Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Основные представления теории стохастичности. Постановка задачи
I Обзор основных идеи теории динамической стохастичности
2 Автоколебательные системы третьего порядка
3 Постановка задачи
Глава II. Алгоритм и методика вычислительного эксперимента .
1 Методика поиска стохастических режимов качественные и численные методы.
2 Методика изучения стохастических режимов критерии стохастичности
3 Изучение статистических характеристик стохасти ческих автоколебании
4 Особенности вычислительного эксперимента
Глава III. Систем с параметрическим механизмом возникновения стохастичности
I Механизм возникновения стохастичности
2 Качественный анализ и бифуркационные диаграммы .
3 Численный анализ стохастических автоколебаний...
Глава ІV. Систем с силовым механизмом возникновения стохастичности
1 Механизм возникновения стохастичности
2 Качественный анализ и бифуркационные диаграммы ..
3 Численный анализ стохастических автоколебаний...
Глава V. Внешнее периодическое воздействие на стохастические автоколебательные системы с инерционным
1 Внешнее периодическое воздействие на систему. с параметрическим механизмом возникновения стохастичности
2 Внешнее периодическое воздействие на систему с силовым механизмом возникновения стохастичности
Приложение. Эволюция спектров автоколебании в зоне стохастичности
Заключение
Литература
- Автоколебательные системы третьего порядка
- Методика изучения стохастических режимов критерии стохастичности
- Качественный анализ и бифуркационные диаграммы
- Качественный анализ и бифуркационные диаграммы
Введение к работе
В последнее время в теории динамических систем был получен ряд результатов, которые привели к формированию новой точки зрения на природу случайности. Оказалось, что в динамических системах с размерностью фазового пространства не меньшей трех при определенных значениях параметров может возникнуть так называемая "динамическая стохастичность". Фазовые траектории при этом оказываются сложными, явно нерегулярными и предсказуемыми, причем такой характер их определяется исключительно внутренней динамикой системы, а не наличием внутренних или внешних флуктуации.
Все возрастающий интерес к изучению динамической стохастичности обусловлен, во-первых, тем, что она сильнее, чем стохастичность, вызванная внутренними или внешними малыми шумами, которые качественно не влияют на стохастическое поведение динамической системы [l-б]. Во-вторых, динамические системы со стохастическим поведением не являются исключением: они типичны, если размерность фазового пространства не меньше трех [3,4].
Свойства динамических систем, демонстрирующих стохастическое поведение, дают надежду на решение ряда проблем физики, техники и других наук, для которых необходима развитая теория стохастичности, включающая механизмы возникновения хаоса и возможность управления им. динамическую стохастичность стали связывать (не всегда справедливо) с самым широким спектром задач физики и связанных с ней дисциплин:
- проблема турбулентности жидкостей, газов, плазмы и нелинейное взаимодействие волн в плазме [7-22] ;
- динамика квантовых, генераторов [23-29] ;
- особенности глобального поведения магнитного поля Земли [30] ;
- поведение колебательных химических реакции [31,32] ;
- генерация динамического шума радиотехническими системами [33-53] ;
- случайная динамика популяции некоторых экологических, биологических и генетических систем [54-59] ;
- ритмы мозга и организация его функций [60-62] ;
- структура вакуума в связи с уравнениями Янга-Миллса [63,64] ;
- проблемы физики твердого тела [б5] ;
- потери заряженных частиц в ускорителях [бб], радиационных поясах Земли [66] , в плазменных ловушках [67];
- организация стохастического метода ускорения частиц [68, 69] .
С другой стороны, идея динамической стохастичности позволяет по новому понять ту нетривиальную связь, которая су -шествует между динамическими и статистическими законами природы] .
Главная особенность динамической стохастичности заключается в том, что она появляется и проявляется по разному в гамильтоновых (не диссипативных) и в диссипативных системах. До недавнего времени считалось, что включение упрощает динамику системы, поскольку казалось, что все траектории при этом асимптотически приближаются либо к устойчивому состоянию равновесия, либо к устойчивому предельному циклу (тривиальные аттракторы). Первый пример нетривиального аттрактора был исследован Э.Лоренцем [9] и степень изумления, возникшего при открытии маломерных стохастических систем нашла свое отражение в терминологии: вслед за странными частицами в физике высоких энергий появились странные аттракторы в физике колебаний и волн.
