Содержание к диссертации
Введение
1. Теория и практика трассирования автомобильных дорог 16
1.1. Трасса автомобильной дороги: геометрические элементы и нормы проектирования 19
1.2. Методы традиционного ("ручного") трассирования дорог.. 44
1.3. Методы автоматизированного трассирования дорог 53
1.4. Особенности трассирования реконструируемых дорог 68
1.5. Зрительное восприятие автомобильных дорог и оценка их пространственного проложения 76
1.6. Цели и задачи исследований 90
2. Методологические, статистические и экспериментально-теоретические исследования процесса трассирования автомобильных дорог на основе системного подхода: водитель-автомобиль-дорога 95
2.1. Методические аспекты трассирования автомобильных дорог с позиции единого методологического подхода 96
2.2. Статистический анализ трасс по материалам проектирования реконструкции автомобильных дорог . 100
2.3. Экспериментальные исследования траектории движения автомобиля на кривых 111
2.3.1. Технические средства и методика исследования 119
2.3.2. Обработка экспериментальных данных и анализ полученных результатов 127
2.4. Численные эксперименты по трассированию в плане реконструируемых участков автомобильной дороги 140
2.5. К вопросу об оптимальной форме кривых трассы в плане 146
Выводы по главе 2 151
3. Сплайны как методологическая основа автоматизированного трассирования автомобильных дорог 153
3.1. Интерполяционные сплайны: алгебраический подход 156
3.1.1. Сплайны 1 -й степени (линейные) 156
3.1.2. Сплайны 2-й степени (квадратические) 157
3.1.3. Сплайны 3-й степени (кубические) 163
3.2. Сглаживающие сплайны: вариационный подход 168
3.2.1. Обоснование целевых функций (критериев оптимальности) при трассировании дорог сплайнами 170
3.2.2. Сглаживание по методу покоординатного спуска... 177
3.2.3. Сглаживание по методу направленного перебора 185
3.3. Нетрадиционные виды сплайнов 187
3.3.1. В-сплайны 188
3.3.2. Клотоидные сплайны 192
3.3.3. Рациональные сплайны 203
3.4. Параметрические сплайны и кривые 209
3.4.1. Кривые Безье 2-5 порядков 210
3.4.2. Рациональные кривые Безье 214
3.4.3. В-сплайновые кривые 216
3.5. Математическое моделирование закруглений трассы . 219
3.5.1. Моделирование посредством сглаживающих сплайнов 219
3.5.2. Моделирование посредством кривых Безье 231
3.6. Параметрическое представление трассы в пространстве посредством сплайнов и кривых Безье 241
Выводы по главе 3 244
4. Комплексное решение актуальных проектных задач, сопутствующих этапу трассирования на стадии реконструкции автомобильных дорог 247
4.1. Цифровое (ЦММ) и математическое (МММ) моделирование местности на стадии реконструкции дорог 247
4.2. Распознавание элементов трассы реконструируемой дороги 258
4.3. Формирование продольных и поперечных профилей на основе математических моделей местности и трассы... 266
4.4. Конструирование верха земляного полотна с учетом сплайновой природы трассы 270
4.5. Обеспечение видимости автомобильной дороги в пространстве 276
Выводы по главе 4 280
5. Оценка реконструируемых автомобильных дорог с позиции их зрительного восприятия 281
5.1. Построение перспективных изображений и киноперспективы автомобильных дорог 281
5.2. Сочетания элементов трассы в плане и продольном профиле и их пространственная сущность 288
5.3. Цифровое фотоизображение автомобильных дорог и цифровой фотомонтаж при оценке проектных решений.. 300
5.4. Корректировка трассы в плане и продольном профиле на основе перспективных изображений 306
Выводы по главе 5 313
6. Система автоматизированного проектирования автомобильных дорог (САПР АД) ReCAD: структура, алгоритмы, программы, результаты 315
6.1. Концепция САПР АД ReCAD и ее реализация 315
6.2. Разделы ReCAD по проектированию реконструируемых автомобильных дорог 320
6.2.1. Формирование ЦММ/ЦМП и трассирование дорог в плане 320
6.2.2. Трассирование дорог в продольном профиле 332
6.2.3. Конструирование верха земляного полотна и поперечных профилей 337
6.2.4. Моделирование ЗО-вида проектируемой дороги 349
6.3. Специализированный редактор RoAD - чертежно-графическое ядро для САПР АД ReCAD 351
6.4. Практические примеры проектирования реконструкции автомобильных дорог с применением САПР АД ReCAD 360
6.5. Технико-экономическая оценка результатов трассирования автомобильных дорог посредством сплайно 363
Выводы по главе 6 368
Общие выводы 370
Литература
- Методы традиционного ("ручного") трассирования дорог..
- Статистический анализ трасс по материалам проектирования реконструкции автомобильных дорог
- Обоснование целевых функций (критериев оптимальности) при трассировании дорог сплайнами
- Формирование продольных и поперечных профилей на основе математических моделей местности и трассы...
