Содержание к диссертации
Введение
1 Колебательные структуры в ансамблях осцилляторов с одноямным потенциалом. Дискретные бризеры 16
1.1 Дискретные бризеры как точные решения 16
1.1.1 Понятие дискретных бризеров. Существование дискретных бризеров 16
1.1.2 Количественные характеристики дискретных бризеров 19
1.2 Модуляционная неустойчивость как физический механизм формирования дискретных бризеров 22
1.2.1 Дискретные бризеры в модели Клейна-Гордона . 22
1.2.2 Дискретные бризеры и ротобризеры в модели Такено-Пейрара 30
2 Колебательные структуры в пространстве нормальных мод. д-бризеры 41
2.1 Модель Ферми-Паста-Улама и g-бризеры 41
2.1.1 Модель Ферми-Паста-Улама 41
2.1.2 Проблема Ферми-Паста-Улама 43
2.1.3 Понятие бризера 45
2.1.4 Непрерывное продолжение одномодовых орбит. Существование #-бризеров 46
2.2 Свойства симметрии д-бризеров 51
2.2.1 Обратимость во времени 52
2.2.2 Пространственная четность 53
2.2.3 Масштабная инвариантность 55
2.3 Численные методы построения g-бризеров 58
2.3.1 Структура метода 58
2.3.2 Выбор секущей и подмногообразия поиска 61
2.3.3 Методы с секущей по импульсу в прямом и модовом пространстве 62
2.4 Локализация g-бризеров в пространстве мод 64
2.4.1 g-бризеры в низкочастотной области спектра . 64
2.4.2 g-бризеры в высокочастотной области спектра . 70
2.5 Устойчивость g-бризеров 73
2.6 Масштабно-инвариантные свойства g-бризеров 80
3 Стационарные структуры в ансамблях диссипативных ос цилляторов с двухъямным потенциалом 94
3.1 Сети бистабильных элементов с кусочной нелинейностью . 94
3.1.1 Структурообразование и обработка изображений . 94
3.1.2 Состояния равновесия 97
3.2 Структурообразование в обобщенных моделях сетей биста бильных элементов 100
3.2.1 Решетки со слабонеидентичными нелинейностями 100
3.2.2 Решетки со спадающей нелинейностью 106
3.3 Сравнение процессов установления структур в решетках с кусочно-линейной и спадающей нелинеиностями 109
3.3.1 Системы без инерционности 109
3.3.2 Системы с инерционностью 118
Выводы 120
Рисунки к главе 3 122
Основные результаты 129
Список литературы 132
- Модуляционная неустойчивость как физический механизм формирования дискретных бризеров
- Свойства симметрии д-бризеров
- Устойчивость g-бризеров
- Структурообразование в обобщенных моделях сетей биста бильных элементов
Введение к работе
Актуальность темы работы
Объектом исследования в данной работе являются решетки связанных элементов, каждый из которых описывается нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением. Известен широкий круг динамических режимов и эффектов, которые могут проявляться в решеточных системах: структурообразование, автоволны, синхронизация колебаний, хаос. Данная работа посвящена исследованию различных режимов динамики, которые характеризуются пространственной локализацией, то есть, отсутствием распространения возмущения по решетке в виде волны. А именно, рассматриваются локализованные периодические колебательные решения в решетках нелинейных консервативных осцилляторов; периодические решения, локализованные в пространстве мод решеточных систем; стационарные структуры в решетках диссипатив-ных бистабильных элементов.
Интерес к нелинейным решеточным моделям обусловлен большим разнообразием реальных систем, описываемых этими моделями. В качестве примера таких систем можно привести кристаллические решетки [1, 2, 3], антиферромагнитные материалы [7], биологические ткани, а также многие искусственные системы, имеющие решеточную структуру: решетки связанных волноводов [4], микромеханических осцилляторов [5], джозефсоновских контактов [6], специальные электронные схемы [8, 9],
энергосети.
Кроме того, такие модели представляют интерес с точки зрения фундаментальных проблем статистической физики — проблем описания процессов переноса энергии и установления теплового равновесия в системах из большого числа частиц на микроскопическом уровне исходя непосредственно из уравнений движения.
В рамках проблемы переноса энергии в решеточных системах представляют интерес долгоживущие колебательные возбуждения, локализованные в пространстве — дискретные бризеры, впервые обнаруженные численно в работах [14, 15, 16]. Строгое доказательство существования периодических (а значит, имеющих бесконечное время жизни) локализованных решений было получено в работе [17]. Дискретные бризеры характеризуются экспоненциальным спаданием амплитуды колебаний с удалением от центральной частицы, совершающей колебания с максимальной амплитудой.
