 143
5.5.2 Расчет параллелограммных пластинок 144
5.6 Расчет трапециевидных пластинок и мембран 147
5.7 Выбор аппроксимирующей функции при наличии экстремального решения внутри интервала интерполяции 155
5.8 Расчет пластинок в виде выпуклого четырехугольника произвольногоида 158
5.9 Некоторые основные понятия для определения высших частот и форм колебаний четырехугольных пластинок 159
Основные выводы
Список литературы 166
- Применение изопериметрического метода к решению задач колебаний пластинок
- Приведение задачи по определению основной частоты колебаний пластинок к изопериметрическому виду
- Графическая интерпретация взаимосвязи WQ - со
- Применение изложенной методики к расчету мембран и к решению задачи продольного изгиба пластинок
Введение к работе
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Проектирование зданий и сооружений, конструирование современных машин и механизмов связано со всесторонними исследованиями прочности, жесткости и устойчивости конструкций, находяш,ихся под воздействием как статических, так и динамических нагрузок. Расчетные схемы элементов таких конструкций представляются в виде стержневых, пластинчатых, оболочечных и комбинированных (пластинчато-стержневых, оболочечно-пластинчатых и др.) систем. Для их расчетов создаются программные комплексы целевого назначения, включающие в себя подготовку исходных данных, численную реализацию алгоритмов расчета конструкций определенного вида на ЭВМ, выдачу результатов в удобной для практического использования форме.
Однако по-прежнему в расчетной практике большое значение придается развитию и совершенствованию простых аналитических методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций машин, которые наглядно отражают влияние отдельных параметров конструкции и необходимы для правильного понимания ее силовой схемы. Такие методы не требуют разработки сложных программ счета, избавляют проектировщика на начальной стадии проектирования от использования мощных ЭВМ для получения оперативного результата, помогают достаточно просто и правильно истолковывать результаты уточненных поверочных расчетов. Кроме того, упрощенные аналитические методы используются в системах автоматизированного проектирования на этапах оптимизации силовых конструкций, когда производится многократное повторение прочностного расчета с целью подбора оптимальных параметров отдельных элементов и всей конструкции.
К типичным элементам конструкций зданий, сооружений и машин, расчет которых сводится к двумерным задачам строительной механики, относятся.
6 в первую очередь, пластинки (плоские несущие элементы зданий и машин, работающие в условиях поперечного и продольного изгибов [1, 5, 80, 81, 114] и др.), мембраны и стержни произвольного сечения. Современная теория расчета пластинок и мембран считается достаточно разработанной. Однако в большинстве практически важных случаев применяются приближенные, в основном численные, методы расчета, с помощью которых найдены решения для некоторых задач, связанных с областями в виде ромбов, параллелограммов, равнобедренных треугольников, равнобочных трапеций, которые приводятся в соответствующей справочной литературе [7, 8, 10, 112, 114, 125].
В настоящее время одним из основных научных направлений исследований по-прежнему остается разработка, развитие и совершенствование методов расчета строительных конструкций, обладающих максимальной простотой, разумной точностью и возможностью получения двусторонних оценок. Одним из таких перспективных методов расчета плитных конструкций является изопе-риметрический метод [72, 73, 109, 136], который нашел широкое распространение при решении двумерных задач математической физики [109], и в последние десятилетия активно развивается в строительной механике для решения двумерных задач теории упругости и технической теории пластинок [73].
Изопериметрический метод относится к геометрическим методам исследования. Получаемые с его помощью двусторонние оценки интегральных параметров пластинок в виде изопериметрических неравенств во многих случаях являются достаточно эффективными. Однако часто эти оценки бывают неудовлетворительными. Основная причина этого заключается в том, что изоперимет-рический метод использует лишь единственное геометрическое преобразование формы области - симметризацию Штейнера, с помощью которой находить близкие значения искомых параметров для граничных областей, полученных из заданной фигуры, невозможно.
