Содержание к диссертации
Введение
1. Схемы расщепления для моделирования многомерных задач теплопроводности 18
1.1. Локально-одномерные и локально-двумерные схемы для задач теплопроводности 18
1.2. Метод суммарной аппроксимации 19
1.3 Двухслойные операторно- разностные схемы 24
1.4. Принцип максимума для сеточных уравнений и следствия из него 27
1.5. Двумерные схемы переменных направлений 29
1.6. Факторизованные двумерные схемы 33
1.7. Локально-двумерные схемы для многомерного уравнения теплопроводности в декартовых координатах 35
1.8. Схемы расщепления для решения смешанной задачи Коши для уравнения теплопроводности в случае обобщенных решений 44
2. Методы решения двумерных сеточных уравнений теплопроводности 46
2.1.Двухсеточный метод верхней релаксации решения сеточных тепловых задач 46
2.2 Модифицированный попеременно-треугольный метод решения разностных краевых задач теплопроводности с функцией источника 49
2.3 Некоторые быстрые прямые методы решения двумерных уравнений теплопроводности 56
3. Построение и исследование математической модели термически нагруженных конструкций котельных агрегатов 76
3.1 Постановка задачи 77
3.1.1 Уравнение теплопроводности 78
3.1.2 Расчётная сетка и её построение 78
3.2 Перенос тепла посредством теплопроводности 81
3.2.1 Перенос тепла между двумя ячейками 81
3.2.2 Перенос тепла между ячейкой и всеми её соседями 82
3.2.3 Нагрев и охлаждение радиатора воздухом 83
3.3 Турбулентная диффузия тепла в жидкостях 83
3.3.1 Определение коэффициентов турбулентной диффузии 84
3.3.2 Перенос тепла при движении жидкости (конвекция) 84
3.4 Нагрев радиатора тепловым излучением огня 85
3.4.1 Облучение отдельной грани 86
3.4.2 Первая модель для функции распределения излучения 88
3.4.3 Вторая модель для функции распределения излучения 89
3.5 Итоговые уравнения для скорости изменения температуры в ячейках 91
3.6 Разностные схемы 93
3.7 Консервативная интерполяция результатов вычислений 94
3.8 Описание комплекса программ 98
3.9.Визуализация результатов при помощи программы Tecplot 112
Заключение 115
Список литературы
- Двухслойные операторно- разностные схемы
- Двумерные схемы переменных направлений
- Модифицированный попеременно-треугольный метод решения разностных краевых задач теплопроводности с функцией источника
- Перенос тепла между двумя ячейками
Введение к работе
Повышение технико-экономических показателей котельных агрегатов приводит к необходимости математического моделирования термически нагруженных конструкций, имеющих сложную геометрию и состоящих из материалов (металлов) с различными тепловыми свойствами. Оребренные конструкции котельных агрегатов, подвергаются наиболее интенсивному тепловому воздействию и воспринимают тепловую энергию, выделяемую топливом в различных формах - в виде излучения в инфракрасном и видимом диапазонах, за счет кондуктивного и конвективного теплообмена. Тепловая энергия, полученная элементами конструкций преобразуется в тепловую энергию рабочей среды, используемой далее в генераторных установках для выработки электрической энергии и утилизации остаточной тепловой энергии для бытовых нужд. Долговечность и надежность котельных агрегатов в значительной степени определяется распределением температуры в них. В этих условиях численное моделирование является единственным надежным способом теоретического исследования термически нагруженных конструкций.