В отличие от известных ранее бризеров в системах с непрерывной пространственной координатой (в частности, в уравнении синус-Гордона [18, 19]), которые теряют локализацию при малом изменении уравнений движения [20, 21, 22], дискретные бризеры существуют в гамиль-тоновых решеточных системах весьма общего вида [17]. В этом смысле дискретные бризеры не являются «редкими» математическими объектами. Кроме того, была показана устойчивость таких решений в линейном приближении 1 для некоторых систем в широком диапазоне параметров [23].
Однако, множество дискретных бризеров как точных периодических решений в фазовом пространстве решеточной системы имеет меру нуль,
Цто означает лишь отсутствие экспоненциального нарастания малых отклонений от решения и не означает, вообще говоря, орбитальной устойчивости или устойчивости по Ляпунову
что означает нулевую вероятность реализации такого точного периодического решения в физической системе. Поэтому говорят также о дискретных бризерах в «физическом смысле» как о решениях, характеризующихся пространственной локализацией энергии, имеющей, в отличие от точных периодических решений, конечное время жизни.
Одним из возможных физических механизмов генерации таких локализованных возбуждений является модуляционная неустойчивость бегущей волны [24, 25, 26]. Действие этого механизма было подтверждено в эксперименте с одномерными антиферромагнетиками [7].
В то же время, в литературе отсутствует систематическое исследование данного механизма. В частности, открыты вопросы о влиянии энергии исходной волны на процесс генерации дискретных бризеров, об эволюции систем на больших временах после формирования дискретных бризеров, о действии модуляционной неустойчивости в решетках размерности выше единицы. В диссертации (см. moic. [27]) эти вопросы исследуются на примере одномерных и двумерных решеток линейно-связанных нелинейных осцилляторов (дискретный аналог модели Клейна-Гордона).
В системах с периодическим потенциалом, где каждая координата определена по модулю 27Г и имеет смысл фазы, помимо колебательных дискретных бризеров, возможны также локализованные вращательные решения — ротобризеры [28]. Системы такого типа исследуются, например, при моделировании динамики ансамблей связанных джозефсонов-ских контактов, круговых маятников, электрогенераторов включенных в общую энергосеть.
В ротобризерном решении одна из фаз неограниченно нарастает со временем (элемент совершает вращение), а остальные колеблются с амплитудами, спадающими при удалении от вращающегося элемента. Та-
кие решения были впервые численно получены заданием специальных начальных условий (на одном из элементов задается начальная скорость достаточно большой величины), а также при моделировании системы в равновесии с термостатом [28]. Существование таких решений было строго доказано в работе [29].
Вопрос о генерации ротобризеров из бегуш,ей волны вследствие модуляционной неустойчивости остается открытым. Кроме того, представляет значительный интерес (в том числе, с точки зрения приложений) вопрос о возможности управления этим процессом с помощью внешнего воздействия. Эти вопросы исследуются в диссертации на примере одномерных консервативных и диссипативных цепочек с косинусоидальиыми потенциалами парциального осциллятора и взаимодействия (модель Такено-Пейрара [28]).
Проблеме моделирования процесса установления теплового равновесия непосредственно на основе уравнений движения был посвящен первый в истории численный эксперимент на решеточной модели — работа Э. Ферми, Дж. Паста и С. Улама (ФПУ) [30]. В работе ФПУ был продемонстрирован эффект локализации энергии в пространстве мод нелинейной системы, а также квазирегулярный характер динамики системы (возвращаемостъ траектории в окрестность начальных условий на временах, существенно меньших ожидаемого масштаба времени возвращения Пуанкаре). Эти результаты составляют основу классической проблемы ФПУ.
Со времени опубликования работы [30] были получены теоретические результаты, которые позволили качественно и количественно объяснить многие аспекты проблемы ФПУ.
Так, КАМ-теорема [31, 32, 33, 34] (А.Н. Колмогоров, В.И. Арнольд, J. Moser) утверждает о сохранении инвариантных торов (квазипериоди-
ческих движений) в системах, близких к интегрируемым, в некотором интервале значений параметра возмущения при определенных условиях. Заметим, однако, что эта теорема неприменима напрямую к системе ФПУ (не выполняется требование анизохронизма в невозмущенной системе).
В работе [35] в рамках непрерывного приближения (уравнение Корте-вега - де Фриса) было получено решение в виде набора солитонов, что дало оценку времени возвращений, хорошо согласующуюся с результатом численного расчета ФПУ. Однако, факт локализации энергии в низших модах принимается как постулат при переходе к непрерывному пределу, а значит, в рамках данного приближения не объясняется.
В работе [36] было указано на связь равнораспределения энергии с явлением динамического хаоса и обнаружено характерное значение энергии системы, от соотношения с которым зависит скорость процесса равнораспределения энергии («порог равнораспределения»). Была также получена первая аналитическая оценка этого порога на основе критерия перекрытия нелинейных резонансов [38]. Позже были получены другие аналитические [40, 41] и численные [42, 45, 47] оценки характерных пороговых значений энергии, в том числе, порог «слабого хаоса» - хаотического режима, в котором, однако, сохраняется локализация энергии в пространстве мод на больших временах [40].
