Содержание к диссертации
Введение
CLASS Глава 1. Обзор и анализ нормативно-методической научно-исследовательской литератур CLASS ы 4
1.1. Геометрические нормы проектирования трасс и их физическая интерпретация 4
1.2. Математический аппарат трассирования 16
1.3. Методы трассирования 28
1.4. Аспекты автоматизированного трассирования 35
1.5. Эмпирические правила согласования трассы в плане и продольном профиле 49
1.6. Цель и задачи исследования 60
Глава 2. Математическое и программное моделирование пространственной кривой Безье 62
2.1. Кривые Безье как универсальный аппарат трассирования автомобильных дорог... 62
2.2. Математический аппарат и алгоритмы построения кривых Безье
2.3. Программная реализация кривых Безье 76
2.4. Моделирование 2D кривых Безье 89
2.5. Кривые Безье в пространстве: 3D - моделирование 105
Глава 3. Сущность пространственного трассирования и пространственные дифференциальные характеристики 118
3.1. Аппроксимация традиционных элементов трассирования 126
3.2. Моделирование плоских кривых в пространстве 139
3.3. Моделирование визуально совершенных трасс 147
Глава 4. Внедрение методики пространственного трассирования оптически ясных трасс автомобильных дорог в САПР INDORCAD/ROAD 175
4.1. Структура САПР АД IndorCAD/Road в части трассирования плана и продольного профиля 175
4.2. Математическое выражение пространственного полигона трассы автомобильной дороги 183
4.3. Алгоритм и программная реализация метода проектирования пространственных трасс автомобильных дорог в САПР IndorCAD/Road 187
Общие выводы по диссертации 199
Литература 200
Приложение
- Математический аппарат трассирования
- Математический аппарат и алгоритмы построения кривых Безье
- Моделирование плоских кривых в пространстве
- Математическое выражение пространственного полигона трассы автомобильной дороги
Введение к работе
С позиции системного подхода процесс проектирования автомобильных дорог осуществляется по блочно-иерархическому принципу. И первый блок проектных задач, который, во многом, предопределяет потребительские качества будущей дороги, это - блок трассирования автомобильных дорог в плане и продольном профиле.
Независимо от стадии проектирования (обоснование инвестиций, инженерный проект, рабочая документация) и вида дорожных проектных работ (строительство, реконструкция, ремонт) процесс трассирования создает основные предпосылки к тому, чтобы проектируемая дорога обеспечивала возможность интенсивных перевозок грузов с высокими скоростями при минимальных затратах, была безопасной и комфортной как для водителей, так и пассажиров.
Для того, чтобы процесс трассирования совершенствовался и реализо-вывал вышеперечисленные условия, необходимо:
понимание и учет условий функционирования системы «водитель - автомобиль - дорога - окружающая среда»;
знание и понимание современной нормативной базы, технологий и методов проектирования;
исследование и применение вычислительных и инструментальных возможностей прикладной математики и компьютерной техники.
Проф. В.Ф. Бабков писал: «...Нельзя забывать, что выбранная трасса закрепляет положение дороги и влияет на развитие прилегающей к ней территории на многие годы... Ошибку при строительстве дороги можно исправить в процессе ремонтов. Изменить неудачно выбранную трассу значительно труднее, а иногда и вообще невозможно, так как придорожная полоса быстро осваивается и застраивается».
Существующие принципы и методы трассирования дорог, заложенные Г.Д. Дубелиром, В.Ф. Бабковым, М.С. Замахаевым, В.И. Ксенодоховым, К.А. Хавкиным и развитые в работах М.А. Григорьева, В.А. Федотова, В.Н. Бой-
4 кова, A.M. Кулижникова, Г.В. Величко, В.Ю. Голубина, Ю.А. Фортуны, Г.А. Федотова, основаны на применении математического аппарата плоских кривых (прямые, круговые кривые, клотоиды, квадратные и кубические параболы и др.) и неизбежно выполняются в два этапа: трасса в плане, трасса в продольном профиле. Получаемые при этом пространственные кривые (трассы) не всегда отвечают требованиям ландшафтного проектирования и, в первую очередь, в отношении зрительной плавности и ясности.