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время, в связи с ростом плотности
сети автомобильных дорог России, стадийное повышение транспортно эксплуатационных качеств существующих дорог посредством реконструкций и ремонтов составляет значительный объем в структуре работ дорожных производственных организаций. Так, например, за период реализации президентской программы «Дороги России» в 1995-2000 гг. протяженность ремонтируемых и реконструируемых местных автомобильных дорог в России составила соответственно 135.9 тыс. км и 25.6 тыс. км, в то время, как объемы строительства новых дорог не превысили 20.5 тыс. км (табл. 2-5.2 [175]). В соответствии с новыми задачами дорожной отрасли изменилась и специфика работы дорожных проектно-изыскательских организаций: если совсем недавно они разрабатывали в основном проекты строительства дорог, то сейчас (до 80% объема работ) это - проекты реконструкций и ремонтов. Проф. В. В. Сильянов, подчеркивая важность работ по реконструкции, отмечает [196], "... что большое протяжение сети дорог построено по старым нормам. Так, в 1979 г. нормам 1930 г. соответствовало около 45% протяжения всех дорог, нормам 1962 г. - 15%, а нормам 1972 г. - около 0.05%".
Реконструкция дорог, как правило, предусматривает повышение ее категории. При этом требуется увеличивать радиусы кривых в плане и продольном профиле, ликвидировать излишнюю извилистость трассы, обеспечивать расчетную видимость и расчетное возвышение покрытия полотна над уровнем грунтовых и поверхностных вод, уменьшать продольные уклоны дороги. Все эти мероприятия приводят в той или иной мере к смещению трассы, поэтому задание на реконструкцию, как правило, формулируется в виде двуединой задачи "... довести параметры реконструируемой дороги до требований заданной категории с максимальным использованием трассы и инженерных сооружений существующей автомобильной дороги". Достижение приемлемого компромисса при решении этой задачи является сложной экономико-математической проблемой.
Новым аспектом в этой проблеме является то, что вопросы согласования отвода земель под реконструкцию в новых экономических условиях становятся значительно более важными и сложными, чем было ранее. Во-первых, земля начинает приобретать конкретного хозяина и определенную рыночную стоимость. Во-вторых, существование самой дороги приводит к активному освоению придорожной полосы, и любые предложения по дополнительному изъятию земель под дорогу встречают активное противодействие заинтересованных лиц, организаций и учреждений. В-третьих, естественная тревога и внимание общества по поводу транспортного загрязнения земель придорожной полосы снижает возможности проложения реконструируемых дорог по новому направлению с рекультивацией существующей дороги под сельскохозяйственные нужды. Поэтому наряду с мероприятиями по разработке законодательства в части регламентирования норм и платы за отвод земель для автомобильных дорог и пересмотру нормативной базы проектирования, необходимо совершенствовать методы и технологию изысканий и проектирования дорог.
Основы технологии дорожных проектно-изыскательских работ сложились в 40-50-е годы, в период строительства новых автомобильных магистралей. Принципы и методы проектирования плана и продольного профиля дорог были обоснованы и разработаны Г. Д. Дубелиром, А. К. Бируля, В. Ф. Бабковым, М. С. Замахаевым, В. И. Ксенодоховым, К. А. Хавкиным и др. Методы оценки проектных решений, принципы ландшафтного проектирования, вопросы обеспечения удобства и безопасности движения были отражены в работах В. Ф. Бабкова и его последователей и учеников Н. П. Орнатского, Е. М. Лобанова, В. В. Сильянова, А. П. Васильева, П. Я. Дзениса, а также А. А. Белятынского, А. И. Метелкина и др.
Новые задачи проектной деятельности, а именно реконструкция и ремонт автомобильных дорог, требуют совершенствования и технологии работ, и методов проектирования, и используемого математического аппарата. Все эти требования становятся особенно убедительными на фоне массового перехода проектных организаций к средствам комплексной автоматизации проектно-изыскательских работ. В "Концепции совершенствования проектно-сметного дела...", обобщая положительный опыт зарубежных проектных фирм, отмечается, что их работа "ведется на основе широкого применения ЭВМ" [127]. Учитывая, что в современных рыночных условиях доступ российских проектировщиков к техническим средствам и программному обеспечению так же свободен, как и для их зарубежных коллег, мы вправе ожидать, что в ближайшее время процесс проектирования может быть полностью автоматизирован от полевых изыскательских работ до выпуска рабочей документации.
Что касается технологии трассирования автомобильных дорог, то применяемые в ней традиционные геометрические элементы (прямые, круговые кривые, клотоиды, отрезки клотоид и квадратные параболы) оказываются недостаточно гибкими для выработки приемлемого проектного решения в процессе их реконструкций и ремонтов. Но особенно "слабым" местом традиционной технологии оказываются сами методы "склейки" этих элементов в кусочно-непрерывную линию в плане и продольном профиле, которую мы называем трассой автомобильной дороги.
"Ручные" методы трассирования представляют собой графоаналитические процедуры, основанные на интуитивных решениях инженера. Трудно сказать, сколь удачное решение инженером принято. Здесь почти единственный критерий выбора - это сравнение нескольких эвристических вариантов проектных решений. Поэтому именно методы оптимизации, реализованные в рамках компьютерной технологии проектирования, могут и должны стать объективной основой для трассирования автомобильных дорог. К тому же процесс оптимизации должен сочетаться с возможностью корректировки проектного решения в режиме интерактивного графического диалога. Значительные результаты в этом направлении исследований и разработок получены Е. Л. Фильштейном, В. И. Струченковым, М. А. Григорьевым, В. А. Федотовым, В. Ю. Голубиным, Г. В. Величко, С. С. Близниченко и др.