Вышеперечисленные работы по проблеме ФПУ посвящены исследованию сложных непериодических и хаотических решений. В силу сложности этих режимов, в частности, наличия экспоненциально больших временных масштабов [49], проблема локализации энергии в пространстве мод решеточных систем до настоящего времени полностью не решена (см., например, обзоры [50, 51], специальный выпуск журнала CHAOS [52]).
В то же время, как показывает практика исследования дискретных бризеров и локализации энергии в нелинейных решетках, свойства сложных режимов, характеризующихся локализацией энергии на больших временах, могут в значительной степени быть поняты и описаны с помощью исследования имеющихся в фазовом пространстве периодических орбит, которые характеризуются локализацией энергии на бесконечных временах. При этом периодические решения допускают практически исчерпывающее исследование с помощью существующих методов нелинейной динамики (в частности, метода секущей Пуанкаре, асимптотических методов).
Оказывается, аналогичный подход может быть применен к исследованию проблемы локализации энергии в пространстве нормальных мод. Как следует из теоремы, доказанной A.M. Ляпуновым [53], в окрестности состояния равновесия системы ФПУ из N частиц для достаточно малых энергий существует N периодических орбит, в линейном пределе переходящих в одиомодовые решения. В силу аналогии с дискретными бризерами (периодичность во времени, экспоненциальная локализация), такие орбиты были названы q-бризерами (Иванченко М.В., Канаков О.И., Флах С.) [56, 57]. Следует ооюидать, что свойства этих орбит позволяют охарактеризовать такоісе и поведение других (в том числе, сложных) решений в их окрестности. Однако, свойства таких орбит в модели ФПУ в литературе не исследовались. В то оке время, свойства ляпуновских орбит в нелинейных решеточных системах представляют и самостоятельный интерес как важные характеристики нелинейной динамики этих систем, вне непосредственного контекста проблемы ФПУ.
С точки зрения возможных приложений (синхронизация и аварии в энергосетях, задачи параллельной обработки изображений [8, 9, 10, 11,
12,13]), представляет интерес проблема управления образованием структур в решеточных системах. Один из частных случаев этой проблемы (задача управления образованием ротобризеров) упоминался выше.
Проблема управления структурообразованием может также быть рассмотрена на упрощенной модели в виде решетки связанных бистабиль-ных элементов с двухъямным потенциалом и диссипацией. Исследование таких систем в литературе в основном ограничивалось рассмотрением случая кусочно-заданной нелинейности определенного вида (L.O. Chua, J.A. Nossek и др.). В частности, известен метод, позволяющий найти все устойчивые состояния равновесия такой системы, а также спроектировать систему, имеющую заданные состояния равновесия. Результаты же для систем с нелинейностью общего вида ограничиваются рассмотрением случая линейной диффузионной связи (см., например, [58]).
Таким образом, актуальна проблема исследования возможностей управления структурообразованием в обобщенной модели решетки биста-билъных элементов с двухъямным потенциалом.
Исходя из приведенного обзора актуальных проблем теории струк-турообразования и локализации энергии в решеточных системах, были сформулированы цели настоящей работы.
Цели работы
Исследование механизма локализации энергии и генерации дискретных бризеров и ротобризеров из бегущей волны вследствие модуляционной неустойчивости в решетках осцилляторов с точки зрения проблемы реализуемости дискретных бризеров в физических процессах
Отыскание (/-бризеров и исследование их свойств с точки зрения
проблемы локализации энергии в пространстве нормальных мод нелинейных решеточных систем
3. Исследование возможности управления процессом образования структур в моделях решеток бистабильных элементов, интерпретация результатов с точки зрения задач обработки изображений
Научная новизна
Проведено систематическое исследование явления генерации локализованных возбуждений (дискретных бризеров) в дискретных нелинейных системах из слабозашумленной бегущей волны вследствие модуляционной неустойчивости на примере дискретного аналога уравнения Клейна-Гордона в одномерном и двумерном случаях. Двумерный случай рассмотрен впервые. В одномерном случае исследован характер зависимости процесса генерации дискретных бризеров от величины средней энергии в системе. Исследована эволюция системы на временах, существенно превышающих имеющиеся в литературе результаты.
Исследован процесс генерации ротобризеров вследствие модуляционной неустойчивости в одномерной модели Такено-Пейрара без диссипации, а также с диссипацией и внешним моментом. Продемонстрирована возможность управления этим процессом за счет неоднородного распределения величины внешнего момента.
Построена конструктивная математическая схема построения д-бризеров - периодических локализованных решений в пространстве нормальных мод - методом непрерывного продолжения одномодового решения линейной системы на ненулевые значения параметра нелинейности. На основе этой схемы разработан численный метод отыскания g-бризеров в нелинейных решеточных системах. Этот метод применен к исследованию
свойств g-бризеров на примере модели /3-ФГТУ.
