Содержание к диссертации
Введение
1. Модели стохастических скачкообразных процессов в оптике 11
1.1. Дважды стохастические пуассоновские процессы с постоянной интенсивностью 13
1.1.1. Выходной процесс фотодетектора при воздействии суперпозиции узкополосных сигнала и гауссовского шума 15
1.1.2. Выходной процесс фотодетектора при воздействии сигналов с замираниями 17
1.2. Процессы с самовозбуждением 22
1.3. Дробовой шум 27
1.4. Процессы с самовозбуждением как дважды стохастические пуассоновские 30
2. Алгоритмы обработки пуассоновских процессов со случайной интенсивностью 35
2.1. Структура алгоритмов обнаружения и различения пуассоновских процессов с независимыми от времени случайными интенсивностями 35
2.2. Алгоритм обнаружения узкополосного оптического сигнала на фоне узкополосного гауссовского шума по статистике фотоотсчётов и анализ его характеристик 39
2.3. Алгоритм различения узкополосных оптических сигналов с различными интенсивностями на фоне узкополосного гауссовского шума по статистике фотоотсчётов и анализ его характеристик 48
2.4. Обнаружение оптических сигналов с неизвестной формой интенсивности 54
3. Аппроксимации статистик фотоотсчётов оптического излучения 66
3.1. Аппроксимации статистики фотоотсчётов сигнала лазера с флуктуирующей амплитудой 66
3.2. Аппроксимации статистики фотоотсчётов суперпозиции сигнала лазера с флуктуирующей амплитудой и узкополосного гауссовского шума 80
4. Алгоритмы обработки процессов рождения и гибели 85
4.1. Вероятностные характеристики процесса рождения, гибели и иммиграции 85
4.2. Эффективность обнаружения процессов рождения, гибели и иммиграции 87
4.3. Эффективность обнаружения и оценки параметров неоднородного процесса чистого рождения 95
4.4. Алгоритм обнаружения и оценки параметров однородного процесса рождения-гибели-иммиграции 108
Заключение 115
Литература 118
- Выходной процесс фотодетектора при воздействии суперпозиции узкополосных сигнала и гауссовского шума
- Алгоритм обнаружения узкополосного оптического сигнала на фоне узкополосного гауссовского шума по статистике фотоотсчётов и анализ его характеристик
- Обнаружение оптических сигналов с неизвестной формой интенсивности
- Эффективность обнаружения и оценки параметров неоднородного процесса чистого рождения
Введение к работе
Актуальность темы
Активное освоение оптического диапазона длин волн для целей связи и локации (в координаторах цели лазерных головок самонаведения, авиационных, артиллерийских и танковых лазерных прицелах, биноклях-дальномерах) привело к развитию оптико-электронных систем. В большинстве известной литературы для описания сигналов и шумов таких систем используются либо гауссов-ская, либо пуассоновская модели. Известно, что применение пуассоновской модели в оптике связано с дискретностью выходного процесса фотодетектора. Особенно заметным это явление становится при малых интенсивностях сигнала и шума. Только при больших значениях интенсивности пуассоновская модель естественным образом переходит в гауссовскую. Однако во многих случаях и пуассоновское представление выходного сигнала фотодетектора весьма приближённо и не соответствует физической природе явлений. Следовательно, необходимо использовать более сложные модели разрывных марковских процессов, например, достаточно широкий класс ветвящихся процессов. В современной теории оптической связи наиболее активно используются три класса таких процессов: дважды стохастические пуассоновские, процессы с самовозбуждением и процессы типа дробового шума. У дважды стохастического пуассонов-ского процесса интенсивность является случайным процессом. Этот вид разрывных марковских процессов позволяет учесть, например, такие явления, как флуктуации амплитуды и фазы оптических квантовых генераторов, замирание сигнала в канале распространения и пр. Выходной сигнал фото детектора может быть описан этим классом процессов как в случае полу классического, так и квантового описания взаимодействия излучения с веществом. Примерами процессов, относящихся ко второму и третьему классам, являются процессы, описывающие эффект «мёртвого времени» фотодетектора, а также конечную длительность каждого импульса тока, вызванного эмиссией фотоэлектрона. Таким образом, построение функционалов плотности вероятности для этих видов ветвящихся процессов, а также обнаружение и оценка параметров таких процессов на основе этих функционалов являются задачами актуальными в современной теории оптической связи и локации.