В последние годы д.т.н. A.B. Коробко был разработан новый эффективный инженерный метод решения двумерных задач строительной механики -метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) [36], который является
7 логическим развитием изопериметрического метода. Этот метод позволил с большей точностью находить значения искомых интегральных параметров в двумерных задачах теории упругости и теории пластинок. Он дает возможность использовать самые разнообразные геометрические преобразования областей для получения граничных значений интегральных параметров в рассматриваемых задачах, и, кроме того, позволяет находить решения этих задач для любой из промежуточных областей, объединенных одним геометрическим преобразованием.
В настояп];ее время разработаны теоретические основы МИКФ, Однако существует еще целый ряд вопросов, которые требуют своего разрешения в дальнейших исследованиях. Среди них особо необходимо выделить следующие: использование в качестве аппроксимирующей функции всего одной степенной зависимости, предложенной в работе [36], не дает возможности нахождения решений для целого ряда случаев (когда граничные значения интегральных параметров очень близки друг к другу; когда значения коэффициента формы для опорных фигур равны или очень близки друг другу); кроме того, использование этой функции в случае, когда внутри интервала интерполяции имеется экстремальное значение интегрального параметра, дает решения с невысокой точностью; на основании изопериметрических теорем, касающихся областей определенного вида (треугольные, параллелограммные, трапециевидные и др.) необходимо построить аппроксимирующие функции для граничных кривых, соответствующих областям каждого из этих видов при различных граничных условиях рассматриваемых задач строительной механики; проведение исследований по применению других возможных аналогов коэффициента формы области.
Решению именно этих вопросов применительно к задачам поперечного изгиба пластинок и свободных колебаний пластинок и мембран посвящена диссертационная работа. Выбор этих задач обусловлен необходимостью примене-
8 ния выявленных закономерностей для разработки новых приемов и способов физико-механического моделирования строительных конструкций с использованием совместно двух видов деформирования, и необходимостью на этой основе дальнейшего развития и совершенствования вибрационного (резонансного) метода контроля жесткости строительных конструкций.
Вибрационные методы диагностики и контроля качества строительных конструкций в настоящее время в нашей стране практически не применяются, нет даже государственных нормативных документов на применение этого метода в строительной практике. Причин, объясняющих такое положение достаточно много, и одной из них является отсутствие строгого методологического обоснования вибрационного метода, базирующегося на фундаментальных закономерностях строительной механики.
Профессором В.И. Коробко уже давно установлена одна из таких закономерностей в строительной механике, согласно которой существует функциональная связь между жесткостью упругих конструкций и их основной частотой колебаний [62, 65]. Им показаны некоторые возможности использования этой закономерности для контроля прочности, жесткости и трещиностойкости железобетонных конструкций. Однако эти возможности далеко не исчерпаны. Поэтому представляется целесообразным проведение более глубоких исследований по выявлению возможностей использования этой закономерности для контроля жесткости строительных конструкций различного вида и, в частности, с помощью моделей-конструкций и конструкций-эталонов.
Объект исследования. В качестве объекта исследования в работе приняты пластинки с различными граничными условиями и равномерно растянутые мембраны с шарнирным опиранием по контуру, находящиеся в условиях свободных колебаний. Выбор этих элементов и рассматриваемой задачи обусловлен необходимостью определения их собственных частот колебаний, которые широко используются при диагностике работоспособности различных строительных конструкций и контроле их параметров качества как при изготовлении в заводских условиях, так и находящихся в условиях эксплуатации
9 непосредственно в здании или сооружении.
Цель исследования заключается в развитии и совершенствовании изо-периметрического метода и метода интерполяции по коэффициенту формы для решения задач колебаний элементов строительных конструкций в виде пластинок и мембран, выявление закономерностей при деформировании пластинок и балок в режиме свободных или вынужденных резонансных колебаний и использование этих закономерностей при геометрическом и физико-механическом моделировании конструкций.
Основными задачами исследования являются:
1. Развитие и совершенствование метода интерполяции по коэффициен ту формы для расчета строительных конструкций в виде пластинок на основе геометрического моделирования их формы с использованием различных гео метрических преобразований.