Проведен асимптотический анализ свойств локализации g-бризеров в пространстве нормальных мод и их устойчивости на примере модели (3-ФПУ. Исследованы свойства симметрии g-бризеров, в частности, показана инвариантность локализационных свойств g-бризеров по отношению к масштабированию размера системы.
Рассмотрена задача управления образованием стационарных структур в решетках бистабильных элементов с недиффузионными связями. Для систем без инерционности получена аналитическая оценка расположения аттракторов и их областей притяжения для двух способов задания нелинейности: (і) неидентичные нелинейности общего вида с ограничением на максимальное отклонение от заданной кусочно-линейной функции; (іі) нелинейность со спадающими ветвями - типичная характеристика частотного дискриминатора.
Для двух частных типов нелинейности (кусочно-линейная функция и функция со спадающими ветвями) в системе, ориентированной на задачу выделения контуров, численно исследован эффект формирования шахматного паттерна как мешающего фактора. Рассмотрены случаи систем без инерционности и с инерционностью.
Положения, выносимые на защиту
1. Модуляционная неустойчивость бегущей волны представляет собой универсальный механизм генерации локализованных возбуждений в нелинейных решеточных системах, что подтверждается проведенными исследованиями процессов генерации дискретных бризеров в одномерных и двумерных дискретных моделях Клейна-Гордона, а также ротобризеров в консервативных и диссипативных моделях Такено-Пейрара.
Ляпуновские периодические орбиты нелинейных решеточных систем - g-бризеры, в отличие от сложных непериодических и хаотических решений, допускают практически исчерпывающее исследование, которое проведено в данной работе на примере модели /3-ФПУ. Свойства этих орбит позволяют охарактеризовать также и поведение других (в том числе, сложных) решений в их окрестности. А именно, в работе воспроизведены с единых позиций основные качественные и количественные результаты, связанные с проблемой ФПУ (явление локализации в пространстве мод, пороги слабого хаоса и равнораспределения).
Установлено, что в решетках нелинейно связанных бистабильных элементов с различными типами нелинейности возможно целенаправленное формирование структур, в частности применительно к задачам обработки изображений. Теоретической основой для такого управления служит проведенный анализ поглощающих областей в фазовом пространстве системы. Неточность воспроизведения заданной структуры зависит от параметров системы. Проведенные численные исследования позволяют сформулировать рекомендации по минимизации этой неточности на примере решеточной системы, ориентированной на задачу выделения контуров.
Методы исследования и достоверность научных результатов
При исследовании использовались качественные и асимптотические методы теории колебаний, а также численное моделирование. Достоверность результатов подтверждается согласием результатов аналитических и численных расчетов, а также непротиворечивостью с известными в литературе результатами.
Научная и практическая значимость
Полученные в диссертации результаты представляют интерес с точки зрения фундаментальных проблем переноса и локализации энергии, а также структурообразования в нелинейных решеточных системах. Кроме того, представленные результаты могут иметь практическое применение в задачах, связанных с динамикой решеточных систем: синхронизации и предотвращения аварий в энергосетях, параллельной обработки изображений с помощью специальных решеточных схем, создания микро- и наномеханических систем.
Личный вклад автора
В совместных работах автор принимал непосредственное участие в выборе направлений исследований и постановке основных задач. Все представленные результаты получены лично автором.
Апробация работы и публикации.
Результаты исследований были представлены на международном семинаре NDMLET06 "Nonlinear Dynamics of Acoustic Modes in Finite Lattices: Localization, Equipartition, Transport" («Нелинейная динамика акустических мод в конечных решетках: локализация, равнораспределение, транспорт») 6-8 декабря 2006 г., Max Planck Institut fur Physik Komplexer Systeme, Дрезден, Германия, 13-й Международной конферен-ции IEEE по нелинейной динамике электронных систем "NDES-2005" (г. Потсдам, Германия), конференциях молодых ученых «Нелинейные волновые процессы» в рамках научных школ «Нелинейные волны - 2002, 2004, 2006» (г. Н.Новгород), 12-й Европейской конференции по обработке сигналов "EUSIPCO-2004" (г. Вена), международных симпозиумах "Topical Problems
of Nonlinear Wave Physics" (г. Н.Новгород, 2003, 2005 гг.), международной конференции "Progress in nonlinear science" (г. Н.Новгород, 2001 г.), 2-м и 3-м Международных научно-практических семинарах "Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах" (г. Н.Новгород, 2002, 2003 гг.), 5-й, 6-й, 7-й и 8-й Научных конференциях по радиофизике (г.Н.Новгород, 2001, 2002, 2003, 2004, гг.), научных школах-конференциях "Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2000, 2002, 2003" (г. Саратов).
Материалы диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры теории колебаний и автоматического регулирования ННГУ, а также Института физики сложных систем Общества Макса Планка (г. Дрезден, Германия).