Существуют множество рекомендаций по согласованию элементов плана и продольного профиля, изложенные в работах В.Ф. Бабкова, П.Я. Дзениса, Ю.Я. Науджуна, Е.М. Лобанова [8, 55, 74, 80], учет которых приводит к фрагментарному зрительному совершенству трасс. Однако эти рекомендации не могут быть последовательно и эффективно формализованы в рамках методов автоматизированного трассирования в современных системах автоматизированного проектирования автомобильных дорог (САПР АД).
Качественно новым представляется подход к трассированию дорог посредством пространственных кривых, который открывает широкие возможности, как для оптимизации положения трасс, так и для совершенствования их зрительной плавности и ясности. Наиболее подходящими математическими функциями для реализации методов пространственного трассирования являются параметрические сплайны самой различной природы и кривые Бе-зье.
Математический аппарат трассирования
Основными элементами трассирования в плане являются прямая, отрезок дуги и клотоида. Приведем математическое описание каждой из этих функций [2, 87]. Уравнение прямой на плоскости математически записывается (рис. 1.3) Дх) = ах + Ь (1.8) Функция, описывающая прямую линию, является функцией первого порядка. Номер порядка определяется максимальной степенью уравнения. В трассировании прямая линия наиболее удобный геометрический элемент. Однако не всегда прямая линия в плане описана прямой в профиле (рис. 1.1, б). Что наводит на мысль рассмотрения прямой в пространстве и плоской в пространстве вертикальной кривой. Круговая кривая определяется уравнением второго порядка (рис. 1.3) окружностью: х2+у2=1 (1.9) или в параметрическом виде: x = cos/,.y = sin/,(0 f 27u). (1.10) Рис. 1.3. Модель окружности Такая математическая функция справедлива только в том случае, если участок дороги с круговой кривой в плане имеет: либо абсолютное горизонтальное проложение, либо дуга образована наклонным сечением идеального цилиндра. Иначе формула 1.10, описывающая кривую, обладающую кривизной в профиле, не будет описана дугой, а будет моделироваться более сложной пространственной кривой. Поэтому утверждение того, что трасса образует отрезок окружности справедливо только в частном случае.
Нормы проектирования и в России и за рубежом регламентируют обязательную вставку круговой кривой, которая может быть задана либо длиной, либо временем движения по ней [4,109, 123].
Между круговой кривой (при радиусе менее 2000 м) и прямой устраивают переходную кривую. При проектировании переходной кривой учитывают: скорость нарастания центробежного ускорения, в соответствии, с чем определяют минимально допустимую длину переходной кривой удобство управления автомобилем по кривой, то есть плавность и оптическую ясность. В ходе исследования методик проектирования переходных кривых можно сделать вывод, что условия, при которых осуществляется трассирование, влияют на вид переходной кривой. Если радиус на закруглениях как элемент присутствует практически всегда (при традиционном трассирова 18 ний), то переходная кривая может изменять свое математическое выражение либо отсутствовать вообще. До сих пор нет универсальной методики и технологии трассирования, которая применялась бы в различных условиях: дорога с незначительными ограничениями в плане и профиле, серпантина, участки трассы стесненные в плане и в профиле за счет застройки и сложных грунтово-геологических условий, съезды транспортных развязок и др.
Кроме множества методик трассирования в различных условиях плановой стесненности нет и однозначного подхода к проектированию профиля трассы. Этот недостаток не дает возможности задать единые пространственные характеристики и исполнить нормативные требования, а, значит, вводит в заблуждение проектировщика.
Классификация по переходным кривым в зависимости от задач и ограничений при моделировании трассы может иметь вид:
1. Большие радиусы ( 2000 м): в соответствии со СНиП 2.05.02-85 трассирование таких кривых осуществляется без переходной, однако нормы ландшафтного проектирования требуют устраивать переходные кривые при R 3000 м.
2. Среднемалые радиусы (1000-2000 м): при отсутствии ограничений идеален подход "клотоида - дуга - клотоида".
3. Малые радиусы (400-1000 м) и наличие ограничений с обеспечением переменной скорости движения: дополнительно со схемой клотоида - дуга -клотоида используются другие виды кривых, в т.ч. дуги эллипса, кубические параболы, гиперболы, кривые ПЕРС.