Важным аспектом проблемы является то, что наиболее эффективная реализация автоматизированного проектирования возможна лишь при системном подходе. Вопросы САПР АД наиболее полно и всесторонне сформулировали и разработали Г. А. Федотов, Я. В. Хомяк, М. А. Григорьев, Г. В. Величко.
Немаловажное значение имеет то, посредством какого математического аппарата (в каком классе функций) ведется поиск решений по установления оптимального проложения трассы автомобильной дороги. Результаты анализа этого вопроса как с позиций целесообразности использования в проектной практике, так и достижений и возможностей современного аппарата вычислительной математики позволяют утверждать, что многообразие сплайнов (кусочно-многочленных параметрических кривых) является достаточной и даже исчерпывающей математической основой для построения методов и процедур трассирования автомобильных дорог в плане и продольном профиле. Более того, при этом условии впервые становится возможным решение задачи пространственного трассирования с достижением оптимального положения согласно некоторому совокупному критерию, учитывающему как плановое, так и, одновременно, профильное положение автомобильной дороги.
Основная идея, положенная в основу работы над диссертацией состоит в том, что трасса автомобильной дороги понимается как кусочно 9 непрерывная функция и в этом смысле может рассматриваться с позиций функционального анализа и теории сплайнов. Непрерывность трассы как кусочно - непрерывной функции подразумевает наличие общих
касательных в узлах "склейки" элементов и одинаковую кривизну справа и слева от этих узлов. В терминах функционального анализа для этого достаточно непрерывности 1 -й и 2-й производных. Из всего многообразия сплайнов, обладающих этим свойством, нами, в первую очередь, рассмотрены интерполяционные и сглаживающие кубические сплайны, а также кривые Безье. К тому же в теоретическом плане они наиболее полно исследованы и обладают рядом замечательных свойств, пригодных для целей трассирования автомобильных дорог.
Гибкость кубических сплайнов (эффективный контроль и управление уклоном и кривизной для трассы в продольном профиле и кривизной и скоростью ее нарастания для трассы в плане) и простота построения и расчета делают их особенно приемлемыми для трассирования при реконструкции и ремонте автомобильных дорог. Параметрическое представление трассы по всем трем координатам (х, у, z) посредством сплайнов позволяет решать проектные задачи в трехмерном пространстве: проверка пространственной видимости, корректировка трассы по перспективным изображениям, совместное проектирование плана и продольного профиля и т. п.
Учитывая, что последовательности клотоид (план) и квадратных парабол (продольный профиль), являющиеся основными элементами трассирования современных дорог, могут быть представлены и алгоритмизированы в виде соответственно клотоидных и параболических сплайнов, можно говорить о сплайн-функциях как единой методологической основе автоматизированного трассирования автомобильных дорог.
Цель работы: Обосновать и разработать теоретические, алгоритмические и программно-технологические основы автоматизированного трассирования реконструируемых автомобильных дорог с учетом единого методологического подхода к трассированию как задаче сплайн-аппроксимации в двух- (план и продольный профиль) и трехмерном пространстве, а также принципов и рекомендаций ландшафтного проектирования с использованием современных возможностей компьютерной техники и технологии.
Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:
• исследовать существующие методы трассирования с целью выявления их общности, различий и особенностей при проектировании новых и реконструкции существующих трасс автомобильных дорог;
• получить статистические оценки параметров трасс автомобильных дорог разных категорий на основе анализа проектной документации ряда ведущих проектно-изыскательских дорожных организаций и оценить их с позиции требований существующих норм и рекомендаций ландшафтного проектирования;
• выполнить теоретические и экспериментальные исследования траектории движения автомобиля на криволинейных участках дорог для обоснования трассирования посредством сплайнов;
• дать обзор наиболее приемлемых с позиции трассирования дорог алгоритмов сплайн-функций и выполнить численное моделирование для выявления их свойств и особенностей при проектировании трассы в плане и продольном профиле;
• обосновать алгоритмы, программные средства и информационные технологии для построения перспективных изображений, динамических перспектив, цифровых фотоизображений и фотомонтажа реконструируемых автомобильных дорог с целью обеспечения их адекватного зрительного восприятия и анализа;
• решить актуальные расчетно-проектные задачи (пространственная оптимизация трассы, автоматизированная корректировка трассы по перспективным изображениям, проверка обеспечения пространственное видимости) для подтверждения эффективности применения разработанных алгоритмов трассирования посредством сплайнов;
• разработать и внедрить систему автоматизированного проектирова
ния САПР АД ReCAD, основанную на реализации идеи оптимального
трассирования реконструируемых автомобильных дорог.
В диссертации обобщены результаты научно-исследовательских и инженерных работ, выполненных автором в 1980-2001 гг. в Московском автомобильно-дорожном институте (Государственном техническом университете), Томском Государственном архитектурно-строительной университете и Инженерном дорожном центре "Индор" (г. Томск).