По теме диссертации опубликовано 18 научных работ, в том числе 5 статей в рецензируемых физических журналах, рекомендованных ВАК, 1 статья в международном физическом журнале, 11 публикаций в сборниках трудов конференций, 1 тезисы доклада.
Модуляционная неустойчивость как физический механизм формирования дискретных бризеров
Заметим, что множество дискретных бризеров как точных периодических решений в фазовом пространстве решеточной системы имеет меру нуль, что означает нулевую вероятность реализации такого точного периодического решения в физической системе. Поэтому говорят также о дискретных бризерах в «физическом смысле» как о решениях, характеризующихся пространственной локализацией энергии, имеющей, в отличие от точных периодических решений, конечное время жизни. Именно в этом смысле термин «дисеретный бризер» употребляется в дальнейшем. Одним из возможных механизмов генерации дискретных бризеров в физических процессах является распад гармонической волны за счет модуляционной неустойчивости [24, 25, 26, 64, 65]. Этот вид неустойчивости для дискретных одномерных решеток вида (1.4) был исследован аналитически и численно в работах [25, 26]. Численное моделирование [25, 26] было проведено для случая (3 О в потенциале (1.7) на временных масштабах порядка 1.5 104 периодов собственного колебания низшей частоты. Результаты [25, 26] показали, что модуляционная неустойчивость может служить эффективным механизмом формирования дискретных бризеров, когда начальные условия заданы в форме слабозашумленной гармонической волны. На начальном этапе эволюции системы из таких начальных условий волна разбивается на отдельные волновые пакеты вследствие модуляционной неустойчивости. Образующиеся волновые пакеты имеют различную энергию и за счет этого слегка различную групповую скорость распространения. На следующем этапе, процессы в котором существенно нелинейны, многочисленные столкновения волновых пакетов приводят к обмену энергией между пакетами. В результате этого обмена энергия в некоторых пакетах может стать достаточной для возбуждения дискретного бризера. Аналогичный механизм реализуется и в других моделях. В данном разделе описанный выше сценарий исследуется численно в одномерных и квадратных двумерных решеточных системах, описываемых уравнениями (1.5), (1.7) с периодическими граничными условиями (в двумерном случае это условие применяется к каждому пространственному измерению), для случая /3 = 0.25 0, и = 0.1.
В одномерной модели исследуется зависимость процесса генерации дискретных бризеров от энергии начальной волны, а также характер эволюции системы на больших временах после формирования дискретных бризеров. Размер решетки N = 400 элементов в одномерном случае, и iV = 80 в двумерном случае. Для интегрирования уравнений движения используется метод Рунге-Кутты 4-го порядка, реализованный на языке С. Шаг по времени составляет At — 0.01. Ошибка численного счета в консервативных системах контролируется по дрейфу полной энергии в системе. Относительное изменение энергии за время моделирования во всех расчетах не превышает 10 6. Начальные условия в одномерной решетке были заданы в виде гармонической волны со слабым мультипликативным шумом: где и2 = 1 + 4xsin2(&/2) + Зр А2. Случайные величины п независимы и распределены равномерно на интервале (0,0.001). Используемое выражение для ш учитывает нелинейную поправку первого порядка к частоте в зависимости от амплитуды [26]. Начальные условия для двумерной системы задавались аналогично одномерному случаю: Из анализа устойчивости [25] следует, что в одномерной решетке при (3 0 модуляционная неустойчивость имеет место для волновых чисел в диапазоне 7г/2 к тт. В соответствии с этим результатом, который был обобщен на двумерный случай, для численного моделирования были выбраны значения волновых чисел к\ = к2 = к = Зтг/4. В качестве основной измеряемой величины выступает дискретная плотность энергии (локальная энергия заданной частицы) єп, определяемая соотношением где обозначения аналогичны используемым в (1.5). Энергия связи при таком определении делится пополам между связанными частицами.
Символом є обозначается средняя плотность энергии — полная энергия системы, деленная на число частиц. Было проведено моделирование одномерной системы для 99 различных реализаций случайного шума п при амплитуде начальной волны А, принимающей значения от 0.1 до 0.5 с шагом 0.05 на временном отрезке длительностью Т = 2.5 -104. На рис. 1.3(а,с) уровнем серого изображена эволюция плотности энергии в системе для одной из реализаций шума в начальных условиях при А = 0.2 (є = 0.027) (а) и А = 0.5 (є = 0.18) (с). По оси абсцисс откладывается дискретная координата, по оси ординат - время.