Целью работы является синтез и анализ алгоритмов временной обработки разрывных (скачкообразных) марковских процессов, широко используемых в теории оптической связи и локации с учётом дискретной структуры процесса фото детектирования. Для реализации этой цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:
-
Синтезированы оптимальные алгоритмы временной обработки пуассо-новских процессов со случайной интенсивностью и проведён их анализ.
-
Синтезирован алгоритм обнаружения сигнала с неизвестной формой интенсивности и проведён его анализ.
-
Предложены различные виды аппроксимаций статистики фотоотсчетов сигнала лазера с флуктуирующей амплитудой и суперпозиции такого сигнала с узкополосным гауссовским шумом.
-
Найдены статистические характеристики линейного однородного процесса рождения-гибели-иммиграции и характеристики обнаружения сигнала на выходе усилителя Люиселла при детерминированном и пуассоновском входном числе фотонов.
5. Синтезированы алгоритмы обнаружения линейного неоднородного процесса рождения с неизвестным временем прихода и оценки времени прихода и проведён их анализ.
Проблема исследования. Проблемой, исследуемой в работе, является разработка и статистический анализ алгоритмов обработки непуассоновских выходных сигналов фотодетекторов с учётом дискретной природы процесса фотодетектирования .
Методы проведения исследований. При решении поставленных задач в диссертации используются методы статистической радиофизики, математического анализа, теории вероятностей, теории статистических решений, теории марковских процессов. Для экспериментального исследования характеристик алгоритмов обработки сигналов на фоне помех использовались методы статистического моделирования.
Научная новизна работы. В работе получены следующие новые научные результаты:
-
Выполнен синтез и анализ алгоритма обнаружения узкополосного сигнала на фоне ограниченного по полосе гауссовского шума с учетом того, что наблюдаемый процесс является дважды стохастическим пуассонов-ским. Отличие полученного алгоритма от построенного при пуассонов-ской аппроксимации наблюдаемого процесса заключается в выборе величины порога обнаружения. На примере задачи приема узкополосного сигнала на фоне ограниченного по полосе гауссовского шума установлены диапазоны значений параметров сигнала и шума, для которых наблюдается удовлетворительное совпадение вероятностей общей ошибки при пуас-соновской аппроксимации наблюдаемого процесса и без неё.
-
Синтезирован алгоритм приёма пуассоновского потока с неизвестной формой плотности и проведён его анализ. В отличие от известных работ, в которых определяется проигрыш по каким-либо характеристикам (например, по ОСШ) при отклонении формы интенсивности от предполагаемой, в предложенном алгоритме осуществляется оценка непосредственно самой интенсивности на определённых интервалах времени, что позволяет определить эффективность обнаружения такого сигнала.
-
Предложены и исследованы различные варианты аппроксимаций распределений фотоотсчётов сигнала лазера с флуктуирующей амплитудой и его суперпозиции с узкополосным гауссовским шумом. В отличие от прямого использования этих распределений в алгоритмах обработки соответствующих процессов процедура расчета порога при этом существенно упрощается.
-
Найдено распределение вероятностей числа фотоотсчётов однородного линейного процесса рождения-гибели-иммиграпии и определены характеристики обнаружения такого процесса. В отличие от известной формулы для этого распределения получен явный вид распределения для любых параметров процесса.