Механизмы появления стохастичности в гамильтоновых системах [69] отличаются от этих механизмов в диссипативных системах, потому что в гамильтоновых системах фазовый объем сохраняется. В этом случае неустойчивость всех или почти всех траекторий может привести к стохастичности. Действительно, если сколь угодно малые изменения начальных условий приводят к сильному расхождению начальной и возмущенной траекторий, то при компактности фазового пространства (конечность энергии, например) не -сжимаемая фазовая жидкость должна перемешиваться - траекториям просто некуда деваться и они запутываются. Но стохастичность в таких системах не притягивающая. В тех же системах, где фазовый объем не сохраняется - в автоколебательных системах -механизмы стохастичности иные. Изучению этих механизмов на частном примере и посвящена данная диссертация.
Для теории стохастических автоколебаний наибольший интерес представляют автономные системы третьего порядка, т.к. основные черты стохастичности в них проявляются особенно отчетливо. Колебания в таких системах могут возбуждаться либо за счет отрицательного трения, либо за счет инерционной связи между переменными. Эти же механизмы за счет нелинейности приводят к ограничению колебаний. Системы, в которых самовозбуждение обусловлено отрицательным трением, а ограничение колебаний - инерционным взаимодействием между переменными были описаны К.Ф.Теодорчиком [72] и названы им системами с инерционной нелинейностью. Режим стохастических автоколебаний в таких системах был обнаружен и исследован группой В.С.Анищенко [42-46] .
Целью настоящей работы является изучение стохастических автоколебаний в системах, у которых самовозбуждение обусловлено информационной связью между переменными, а механизм ограничения амплитуды может быть любым. - .Такие системы описаны П.С.Лавда и В.И.Бабицким [73,74] и названы ими системами с инерционным самовозбуждением.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1. Были разработаны методики поиска и изучения стохастических режимов в автоколебательных системах.
2. Разработаны алгоритмы построения бифуркационные диаграмм, вычисления периодических режимов, выбрана методика измерения энтропии стохастических автоколебательных систем и методика изучения спектральных характеристик стохастических автоколебаний.
3. На основе разработанных методик были найдены стохастические режимы в системах с инерционным самовозбуждением и построены бифуркационные диаграммы в пространстве параметров изучаемого класса автоколебательных систем.
4. Показано, что в зависимости от вида нелинейностей, существуют два механизма возникновения стохастических автоколебаний, названные здесь параметрическим и силовым.
5. Изучены особенности появления и проявления стохастичности в каждом из этих случаев:
- в отличие от параметрического механизма возникновения стохастичности, при силовом механизме области стохастичности в двумерных сечениях пространства параметров относительно малы и ограничены;
- при силовом механизме стохастичность возникает мягко, путем бифуркаций удвоения периода, тогда как при параметрическом механизме обнаружено и жесткое возникновение стохастичности;
- хотя странный аттрактор в фазовом пространстве изучаемого класса систем не является гиперболическим, однако его точечное отображение может быть приближенно описано одномерным отображением отрезка в себя;
- эксперимент свидетельствует о соответствии последовательности бифуркации удвоения периода закону Фейгенбаума;
- изучение статистических характеристик стохастических автоколебании показало, что в рассматриваемом классе систем стохастические процессы можно считать стационарными, эргодическими, но не гауссовыми. В отличие от параметрического механизма, при силовом механизме не существует недостижимых значений амплитуд генерируемых колебаний;
- изученные стохастические автоколебательные системы являются довольно грубыми, их динамика качественно не меняется при внесении других дополнительных, искажающих топологию фазового пространства.
6. Предложен приближенный метод расчета стационарного распределения плотности вероятности амплитуд генерируемых колебаний стохастических автоколебательных систем.