Свойства симметрии д-бризеров
В данном разделе рассматриваются некоторые общие свойства симметрии решений, в частности, д-бризеров, вытекающие непосредственно из свойств симметрии уравнений движения решеточных систем. Рассмотрим общую модель D-мерной нелинейной гамильтоновой решетки с локальным взаимодействием размера N\ х xiV , описываемую гамильтонианом компонентами щ = l,Ni,ei обозначает единичный вектор решетки вдоль измерения /, хп, рп — канонические переменные. U(x),V(x) Є С2 — потенциалы элемента и взаимодействия, соответственно. Будем рассматривать случаи фиксированных, свободных и периодических граничных условий. Пусть Pqi Qq — нормальные переменные линеаризованной системы, где моды нумеруются целочисленным вектором q. Гамильтониан в этих переменных принимает вид Консервативные гамильтоновы системы обладают свойством обратимости во времени, то есть, инвариантны относительно преобразования Если начальные условия обладают той же симметрией, что означает то и решение в целом обратимо во времени, то есть, хп(—t) = xn(t). Заметим, что одномодовое решение линейной системы при соответствующем выборе начала отсчета времени обладает свойством обратимости во времени. Это значит, что непрерывное продолжение такого решения на некоторый интервал ненулевых значений нелинейности с помощью метода, описанного в разделе 2.1.4, обладает тем же свойством симметрии. В самом деле, инвариантность уравнений движения относительно некоторого преобразования (в частности, преобразования (2.19)) означает, что наряду с любым решением существует также и решение, являющееся его образом. Образом инвариантного решения является само решение. Следовательно, неинвариантные решения могут появляться в окрестности инвариантных при непрерывном изменении параметра только симметричными парами, то есть, в результате бифуркации. А значит, вплоть до бифуркации непрерывно продолжаемое решение сохраняет инвариантность относительно рассматриваемого преобразования. Таким образом, g-бризер, являющийся непрерывным продолжением одномодового решения, в некотором конечном интервале значений параметра нелинейности, при соответствующем выборе начала отсчета времени, сохраняет свойство обратимости во времени. Рассмотрим одномерный случай D — 1 в (2.17). Уравнения движения в этом случае имеют вид
Рассмотрим преобразования С помощью непосредственной подстановки можно убедиться, что уравнения (2.21) с любым из трех указанных типов граничных условий (нулевые, свободные, периодические) инвариантны относительно преобразования (2.22а), если сила взаимодействия является нечетной функцией: и относительно преобразования (2.22Ь), если возвращающая сила является нечетной функцией: Если начальные условия обладают той же симметрией, что и уравнения движения, то и решение в целом обладает той же симметрией. Следовательно, при выполнении условия (2.23а) или (2.23Ь) система имеет интегральное многообразие, состоящее из решений, инвариантных относительно (2.22а) (будем называть их четными), или относительно (2.22Ь) (будем называть их нечетными), соответственно. Для модели Ферми-Паста-Улама (2.2) возвращающая сила равна нулю: f(x) = 0, поэтому условие (2.23Ь) выполняется автоматически, и нечетное интегральное многообразие имеет место всегда. Для /?-ФПУ модели сила связи является нечетной функцией, и существует также четное интегральное многообразие. В случае нулевых граничных условий моды (2.3) с нечетными номерами q = 1,3,5,... являются четными, и наоборот, моды с четными номерами q = 2,4,6,... являются нечетными. Таким образом системы ФПУ с нулевыми граничными условиями имеют инвариантное многообразие, состоящее только из мод с четными номерами и характеризующееся равенством нулю всех мод с нечетными номерами: Кроме того, система ФПУ-/? с нулевыми граничными условиями имеет также инвариантное многообразие, состоящее только из мод с нечетными номерами и характеризующееся равенством нулю всех мод с четными номерами:
Такие инвариантные подпространства фазовых пространств нормальных мод, включающие в себя только моды, обладающие определенными симметриями, называют бушами мод [71, 72]. Существует практически исчерпывающая теория, позволяющая находить буши в системах с известными свойствами симметрии [72]. Учитывая соображения о сохранении свойств инвариантности при непрерывном продолжении решения, приведенные в разделе 2.2.1, приходим к выводу, что #-бризер в любой цепочке ФПУ с нулевыми граничными условиями, являющийся продолжением моды с четным номером, содержит только моды с четными номерами. Для цепочек /?-ФПУ можно так же утверждать, что g-бризер, являющийся продолжением моды с нечетным номером, содержит только моды с нечетными номерами. В случае D 1, при выполнении какого-либо из условий (2.23а,Ь), уравнения движения инвариантны относительно соответствующего преобразования (2.22а,Ь) по любому из пространственных измерений решетки. Тогда, при наличии соответствующей инвариантности (четности или
Устойчивость g-бризеров