-
Синтезированы алгоритмы обнаружения линейного неоднородного процесса рождения и однородного процесса рождения-гибели-иммиграпии с неизвестным временем прихода (моментом разладки) и оценки момента разладки. Рассчитаны характеристики обнаружения и оценки для линейного неоднородного процесса рождения. Показана возможность применения этого алгоритма для неоднородных пуассоновских процессов, интен-
сивность которых масштабирована случайным множителем с произвольным вероятностным распределением. В отличие от случая отсутствия параметрической априорной неопределённости для функционирования алгоритма требуется измерение не только количества скачков процесса на интервале наблюдения, но и моментов времени каждого скачка. Теоретическая значимость. Построены функционалы плотности вероятности для различных непуассоновских процессов как на основе распределений числа событий на фиксированном интервале времени, так и на основе управляющего уравнения. В случаях, когда применение первого метода затруднительно из-за отсутствия явного вида распределения и присутствует параметрическая априорная неопределённость, второй метод является более эффективным. Кроме того, построен функционал плотности вероятности пуассоновского процесса с неизвестной формой плотности.
Практическая ценность. Разработанные алгоритмы временной обработки оптических сигналов позволяют осуществить практическую реализацию оптимальных приёмных устройств в случае малой интенсивности сигнала, когда использование непрерывной гауссовской модели наблюдаемого процесса не соответствует физической сущности явлений. Кроме того, и в случае относительно сильного сигнала предлагаемые в работе модели оптических сигналов позволяют упростить синтез и анализ алгоритмов оптимального приёма для ряда задач. Например, предложенные в диссертационной работе алгоритмы могут найти применение при исследовании: систем оптической связи, активной и пассивной локации; сигналов в медицинской и технической диагностике; физических и статистических свойств природных объектов и материалов по их спонтанному и вынужденному излучению.
Достоверность. Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, подтверждается корректностью использования математического аппарата статистической радиофизики, совпадением новых результатов с ранее известными в предельных случаях, а также совпадением результатов статистического моделирования с теоретическими зависимостями.
Апробация работы. Результаты исследований, приведенные в данной диссертации, были представлены в виде докладов и обсуждались на: XIV, XVI, XVII Международных научно-технических конференциях «Радиолокация, навигация, связь - RLNC», Воронеж, 2008, 2010, 2011 гг.
Публикации. По теме исследования опубликовано 7 печатных работ, четыре из которых в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных работ.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы из 80 наименований. Объём работы составляет 125 страниц, в том числе 115 страниц основного текста, 2 таблицы, 42 рисунка.
Выходной процесс фотодетектора при воздействии суперпозиции узкополосных сигнала и гауссовского шума
Процессы с ограниченным последействием, зависящие лишь от числа скачков, используются для описания процесса фотодетектирования выход-ных сигналов квантовых усилителей, теоретических моделей которых к на-стоящему времени предложено довольно большое количество (см., напри-мер, [27,48,49,59]). Усилители часто используются для повышения чувстви-тельности приема систем радио и оптического диапазонов. В сантиметровом и миллиметровом диапазонах длин волн применяются квантовые усилители СВЧ (мазеры), в оптическом диапазоне – волоконно-оптические и полупро-водниковые лазерные усилители. Активная среда в таких усилителях обычно представляется в виде трех- или четырех-уровневой систем. Однако для ана-лиза статистики фотонов можно упростить описание среды и представить её как набор двухуровневых атомов. Для описания квантовых свойств оптиче-ского излучения часто используется модель Люисселла [49,59]. Такая модель описывает линейное нечувствительное к фазе усиление интенсивности па-дающего одномодового излучения. В этих условиях квантово-механический анализ усилителя может быть выполнен с использованием анализа диффе-ренциального уравнения типа уравнения Колмогорова. Переход к последне-му осуществляется достаточно просто от сложных операторных уравнений в случае использования модели Люиселла. Выходной процесс фотодетектора при приёме оптического сигнала, предварительно усиленного таким усилите-лем, принадлежит к классу процессов «рождения-гибели-иммиграции» (РГИ), свойства которых достаточно хорошо изучены в теории стохастиче-ских процессов [14, 35].