7. Показано, что при воздействии на стохастические автоколебательные системы с . инерционным самовозбуждением внешней периодической силы в них наблюдается явление синхронизации :
- при параметрическом механизме возникновения стохастичности область синхронизации была обнаружена только на основ -ной частоте, при силовом механизме стохастизации две области синхронизации - на основной частоте и на второй субгармонике;
- синхронизация всегда начинается при конечных значениях
амплитуд внешнего воздействия на всех частотах, на которых она наблюдается;
- величина порога синхронизации может служить количественной характеристикой хаоса в стохастических автоколебательных системах.
8. В приложении к диссертации изучена эволюция спектров автоколебаний за границей хаоса в зоне стохастичности. Показано, что спектры колебаний приближаются к сплошным по мере углубления в хаос и близки к линейчатым вблизи границы области стохастичности в пространстве параметров систем диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. В первом параграфе первой главы обсуждаются основные представления теории динамической стохастичности и модели возникновения стохастичности в автоколебательных системах. Во втором параграфе описаны автоколебательные системы третьего порядка. Третий параграф содержит постановку задачи.
Вторая глава диссертации посвящена изложению методики поиска и изучения стохастических режимов в маломерных динамических системах с описанием алгоритмов наиболее важных программ для численного счета на ЭВМ.
Две последующие главы посвящены изучению стохастических колебании в автономных автоколебательных системах третьего порядка с инерционным самовозбуждением. В первой из них исследуется так называемый "параметрический" механизм возникновения стохастических автоколебаний в системах с инерционным самовозбуждением. В следующей главе изучается "силовой" механизм.
Пятая глава содержит результаты, относящиеся к неавтономным режимам работы стохастических автоколебательных сие тем с инерционным самовозбуждением.
Итоги работы подведены в заключении.
В приложении рассмотрена эволюция спектров стохастических автоколебаний за границей зоны стохастичности.
Основные результаты диссертации докладывались на ХХУІІ и XXX научно-практической конференциях профессорско-преподавательского состава Таганрогского радиотехнического института (февраль 1981г.,февраль 1984г.), на XI Всесоюзной летней школе ученых-механиков "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" в Даугавпилсе (июнь 1981г.), на II Всесоюзном совещании по избранным вопросам статистической физики (Москва, октябрь,I982г.), на IX конференции молодых ученых института машиноведения АН СССР (Москва, март 1983г.), на X Международной конференции по нелинейным колебаниям (Варна, 1984г.), на общемосковском междисциплинарном семинаре "Си -нергетика" физического факультета МГУ (Москва,1984г.), на семинаре под руководством П.СЛанда "Стохастические колебания динамических систем" на физическом факультете МГУ, обсужда -лись на семинарах кафедры общей физики и волновых процессов физического факультета МГУ и опубликованы в работах 75-82] .
Автоколебательные системы третьего порядка
Мысль о том, что случайность есть следствие неустойчивости механического движения впервые была высказана А.Пуанкаре [84] . Еще раньше эта идея фактически присутствовала у английского психолога Ф.Гальтона, который изобрел прибор для наглядной демонстрации распределения Гаусса [83] . Далее, изучая возможные типы движении, порождаемые дифференциальными уравнениями второго порядка на плоскости, цилиндре и торе, А.Пуанкаре обратил особое внимание на важность неустойчивых и седловых состояний равновесия [84] .
Идеи А.Пуанкаре о зависимости характера движений динамической системы от параметров привели к представлениям о бифуркациях [85] и структурной грубости динамических систем [86] . Требование грубости позволяет описать все невырожденные структуры разбиения фазового пространства в автономных системах второго порядка, а также возможные бифуркации, приводящие к этим структурам. Если размерность фазового пространства больше двух, то возможности бифуркаций таких систем резко расширяются. Поэтому рассматриваются многомерные системы, устроенные подобно грубым двумерным системам (системы Морса-Смейла) [87-89]
Изучение возможных бифуркаций таких систем и порождаемых ими разбиений структуры фазового пространства привело к выводу, что если размерность фазового пространства больше двух, то могут существовать другие структурно грубые векторные ПОЛЯ, дополнительные к системам Морса-Смейла, в частности, системы Аносова [90,91] , которые имеют бесконечное множество гипер -болических периодических орбит, а множество их траектории содержит вообще все возможные траектории (бернуллиевость).