Для численного решения многомерных задач математической физики широкое распространение получил метод расщепления [28] (или дробных шагов). Начало его развитию в пятидесятых- шестидесятых годах XX века положили работы отечественных и зарубежных исследователей. Для решения многомерных параболических и гиперболических уравнений в произвольных областях весьма плодотворным является метод суммарной аппроксимации, предложенный академиком А.А. Самарским [53,56] и развитый в работах Н.Н. Яненко, Г.И. Марчука, Д.Г. Гордезиани, А.В. Гулина, В.Б. Андреева, А.Н. Коновалова, А.Д. Ляшко, В.Л.Макарова, И.В. Фрязинова и других [2,23,35,58,83,91]. Построение экономичных аддитивных разностных схем стало возможным в результате замены многомерной дифференциальной задачи последовательностью дифференциальных задач меньшей размерности и перехода от понятия аппроксимации в классическом смысле к более общему понятию суммарной аппроксимации. До работ А.И. Сухинова [б7] конструирование аддитивных схем подразумевало, что основным методом решения получающихся систем разностных уравнений является один из вариантов прогонки. Отсюда вытекала необходимость замены многомерной задачи цепочкой одномерных дифференциальных задач, каждая из которых аппроксимировалась системой трехточечных разностных уравнений — локально-одномерной схемой (ЛОС). Однако, указанный переход приводит к тому, что наряду с погрешностью разностной аппроксимации появляется погрешность, обусловленная заменой многомерной дифференциальной задачи цепочкой одномерных задач. Реальная точность у ЛОС оказывается существенно меньшей, чем у схем, аппроксимирующих многомерную дифференциальную задачу в обычном смысле, особенно в случае разрывных коэффициентов. Поэтому актуальным является построение разностных схем, а также методов их решения, которые бы имели реальную точность, близкую к точности схем, аппроксимирующих задачу в обычном смысле и в то же время требовали количества арифметических операций, приходящегося на один узел сетки, не зависящего от общего числа узлов сетки (экономичные схемы), либо слабо зависящего от их количества.
В ряде важных случаев, которые будут перечислены далее, такими свойствами обладают локально-двумерные схемы (ЛДС), предложенные и исследованные А.И. Сухиновым [67], которые получаются при замене многомерной дифференциальной задачи цепочкой двумерных задач, с последующей их аппроксимацией в суммарном смысле. Разработка так называемых быстрых прямых методов решения систем линейных алгебраических уравнений, являющихся разностными аппроксимациями краевых задач для уравнений эллиптического типа, особенно эффективных в случае двумерных задач и регулярных областей, в работах зарубежных исследователей P.Swartztrauber , R. Hockney , D. Young, R. Agarval [91,96], а также A.A. Самарского, A.H. Коновалова, E.C. Николаева, И.Е.Капорина, Ю.А.Кузнецова, А.Б.Кучерова [27,52,56,60], и других, позволяет свести решение многомерных параболических уравнений к решению двумерных задач и перейти, тем самым, к использованию ЛДС. В настоящей работе построены экономичные алгоритмы решения задач теплообмена в элементах термически нагруженных конструкций, имеющих неоднородности, в том числе, разрывы в коэффициентах теплопроводности, что и определяет актуальность темы диссертационного исследования.
Целью работы является построение схем расщепления - ЛДС применительно к оребренным конструкциям котельных агрегатов, алгоритмов их численной реализации с затратами арифметических операций в случае разделяющихся переменных и регулярных сеточных областей 0(NlnN), а в
общем случае с затратами о\ N 2 1, обладающих лучшей точностью по сравнению
с известными одномерными схемами расщепления в случае неоднородных, в том числе разрывных коэффициентов теплопроводности и построение комплекса программ для численного моделирования процессов теплообмена в оребренно-трубчатых конструкциях.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Построены и исследованы локально-двумерные схемы расщепления, предназначенные для решения начально-краевых задач для трехмерных уравнений параболического типа в. областях со сложной геометрией и обладающие лучшей реальной точностью по сравнению с одномерными схемами расщепления в случае коэффициентов теплопроводности, имеющих разрывы на цилиндрических поверхностях;
2. Построен усовершенствованный вариант модифицированного попеременно треугольного метода (МПТМ), который позволяет численно реализовать неявные схемы для уравнения теплопроводности с функцией источника и обладает лучшими асимптотическими оценками вычислительных затрат (числа арифметических операций) по сравнению с известными вариантами МПТМ;
3. Разработан комплекс программ, позволяющий проектировщикам (конструкторам) котельных агрегатов выполнять вычислительный эксперимент с реальными трубчато-оребренными конструкциями и их оптимизацию в зависимости от следующих факторов:
-геометрии системы;
-параметров среды теплоносителя;
-параметров процесса теплообмена за счет инфракрасного излучения факела и конвективного теплообмена с топочными газами.
Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит в том, что разработанный набор моделей и комплекс программ, их реализующий, могут быть применены для тепловых расчетов конструкций, имеющих сложную геометрию и содержащих неоднородности (соединение материалов с различными тепловыми свойствами, наличие дефектов в местах соединений, таких как раковины), что позволяет в значительной мере повысить эффективность проектно-конструкторской работы при проектировании оребренных конструкций - систем трубопроводов с уплотнительными элементами, обеспечивающими их герметичность.
Двухслойные операторно- разностные схемы
Для приближенного решения задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка вида — + AU = f(t),t 0, (1.22) й(о) = й, (1.23) где f(t),u(t) - заданная (правая часть) и искомая функции соответственно со значениями в гильбертовом пространстве Н;А — оператор, переводящий элементы Н в Н; t — временная (скалярная) переменная; й - заданный элемент Н, будут использоваться двухслойные операторно-разностные схемы. К такому виду может быть приведена задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, задача Коши для уравнения параболического типа и т.д. Далее для простоты будем рассматривать случай конечномерного пространства Н.
Определим равномерную сетку по времени «г = к = п = 0,1,..., 0 - W = т\сог = й г u{/ = Т\ Обозначим через Л,В:Н- Н линейные операторы в Н, зависящие, вообще говоря, от г, t„. Рассмотрим задачу Коши для операторно-разностного уравнения B(tn) - + A{t„)y„ =cpn,tn є coz, (1.24) г y0=u, (1-25) где yn=y(tn)eH - искомая функция, а срп,и0єН заданы. Будем пользоваться безындексными обозначениями теории разностных схем: У = Уп У = У„+і,У = Уп-і у-у у-у Уг=- У,= г г Тогда уравнение (1.24) можно записать так: Byt + Ay-(p,tE:coT. (1-26)
Определим двухслойную разностную схему как множество задач Коши (1.24), (1.25), зависящих от параметра т, запись (1.24), (1.25) (а также (1.25), (1.26)) будем называть канонической формой двухслойных схем.
Для разрешимости задачи Коши на новом временном слое предполагается, что В х существует. Тогда уравнение (1.26) можно записать в виде y = Sy+r(p,S = EB- A, p=B-x(p, (1.27) где, как обычно, Е — тождественный оператор. Оператор S называется оператором перехода двухслойной разностной схемы (со слоя на слой). Двухслойная схема называется устойчивой, если существуют такие положительные постоянные ті и т2, не зависящие от т и выбора щ, ф, что при любых и0 є Н,(р є H,t є ШТ для решения задачи (1.24), (1.25) справедлива оценка 1Ы1 »»,м0 + /я2 mzx\(p(\,tn є сот, (1-28) где ЦІ и , - некоторые нормы в пространстве Н. Неравенство (1.28) отражает свойство непрерывной зависимости решения задачи (1.24), (1.25) от входных данных. Разностная схема Яуікі_А + A{t„)yn =0,/,, еа т, у0=и (1.30) называется устойчивой по начальным данным, если для решения задачи (27.29), (28.30) выполняется оценка iW IHk - (L31) Двухслойная разностная схема 5уЛ±1 Л +A{t„)yn =cpn,tn є уг, Уо=0 (1.33) называется устойчивой по правой части, если для решения выполняется неравенство ЬпЛ т2 ф{\ип , (1.34) Сформулируем разностный аналог леммы Гронуолла. Из оценки разностного решения на слое ЫМН1+Ф-1 (1-35) следует априорная оценка ЬЛ рпЛЫ+± рп-кЫ1 (L36) к=0
Тем самым из послойной оценки решения мы получаем априорную оценку разностного решения на любой момент времени.