2. Отработка методики построения аппроксимируюпдих функций для описания кривых, ограничиваюш;их распределение всего множества интеграль ных параметров в задачах свободных колебаний и поперечного изгиба пласти нок.
Выявление закономерностей деформирования пластинок и балок при поперечном изгибе и свободных колебаниях.
Разработка рациональных способов и приемов моделирования конструкций в виде балок и плит при двух видах деформирования: поперечном изгибе и свободных колебаниях.
Исследование возможности применения комбинированных аффинных преобразований в методе интерполяции по коэффициенту формы на примере решения задач по определению основной частоты колебаний треугольных, па-раллелограммных и трапециевидных пластинок и анализ влияния вида преобразования на точность получаемых решений.
Разработка приемов и способов определения интегральных параметров при расчете пластинок с помощью МИКФ с использованием различных аналогов коэффициента формы на примере задачи по определению основной
10 частоты колебаний.
Методы исследования. В работе использованы фундаментальные методы расчета строительных конструкций, вариационные методы, методы физико-механического и геометрического моделирования, изопериметрический метод и метод интерполяции по коэффициенту формы.
Достоверность научных положений и полученных результатов подтверждается их сравнением с известными результатами, найденными с помощью фундаментальных методов строительной механики, а также с результатами экспериментов, проведенными другими исследователями.
Научная новизна работы состоит в следующем,
Построены аппроксимирующие функции для кривых, ограничивающих распределение всего множества значений основной частоты колебаний конструкций в виде пластинок с выпуклым контуром, и соответствующие пластинкам определенных форм (в виде правильных фигур, равнобедренных треугольников, прямоугольников, ромбов, эллипсов) при граничных условиях шарнирного опирания или жесткого защемления по контуру.
Исследована функциональная взаимосвязь между максимальным прогибом пластинок и балок и их основной частотой колебаний при различных граничных условиях. Построена аппроксимирующая зависимость «максимальный прогиб - основная частота колебаний», связывающая межу собой одной функцией эти интегральные параметры для всего множества пластинок с выпуклым контуром и с любыми граничными условиями,
Выявлена закономерность о взаимосвязи максимального статического прогиба пластинок при поперечном изгибе под действием равномерно распределенной нагрузки q с основной частотой их колебаний в ненагруженном состоянии с о , С помощью численного эксперимента показано, что произведение этих интегральных параметров для всего множества пластинок с выпуклым контуром независимо от вида их граничных условий ограничено с двух сторон {4/к-({/т. < W oCO < 71 /16-ц/т), причем нижняя граница соответствует балкам, а верхняя круглым пластинкам; для пластинок одинаковой формы эта произведе-
11 ние есть величина постоянная.
Разработаны новые приемы и способы физико-механического и геометрического моделирования упругих строительных конструкций в виде балок и пластинок, в которых впервые совместно используются два вида деформирования: поперечный изгиб и свободные колебания. Среди них: способы определения жесткости конструкций по результатам динамических испытаний самих конструкций, их моделей, а также эталонных конструкций; способы моделирования граничных условий и формы пластинок при использовании моделей.
Показана возможность эффективного применения комбинированных аффинных преобразований при геометрическом моделировании формы пластинок для определения основной частоты колебаний треугольных, параллело-граммных и трапециевидных пластинок.
Практическая ценность работы заключается в следующем.
1. С помощью полученных граничных аппроксимирующих функций «основная частота колебаний - коэффициент формы» можно строить двусто ронние изопериметрические неравенства для пластинки любой формы и ис пользовать их для нахождения опорных решений в методе интерполяции по ко эффициенту формы.
Установленная функциональная зависимость «максимальный прогиб -основная частота колебаний» и разработанные на ее основе приемы и способы физико-механического и геометрического моделирования строительных конструкций могут быть использованы при диагностике и контроле качества балок и плит как при их изготовлении на предприятиях строительной индустрии, так и находящихся в условиях эксплуатации непосредственно в здании или сооружении.
С помощью предложенных модификаций изопериметрического метода и метода интерполяции по коэффициенту формы решено большое количество конкретных задач колебаний пластинок различной формы с различными граничными условиями, связанными с областями определенных видов (треугольные, параллелограммные, трапециевидные).