Научная новизна работы состоит:
• в исследований посредством натурных экспериментов и математического моделирования траектории движения автомобиля по криволинейным участкам дорог и установлении закономерностей ее формирования с позиции рулевых действий водителя;
• в обосновании математического аппарата сплайн-функций как единой методологической основы для разработки методов и технологии автоматизированного трассирования реконструируемых автомобильных дорог;
• в осуществлении численных экспериментов для исследования и установления закономерностей поведения сплайнов при трассировании сложных и характерных участков дорог в плане и продольном профиле;
• в приведении и обосновании целевых функций (критериев оптимальности), которые целесообразно применять при трассировании реконструируемых автомобильных дорог;
• в обосновании и разработке алгоритмов трассирования на основе теории сплайн-функций;
• в решении актуальной задачи пространственного трассирования автомобильных дорог; • в разработке алгоритма автоматизированной корректировки трассы по ее перспективным изображениям;
•в моделировании и исследовании зрительного восприятия реконструируемых автомобильных дорог посредством построения кино- и перспективных изображения и их цифрового фотомонтажа.
Практическая ценность работы заключается в разработке системы автоматизированного проектирования дорог (САПР АД ReCAD), которая содержит алгоритмы и программы автоматизированного трассирования дорог как на основе традиционных схем, так и посредством сплайнов. При этом возможно как раздельное, так и совместное использование традиционной и "свободной" геометрии трассирования. Программы (разделы) трассирования построены по принципу оптимизации трассы в плане и продольном профиле при заданных ограничениях с возможностью ручной корректировки проектных решений в графическом диалоге "инженер-компьютер". Разработаны принципы и технология построения статической и кинематической перспективы проектируемой дороги с последующим цифровым фотомонтажом реалистических и компьютерных изображений.
Реализация результатов исследований. САПР АД ReCAD внедрена в ряде дорожных проектно-изыскательских организаций России (Томская, Кемеровская, Новосибирская, Липецкая области, Красноярский и Алтайский края). Она применяется в учебном процессе в качестве методического обеспечения курсов "Основы проектирования автомобильных дорог" и "САПР АД" в ВУЗах и автомобильно-дорожных техникумах (гг. Томск, Кемерово, Москва, Челябинск и др.).
В Инженерном дорожном центре "Индор" (г. Томск) под руководством автора разработана проектная документация, по которой осуществлена реконструкция автомобильных дорог Кудринка — МоряковскиЙ Затон, Мирный - Межениновка в Томской области. Проекты выполнялись с использованием беспикетного метода изысканий и трассирования в плане и продольном профиле по принципу "свободной" геометрии (посредством сплайнов).
Результаты исследований были использованы и послужили основой при подготовке и издании следующих документов, учебных и справочных пособий:
1. Программный комплекс Indor. Общие сведения. - Томск: ИДЦ Индор, 2001. - 11 с. Сертиф. №РОСС RU.Cnil.H00052 ФГУП ЦПС от 20.02.2002г.
2. Indor ReCAD - Система проектирования автомобильных дорог. Справочное руководство. - Томск: ИДЦ Индор, 2001. - 131 с. Сертиф. №РОСС и.СШ 1 .Н00052 ФГУП ЦПС от 20.02.2002г
3. Indor ReCAD - Система проектирования автомобильных дорог. Руководство пользователя. - Томск: ИДЦ Индор, 2001. - 146 с. Сертиф. №РОСС RU.Cni 1.Н00052 ФГУП ЦПС от 20.02.2002г.
4. Indor RoAD — Специализированный графический редактор. Справочное руководство. - Томск: ИДЦ Индор, 2001. - 78 с.
5. Indor RoAD - Специализированный графический редактор. Руководство пользователя. - Томск: ИДЦ Индор, 2001. - 77 с.
6. Бойков В.Н., Ефименко В.Н., Потатуева Т.В, и др. Проектирование автомобильных и городских дорог. Учебное пособие. - Томск: Изд-во Том. политех, ин-та, 1988. - 95с.
7. Бойков В.Н., Шумилов Б. М. Сплайны в трассировании автомобильных дорог. - Томск: Изд-во ГУ Томский ЦНТИ, 2001. 164 с.
8. Use of Parametric Spline Smoothing in Highways Reconsruction. Paper №391-E. Topic 9J/Xilfh International Road Federation World Meeting. - Toronto, Ontario, Canada, 1997. - 10 pp.
Всего по теме диссертации опубликовано в печати 30 научных работ. Апробация диссертации. Результаты выполненной работы были представлены, доложены и одобрены: • на 9-Й научно-технической конференции "Повышение качества строительства автомобильных дорог в Нечерноземной зоне РСФСР".-Владимир, 1986;
• на областной научно-практической конференции "Особенности проектирования и строительства автомобильных дорог в условиях Северо-Запада".- Архангельск, 1988;
• на ежегодных научно-технических конференциях.- Омск, СибАДИ, 1988,1991,1992,2000;
• на международном семинаре "Автоматизированные системы проектирования автомобильных дорог",- Владимир, сентябрь 1993;
• на региональном научно-практическом семинаре "Информационные технологии в дорожном строительстве".- Томск, ноябрь 1993;
• на 3-й Международной конференции по компьютерной графике и визуализации. - С.-Петербург, 1993;
• на Всероссийской Международной научно-технической конференции "Автомобильные дороги Сибири".- Омск, 1994;
• на международной конференции "Современные проблемы вычислительной и прикладной математики". - Новосибирск, Российская академия наук, Сибирское отделение, июнь 1995.