Сформулируем основные критерии устойчивости двухслойных операторно-разностных схем по начальным данным [58]. Наиболее важной является теорема о необходимых и достаточных условиях устойчивости в НА.
Теорема 1.1. (Об устойчивости двухслойной схемы по начальным условиям в НА). Пусть в уравнении (1.29) оператор А является самосопряженным положительным оператором и постоянным (не зависит от п). Условие B -A,tecov (1.37) необходимо и достаточно для устойчивости в НА, т.е. для выполнения оценки ,teo)T. WL 26 (1.38) Теорема 1.2. (Op — устойчивости двухслойной схемы по начальным условиям). Пусть в (1.29), (1.30) операторы А и В постоянны и В = В 0,А = А 0. (1.39) Тогда условие (1.37) необходимо и достаточно для устойчивости схемы (1.29), (1.30) по начальным данным вЯвс постоянной р=1. Из устойчивости по начальным данным в Н& R=R 0 следует и устойчивость схемы по правой части при использовании нормы р„ = B xq . Теорема 1.3. Пусть разностная схема (1.24), (1.25) р — устойчива в HR по начальным данным, т.е. имеет место оценка (1.35) при фп=0. Тогда разностная схема (1.24), (1.25) устойчива по правой части и для решения справедлива априорная оценка lk.IL pn4ut+TPn k\\BMl (L4) Теорема 1.4. Пусть для разностной схемы (1-24), (1.25) выполняются условия А = А 0,В єЕ+—, 2 где е 0 - число, Е - единичный (тождественный) оператор. Тогда имеет место оценка IIу(ґ + r)l и0 +J—ma.x\\(p(t ]\,tecor,t T. При исследовании устойчивости трехслойных разностных схем используется каноническая форма трехслойных разностных схем [67]: (1.41) IT Т 11 = 1,2,. при заданных y0=u\yi=v\ (1.42) Приведем условия устойчивости по начальным данным при постоянных, не зависящих от п, самосопряженных операторах А, В, R, т.е. вместо общей схемы (1.41) будем рассматривать В ± + 4Уп+1-2уп+Уп_г)+Ауп=0. (1.43) 2т Имеет место следующее утверждение.
Двумерные схемы переменных направлений
На практике весьма часто ставится задача расчета распределения температур (термического режима) в случае, когда конструкция представляет собой механическое соединение материалов с различными коэффициентами теплопроводности. Это, в свою очередь, означает, что вместо классической постановки задачи (1.58)-(1.60) следует рассматривать ее обобщенный аналог
Весьма актуальным является частный, но достаточно важный для теплового расчета конструкций случай, когда границей раздела двух материалов (поверхностью, на которой коэффициент теплопроводности терпит разрыв) является цилиндрическая поверхность, направляющая которой параллельна одной из координатных осей.
Для данной задачи естественной является постановка проблемы построения экономичных схем расщепления. В работах И.В. Фрязинова, А.В. Гулина [57,85] и других показано, что поверхность разрыва не является плоскостью, ортогональной одной из координатных осей, тогда для аддитивной схемы расщепления по геометрическим направлениям (ЛОС) следует ожидать понижение порядка точности с 0(\h\ + 4т) до 0(Щ + 4т), где \h\ норма шагов пространственной сетки, т- временной шаг, причем эта оценка является неулучшаемой. Численные эксперименты, проведенные в 60-70 гг. XX века М.И.
Бакировой и И.В. Фрязиновым [83] показали, что в узлах, прилегающих к окрестности поверхности разрыва наблюдается нарастание локальных погрешностей решения, которые далее при расчетах на установление сказываются существенным образом на решении во всех внутренних узлах.