12 4. Полученные в работе аналитические зависимости, графики и таблицы могут быть использованы непосредственно в виде справочного материала при проектировании.
На защиту выносится: методика построения аппроксимирующих функций для кривых, ограничивающих распределение всего множества интегральных параметров для пластинок с выпуклым контуром и однородными граничными условиями, и сами функции в задаче свободных колебаний, соответствующие пластинкам конкретных форм (в виде правильных фигур, равнобедренных треугольников, прямоугольников, ромбов, эллипсов); закономерность о функциональной взаимосвязи «максимальный прогиб - осно новые приемы и способы физико-механического и геометрического моделирования строительных конструкций в виде балок и пластинок: способы определения жесткости конструкций по результатам динамических испытаний самих конструкций, их моделей, а также эталонных конструкций; способы моделирования граничных условий и формы пластинок при использовании моделей; способ геометрического моделирования формы пластинок с использование комбинированных аффинных преобразований при определении основной частоты колебаний треугольных, параллелограммных и трапециевидных пластинок. способ применения методики МИКФ для решения задач теории пластинок при постоянном значении коэффициента формы.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 научных работ и получено одно положительное решение о выдаче патента на изобретение.
Апробация работы. Результаты исследований, приведенные в диссертации, докладывались в 1999...2001 гг. на научно-технических конференциях
13 ОрелГТУ, а также на региональной конференции молодых ученых и аспирантов Черноземья «Современные проблемы строительной механики, методов расчета сооружений и совершенствования строительной техники» (Орел, 2000); на Международной конференции «Проблемы строительства, инженерного обеспечения и экологии городов» (Пенза, 2001); на 55-й Международной научно-технической конференции молодых ученых (докторантов, аспирантов и студентов) «Актуальные проблемы современного строительства» (Санкт Петербург, 2001).
Структура и объем диссертационной работы. Диссертация изложена на 183 страницах машинописного текста и состоит из введения, пяти глав, основных выводов, списка литературы, включающего 154 наименование. В работе приведены 36 рисунков и 18 таблиц.
Во введении излагается общая характеристика диссертационной работы: обоснование ее актуальности, научной и практической ценности, методологии исследований, формулируются положения, выносимые на защиту, рассматривается структура работы.
В первой главе приводится краткий аналитический обзор развития изо-периметрического метода и метода интерполяции по коэффициенту формы. Указывается их место среди приближенных методов решения двумерных задач строительной механики, недостатки и возможные перспективы развития. Анализируются вопросы современного состояния, развития и применения вибрационных методов для диагностики и контроля качества строительных конструкций.
Во второй главе с помощью вариационного метода Релея-Ритца, используя энергетические соотношения технической теории пластинок, приводится доказательство функциональной связи интегральных характеристик в задачах поперечного изгиба и свободных колебаний пластинок с их коэффициентом формы. Построены аппроксимирующие функции для аналитического описания границ возможного изменения основной частоты колебаний пластинок с шарнирно опертым и жестко защемленным контуром.
14 В третьей главе рассмотрены во взаимосвязи задачи поперечного изгиба и колебаний пластинок и установлена закономерность о функциональной связи интегральных параметров в этих задачах. Построена аппроксимирующая функция «максимальный прогиб - основная частота колебаний» для пластинок любой формы с выпуклым контуром и с любыми граничными условиями. На основе этой закономерности разработаны новые приемы и способы геометрического и физико-механического и моделирования строительных конструкций в виде пластинок и балок и способы контроля их жесткости с помощью вибрационных испытаний как натурных конструкций, так и их моделей.
В четвертой главе исследуются вопросы определения основной частоты колебаний пластинок, имеющих форму произвольного треугольника. Построены аппроксимирующие функции для граничных кривых, соответствующих пластинкам в виде равнобедренных и прямоугольных треугольников, сформулированы изопериметрические теоремы относительно основной частоты колебаний треугольных пластинок и приведена их графическая интерпретация. Разработаны приемы использования совместно аффинных преобразований сдвига и растяжения (сжатия) для построения аппроксимирующих функций, относящихся к определенному виду треугольных пластин, объединенных выбранным геометрическим преобразованием. Приводятся тестовые примеры решения многих задач с иллюстрацией возможности регулирования точности решений за счет рационального выбора комбинации аффинных преобразований.