• на Всемирном конгрессе дорожников PIARC. - Канада, Торонто, июнь 1997 г.
• на Всероссийской научно-практической конференции «Пути повышения качества и эффективности строительства, реконструкции, содержания автомобильных дорог и искусственных сооружений на них. -Барнаул, апрель 2001.
Структура и объем работы: Диссертация состоит из введения, 6 глав, общих выводов, списка литературы и приложений. Основное содержание работы изложено на 410 страницах основного текста, включающего 105 рисунков, 36 таблиц, библиографию из 305 наименований, объем приложений - 26 страниц..
При выполнении настоящей работы отдельные вопросы разрабатывались с участием канд. техн. наук С. П. Крысина, докт. физ.-мат. наук Б. М. Шумилова, инженеров-дорожников С. Р. Люста, М. А. Елугачева, В. Н. Барановой, А. Г. Зюзькова, С. А. Тимохина, инженеров-электронщиков В. Т. Подлесных, С. И. Петрова, инженеров-программистов Д. А. Петренко, М. О. Иванова, архитектора В. П. Власова, которым я очень признателен. Благодарю моих детей Николая и Варю за помощь при оформлении работы, а жену Наташу - за терпение и понимание.
Большую научно-методическую помощь при анализе и оценки получаемых мною научных результатов оказывал проф. Г. А. Федотов, который и сформировал во многом мои научные и инженерные приоритеты в вопросах системной автоматизации дорожных проектно-изыскательских работ. Что касается сложившихся мировоззренческих позиций диссертанта на проблемы проектирования, мониторинга и, в целом, инженерно-информационного обеспечения автомобильных дорог, то это, как представляется, результат изучения, осмысления и развития идей проф. В. Ф. Бабкова, который был научным руководителем диссертанта при работе над кандидатской диссертацией.
Методы традиционного ("ручного") трассирования дорог..
Согласно дорожной терминологии [101], «трассирование -проложение трассы автомобильной дороги в соответствии с оптимальными эксплуатационными, строительно-технологическими, экономическими и эстетическими требованиями с учетом топографических, геологических, гидрологических и климатических условий». По сложившейся технологии проектно-изыскательских работ трассирование выполняют в 2 этапа: трассирование в плане, которое осуществляют, как правило, в полевых условиях; трассирование в продольном профиле - в камеральных условиях по выбранному одному или нескольким вариантам трассы.
На практике отработаны два принципа, на основе которых формируется процесс трассирования [227]: «тангенциальное трассирование» и «гибкой линейки». Трассирование по первому принципу является до сих преобладающим в большинстве проектных организаций, несмотря на то, что качество формируемых при этом трасс с позиций безопасности движения и их эстетического совершенства оставляет желать лучшего. Феномен живучести этого принципа можно объяснить тем, что для проектировщиков этот принцип более понятен, прост в расчетах и обеспечивает предельную экономичность полевого этапа работ. Рассмотрим детально этот принцип трассирования.
При «тангенциальном трассировании» трассу можно охарактеризовать как ломаную линию, в изломы которой вписаны кривые. Отрезки прямых представляют собой касательные к кривым, поэтому можно говорить о ломаной как о тангенциальном ходе (полигоне) [158]. Заложение полигона в полевых условиях заключается в последовательном отыскании и закреплении его вершин. Осуществляется это, как правило, посредством проложения теодолитного хода. Рациональным началом такого подхода является то, что ошибки, возможные при вписывании какой-либо кривой, не оказывают влияния на достоверность расчетов последующих кривых.
С принципом «тангенциального трассирования» практически однозначно связано условие, что геодезические изыскания выполняются по «пикетному методу». Его суть заключается в следующем: при измерении линий теодолитного хода с помощью мерной ленты, на этой линии закрепляют, как правило, пикеты и характерные точки трассы (водоразделы, лога, пересечения с автомобильными дорогами и инженерными коммуникациями и др.). На каждом последующем отрезке ломаной пикетажное положение точек корректируется с учетом величины домера вписанной кривой. Далее перпендикулярно закрепленным точкам осуществляют съемку поперечных профилей на ширину полосы отвода. Таким образом, тангенциальный ход предопределяет очертания трассы и является основой для всех последующих геодезических работ. Естественно, что изменение или корректировка этой основы на этапе камеральных работ практически не возможна.
Отдельного рассмотрения требует процедура вписывания кривых в изломы тангенциального хода. Традиционная трасса, состоящая из прямых, круговых кривых, клотоид и отрезков клотоид, может содержать типы закруглений, представленные на рис. 1.7.
Случай (рис. 1.7, а), когда закругление представляет собой круговую кривую, является простейшим и применяется для дорог П-ой категории при R 2000 м и при R 2000 м для дорог 1-ой категории. Для расчета такого закругления при известном угле поворота (а) и радиусе кривой (R) необходимо вычислить значения тангенса, домера, длины кривой и биссектрисы [181].