Рассмотрим некоторое первоначальное количество частиц среды . Предположим, что каждая частица может произвести другую подобную час-тицу с вероятностью в единицу времени или исчезнуть (абсорбироваться или разрушиться) с вероятностью в единицу времени . Кроме того, обозна-чим через – постоянная скорость, с которой могут появляться дополни-тельные частицы из внешнего источника. Подобные характеристики могут быть применены для описания поведения группы фотонов в квантовых уси-лителях. Действительно, там возможны как увеличение, так и уменьшение количества фотонов в результате нормальной абсорбции, стимулированной или спонтанной эмиссии. Рассмотрим некоторую атомную или молекуляр-ную систему, которая может существовать только на одном из двух близле-жащих уровней. В нормальных условиях ансамбль молекул находится в теп-ловом равновесии, большинство молекул находятся на нижнем уровне. Если может быть создан инверсный режим, при котором больше молекул будет находиться на верхнем уровне, то фотоны, проходящие через подобную сис-тему, будут скорее усиливаться, чем ослабляться. Подобного рода процессы происходят в мазерах [36]. Обозначим через – время распространения или глубина проникновения, – вероятность того, что частиц присутст-вует в момент (или на глубине) . Тогда, если , то вероят-ность (при линейной зависимости интенсивности от n) удовлетворяет известному прямому уравнению Колмогорова [70]:
Процесс, описываемый уравнением (1.29), называется процессом рождения-гибели-иммиграции. Он может быть и неоднородным, т.е. каждый из пара-метров может зависеть от времени.
Рассмотрим две идеальные ситуации, подтверждающие возможность использования уравнения (1.29). Вначале рассмотрим резонатор с идеальны-ми отражающими стенками. Пусть и – количество молекул на верх-нем и нижнем уровнях. Для простоты считаем, что отклик этих молекул не зависит от частоты. Если в резонаторе находится фотонов, то вероятность того, что один фотон будет поглощен в единицу времени, пропорциональна и , т. е. равна , где – константа. Аналогично, вероятность того, что в единицу времени вследствие стимулированной эмиссии появится но-вый фотон, равна . Спонтанная эмиссия также может производить но-вые фотоны с вероятностью . Из этого описания следует, что число фото-нов в резонаторе с идеальными отражающими стенками может быть описано с помощью уравнения (1.29), где . Отметим, что если сигнал вводится в резонатор через отверстие связи в волноводе то это приво-дит к увеличению параметра , так что .
В качестве второго примера рассмотрим фотонов, распространяю-щихся в канале, представляющем собой материал, содержащий молекулы с плотностью молекул в верхнем состоянии и молекул в нижнем. В этом случае картина полностью аналогична предыдущей, поэтому уравнение (1.29) представляет собой достаточно адекватное реальности уравнение, опи-сывающее поведение частиц в различных условиях, в том числе в оптических усилителях.
В отличие от распределения (1.28), решение уравнения (1.29) может быть записано в явном виде. Это даёт возможность построения алгоритмов обнаружения усиленных сигналов и проведения их анализа.