В пятой главе исследуются вопросы расчета пластинок, имеющих форму параллелограмма, трапеции и произвольного четырехугольника. Графически представлена геометрическая сторона задачи. Построены аппроксимирующие функции для кривых, ограничивающих зоны возможного изменения основной частоты колебаний для параллелограммных и трапециевидных пластинок, а также пластинок в виде произвольного четырехугольника. Сформулированы изопериметрические теоремы относительно свойств основной частоты колебаний параллелограммных и трапециевидных пластинок и приведена их графическая интерпретация. Разработаны приемы использования совместно аффинных
15 преобразований сдвига и растяжения (сжатия) для построения аппроксимирующих функций, относящихся к определенному виду параллелограммов и трапеций, объединенных выбранным геометрическим преобразованием. Приводятся тестовые примеры решения многих задач с использованием аналогов коэффициента формы.
В заключении работы сформулированы основные выводы по результатам проведенных исследований.
Применение изопериметрического метода к решению задач колебаний пластинок
В технической теории пластинок проблема определения собственных частот колебаний пластинок относится к одной из важнейших. При исследовании динамических задач расчетчику в первую очередь необходимо найти спектр собственных частот колебаний, поскольку эти механические характеристики являются определяюш;ими при расчете реальных строительных и машиностроительных конструкций, работающих в режиме динамического воздействия. Эта проблема также имеет важное значение при проектировании элементов конструкций зданий и сооружений, которые могут подвергнуться сейсмическим воздействиям.
Для решения задач по определению собственных частот колебаний пластинок наиболее распространенными являются численные методы [4, 90, 104 ... 107]. Приближенные аналитические методы для решения задач колебаний пластинок сложной формы развиты очень слабо. Поэтому одним из перспективных для дальнейшего совершенствования и развития может быть изопериметриче-ский метод.
Изопериметрический метод решения задач колебаний пластинок нашел развитие в работах [41 ... 43, 47, 52, 55, 63, 73]. При исследовании этих задач технической теории пластинок были разработаны разнообразные приемы и способы построения одно- и двусторонних изопериметрических неравенств для оценки основной частоты колебаний пластинок различных форм с однородными граничными условиями (условиями шарнирного опирания по всему контуру или жесткого защемления). Было показано, что во многих практически важных случаях получаемые оценки имеют хорошее приближение к действительным значениям основной частоты колебаний. Однако очень часто получаемые оценки со являются довольно грубыми.
В работах И. Колесника и А. Коробко [18, 20, 34, 36] к проблеме нахождения собственных частот колебаний был применен метод интерполяции по коэффициенту формы. Решения, получаемые с помощью МИКФ, стали значительно точнее, чем при использовании изопериметрического метода в его классическом виде. Однако в этих работах использовалась степенная зависимость для задания аппроксимирующей функции, несколько отличающаяся от того естественного вида, который получается при представлении рассматриваемой проблемы в изопериметрическом виде. Пояснений по этому поводу в указанных работах не приводится. А между тем, как показывают наши предварительные расчеты, задание аппроксимирующей функции в таком естественном виде дают во многих случаях результаты более точные, чем рассмотренные в работах А. Коробко.
Кроме того, МИКФ до настоящего времени практически не использовался для определения высших частот колебаний пластинок. Лишь в докторской диссертации А. Коробко показан путь возможного развития МИКФ для решения и таких задач теории колебаний. Поэтому необходимо более тщательное исследование этой возможности для доведения этого способа решения задач до практических рекомендаций.
Как показывает совместный анализ проблем свободных колебаний и устойчивости пластинок при условии шарнирного опирания их краев, интегральные параметры, характерные для этих видов деформаций, с точностью до размерного множителя равны друг другу [125]. Поэтому при исследовании задач теории колебаний можно широко использовать известные решения задач устойчивости пластинок, полученные различными методами [9, 69 ... 71, 103, 115 ... 120, 129].