Когда закругление представлено круговой кривой с переходными кривыми (рис. 1.7, б), расчет не так однозначен, как в первом случае. При равной длине входной и выходной клотоиды закругление является симметричным и необходимо рассчитать те же элементы закругления, что и в первом случае. Если длины входной и выходной клотоиды не равны между собой, то это случай несимметричного закругления. При его расчете уже отсутствует понятие биссектрисы закругления, что усложняет процесс закрепления и последующей разбивки такого закругления. В частном случае, если отсутствует круговая вставка между переходными кривыми, то такое закругление называется биклотоидой (симметричной или несимметричной).
Случаи коробовой клотоиды и комбинированного закругления (рис. 1.7, в и 1.7, г) являются универсальными и служат для подбора любых очертаний закругления. Мысленно можно представить также закругления с еще большим числом гладко состыкованных отрезков кривых, однако расчет таких закруглений представляет собой достаточно сложную аналитическую задачу. Основы решения для составных закруглений изложены в известных работах [132, 158], однако на практике реализация этих решений крайне затруднительна.
Статистический анализ трасс по материалам проектирования реконструкции автомобильных дорог
Статистический анализ трасс автомобильных дорог выполнен по материалам проектных контор (ПК) Томской и Кемеровской областей за 1990-1994 г.г. Поскольку ПК в тот период выполняли проекты реконструкции в 75% случаев на автомобильные дороги 4 категории, то исследования были выполнены именно для этой категории дорог, К анализу были приняты 10 проектов ПК «Кемеровавтодор» с общей протяженностью проектируемых дорог 76 км и 10 проектов ПК «Томскавтодор» - 79 км.
Томская область имеет площадь 316 тыс. км2. Рельеф - равнинный, преобладают плоские, сильно заболоченные территории с высотой над уровнем моря не более 200 м [59]. Сеть автомобильных дорог общего пользования - около 4.5 тыс. км.
Кемеровская область имеет площадь 95.5 тыс. км . Большая часть территории занята Кузнецкой котловиной, которая характеризуется плоскими формами рельефа. Крайний юг - обширная территория средневысотных гор Горной Шории. Сеть автомобильных дорог общего пользования - около 5.0 тыс. км. К анализу были приняты проекты северной и центральной зон области, поэтому можно считать, что анализировались проектные материалы для характерного рельефа Западной Сибири. По классификации ([183, с. 218) анализируемые проекты выполнены для территорий с рельефом 2-й и 3-й категорий сложности.
Целью статистического исследования было выявить наиболее типичные геометрические параметры автомобильных дорог в плане и продольном профиле, а также установить их соответствие нормативным требованиям и рекомендациям ландшафтного проектирования [17, 199, 219]. План трассы в анализируемых проектах выполнен по традиционной технологии ручного проектирования [22]. Закругления дорог описаны круговыми кривыми с переходными кривыми минимальной длины, нормированными в соответствии со СНиП 2.05.02-85 [199].
Для большей наглядности статистический материал представлен следующим образом: средние значения параметров трасс автомобильных дорог для обеих областей приведены в табличном виде; параметры трасс для каждой области в отдельности изображены в виде круговых и трехмерных столбиковых диаграмм.
Анализ трасс в плане показал следующее. Углы поворота трассы имеют значения в интервале от 010 до 107. Наиболее распространенны ми являются углы до 8 (25.7%) и от 8 до 20 (28.0%). При этом статистическое распределение углов поворота для Томской и Кемеровской областей расходится не существенно (рис. 2.1). Такое распределение, с большим количеством малых углов поворота, характерно именно для проектов реконструкции автомобильных дорог.
В малые углы поворота (до 8) вписаны круговые кривые радиусом от 600 до 20000 м, что, в основном, не соответствует требованиям ландшафтного проектирования [3]. Средние значения радиусов круговых кривых, вписанных в малые углы поворота, приведены в табл. 2.1 и на рис. 2.2.
В разд. 1 было отмечено, что углы поворота трассы менее 20 не позволяют вписывать переходные кривые. А это означает, в свою очередь, что в 40% случаев кривые с радиусом менее 2000 м в проектах реконструкции дорог были запроектированы без переходных кривых.
Кривые с малыми радиусами до 300м и 300 - 600 м составляют 48.3% от общего их количества (рис. 2.3). Доля кривых с радиусом более 2000 м, то есть проектируемых без переходных кривых, составляет 17.9%.
С позиции соответствия принципам ландшафтного проектирования большое значение имеет условие, чтобы радиусы смежных кривых различались не более чем в 1.3 раза (п. 4.33, [199]). Рассмотрение проектных материалов показало, что проектировщиками такое условие не ставилось и не выполнялось, поскольку в 66% случаев радиусы смежных кривых различались в 1.3 и более раз (рис. 2.5). В том числе, различие в величине радиусов смежных кривых в 3 и более раза встречается в 36% случаев. Соблюдение условия требуемого соотношения радиусов смежных кривых в оставшихся 34% случаев носит скорее случайный характер, чем характер осознанного действия. С позиции обеспечения движения с равномерной или плавно изменяющейся скоростью и, следовательно, обеспечения безопасности движения, этот факт является определенно настораживающим.
Длины криволинейных участков в 71.2% всех случаев не превышают величины 400 м (рис. 2.4). Распределение длин кривых в зависимости от величины радиуса приведено в табл. 2.2, а в зависимости от величины угла поворота закругления — в табл. 2.3.