Эти результаты были подготовлены развитием другой цент -ральной идеи теории динамических систем - изучать не отдель -ные траектории, а их совокупности.
Стимулом для её развития послужила проблема обоснования статистической физики, в частности, эргодическая гипотеза Л.Больцмана. Первые работы здесь принадлежат М. Смолуховскому [92] и Н. С.Крылову [93] , математический же аппарат эргодичес-кой теории был создан Г.Биркгофом, Дж.фон Нейманом и Е.Хопфом [94-96] . Появление эргодической теории позволило вернуться к старой задаче (Адамар, 1899 год) одзикении материальной точки на плоскости Лобачевского внутри четырехугольника. Работы по геодезическим потокам на поверхностях отрицательной кривизны были конструктивно продвинуты Е.Морсом и Г.Хедвудом. созданием символической динамики [97] , позволившей описать все возмож -ные движения, и были завершены к 1962г. Д.В.Аносовым [90-91] . Попутно стало ясно, что для эргодичности неустойчивых векторных потоков, сохраняющих меру, достаточно, чтобы эти потоки были перемешивающимися. Первый пример реальной перемешивающейся системы был предложен в 1962г. Я.Г.Синаем: система N жестких сфер, заключенных в ящик с жесткими стенками, причем Л/ . [98,99].
Теперь, когда стало ясно, что эргодическое (в некотором смысле стохастическое) поведение, по крайней мере, консервативных динамических систем не экзотика при размерности фазового пространства не меньшей трех, возник вопрос о топологическом механизме возникновения стохастичности. Такой механизм был предложен в работах Ю.И.Неймарка [100-107] и связан с открытыми еще Пуанкаре [84] гомоклиническими структурами.
К этому времени уже были сделаны первые эксперименты по изучению динамической стохастичности. В Институте ядерной физики СО АН СССР в Новосибирске был проведен цикл работ по исследованию условий устойчивости движения заряженных частиц в циклических ускорителях. На простых математических моделях Б.В.Чириковым, Ф.М.Израилевым и Г.М.Заславским было показано, что при определенных обстоятельствах может возникнуть новый тип неустойчивости, который ими был назван стохастической неустойчивостью нелинейных колебаний [iIO-IIl] . Тогде же в США появилась работа Э.Лоренца [9], в которой численно изучались уравнения, полученные путем разложения по модам из уравнений для термоконвекции в слое ждцкости при постоянном градиенте температуры. Непериодический характер решений уравнений Лоренца привел Рюэля и Такенса к мысли, что это, возможно, и,есть турбулентность. Кроме того, отчетливо стало ясно, что стохас-тичность характерна не только для консервативных систем. Все это и послужило началом бурного и заинтересованного знакомства физиков с динамической стохастичностью [112].
Методика изучения стохастических режимов критерии стохастичности
Спектр мощности может иметь одну, затем две и возможно три независимые частоты, после чего возникает широкополосный шум. Малые внешние шумы не разрушают странного аттрактора р-З]. В модели Рюэля и Такенса не утверждается, что такая бифурка -ция типична. Здесь говорится только о том, что если четырехмерный тор существует, то стохастическое движение на нем более вероятно, чем квазипериодическое. Используя идеи Р.В.Плы-кина [108] , можно редуцировать фазовое пространство до трех измерений, но даже такая последовательность бифуркаций, со -гласно теореме Пейксото [116] маловероятна. Более типично возникновение на торе предельного цикла. Этот предельный цикл может потерять устойчивость тремя способами: через бифуркации удвоения, через перемещаемость и жестко.