4. Сверхмалые радиусы ( 1000 м) и многочисленные ограничения, переменная скорость движения, городские условия: применение как традиционного трассирования клотоида - дуга - клотоида так и комбинированные сплайны и сплайновые кривые. В п.п. 3 и 4 отмечено перекрытие радиусов вследствие возможности применения математических функций из п. 4 в п. 3 и наоборот.
Также используется спираль Корню, обычно называемая радиоидаль-ной спиралью (клотоида), Лемниската Бернулли, параболы третьей и четвертой степеней. Возможно применять синусоиду, кривую Шрама. Несмотря на преимущества кривых при различных условиях трассирования СНиП 2.05.02 - 85 регламентирует в качестве переходной кривой клотоиду, вследствие тождественности уравнения клотоиды и физической сущности переходной кривой. Использование клотоиды обусловлено и тем фактом, что для нее существуют таблицы разбивки. Все остальные математические кривые существуют, но не применяются так широко в трассировании (хотя глубоко изучены), за счет формального следования СНиП. По модернизации СНиП [100] в этой области можно отметить труды Лобанова Е.М. и Поспелова П.И. [76]
В действительности же перечисленные выше кривые незначительно улучшают условия движения, а лишь усложняют расчет и разбивку их на местности. Использование простых функций можно объяснить и с точки зрения физики управления водителем автомобиля.
При движении автомобиля, когда водитель имеет возможность изменения угловой скорости поворачивающих колес с любым (на его взгляд правильным) ускорением приводит к несоблюдению траектории переходной кривой. Поэтому в практике проектирования наибольшее распространение получили клотоида (радиоидальная спираль), лемниската и кубическая парабола.
Математический аппарат и алгоритмы построения кривых Безье
Эффективность использования математического аппарата можно косвенно определить из удобства алгоритмизации и организации диалога «инженер - компьютер». Если инструмент трассирования удобен в процессе работы, то проектировщик будет использовать его, тем самым, экономя время труда. За основной показатель эффективности использования сплайна можно принять возможность получения традиционных элементов трасс за меньший промежуток времени.
Ранее нами рассматривались сплайны, проходящие через некоторое множество точек. Во многих случаях их использование дает прекрасные результаты, особенно в описании формы, основа которой получена с помощью экспериментов, математических расчетов, изысканий. Однако рассмотренные выше методы, в частности кубические сплайны, неудобны для интерактивной работы. Направление и величина касательных не дают необходимого интуитивного представления о кривой, так как неочевидна связь между набором чисел и формой соответствующей кривой.
Для математического описания трассы автомобильной дороги рассмотрим подмножество параметрических сплайнов - кривые Безье. Кривые Безье были разработаны в 60-х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье (Bezier) из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Кастелье (de Casteljau) из компании «Ситроен», где применялись для проектирования кузовов автомобилей. Они подобрали составляющие параметрического кубического многочлена таким образом, что их физический смысл стал очень наглядным (в том числе и для целей проектирования дорог по принципу «тангенциального трассирования»). В настоящее время это открытие стало одним из важнейших инструментов систем автоматизированного проектирования и программ компьютерной графики.
Подробно применение плоских кривых Безье при трассировании автомобильных дорог рассмотрено в работе В.Н. Бойкова [25]. Он отмечает, что наиболее эффективно применять кривые Безье 3 и 5 порядков. Так как они наиболее полно описывают все возможные конфигурации кривых на трассах автомобильных дорог. Вообще в практике алгоритмизации математического аппарата Безье в системах САПР используют только 3 порядок кривой. Однако как станет видно далее, такая кривая не имеет возможности моделировать трассу с двумя центрами кривизны (например, съезды с транспортных развязок, серпантины).
Очень важно подчеркнуть, что рациональная кривая Безье проективно-инвариантна, в отличие от стандартной кривой Безье, которая инвариантна лишь относительно аффинного преобразования. Далее, поведение рациональной кривой Безье определяется не только массивом вершин, но и набо 72 ром свободных параметров - весов wt; при заданном наборе вершин формой рациональной кривой Безье можно управлять, меняя весовые коэффициенты.