Если учитывать, что минимальная длина переходной кривой для R=300 м составляет 90 м, а для проектирования закругления требуется устраивать 2 переходные кривые (общей длиной 180 м), то представляется парадоксальной средняя длина закругления 130 м в табл. 2.2. Объяснить это можно тем, что, во-первых, данный интервал представляет интервал кривых с радиусами 300 м и менее (!), а, во-вторых, тем, что в проектах встречались кривые с малыми радиусами без вписанных переходных кривых.
Средние длины кривых в зависимости от угла поворота (табл. 2.3) различаются не существенно и для углов менее 30 средние длины кривых практически одинаковы и составляют величину 300 м. В то же время разброс значений длин достаточно велик: среднеквадратическое отклонение составляет величину 170 м.
Обоснование целевых функций (критериев оптимальности) при трассировании дорог сплайнами
До сих пор, при обсуждении вопроса о применимости сплайнов для трассирования автомобильных дорог, чаще всего подразумевают интерполяционные сплайны. При этом, как правило, имеют в виду или естественные кубические сплайны [138], минимизирующие функционал js (x)2dx } или рациональные сплайны [82] с параметрами рі} q; регулирования их очертаниями на каждом і - м отрезке между узлами интерполяции І, І+1. «Слабым» местом в обосновании интерполяционных сплайнов как универсального математического аппарата при трассировании автомобильных дорог является допущение (условие), что узлы интерполяции назначены проектировщиком верно и при вычислении значений самого сплайна корректировке не подлежат. Проанализируем, как на практике назначают местоположение узлов?
Если трассирование выполняется на основе карты или топографического плана, то проводится эскизная линия дороги, которая, по мнению проектировщика, является наиболее целесообразной при заданных условиях, «от руки» или с помощью механических приспособлений. Далее на эскизной линии фиксируются узлы интерполяции и замеряются их координаты. При этом не существует строго формализованных алгоритмов назначения местоположения узлов, есть лишь ряд практических советов. В частности; частое расположение узлов приводит к осцилляции кривизны такого сплайна ввиду неизбежной погрешности съемки координат узлов интерполяции; редкое их расположение вызывает существенные отклонения сплайн-трассы от порождающей ее эскизной линии.
Если трассирование выполняется по материалам полевых изысканий, то узлами сплайн-интерполяции, в этом случае, являются съемочные точки цифровой модели местности и погрешность в установлении их координат еще более очевидна ввиду наличия ошибок случайного и систематического характера.
Хорошего приближения сплайн-трассы к эскизному варианту и, в то же время, достаточной ее гладкости (плавности) можно добиться, как правило, лишь при многократной интуитивной корректировке проектировщиком узлов интерполяции.
Отсюда следует, что интерполяционные сплайны не являются математическим аппаратом оптимального трассирования, а лишь удобным и во многих задачах чрезвычайно эффективным инструментарием компьютерной обработки эскизно назначенных проектных решений. Качество таких решений существенно зависит от квалификации проектировщика.
Из вышеприведенных рассуждений вытекает, что постановка задачи трассирования на основе сплайнов должна предполагать следующее: узлы интерполяции эскизной трассы, а в случае реконструкции - исходной трассы, назначаются приближенно (с допуском) и точное их местоположение вычисляется по определенным закономерностям, учитывающим ряд основополагающих целевых установок самого процесса трассирования. В математической терминологии эту задачу можно отнести к задачам генерации геометрических форм по их грубым (приближенным) описаниям [68].
Вариационные задачи на сплайнах решаются посредством минимизации функционала, который в максимальной степени учитывает физическую природу движения автомобиля вдоль оси трассы. Вышеприведенные экстремальные свойства прямой, круговой кривой и клотоиды позволяют выразить решение задачи отыскания оптимального проложения линии трассы автомобильной дороги на местности в виде решения задачи минимизации соответствующего функционала. Например, для случая минимизации по длине кривой это будет: min [" l + [f (x)]2dx среди всех функций Дх), проходящих через заданные точки Д=Дх\) на интервале [XQ, ха]. Ясно, что то же самое решение достигается для функционала \\f(S)\dS тт. (3.21) Введенная выше зависимость удовлетворяет математическому обобщению геометрического понятия расстояния. Расстояние характеризует положение точки в пространстве решений и играет роль некоторого количественного эталона, позволяющего сравнивать два результата решения технической задачи при переходе от одной группы значений варьируемых параметров к другой. Для того, чтобы удовлетворить этому требованию, результаты должны быть представлены в виде однозначной (как правило скалярной) функции соответствующих параметров. Такую функцию принимают в качестве меры «нежелательных» свойств или стоимости, которую нужно минимизировать, либо функцию рассматривают как меру «качества», которую нужно максимизировать. При этом минимизация или максимизация целевой функции должна быть выполнена при условии соблюдения определенных ограничений.
Процесс изменения параметров задачи, с помощью которых достигается максимально возможное приближение целевой функции к экстремальному значению (максимум/минимум) называется оптимизацией. Ответ на вопрос о том, оптимальна или не оптимальна какая-либо совокупность расчетных данных, в общем случае зависит от выбора критерия. Различные определения расстояния меняют характер задачи оптимизации. Поэтому, чтобы отразить особенности оптимальности в различных условиях, в различных задачах приходится применять различные определения расстояния.