Теперь рассмотрим так называемое суперрегенеративное усиление [59], при котором скорость индуцируемой эмиссии намного превышает имею-щуюся скорость поглощения фотонов средой. В этом случае процесс погло-щения (абсорбции) не учитывается. При этом уравнение (1.29) преобразуется к виду:
Алгоритм обнаружения узкополосного оптического сигнала на фоне узкополосного гауссовского шума по статистике фотоотсчётов и анализ его характеристик
Таким образом, алгоритм обнаружения оптического сигнала с неиз-вестной формой интенсивности при наличии фонового излучения должен за-ключаться в формировании величины (2.45) и сравнении её с некоторым порогом , определяемым из заданного критерия эффективности. В даль-нейшем в качестве критерия эффективности будем рассматривать критерий идеального наблюдателя [30], в соответствии с которым необходимо мини-мизировать общую вероятность ошибки . Она определялась как , где – вероятность превышения порога обнаружения решающей статистикой (2.45) при выполнении гипотезы (отсутствие по-лезного сигнала на входе приёмника). Вероятность – это вероятность непревышения порога обнаружения решающей статистикой (2.45) при вы-полнении гипотезы (наличие полезного сигнала на входе приёмника). Оп-ределение вероятности ошибки осуществлялось с помощью статистиче-ского моделирования на ЭВМ по 50000 реализаций сигнала с фоном (гипоте-за ) и только фона (гипотеза ). При моделировании в случае выполне-ния гипотезы осуществлялось формирование пуассоновского потока «ме-тодом дискретных состояний» [6] с интенсивностью , рассчитывалось ко-личество фотоэлектронов на интервале наблюдения, формировалась доста-точная статистика в соответствии с формулой (2.45) и осуществлялось срав-нение с набором пороговых значений. При превышении порога фиксирова-лась ошибка. Вероятность определялась как отношение количества превышений порога в испытаниях к количеству этих испытаний. Ана-логичным образом вычисляется вероятность , за исключением того, что формировался пуассоновский поток с переменной интенсивностью «методом преобразования шкалы времени» [6]. Получив вероят-ность для набора пороговых значений , далее определялся тот порог, при котором эта вероятность минимальна. Эта веро-ятность и представляет собой искомую вероятность общей ошибки. Погреш-ность её расчёта при указанном числе реализаций по частоте, согласно [7], с вероятностью более 90% не превышает для значений вероятно-сти и при максимальном используемом значении вероят-ности . Это вполне приемлемо для проводимых исследований.
Рассматривались две задачи: обнаружение сигнала с известным време-нем прихода (для определённости полагаемым равным нулю) и со случайным (равномерно распределённым на интервале наблюдения) временем прихода. При моделировании полагалось, что форма интенсивности сигнала имеет экспоненциальный вид, а именно , где – момент прихода сигнала (равный либо 0, либо принимающий случайные значения от реализации к реализации на интервале наблюдения ), где – дли-тельность сигнала по уровню 0.9 от его полной энергии.
Были исследованы зависимости вероятности общей ошибки от пара-метров: , и отношения сигнал/шум где Здесь параметр характеризует ве-личину изменения интенсивности потока за время наблюдения; чем больше параметр , тем быстрее изменяется интенсивность потока. Параметр – это интегральная интенсивность потока фонового излучения.
На рис. 2.12 приведены зависимости при априори известном времени прихода , а на рис. 2.13 – при случайном времени прихода оп-тического сигнала. Кривые 1 на этих рисунках построены при , кривые 2 – при , кривые 3 – при , кривые 4 – при и, наконец, кривые 5 – при .
Из анализа рис. 2.12 и рис. 2.13 можно сделать следующие выводы. Ес-тественно, вероятность общей ошибки обнаружения при случайном времени прихода больше по сравнению со случаем априори известного и постоянного времени прихода. Кроме того, в обоих случаях (в первом – более явно, во втором – менее) в зависимостях наблюдаются минимумы. Следова-тельно, в алгоритме (3.4) величина не должна выбираться слишком боль-шой, как следует из стандартных умозаключений. Малые значения парамет-ра приводят к несколько завышенным вероятностям ошибки, что достаточно очевидно, так как при этом интервалы разбиения являются слиш-ком большими, и в результате на оценку интенсивности сигнала будет ока-зывать существенное влияние фоновое излучение. Если же велико, то увеличивается количество оцениваемых параметров, что также приводит к росту вероятности ошибки. Видно, что для рассматриваемых случаев опти-мальное значение , обеспечивающее минимум вероятности общей ошиб-ки, должно быть порядка 47.
Отметим также, что, как и всегда [10, 34] в оптических задачах, вероятность общей ошибки зависит не только от отношения сигнал/шум, но и от интен-сивности фонового излучения (при постоянном отношении сигнал/шум).