На научных конференциях, где докладывались работы по использованию МИКФ для решения задач строительной механики пластинок, многими специалистами высказывалось предположение о возможности представления коэффициента формы области в ином виде, отличном от (1.4). Эта идея требует проведения специальных исследований, которые уже нами начаты, и появились первые публикации в этом направлении [94 .
В последние годы появились публикации о наличии функциональной связи между интегральными характеристиками пластинок, характерными для различных видов их деформаций, и, в частности, между основной частотой колебаний конструкций и их максимальным прогибом при статическом нагруже-нии поперечной равномерно распределенной нагрузкой [61, 64]. Эта связь представляется в виде закономерности, которая, по нашему мнению, носит фундаментальный характер, поскольку дает возможность по-новому взглянуть на проблему развития и внедрения вибрационных методов в строительную практику для диагностики состояния и контроля качества строительных конструкций. Примеры такого использования этой закономерности приведены в нескольких авторских свидетельствах и патентах РФ [59, 60, 62, 99]. Однако, как показывает предварительный анализ, возможности использования этой закономерности значительно шире. Она позволяет внести новые идеи в проблему моделирования строительных конструкций в виде пластинок. Пример такого подхода к проблеме моделирования изложен в заявке на изобретение [99].
Приведение задачи по определению основной частоты колебаний пластинок к изопериметрическому виду
При использовании вариационных методов часто применяют модифицированный метод Релея-Ритца, который заключается в выборе ограниченного подкласса функций, линейно зависящего от конечного числа параметров. В самом простейшем случае функцию прогибов можно представить в виде произведения максимального прогиба луо на безразмерную функцию f(x,y) (способ Релея): где для случаев шарнирного опирания или жесткого защемления по контуру О f(x,y) 1. Подставим эту функцию в выражения (2.3) и, проведя необходимые преобразования, получим:
Воспользуемся вариационным методом Релея и найдем минимум этих функционалов, для чего возьмем производные от потенциальной энергии по параметру и приравняем ее нулю:
Если ограничить выбор функций f(x,y) такими функциями, которые имеют заданные (предписанные) линии уровня, то достаточно просто можно получить решение рассматриваемой задачи, хотя и грубое. В математической физике [109] в качестве такой функции используется однопараметрическое семейство поверхностей, линии уровня которых подобны контуру заданной области и подобно расположены. Например, если 1 и ф - полярные координат, а 1 = г(ф) - полярное уравнение контура пластинки, то это семейство описывается выражением где р = 1/г(ф) - безразмерная полярная координата. При выборе искомых поверхностей с предписанными линиями уровня руководствуются интуитивными представлениями о действительной функции прогибов на основании уже известных решений.
Подставим в выражения (2.4) единичную функцию прогибов в виде (2.5) и после необходимых преобразований получим [73]:
Анализ выражений (2.6) и (2.7) показывает, что интегральные параметры Wo и со функционально зависят от коэффициента формы пластинки. Следует отметить, что оба эти выражения носят изопериметрический характер, поскольку в них в качестве переменных величин при проведении геометрических преобразований формы пластинок используются коэффициент формы и площадь. Если эти преобразования проводить таким образом, чтобы площадь пластинок оставалась неизменной (А = const), то остается одна переменная - коэффициент формы.
В работе [36] графически (рис. 2.1) доказано, что параметры Kw и Кщ явля ются функциями, которые также зависят от коэффициента формы пластинки, однако эти зависимости более сложны и в явном виде их пока не удалось получить.