Указанного недостатка лишены схемы полной аппроксимации, построенные, например, интегро-интерполяционным методом (консервативные схемы) [59]. Однако, эти схемы в случае реальных областей и переменных коэффициентов не являются экономичными, поскольку могут быть реализованы только итерационными методами. Поэтому в случае таких обобщенных постановок задач теплового расчета, когда образующая цилиндрической поверхности разрыва параллельна одной из координатных осей целесообразно использовать ЛДС. Предположим, для определенности, что образующая поверхности разрыва коэффициентов параллельна оси OXY, а сечение поверхности разрыва любой из координатных плоскостей, проходящих через внутренние узлы сетки в области G является кривой. Тогда следует ожидать, что ЛДС, схематически представленная в виде, обладает той же оценкой погрешности суммарной аппроксимации, что и классическая схема полной аппроксимации.
В то же самое время оценка для требуемого числа операций в случае использования ЛДС О = OQJN N3), где N - число узлов сетки, что лучше, чем для схем полной аппроксимации. Сказанное и определяет целесообразность применения ЛДС для этого важного частного случая геометрии поверхности разрыва, который, тем не менее имеет широкое распространение в энергетическом машиностроении. В разделе 3 для численной и программной реализации тепловых расчетов конструкций подход, базирующийся на использовании локально-двумерных схем, является одним из основных. Технология математического моделирования задач теплообмена в сложных инженерных системах, которыми являются, в частности, конструкции котельных агрегатов, требует решения всего комплекса задач, связанного как с дискретизацией задачи, так и с заданием входных данных и визуализацией результатов. Рассмотрению этого круга вопросов посвящен раздел 3. Другое назначение раздела 3 - разработка комплекса программ для тепловых расчетов указанных конструкций на основе современных подходов, принятых в объектно-ориентированном программировании и проведение вычислительного эксперимента с элементами реальных конструкций.
В предыдущем разделе были построены и исследованы двумерно-одномерные схемы расщепления. Поскольку технологию решения одномерных задач можно считать достаточно развитой, то сосредоточим в настоящем разделе внимание на построении и адаптации современных итерационных методов и некоторых прямых методов решения дискретных (разностных) аппроксимаций двумерных уравнений теплопроводности [бо]. Неявные ЛДС приводят к необходимости решения сеточных эллиптических уравнений, в общем случае с переменными коэффициентами, на каждом временном слое. По сравнению с сеточными эллиптическими уравнениями, возникающими при аппроксимации стационарных задач, сеточные операторы двумерных уравнений теплопроводности обладают некоторыми благоприятными для применения итерационных методов свойствами, к числу которых следует отнести, в первую очередь, наличие диагонального преобладания в матрице оператора, тем большего, чем меньше величина временного шага и хорошего начального приближения к решению при переходе на следующий временной слой, в качестве которого может быть выбрано решение, полученное на предыдущем временном слое (начальное условие для первого временного слоя). Разработке вариантов итерационных методов - верхней релаксации [39], использующего технологию конечного (двухсеточного) multigrid, а также модифицированного попеременно-треугольного метода и некоторых быстрых прямых методов и посвящен данный раздел.
Особенностями задач теплового расчета конструкций (ТРК) для нестационарных режимов являются: необходимость многократно (102 - 104 раз) решать сеточные эллиптические уравнения для определения функции температуры; высокий порядок системы разностных уравнений, который в реальных задачах может составить 104 - 106; существенный разброс или даже разрыв коэффициентов уравнений. Следствием двух последних особенностей разностных аппроксимаций задач
ТРК является плохая обусловленность соответствующих систем алгебраических уравнений. Перечисленные выше особенности задач ТРК делают актуальной разработку алгоритмов, которые бы позволили уменьшить число итераций, а также решать плохо обусловленные системы разностных уравнений, либо увеличить временной шаг.