Таким образом, с помощью компьютерного моделирования получены зависимости вероятности общей ошибки от различных параметров оптиче-ских сигнала и шума в случае неизвестной формы интенсивности потока сиг-нала. Следует отметить, что в известных работах по данной тематике синтез оптимальных структур обнаружителей при неизвестной форме интенсивно-сти потока сигнала не был выполнен. Влияние формы интенсивности потока сигнала, в основном, исследовалось либо на качественном уровне [28], либо определялся проигрыш по каким-либо характеристикам (например, по ОСШ) при отклонении её формы от предполагаемой [20]. Здесь выполнены синтез и анализ оптимального алгоритма обнаружения оптического сигнала при отсутствии информации о форме интенсивности этого сигнала. Анализ приведенных результатов моделирования свидетельствует о следующем. По-вышение эффективности обнаружения (наличие минимума в зависимости при определенном значении параметра ) не сильно зависит от от-ношения сигнал/шум. Подобная зависимость более явно проявляется при больших интенсивностях шума и при достаточно быстром изменении ин-тенсивности сигнала во времени, т.е. при достаточно больших величинах па-раметра .
Выводы и результаты к разделу 1. На примере задач обнаружения и различения сигналов с различными интенсивностями на фоне узкополосного гауссовского шума по раз-рывному марковскому процессу на выходе фотодетектора проведено сравнение зависимостей вероятности общей ошибки для лагерровской и пуассоновской модели наблюдаемого процесса. Установлены диапа-зоны значений параметров сигнала и шума, при которых наблюдается хорошее совпадение характеристик алгоритмов.
Проведён анализ этого алгоритма по критерию идеального наблюдате-ля для априори известного и случайного равномерно распределенного времени прихода. Установлено оптимальное в смысле минимума веро-ятности общей ошибки число интервалов оценки интенсивности.
Применение методов 2.1 для синтеза алгоритмов приема оптических сигналов с флуктуирующей амплитудой становится проблематичным в слу-чае сложных многопараметрических распределений интенсивности наблю-даемого процесса. При реализации алгоритма приёма таких сигналов доста-точно сложно провести расчёт порога по приведенным ранее формулам (2.7)-(2.9). Одним из способов решения этой проблемы является аппроксимация сложных распределений интенсивности процесса и фотоотсчётов более про-стыми.
Аппроксимации статистики фотоотсчётов сигнала лазера с флуктуирующей амплитудой В данном параграфе рассматривается предложенный выше подход к упрощению расчёта порога для практически важного обобщения модели вы-ходного процесса фотодетектора (1.11), соответствующего сигналу лазера с флуктуирующей амплитудой в классическом приближении. Для адекватного описания лазерного излучения необходимо учитывать шумовые воздействия. Естественными источниками шума в оптическом диапазоне являются тепло-вые шумы резонаторов и спонтанное излучение атомов (молекул) активной среды. В этих условиях для описания лазерного излучения чрезвычайно эф-фективным является его квазигармоническое представление [3, 56] – форму-ла (1.4).
Для того, чтобы определить статистику фотоотсчётов для лазера с флуктуирующей амплитудой, следует найти вначале одномерный закон рас-пределения интенсивности . Наиболее просто это можно сделать, ог-раничившись стационарным одномодовым режимом генерации, а также гаус-совской -коррелированной моделью эквивалентного шума. В соответствии с [3] плотность распределения вероятности огибающей в этом случае имеет вид где , , – интеграл Лапласа [12]. Здесь – порог генерации, – коэффициент усиления, – коэффициент потерь, характеризует нелинейность генератора, – резонансная частота, – спек-тральная плотность мощности результирующего шума в лазере. Коэффици-енты усиления и нелинейности определяются формулами , . Здесь , определяются первым и вторым членом разложения диэлектрической восприимчивости активного вещества в ряд по степеням поля . Частота определяется формулой . Здесь - скорость света в вакууме, - длина резонатора, - це-лое положительное число. Отметим, что параметр характеризует режим работы лазера: при наблюдается так называемый подпороговый режим генерации, а при – надпороговый режим.