2. Цель Фейгенба ма. Пусть в фазовом пространстве динамической системы есть устойчивый предельный цикл, который при изменении бифуркационного параметра /и ставится неустойчи -вым. (мультипликатор цикла проходит через -I). При этом обра зуется новый, двухоборотный устойчивый цикл. При дальнейшем увеличении параметра /и происходит следующая бифуркация: рождение нового, четырехоборотного цикла, а двухоборотный теряет устойчивость (рис.1). Причем интервал АЛ/ быстро сужается и точки бифуркаций сгущаются к критическому значению №кр При /и nj в ограниченной области фазового пространства находится бесконечное число неустойчивых циклов различных периодов, включая бесконечный. Последовательность таких удвоений обладает свойством универсальности [115].
Оказалось, что вне зависимости от конкретных особенностей системы, а во многих случаях и от размерности фазового пространства бифуркационные значения параметра /и подчиняются условию где п - номер бифуркации. Сейчас константа Фейгенбаума ? известна до двадцати знаков после запятой.
3. Перемежаемость . Потеря устойчивости предельного цикла происходит путем слияния его с неустойчивым, когда мультипликатор цикла близок к единице (рис.2). При изменении параметра происходит постепенное исчезновение периодических колебаний за счет прерывания их стохастическими всплесками. При этом механизме наблюдается длительный ламинарный процесс (участок I рис.2), который сменяется стохастическими колебаниями и т.д.
4. Ш л ваг й ешо ах т В некоторых случаях стохастичность может возникать жестко: вокруг устойчивых особых точек образуются неустойчивые предельные циклы,которые при следующей бифуркации "влипают" в эти точки. Такая бифуркация называется обратной бифуркацией Хопфа. Именно так происходит возникновение стохастичности в системе Лоренца [9,133-136] , когда бифуркационный параметр X стремится к Ъф со стороны меньших значений: в фазовом пространстве системы при определенном значении бифуркационного параметра существует один странный и два нестранных аттрактора - две устойчивые особые точки, окруженные неустойчивыми предельными циклами. При следующей бифуркации неустойчивые циклы "влипают" в устойчивые особые точки, они становятся неустойчивыми и в фазовом пространстве остается только один аттрактор - странный.
Любой из этих путей возникновения стохастичности приво -дит к образованию в фазовом пространстве некоторого инвариантного многообразия, которое А.Пуанкаре назвал гомоклинической структурой [84] . Рождение стохастичности через гомоклиничес-кие структуры подробно исследовано в работах Ю.И.Неймарка [100-107, 112, 155-157].
Гомоклинические структуры не встречаются у двумерных систем, но при повышении размерности системы они становятся ти -пичными. Опишем гомоклиническую структуру [Юб] . На рис.3 а) изображено седловое периодическое движение Г и двоякоасимптотическая (гомоклиническая) к нему кривая у. По цилиндру траектории с цикла "сматываются", а по плоскости , перпендикулярной образующей цилиндра, они "наматываются" на цикл. Если пересечь периодическое движение в некоторой точке «? плоскости оС , то в этой плоскости точка 3 будет седловой неподвижной точкой. На рис.3 б) изображена седловая неподвижная точка 3 и следы поверхностей, по которым траектории разматываются (I) и сматываются (2).
Качественный анализ и бифуркационные диаграммы
Энтропия Колмогорова и ляпуновскив характеристические показатели Одним из наиболее сильных критериев стохастичности является положительность энтропии динамической системы. Для того, чтобы динамическая система демонстрировала стохастическое поведение, необходима локальная неустойчивость всех или почти всех её траекторий на компактном инвариантном подмножестве фазового пространства. Такой характер поведения траекторий называется устойчивостью по Пуассону [106], т.е. фазовая точка возвращается с любой степенью приближения в любое из пройденных ею ранее состояний. М.Борн [164] предложил критерий стохастичности поведения динамической системы: динамическая система будет демонстрировать непредсказуемое поведение,если при заданной неточности в начальных условиях определить степень конечного рассеяния траекторий динамической системы при любом времени t , а затем устремить неточность к нулю, но конечное рассеяние к нулю стремиться не будет. Это определе ниє можно записать, введя меру разбегания близких траекторий на единице времени [3j : Здесь неточность измерения, время наблюдения; - максимальное число различных траекторий, расстояние между которшш больше Є .Т.о. если траектории устойчивы по Ляпунову, т.е. близкие в начале изображающие точки не расходятся далеко, то М ,Т) не растет с ростом Т и К=0. Для квазипериодического движения, соответствующего незамкнутой обмотке тора, К тоже равно нулю. Величина К называется энтропией Колмогорова динамической системы или КС-энтропией (В честь А.Н.Колмогорова, Н.С.Крылова и Я.Г.Синая). Она характеризует среднюю скорость разбегания фазовых траекторий. Системы с одинаковой КС-энтропией имеют топологически эквивалентную динамику в фазовом пространстве.