Рассмотрим смешанную задачу Коши для уравнения теплопроводности вида u(x,o) = u0(x), xeG где u = u(x,t)- функция температуры, которую необходимо определить в области G, кх, к2- коэффициенты теплопроводности (температуропроводности), в координатных направлениях Охх и Ох2 соответственно, которые могут сильно меняться в зависимости от переменных Xj и х2 или даже терпеть разрыв на цилиндрических поверхностях вида5, = {х(х1,х2)х(-со х3 +oo)}nG, /-кусочно-гладкая (плоская) кривая. Типична ситуация, когда область G является цилиндрической, на боковой поверхности и на одном из оснований которой задаются граничные условия второго-третьего рода, а на втором основании — первого рода. Далее для простоты будем рассматривать случай граничных условий первого рода. Рассматриваемый алгоритм базируется на идее алгоритма Р.П. Федоренко [80] решения сеточных эллиптических уравнений на верхнем временном слое, к которым сводится после аппроксимации неявной схемой задача (2.1) с соответствующими граничными условиями. В отличие от известного многосеточного метода данный алгоритм ориентирован на использование одной вспомогательной сетки; в качестве итерационного метода применяется метод верхней релаксации со специально задаваемым значением релаксационного параметра, обеспечивающим заданные спектральные свойства оператора перехода (шага) итерационной процедуры. Применение одной вспомогательной сетки в реальных задачах ТРК обусловлено необходимостью сохранения информации о положении поверхностей разрыва коэффициентов к{, к2, как в основной, так и во вспомогательной задачах.
Перейдем к описанию алгоритма метода без его детального теоретического обоснования, что потребовало существенного увеличения объема. В прямоугольнике G наряду с основной, в общем случае неравномерной сеткой coh, имеющей соответственно Ni и N2 шагов по координатным направлениям Oxi и Ох2 соответственно (Ы\ и N2 - четные), построим вспомогательную сетку d 2h, имеющую —L и - -шагов по направлениям Ох, и Ох2 соответственно.
Модифицированный попеременно-треугольный метод решения разностных краевых задач теплопроводности с функцией источника
Во многих случаях специфика практических задач например, случай разделяющихся переменных, специальная форма области и т.д. позволяют использовать эффективные прямые методы решения систем разностных уравнений, аппроксимирующих дифференциальную задачу [б8]. Однако, в общем случае область произвольной формы, переменные задачи — неразделяющиеся, универсальными являются итерационные методы.
В классе двухслойных итерационных методов следует выделить попеременно-треугольный метод, предложенный А.А. Самарским [56] и развитый в работах Е.С. Николаева и А.Б. Кучерова и других авторов [42]. Объясняется это следующими качествами метода: универсальностью, т.к. метод применим к системам линейных алгебраических уравнений с симметричными и положительно определенными матрицами; высокой скоростью сходимости; способностью решать плохо обусловленные системы уравнений, в частности, с большим разбросом коэффициентов, когда максимальные значения коэффициентов превосходят минимальные их значения в 103 раз и более.
Опыт использования модифицированного попеременно-треугольного метода решения разностных эллиптических задач показывает, что он требует небольшого числа итераций, незначительно зависящего от диапазона изменения коэффициентов и неравномерности шагов, в случае сеток, построенных для областей произвольной формы.
В данном подразделе рассмотрен вариант модифицированного попеременно-треугольного метода, предназначенный для решения разностных аналогов двумерных задач параболического типа с переменными коэффициентами, функцией источника и граничными условиями Дирихле в прямоугольнике. В силу сказанного, данный вариант МПТМ можно рассматривать в качестве базового для реализации ЛДС в общем случае для обращения разностного эллиптического оператора на верхнем временном слое.
Здесь предполагается, что функция источника имеет вид qu(x), где и(х)-искомое решение, q = const 0.