Полученные формулы позволяют производить стыковку составных рациональных кривых Безье, добиваясь подбором весов непрерывного изменения вектора касательной и вектора кривизны вдоль составной кривой. Либо, например, удовлетворить заданным значениям кривизны на обоих концах сегмента кривой Безье, что позволяет применять рациональные кривые Безье в качестве универсального сопрягающего элемента, обеспечивающего неразрывность кривизны в точках сопряжения. Выше, в рассуждениях о Безье-кривых и сплайнах понималось плоское расположение опорных точек трассы и, соответственно, рассматривалось представление только плоских кривых. В общем случае, трехмерное векторное представление точки на трассе сплайнами относительно осей X, Y и Z имеет аналогичный вид.
Традиционно проектирование трассы автомобильной дороги осуществляется в двух проекциях плана и продольного профиля. Качество их сочетания оценивается построением перспективного изображения, посредствам центральной проекции [25-33, 54, 55, 80].
Все чаще для визуального анализа проектного решения формируют пространственную модель трассы. Однако методика остается прежней, сначала формируется модель, а затем исправляются проектные ошибки. Решение этой задачи возможно при получении такой модели пространственной кривой, которая позволит трассировать именно в пространстве, но и в тоже время не будет вступать в противоречие с существующими требованиями, методикой и терминологией, а будет их дополнять. С использованием пространственного описания появится возможность определения численных характеристик трасс через сопоставление большого числа эмпирических показателей. Вследствие сложности математического аппарата и невозможности использования таких технологий при «ручном» проектировании, использование пространственного трассирования должно базироваться на программном описании и возможностях графического моделирования.
Важным этапом при изучении вопроса пространственного трассирования является оценка существующих программ позволяющих моделировать элементы трассы с помощью кривых Безье [61].
Программы, используемые в проектировании инженерных объектов, называются системами для расчета геометрических, прочностных и др. характеристик, сокращенно САПР. Они могут быть ориентированы для различных отраслей промышленности. Например САПР системы для проектирования газа-, нефтепроводов, кораблестроения, авиастроения и т.д. Существуют и системы проектирования автомобильных дорог (САПР АД).
Моделирование плоских кривых в пространстве
Вопрос рационального сочетания кривых был впервые установлен Ф.Геллером (1938). Им замечено, что плавность дороги нарушается при несогласованных величинах элементов плана и продольного профиля.
Если для ландшафтного проектирования это условие может быть достаточным, то в случае пространственного проектирования мало знать, что трасса является не плавной и имеет какие то искажения. Но и нужно знать, как эти искажения исправить по средствам тех или иных параметров, которые позволили бы нам в следующий момент не сделать аналогичной ошибки в проекте. Это осуществимо только с использованием принципов пространственного трассирования.
На самом деле сложно представить себе пространственное сочетание кривых построенных по двум разным функциям, а тем более имеющим разные переменные. И конечно при интерпретации таких кривых в пространственный вид не может идти речь об их плавности.
Даже если представить полигональный ход трассы имеющей несколько углов поворота в плане и в профиле, то такая комбинация представляет собой ряд плоскостей, лежащих под определенным углом друг к другу. И полигон, располагающийся в плане, не связан с полигоном в профиле (рис. 3.21).
Нормативные требования к параметрам проектируемых трасс (по действующему СНиП 2.05.02-85) сводятся, в основном, на ограничения по радиусам горизонтальных и вертикальных кривых. А также - на ограничения длин переходных кривых в плане и предельных уклонов в продольном профиле. Однако здесь же приведен раздел ландшафтного проектирования, который содержит рекомендации по трассированию плана и продольного профиля. Так, например, п. 4.30 [100] декларирует, что «... трассу дороги следует проектировать как плавную линию в пространстве со взаимной увязкой элементов плана, продольного и поперечного профилей между собой и с окружающим ландшафтом, с оценкой их влияния на условия движения и зрительного восприятия дороги». Однако эта декларация мало что поясняет. Развернутые сведения изложены в ВСН 18-85 по ландшафтному проектированию дорог [109]. Однако наиболее полно требования к пространственному трассированию дорог изложены в немецких нормах проектирования трасс RAS-L. Благодаря работам ряда исследователей [8, 54-56]было выработано эмпириче ское правило, при выполнении которого трасса автомобильной дороги получается оптически ясной. Оптически ясной трассой считается та, которая образует на участке кривой контур плоского сечения цилиндра (рис. 3.22) или другими словами при условии, когда касательные к началу и концу кривой пересекаются. Иначе кривая называется пространственной.