Хота ни в реальном, ни в численном эксперименте непосредственно измерить КС-энтропию невозможно, она связана с другой важной характеристикой динамических систем - ляпуновскими характеристическими показателями (ЛХП), которрые тоже характеризуют среднюю скорость экспоненциального разбегания близких траекторий. Ляпуновские характеристические показатели вводятся след Изменение нормы функции \\и\ A.M.Ляпунов предложил измерять по шкале экспонент, отградированных некоторыми числами Л , характеризующими среднюю скорость изменения нормы Wy \\ вдоль всей траектории ЛХП представляет собой функционал, определенный на множестве норм \\y(t)$ , заданных на интервале (t0,) . Очевидно, что при Л 0 -Віт ІІуС ЛІ = « =» f а при
Если линеаризовать уравнение для возмущений то собственные вектора матрицы якобиана jl /Эх- образуют естественный базис (е± , а ЛХП есть скорость изменения нормы If ll вдоль этого базиса. Расположив Л в порядке убывания и сопоставив наибольшему .А первый собственный вектор, мы можем разложить вектор возмущений U по базису собственных векторов. В работе [165] показано, что вышеописанным алгоритмом можно измерить максимальный средний по аттрактору ляпуновский характеристический показатель. Песиным [117) доказана теорема о связи КС-энтропии и ЛХП:
Поскольку в трехглерных системах только один из ЛХП, а именно, наибольший, может быть больше нуля, то измерив его, мы сразу получим значение КС-энтропии. У систем с ограниченным фазовым объемом изображающие точ ки не могут разойтись на расстояние, превышающее размер аттрактора в фазовом пространстве. Поэтому для измерения КС-энтропии поступают следующим образом:
Цусть UCV) - траектория в фазовом пространстве динамической системы при начальном условии U(fr0) , 7/tf ) -малое возмущение начальной точки UCZ0) , a \0U(Z)\ -расстояние между исходной и возмущенной траекториями в момент времени Z . Тогда для неустойчивых траекторий, находящихся в ограниченной области фазового пространства \$U(Z)l будет расти до тех пор, пока при Г= Z эта величина не станет равной размеру аттрактора в фазовом пространстве. Выберем T=Z-Z0 , где Z достаточно велико. Разобьем интервал времени Т на п участков и пусть Ъ = Т / п , а \ = lz ( у г. і L п ). В момент времени Z расстояние между исходной и возмущенной траекториями станет равным \8uCZf-Z0)lm
Примем этот момент времени за начальный и рассмотрим исходную траекторию и новую возмущенную, отстоящую от исходной в момент времени 2/ " о на расстояние I $ U С %0 ) в направлении о и Ct1 - 0) . Тогда через время T—QZ расстояние между траекториями станет равным I Hs C2j ?f)\. На і -том шаге новое начальное условие для исходной траектории будет U(Zit) , а расстояние между исходной и возмущенной траекториями будет \&uiC%i %i )\ (см.рис.8). ующим образом. Рассмотрим уравнение (2-І).
Качественный анализ и бифуркационные диаграммы
Особенности применения классических методов
1. При использовании метода периодограмм для получения статистически состоятельных оценок необходимо усреднение по ансамблю реализаций. А.Оппенгеймом и Р.Шафером ГІ77, с,546], а также Р.Отне-сом и Л.Энохсоном [178] на примере белого шума было показано, что при отсутствии операции усреднения дисперсия оценки СИМ не уменьшалась при устремлении длины записи к бесконечности.