На рисунке 2.1 в координатных осях ууо - l/Kf и со - 1/К{ представлено распределение всего множества интегральных параметров и со для пластинок с выпуклым жестко защемленным и шарнирно опертым контуром. На рисунке показаны кривые, которые ограничивают распределение всего множества решений рассматриваемых задач теории пластинок: верхняя граница соответствует пластинкам в виде многоугольников, все стороны которых касаются вписанной окружности (включая пластинки в виде правильных многоугольников); нижняя граница соответствует эллиптическим пластинкам; средняя кривая соответствует прямоугольным пластинкам. Если верхняя и нижняя кривые ограничивают все множество интегральных параметров \УО И 00, ТО верхняя и средняя кривые ограничивают подмножество интегральных параметров \Уо и о), соответствующих пластинкам треугольных и четырехугольных форм.
Графическая интерпретация взаимосвязи WQ - со
Представим графически границы изменения всего множества решений для максимального прогиба и основной частоты колебаний пластинок с выпуклым контуром в зависимости от изменения коэффициента формы, использовав известные точные решения и позаимствовав необходимые данные (см. таблицу 3.1) и сами графики (рис. 3.1-а,б) из второй главы.
Если построить график изменения произведения WQCO В зависимости от параметра 1/Kf (рисунок 3.1-в), то он практически вырождается в одну кривую линию. Причем наибольшее значение этого произведения соответствует круглым пластинкам, а наименьшее бесконечно вытянутым пластинкам, которые рассчитываются как балки с соответствуюш;ими граничными условиями (см. три последние строки в таблице 3.1). Это весьма интересный и важный результат, поскольку совершенно по-новому позволяет сопоставлять интегральные характеристики в рассматриваемых двух видах деформирования пластинок.
Используя данные столбца 5 таблицы 3.1, с помощью программного комплекса Table Curve 1.10 была построена аппроксимирующая функция
Результаты вычислений, проведенные по этой формуле, представлены в колонке 6 таблицы 3.1. Их сравнение с результатами, полученными на основе известных точных решений для wo и со, показывает высокую степень приближения.
Для прямоугольных пластинок значения коэффициента пропорциональности, получаемые из (3.4), могут быть подкорректированы с учетом постоянства знака погрешности. Так, для квадратных пластинок лучше принять К = 1,58 (при этом максимальная погрешность будет составлять 1,52 %), а для пластинок с соотношением сторон а/Ь = 2 = К = 1,543 (при этом максимальная погрешность для пластинки с граничными условиями (ж-ж-ш-ш) будет составлять 1,94 %, во всех остальных случаях погрешность не будет превышать 0,6 %).
Анализ результатов, приведенных в таблицах 3.1 и 3.2, показывает: - функция (3.6) с высокой точностью аппроксимирует решения для различных пластинок как с однородными, так и с комбинированными граничными условиями; - коэффициент пропорциональности при произведении \оОО является наибольшим для круглых пластинок (и приблизительно равен 4/71) = 1,621) и наименьшим для бесконечно вытянутых пластинок (балок) (и приблизительно равен 4/71= 1,273); - для пластинок одинаковой формы произведение \ оСО с точностью до размерного множителя есть величина постоянная.
Таким образом, на основании теоретического анализа и численного эксперимента установлена закономерность о взаимосвязи интегральных параметров в рассматриваемых задачах теории пластинок, которая носит фундаментальный характер. Для упругих изотропных пластинок произвольной формы и постоянной жесткости независимо от вида граничных условий произведение максимального статического прогиба от действия равномерно распределенной нагрузки на квадрат их основной частоты колебаний в ненагруженном состоянии ограничено с двух сторон: верхняя граница этого произведения с точностью до размерного множителя равна (4/п) и соответствует круглым пластинкам, а нижняя граница равна 4/п и соответствует бесконечно вытяну На основании закономерности о взаимосвязи интегральных параметров в задачах поперечного изгиба и свободных колебаний пластинок, сформулированной выше, следует, что интегральные параметры \Уо и со связаны между собой функционально. Покажем это также с помощью численного эксперимента.
Представим графически все множество известных точных решений задач о максимальном статическом прогибе пластинок, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой (рисунок 3.2), и основной частоте колебаний этих же пластинок в ненагруженном состоянии, то есть построим функциональную зависимость - со. Исходные данные для построения этой зависимости приведены в таблице 3.3 (столбцы 2 и 3).