Наиболее простое получения оптически ясной трассы - это моделирование плоской кривой. При традиционном трассировании в плане подразумевается случай плоской кривой. И только на этапе проектировании профиля за счет вписывания кривых суммарная кривая преобразуется в пространственную кривую. Сочетание кривых как уже говорилось должно осуществляться в зависимости от существующих норм и правил ландшафтного проектирования.
Основной недостаток принципа «полигонального трассирования» состоит в том, что магистральный ход, укладываемый сообразно рельефу и ситуации, во многом определяет положение самой трассы автомобильной дороги в плане. Это обстоятельство почти всегда определяет негибкую пространственную линию автомобильной дороги, которая, в частности, характеризуется наличием длинных прямых и коротких круговых кривых минимального радиуса, наличием закруглений за переломами продольного профиля, повышенными объемами земляных работ, повышенной аварийностью и т.д.
Исследуем возможность применения пространственных кривых Безье для трассирования оптически ясных закруглений на автомобильных дорогах. Основными недостатками при получении оптически ясных трасс с использованием традиционной методики является: несоответствие длин в плане и профиле; вершины полигонального хода, начала и концы кривых в плане и профиле не совпадают; следствием несовпадения (при ландшафтном проектировании) является необходимость при плановом изменении кривой изменять положение профильной кривой и наоборот; при локальном изменении для одного из полигонов хода плана и профиля сложно получить плавный переход на последующие полигоны без разрыва кривизны и возрастания центробежного ускорения;
При угле наклона сечения более 3 график иллюстрирует относительное постоянство зависимости Rnmilu и Япрофи;ія- Менее 3 отношение плана и профиля значительно изменяется и например при Rnnaua=800 м. и угле наклона 1о,Кпрофипя=15000м.
При этих сочетаниях базиса пространственной кривой (существующей трассы) будет обеспечиваться условие плоской кривой в пространстве.
Во всех остальных случаях кривая будет иметь вид винтовой кривой и соответственно её плавность, будет зависеть от величины кручения. Моделирование плоской кривой в пространстве с помощью модели Безье осуществляется на основе численной характеристики графика кручения; когда кручение 000 00" или изменяется незначительно до 30" то такая трасса считается плоской в пространстве; и визуального ограничения, когда трасса лежит в плоскости ZY и имеет проекцию в форме отрезка прямой.
Итак, достижение удачных соотношений между несколькими элементами трассы, лежащих в разных плоскостях (при традиционной методике), и кручение (при пространственном трассировании кривыми Безье), являются единственным условием, обеспечивающим плавность участка в пределах обозрения (оптическая ясность).
При движении по кривой водитель оценивает закругление в картинной плоскости, которая постоянно перемещается по пространственной трассе, а его зрительный аппарат определяет именно пространственно-угловую характеристику кривой (в совокупности с уклоном проектной линии, радиусами кривых в плане и профиле, шириной проезжей части, интенсивностью и скоростью движения и т.д.). При этом оценка кривой, по наблюдениям Е.М. Лобанова, на закруглениях любого радиуса происходит, в среднем, на расстоянии 300 м. А сам режим движения изменяется на длине от 100 до 50 м. Наибольшая кривизна в перспективе, которая принимается водителем, как допускающая проезд впереди лежащей кривой с расчетной скоростью, та, которая плавно и постепенно изменяет свою пространственную кривизну (имеется ввиду кривизна в картинной плоскости) и не имеет экстремумов на подходах к кривой [74].
Математическое выражение пространственного полигона трассы автомобильной дороги
Традиционный принцип трассирования дорог, который принято называть принципом «полигонального трассирования» до сих пор является доминирующим в практике проектирования. Суть этого метода заключается в том, что назначается полигональный ход (тангенциальный ход) и в каждый излом этого хода последовательно вписываются закругления. При этом точка начала кривой, вершина и точка конца кривой формируют полигон. До сих пор полигон рассматривается лишь в плане, в профиле такое понятие отсутствует (так как выноска профиля осуществляется не по параметрам кривой, а по набору высотных отметок ряда).