Обычно усреднение осуществляется таким образом: последовательность данных разбивается на непересекающиеся сегменты, вычисляются оценки Рт(-$) Для каждого сегмента, а затем получившиеся периодограммы усредняются по всем сегментам.
В нашем случае усреднение по ансамблю реализаций проводилось как этим способом, так и вариацией начальных условий,что эквивалентно. л л
2. Спектральные оценки РЄТ() и Pn(f) .вооб ще говоря, не идентичны. Одинаковые численные результаты они дают тогда, когда для оценки АКФ используется формула (2-12), а число вычисленных дискретных значений АКФ равно числу отсчетов данных [178].
3. Одной из основных особенностей при получении оценок СИМ, ограничивающих применение классических методов, является зависимость разрешающей способности спектра от длины реализа ции. Конечную длину реализации можно представить, как полу ченную из бесконечной с помощью перемещаемой прямоугольной функции окна. А это означает, что Фурье-преобразование реаль ной последовательности данных есть свертка требуемого преоб разования с преобразованием функции окна. Ширина главного ле пестка при Фурье-преобразовании функции окна не зависит от входных данных и является функцией длины реализации, а для то го, чтобы различить две близкие линии в спектре необходимо, чтобы ширина наиболее узкого спектрального отклика была боль ше, чем ширина главного лепестка. При использовании прямо угольного окна ширина главного лепестка (разрешение) резуль тирующего преобразования sinuf / Jrf на уровне 3 дб прибли зительно обратна времени наблюдения НAf сек. Для других окон разрешение пропорционально і/df- 1 гц. Сам факт нали чия окна приводит к утечке энергии главного лепестка спект ральной линии в боковые лепестки. Обзор свойств различных окон дан в [I79J , где показано, что плата за снижение уровня боковых лепестков - это всегда уширение главного лепестка преобразования окна, т.е. ухудшение разрешающей способности спектральных оценок.
На основе вышеизложенных соображений была разработана программа анализа спектров реализаций. Тестовые проверки показали качественную эквивалентность методов Елекмана-Тьюки и периодограмм для указанного случая, поэтому все результаты были получены методом периодограмм с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье.
Это важная статистическая характеристика стохастической автоколебательной системы, которую можно отнести к одному из косвенных критериев стохастичности. Программа, рассчитывающая гистограмму плотности вероятности амплитуд генерируемых колебаний, работает по следующему алгоритму.
В процессе численного интегрирования изучаемой системы дифференциальных уравнений выделяется одномерный массив,составленный из максимумов реализации. Интервал между наибольшим из максимумов и нулем разбивается на определенное количество участков. Чем это число больше, тем гистограмма точнее.Далее считается "число элементов массива, попавших на каждый участок и получившиеся таким образом числа нормируются на объем всего массива.
В этой главе были описаны алгоритмы основных применявшихся программ вычислительного эксперимента. Для решения дифференциальных уравнений применялась программа, реализующая схему Рунге-Кутта четвертого порядка точности при переменном шаге, и оптимальном распределении узлов интегрирования. По -грешность такой схемы Wn - О CZ ) j где Z - щаг интегрирования. Все методы Рунге-Кутта явные и одношаговые, поэтому они условно устойчивы. Условие устойчивости для схемы Рунге-Кутта четвертого порядка %max - ?& » где Л - максимальное собственное значение матрицы линеаризованной задачи. Расчеты показали, что для обеих изучавшихся систем тох должен быть порядка 0.1. Малость погрешности метода на шаге, вообще говоря, не гарантирует малость погрешности после конечного числа шагов. Точность счета для каждой решаемой задачи подбиралась экспериментально из тех соображений, что она должна быть минимальной еще не влияющей на достоверность результатов. Это требование объясняется необходимостью дробить шаг длч достижения заданной точности, что делается автоматически, а погрешность после конечного числа шагов зависит от величины 1% , где о - ошибки машинного округления. В реальных ЭВМ величина о фиксированна, следовательно, при уменьшении шага до значений, сравнимых с S" погрешность конечного результата может возрастать.