Применение изложенной методики к расчету мембран и к решению задачи продольного изгиба пластинок
Учитывая аналогию задач колебаний пластинок с шарнирно опертым полигональным контуром и колебаний мембран такого же вида, предложенную выше методику расчета треугольных пластинок можно эффективно использовать для анализа и определения собственных значений дифференциального уравнения колебаний мембран. При этом граничные кривые собственных значений А, (по аналогии с изображенными на рисунке 4.2) будут описываться с помощью следующих выражений: равномерного растяжения мембраны по контуру.
Все приведенные изопериметрические теоремы об основной частоте колебаний треугольных пластинок будут справедливы и для мембран.
С учетом уравнений кривых (4.6) и (4.7) и сформулированных выше изо-периметрических теорем запишем ряд изопериметрических неравенств, которые будут справедливы для множества треугольных мембран: - для всего множества треугольных мембран где приблизительное равенство с высокой точностью достигается для мембран в виде равнобедренных треугольников; для множества пластинок в виде тупоугольных треугольников где приблизительное равенство с высокой точностью достигается для мембран в виде равнобедренных треугольников, если а 45, и для прямоугольных треугольников, если а 45; - для множества мембран в виде остроугольных треугольников где верхняя граница соответствует мембранам в виде прямоугольных треугольников, а нижняя - мембранам в виде равнобедренных треугольников.
Следует отметить, что точность определения основной частоты колебаний мембран будет выше, поскольку она возрастает пропорционально корню квадратному от погрешности определения основной частоты колебаний.
Поскольку область распределения решений между граничными кривыми для мембран (и пластинок) в виде остроугольных треугольников очень узкая, то при использовании аффинного сдвига разница между опорными решениями будет незначительная. В связи с этим для нахождения основных частот колебаний таких мембран (пластинок) можно использовать линейную интерполяцию в виде функции (A + B - K f ) V p / m V i / A .
Пример 4.4.1. Необходимо определить основную частоту колебаний мембраны в виде прямоугольного треугольника с углом а = 60 (Kf = 12,928), используя преобразование аффинного сдвига равнобедренного треугольника (см. рисунок 4.6). Известное решение [112] А, = 5,157-7p7m/VA.
Как было показано в примере 4.2.1, заданный прямоугольный треугольник может быть получен из равнобедренного тупоугольного треугольника с уг лом при вершине р = 98,21 (а = 40,895, Kf = 12,461). При аффинном сдвиге этого треугольника параллельно основанию получается также остроугольный равнобедренный треугольник с углами р = а = 77,17 (К = 13,795).
Используя неравенства (4.9) и (4.10), найдем значения основной частоты колебаний для полученных треугольных мембран в виде равнобедренных треугольников: - для мембраны в виде равнобедренного тупоугольного треугольника - для пластинки в виде равнобедренного остроугольного треугольника С учетом этих результатов для заданной мембраны в соответствии с теорией изопериметрических неравенств будем иметь:
Используя опорные решения, построим с помогцью МИКФ линейную аппроксимирующую функцию для множества решений, объединенных выбранным геометрическим преобразованием. Эта функция будет иметь следующий вид:
С ее помощью опорные решения удовлетворяются автоматически, а для заданной пластинки в виде прямоугольного треугольника получается результат X = = 5,144ТР/Ш/л[А , который отличается от известного значения на 0,25 %.
Поскольку также существует аналогия между задачами продольного изгиба пластинок с шарнирно опертым полигональным контуром под действием всестороннего равномерного сжатия и свободных колебаний, то зависимости (4.1) и (4.2) будут справедливы и для критических усилий. Методика использования этих зависимостей для указанных целей будет аналогична той, что изложена выше для задачи колебаний пластинок.
Заметим, что аналогичные возможности сущ;ествуют для всех полигональных пластинок с шарнирно опертым контуром, включая четырехугольные (в том числе параллелограммные, ромбические, трапециевидные) и пластинки в виде правильных многоугольников.
Похожие диссертации на Геометрическое и физико-механическое моделирование строительных конструкций в виде пластинок и балок