Рассмотрим разностную схему, аппроксимирующую 1 краевую задачу для уравнения эллиптического типа в пространстве двух измерений (р=2), с самосопряженным эллиптическим оператором второго порядка и переменными коэффициентами:
Аналогично решаются задачи на собственные значения для разностного оператора Лапласа в прямоугольнике и в случае других комбинаций краевых условий на сторонах прямоугольника G. Метод разделения переменных позволяет свести их к одномерным задачам. Рассмотрим метод разделения переменных применительно к решению разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона на равномерной сетке в прямоугольнике G: Ау = -ср(х),х є а,у{х) = g(x),x є у, А = \ + А2,АаУ = УТх ,а = 1,2 t2"44) Сведем задачу (2.44) к задаче с однородным граничным условием путем изменения правой части уравнения в приграничных узлах (перенесение известных величин в правую часть уравнения), получим следующее уравнение Пуассона: Д2(Я0Л)-2Я Л)+Я2АЛ)) + (Х/ь0)-2 Л) + Я/ь2/г2)) = - 1л) Так как (0,/) = #(0,/ ), (7 0) = g(h\fi), то перенося эти величины из левой в правую часть уравнения, будем иметь J/ 2(-2y(hl,h2) + y(2hl,h2)) + (-2y(hl,h2) + y(hiah2)) = = - pVhA) + fy SiW + fy (ВД)
Проведя подобное преобразование для каждой приграничной точки, получим разностные уравнения, не содержащие значений у(х) на у в левой части. Правые части уравнений для приграничных узлов отличаются от правой части р(х). Обозначим через /(х) построенную правую часть: fix) = р(х) + -у (рх (х) + - 0), хєа (2.45) где Ф\ (x) = \ 0,2/z, х, /, - 2/г, (ч/],х2/),х1 = /2 %( )= g(x,,0),x2 = / 0,2/ х2 /2 - 2 2j 15 2/5 2 = Левая часть преобразованных уравнений отличается для приграничных узлов от записи разностного оператора Лапласа. Однако если положить у(х) = и(х),х є а,и(х) = 0,х є у, то уравнения во всех узлах сетки будут записываться одинаково: (2.46) Аи = -/(х),іє со и(х) = 0,хє у Найдем решение задачи(2.46).Представим функцию и(х)в виде разложения по собственным функциям juK(i,j) оператора Лапласа N,-i N,-1 (2.47) \ i Nx,\ j N2 Сеточная функция f(x), заданная на со допускает представление (2.48) А-,=1 к2=\ \ i Nx-\,\ j N2-\ где коэффициенты Фурье fkiki определены в (2.43).Так как juK(i,})=//(i)ju(J), есть собственная функция Лапласа, соответствующая собственному значению Лк, т.е.
Перенос тепла между двумя ячейками
В данном разделе рассматривается постановка задачи теплового расчета оребренных конструкций котельных агрегатов, которые воспринимают тепловую энергию, выделяемую топливом в различных формах - в виде излучения в инфракрасном и видимом диапазонах, за счет кондуктивного и конвективного теплообмена. Тепловая энергия, полученная элементами конструкций преобразуется в тепловую энергию рабочей среды, используемой далее в генераторных установках для выработки электрической энергии и утилизации остаточной тепловой энергии для бытовых нужд. Долговечность и надежность котельных агрегатов в значительной степени определяется распределением температуры в них. Конструкции имеют сложную геометрию и могут содержать механические дефекты в виде трещин и непроваров сварных швов и т.д. Сложной является физическая природа процессов обмена энергией в различных формах для оребренных конструкций агрегатов. В этих условиях численное моделирование является единственным надежным способом теоретического исследования термически нагруженных конструкций.