Формирование продольных и поперечных профилей на основе математических моделей местности и трассы...
К сожалению, данные, получаемые при изысканиях автомобильных дорог, очень редко являются регулярными (нивелирование по квадратам). Как правило, это случай съемки по поперечникам или площадная тахеометрическая съемка (грунтовые карьеры, участки высоких насыпей или глубоких выемок).
Нерегулярные модели представляют собой произвольное («хаотическое») расположение точек. Нарушение условия регулярности существенно усложняет задачу. Простейший вариант сплайнов на непрямоугольном разбиении области соответствует пространству непрерывных кусочно-линейных поверхностей первого порядка Р. Куранта, которые допускают разрыв первой производной (триангуляционная модель). Реже триангуляционную модель преобразуют в поверхность более высокого порядка, добиваясь непрерывности первой производной по граням стыковки треугольников. Интерполяция поверхностью, склеенной из треугольных кусков (лоскутов) параметрически заданных многочленов третьей степени, в условиях хаотического расположения узлов исследовалась, например, в [262, 263].
При этом, чтобы избежать образования "клювиков" в точках интерполяции pj, требовалось задать в каждой точке р; вектор нормали к поверхности, то есть возникла задача эрмитовой интерполяции: построить гладкую поверхность, проходящую через точки pj, нормаль к которой в каждой точке р, была бы параллельна нормальному вектору.
В [295] был получен локальный метод решения этой задачи на основе конечных элементов четвертой степени с дополнительным расщеплением базовых треугольников в соответствии с процедурой Клафа-Точера, а в [277] - на основе кусков неявно заданных поверхностей второго порядка, усеченных плоскостями, с вклейкой между каждыми двумя треугольными кусками двух двухугольных заплат.
Г. А. Федотов [227] выделяет также статистическую (французскую) цифровую модель местности, которая занимает промежуточное положение между регулярными и нерегулярными моделями. В этой модели координаты произвольной точки вычисляются как функции координат ближайших N точек. Простота обработки таких моделей чревата сложностью построения изолиний и значительными вычислительными затратами. В частном случае, когда ближайшие точки берутся из соседних ячеек разбиения Дирихле-Вороного [174], выражение интерполяционного многочлена первой степени удается получить в явном виде [28].
В Инженерном дорожном центре «Индор» в 1993-94 г.г. были сделаны попытки преобразовать нерегулярные модели в регулярные с помощью статистических моделей. В результате экспериментов было выявлено, что при низкой плотности сетки 5-Ю м очертания земляного полотна в поперечном профиле сильно сглажены. Попытки увеличить плотность сетки узлов до 0.5-1 м приводят к появлению явных просадок поверхности между поперечниками либо к исчерпыванию ресурсов компьютера. Но наиболее важным аргументом для отказа от исследований в области перехода от нерегулярных к регулярным моделям послужил очевидный факт потери (съемочных) точек при математической обработке, что существенно сказывается на точности таких моделей.
Одним из возможных методов построения поверхности является эрмитова интерполяция параметрическими многочленами 2-й степени. Пусть на поверхности Q определена треугольная сеть, связывающая точки Pi так, что ни одна из точек не лежит на какой-либо стороне сети и в каждой ячейке сети с вершинами в точках р;, pj, pk введена барицентрическая система координат { ;, j, }k, причем j+ j+ k =1, О І, j, к 1- Если r=(x,y,z), a rj=(Xj,yj,Zj) для всех і, то объединение поверхностей pjjk(x,y,z), заданных параметрическими соотношениями вида г=гр( ь }, kHi i + ri j+rk ь (4.1)
формирует непрерывную локальную интерполяцию точек pj параметрическим сплайном первой степени, геометрически представляющим собой поверхность, составленную из треугольных кусков плоскостей. Ясно, что на стыках соседних кусков эта поверхность имеет изломы, то есть направление нормального вектора терпит разрывы. Для того, чтобы добиться гладкости интерполяции, необходимо повысить степень сплайна и учесть информацию о направлении векторов нормалей А;.
Общая запись параметрического многочлена второй степени, интерполирующего точки pj, pj и ріс, имеет вид %( І, к)=г,-( if+niif+rU k)2+2rJk j k+2rki k 2г5 І j. (4.2)
Здесь коэффициенты ijk содержат компоненты Xjk, yjk и так далее: всего девять неизвестных параметров. Шесть из них определяются условиями касания первого порядка поверхности pjjk(x,y,z) с поверхностью Q в точках интерполяции.
Варьирование трех оставшихся параметров приводит к поворотам краев полученного треугольного куска вокруг осей p;pj, p)pk и Pjpk.
Например, если для каждой внутренней стороны триангуляции полученные треугольные куски проходят через точку пересечения, одинаковую для двух соседних ячеек, то соседние поверхности pitk(x,y,z), Pjii(x,y,z) состыковываются в непрерывную сплайновую поверхность [248].
Что касается визуальной гладкости параметрических сплайнов, то, как известно [241], понятие визуальной гладкости состоит в том, что координаты нормального вектора зависят непрерывно от точки поверхности. Стандартное требование дифференциальной гладкости всех трех координат точек поверхности по параметрам избыточно для этого геометрического условия.