Представляет интерес вопрос об устойчивости g-бризера. Исследуем орбиту Qq(i) на устойчивость в линейном приближении [57]. Для этого линеаризуем уравнения движения (2.5) в ее окрестности, делая замену и отбрасывая все порядки разложения выше первого по малым отклонениям я. Устойчивость орбиты тогда характеризуется собственными значениями матрицы Флоке, которая задает линейное отображение малых отклонений t;q линеаризованным фазовым потоком на одном периоде орбиты. Если все собственные числа p,j имеют абсолютное значение 1, то орбита устойчива в линейном приближении. Это означает лишь отсутствие экспоненциального нарастания малых отклонений от решения и не означает, вообще говоря, орбитальной устойчивости или устойчивости по Ляпунову. Если же хотя бы одно из собственных значений превышает 1 по модулю, то орбита неустойчива [34]. Исследуем g-бризер на устойчивость аналитически в первом порядке теории возмущений. Выпишем решение в виде где ш — частота #-бризера, слегка отличающаяся от uqo в силу нелинейности. Остаточный член О(р) включает поправки к форме орбиты за счет членов разложения первого и более высоких порядков по р. Поправка к частоте g-бризера в первом порядке по р определяется вековыми членами, возникающими из-за резонансного самовоздействия моды до в первом порядке разложения: Это уравнение идентично тому, которое возникает в первом порядке разложения для осциллятора с одной степенью свободы с кубичной нелинейностью (осциллятора Дюффинга). Используя известное выраже ниє для первой поправки к частоте в осцилляторе Дюффинга, получаем Линеаризуя уравнения движения (2.5) в окрестности решения (2.74) в соответствии с (2.73), получим уравнение, описывающее динамику малых возмущений в окрестности g-бризерной орбиты: малыми коэффициентами порядка 0(р2). Подставляя сюда выражение для Qqo(t) из (2.74), приходим к следующему многомерному уравнению Матье: Это уравнение может быть переписано в векторно-матричной форме Будем исследовать параметрический резонанс в уравнении (2.79), считая h и fi независимыми параметрами, а в дальнейшем учтем их зависимость.
В пределе h — 0 состояние равновесия = 0 сильно устойчиво для всех значений fi за исключением конечного множества значений Qnki, удовлетворяющих условию где п — натуральное число, а моды к и / принадлежат к одной связной компоненте графа связности, определяемого матрицей В. Сильная устойчивость означает, что состояние равновесия устойчиво для данной системы, а также для всех достаточно близких гамильтоновых систем. Каждая точка (Qnki, 0) на плоскости параметров (fit, К) ассоциируется с зоной параметрического резонанса. Ограничивая рассмотрение первичными резонансами, что с необходимостью подразумевает п = 1 в (2.80), представим частоту fi в виде где параметр отстройки 8 полагается малым порядка 5 = 0(h). Будем искать решение (2.79) в виде где /m = (/) — неизвестные векторные комплексные амплитуды, z — малое неизвестное комплексное число, a i = ик(1 + S). Сделаем предположение z = 0(h), которое будет подтверждено дальнейшим расчетом. Подставляя (2.82) в (2.79), получим систему алгебраических уравнений для амплитуд /: Заметим, что, если коэффициент в квадратных скобках в (2.83) не является малой величиной порядка 0(h), то соответствующая амплитуда f сама является малой величиной порядка 0(/i). Выясним, для каких значений индексов ти q коэффициент в квадратных скобках мал.
В силу предположения z = 0(h), разность — (й\ + mfi)2 + о;2 должна быть малой величиной. Это так, если абсолютная величина \ш\ + mQ\ близка к одной из собственных частот шч. В соответствии с определением ш\ и с выражением для fi (2.81), это подразумевает \(т+1)шк+тші\ = шч. В общем случае несоизмеримого частотного спектра, это условие выполняется только для пар m = О, q = к и т = — 1, q = I. Следовательно, все амплитуды /!" за исключением fj и ft l — малые величины порядка 0(/г). Тогда можно выписать замкнутую систему для амплитуд / и /г-1 с точностью до 0(h2\\): эффициент связи 6 должен быть ненулевым, что означает, что модовые осцилляторы к и / напрямую связаны. Нетривиальное решение этой системы существует, если определитель левой части (заданной с точностью до 0(h2) в каждом элементе) равен нулю. Из этого условия получаем В исходной задаче оба параметра h и Г2 зависят от величины нелинейности и энергии /3Eqo. Эта зависимость задает параметрически линию на плоскости (l,h), начинающуюся из точки (2ито,0). Пересечение этой линии с зоной параметрического резонанса есть область неустойчивости #-бризера. Ближайшая зона первичного параметрического резонанса соответствует к = то — 1, I = то + 1, п = 1. Для этого случая можно получить упрощенное выражение для z\p в окрестности бифуркационной точки (вблизи края резонансной зоны) в пределе N со, если положить qo/(N + 1) = const, то есть CJ9O = const. Из (2.46) можно найти приближенные выражения Подставляя (2.86а-с) и (2.87) в (2.85) и принимая во внимание, что вблизи точки бифуркации (т.е., если квадратный корень в (2.85) близок к нулю) h = 0(х2), находим В соответствии с (2.82), абсолютные значения мультипликаторов, участвующих в резонансе, выражаются в виде откуда в итоге получаем Бифуркация происходит в точке R = 1 + 0(1/N2). Этот порог устойчивости совпадает с критерием перехода к слабому хаосу в работе [40]. Отметим, что выражение (2.91) не содержит номера главной моды go-Ниже порога устойчивости (за исключением возможных узких зон резо-нансов высокого порядка) существует множество линейно устойчивых g-бризеров. В термодинамическом пределе N —» оо, однако, пороговая энергия устойчивости g-бризера стремится к нулю. Заметим, что,