Модель учитывает: Конструкцию радиатора: трубы могут иметь различные внутренние и внешние радиусы, перегородки между трубами могут иметь различную длину и ширину, в местах сварки перегородок и труб могут быть трещины, как с внутренней, так и с внешней стороны радиатора. Распространение тепла в элементах радиатора и передача тепла между элементами: каждый элемент радиатора (в том числе вода) имеет свои коэффициенты теплопроводности и теплоёмкости. Разные трубы, например, могут быть изготовлены из разных радиаторов. „ Перемещение тепла вместе с потоком воды в трубах: вода в каждой трубе имеет свою скорость движения. Возможность подачи воды с выхода одной трубки на вход другой. Нагрев радиатора тепловым потоком от пламени: каждая точка внутренней поверхности радиатора получает энергию, излучаемую пламенем котельного агрегата. Следует учесть то, что элементы радиатора затеняют друг друга от теплового излучения. Нагрев радиатора горячим воздухом с внутренней стороны и охлаждение воздухом с внешней стороны. Турбулентная диффузия тепла в воде: она преобладает над теплопроводностью при быстром течении воды в трубах. Перенос тепла посредством турбулентной диффузии отличается от его переноса посредством теплопроводности следующими факторами: интенсивность переноса не зависит от теп лоёмкости, она разная в направлении потока и перпендикулярном ему направлении, она не передаёт тепло через границу раздела вода-металл (это основное отличие). Модель построена и исследована Антоном Сухиновым [9б] и применена автором настоящей работы к исследованию конкретных задач теплопроводности.
Требуется рассчитать трёхмерное поле температуры в радиаторе котельного агрегата, состоящем из расположенных параллельно труб, соединённых перегородками (рис.1). Через трубы прокачивается нагреваемая вода. Все элементы радиатора выполнены из нержавеющей стали.
С одной стороны радиатор подогревается пламенем газовых горелок. Тепло от пламени нагревает радиатор двумя способами: 1) посредством теплового излучения, частично поглощаемого радиатором; 2) пламя нагревает воздух, который, в свою очередь, нагревает радиатор. В обоих случаях нагревается правая внутренняя граница радиатора. Охлаждается радиатор следующим образом: 1) относительно холодный воздух с внешней стороны забирает часть тепла; 2) в трубки радиатора подаётся холодная вода.
В направлении, перпендикулярном плоскости (рис. 1), радиатор достаточно длинный (длина много больше расстояния между трубками).
Перегородки присоединены к трубкам при помощи сварных швов. Дополнительная задача — рассчитать распределение температуры в случаях, когда в сварных швах имеются трещины. Принятые допущения:
1. Воздух слева и справа от радиатора имеет ни от чего не зависящую постоянную температуру.
2. Радиатор периодичен в направлении, перпендикулярном направлению труб: можно выделить такой участок, что весь радиатор может быть составлен из таких участков.
3. Свойства радиатора (кроме температуры) и его геометрические характеристики неизменны в направлении, параллельном трубам.
4.. Огонь, нагревающий радиатор, находится далеко от него, и представляется со стороны радиатора, как «стена огня», много большая, по размерам, чем рассчитываемая часть радиатора.
5. Вода не закипает: превращение воды в.пар прямо в трубе и наличие в течение некоторого времени смеси пара и: воды сильно усложнит модель. Хотя; это очень важный, фактор; т. к. свойства и скорость движения пара (у него гораздо больше объём) очень сильно- отличаются: от свойств и скорости движенияводы. Однако-можно учесть этот эффект частично, рассчитав отдельно нагрев радиатора; когда в. трубах вода и отдельно, когда в трубах пар. Кроме того, если вода течёт по трубам «змейкой» в, противоположных направлениях, то можночасть труб заполнитьводой, а часть — паром.
6. Будем считать, что радиатор не окисляется: Хотя? интенсивность процессов окисления- нержавеющей стали очень мала,. она многократно увеличивается при её нагревании до температур порядка тысячи градусов Цельсия. Кроме того, процессы окисления сами являются источником тепла. К" тому же сварной: шов может иметь худшие, свойства и окисляться быстрее. Основные формулы и алгоритмы,