Если рассматривать полигон в пространстве, то отрезки прямых, в начале и конце (векторы направления проектной линии в пространстве), а также в вершине (точка пересечения пространственных векторов) будут формировать плоскость, тем самым полигон будет являться плоскостью при условии если: имеются три точки, не лежащие на одной прямой (точка начала кривой вершина и точка конца кривой); имеются две пересекающиеся прямые (два тангенса);
Каждый из перечисленных способов задания плоскости простейшими геометрическими построениями может быть преобразован в любой другой. Рассмотрим случай построение плоскости по трем точкам не лежащим на одной прямой. Пусть плоскость а образована начальной точкой (начало кривой), точкой пересечения профильной и фронтальной плоскостей (вершина угла), конечной точкой (конец кривой) (рис. 4.11) 1 -2 , 6 -5 .
В ходе экспериментального проектирования метод позволил качественно изменить процесс проектирования. Появилась возможность: получать плавные, оптически ясные очертания трасс, с помощью пространственной характеристики из курса дифференциальной геометрии; отказаться от рубленых пикетов (в интерактивном режиме возможно изменять плановое положение трассы. В связи с этим удлиняется или укорачивается проекция продольного профиля и проектная линия как бы раздвигается в разные стороны); измерять пространственную длину трассы, производить пространственную разбивку.
Выбрав методику пространственного трассирования кривыми Безье, полигональный ход будет управляться как стандартными возможностями создания и редактирования трассы вручную, так и с помощью специального инструментария.
Как и при традиционной методике, после проложения в плане ломаной, в вершины полигонального хода должны вписываться кривые. Разбивка становится понятием динамическим и осуществляется сразу после завершения проложения ломаной или ее редактирования (рис. 4.13,4.14).
Алгоритм трассирования может обеспечивать использование прямых, тогда трасса будет состоять из двух принципиальных геометрических элементов, пространственной кривой Безье и пространственной прямой (такая схема напоминает традиционную методику). Если выбрана схема проектирования плана без прямых вставок, то граничный узел полигона
Указания по ландшафтному проектированию рекомендуют не допускать размещение кривой в плане на прямой линии в продольном профиле вблизи от вертикальной кривой в профиле. Кроме того, из условий ланд 190 шафтного проектирования вершины кривых не должны смещаться друг относительно друга более чем на Ул длины меньшей из них.
Такое сочетание характерно для раздельного метода трассирования, когда профиль проектируется на последующем этапе после проектирования плана. Общая касательная смежных кривых в узле 6 При пространственном трассирование кривыми Безье может получиться всего два случая: когда смоделирована кривая оптически ясная и плавная из условия эмпирического правила полученного П.Я. Дзенисом «...оптически ясной трассой считается та, которая образует на участке кривой плоское сечение цилиндра...», кривая называется плоской (рис 4.17); когда смоделирована пространственная кривая, но граничное условие общей касательной, обеспечивает визуальную ясность и плавность двух смежных кривых.
При ручном редактировании первым этапом идет редактирование вершин. При этом режиме возможно изменять Z- отметку вершины угла или #(тр). Тем самым меняется угол наклона плоскости полигона, а следовательно, меняются отметки лежащих на ней остальных структурных узлов (рис. 4.19). Для их размещения в профиле необходимо динамически вычислить Z-отметки.
Вторым этапом возможность получения любых очертаний трасс, в том числе серпантин и рамп транспортных развязок.
В этом случае редактирование осуществляется для плановых узлов 3 и 4 (рис. 4.19), которые позволяют получать любые очертания трасс. Высотная отметка берется исключительно из плоскости а (построенной на предыдущем этапе), тем самым в профиле не нарушается условие плоскости. При необходимости редактирования конфигурации кривой в профиле можно при условии отступления от плоского сечения оперировать узлами 3 и 4, изменяя их Z - отметку. Однако при последующим плановом изменении вершины угла Z - отметка берется исключительно из профиля и мы откатываемся обратно на уровень плоского сечения. Если необходимо откорректировать положение вершины в плане, то Z - отметка берется из текущего положения вершины на цифровой модели местности. Таким образом, вершина угла, начало и конец трассы всегда лежат на поверхности земли (рис. 4.19,4.20).