Структурообразование в обобщенных моделях сетей биста бильных элементов
Объект исследования в этом разделе (см. тж. [79, 80, 81, 83, 84]) — системы вида (3.1) с неидентичными нелинейностями парциальных элементов, слабо отличающимися (в смысле, уточняемом ниже) от функции F(x), определяемой выражением (3.4). При этом не делается предположений о конкретном виде этих нелинейностей. В качестве основы будем использовать приведенные выше результаты о состояниях равновесия в CNN. Заметим, что, если некоторая точка в фазовом пространстве CNN при определенных значениях параметров является устойчивым состоянием равновесия этой системы, то можно ожидать, что решеточная система с теми же параметрами, при условии, что нелинейности ее парциальных элементов достаточно слабо отличаются от функции F(x) (3.4), имеет аттрактор или несколько аттракторов, расположенные в некоторой малой окрестности данной точки [79]. Цель данного раздела — получить условие существования аттрактора, характеризуемого заданным вектором знаков, в решеточной системе (3.1), и оценить упомянутую окрестность, в которой расположен этот аттрактор. Пусть нелинейность а-го парциального элемента задана в виде где функции-добавки ра(%) полагаются малыми в смысле где R 1 и є О — параметры: R задает «рабочий диапазон» переменных состояния, а є — максимально допустимую величину отклонения нелинейности парциального элемента от вида (3.4) в данном диапазоне аргумента. Кроме того, будем считать, что для рассматриваемой системы выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, то есть, все функции Фа(х) непрерывны и имеют ограниченную производную во всей исследуемой области фазового пространства. Заметим, что модель CNN с нелинейностью (3.4) формально не удовлетворяет этому требованию; однако, она относится к хорошо изученному классу систем со «склеенным» фазовым пространством, в то время как упомянутое условие является не необходимым, а лишь достаточным для существования и единственности решения.
Отметим, что для перехода к CNN в выкладках данного раздела достаточно положить є = О, R = со. Примем следующее определение нормы вектора и матрицы (норма, определенная таким образом, называется кубической нормой): Определим //-окрестность вектора следующим образом: Вместо прежних областей насыщения, рассмотрим совокупность 2 iV-мерных гиперкубов (iV-кубов) Dy в фазовом пространстве системы: Предположим, что для некоторого вектора знаков у окрестность 0 (су) целиком лежит внутри соответствующего iV-куба Dy. где точка Су определена выражением (3.7), а для /І положим В компонентах окрестность 0 (су) может быть записана в виде а условие (3.18) — в виде Заметим, что для CNN (в случае є = 0, R = со) условие (3.22) сводится к известному условию (3.8). Покажем, что из сделанных предположений следуют следующие три утверждения: a) Ом(су) содержит по крайней мере один аттрактор; b) Dy не содержит других аттракторов кроме тех, которые содержатся в О Су); c) эволюция системы из любых начальных условий, принадлежащих Dy, сходится к одному из аттракторов, содержащихся в 0 (су). В самом деле, в области Dy уравнение (3.1) может быть записано в виде где р(х) — вектор-функция: (ир(х))а = ipa{%a), причем, согласно (3.14), Замена х = су + в уравнении (3.23) приводит к следующему: а-я компонента уравнения (3.25) запишется в виде Уравнение (3.26) с учетом оценки приводит к следующему утверждению: Это означает, что на каждой грани любой кубической поверхности где С [і, векторное поле системы (3.23) направлено внутрь этой поверхности. Поскольку внутри Dy системы (3.23) и (3.1) совпадают, то внутри Dy это утверждение справедливо и для системы (3.1). Так как при С = ц поверхность (3.29) есть граница окрестности Оц(су), и выполнено условие (3.18), то на всей границе 0 {су) векторное поле системы (3.1) направлено внутрь этой окрестности, откуда следует утверждение а). При С ц уравнение (3.29) определяет систему вложенных непересекающихся замкнутых поверхностей.
Внутри Dy на каждой из этих поверхностей векторное поле системы направлено внутрь, то есть, траектории системы пересекают все эти поверхности без касания. Из этого напрямую следует утверждение Ь); утверждение же с) тогда справедливо при условии, что на всей границе области Dy векторное поле системы (3.23) (а значит, в силу непрерывности правых частей, и системы (3.1)) направлено внутрь Dy. Проверим это последнее условие.