Обнаружение оптических сигналов с неизвестной формой интенсивности
Таким образом, алгоритм обнаружения сигнала оптического усилите-ля с неизвестным временем прихода при наличии фонового излучения дол-жен заключаться в формировании величины , нахождении её максимума по и сравнении его с некоторым порогом , определяемым из заданного критерия эффективности. В дальнейшем в качестве критерия эффективности будем рассматривать критерий идеального наблюдателя [30], в соответствии с которым необходимо минимизировать вероятность общей ошибки . Она определялась как , где – вероятность превышения поро-га обнаружения решающей статистикой (4.23) при выполнении гипотезы (отсутствие полезного сигнала на входе приёмника). Вероятность – это вероятность непревышения порога обнаружения абсолютным максимумом решающей статистики (4.23) при выполнении гипотезы (наличие полез-ного сигнала на входе приёмника). Определение вероятности ошибки осуществлялось с помощью статистического моделирования на ЭВМ по 10000 реализаций сигнала с фоном (гипотеза ) и только фона (гипотеза ). При моделировании (в случае выполнения гипотезы ) осуществля-лось формирование однородного пуассоновского потока с интенсивностью «методом дискретных состояний» [6], рассчитывалось количество фотоэлек-тронов на интервале наблюдения, формировалась достаточная статистика в соответствии с формулой (4.23), находился её максимум и осуществлялось сравнение с набором пороговых значений. При превышении порога фиксиро-валась ошибка. Вероятность определялась как отношение количества превышений порога в испытаниях к количеству этих испытаний. Ана-логичным образом вычисляется вероятность , только формировалась сумма пуассоновского потока с плотностью и неоднородного процесса рождения с интенсивностью (1.31). Формирование последнего осуществля-лось «методом » [6]. Получив вероятность для набора пороговых значений , далее определялся тот порог, при котором эта вероятность минимальна. Эта вероятность и представляет собой искомую вероятность общей ошибки. Погрешность её расчёта при указанном числе реализаций по частоте, согласно [7], с вероятностью более 90% не превышает для значений вероятности и при максималь-ном используемом значении вероятности . Это вполне приемлемо для проводимых исследований.
В свою очередь алгоритм оценки неизвестного времени прихода сигна-ла оптического усилителя при наличии фонового излучения заключался в формировании величины и нахождении положения её абсолютного мак-симума по параметру :
Определение характеристик оценки осуществлялось с помощью стати-стического моделирования на ЭВМ по 10000 реализаций сигнала с фоном (гипотеза ). Оценка производилась только в случае, когда эта гипотеза верна. Для каждой из реализаций функции правдоподобия суммарного про-цесса находилось положение ее абсолютного максимума по 50 значениям времени прихода на интервале , взятых с равномерным шагом. Затем для расчёта смещения находилось среднее по реализациям , а для расчёта рассеяния – . Погрешность расчёта рассеяния при ука-занном числе реализаций по частоте, согласно [7], с вероятностью более 90% не превышает для значений рассеяния и при максимальном используемом значении рассеяния . Это вполне прием-лемо для проводимых исследований.
При моделировании форма функции полагалась следующей: . Были исследованы зависимости вероятности общей ошибки и рассеяния оценки момента разладки от отношения сигнал/шум (ОСШ) при различных значениях средней интенсивности сигнала и скорости затухания интенсивности неоднородного процесса рождения . Здесь – начальное число частиц на входе усилителя, – истинное значение момента разладки, а величина является коэффициентом усиления, время наблюдения полагалось для определённости, равным 1. Для рисунков 4.5,4.6 и 4.8,4.9 , а и для всех рисунков. На рис.4.5 приведены зависимости при различных значениях средней интенсивности сигнала. Для всех кривых значение скорости затуха-ния интенсивности рождения . Кривая 1 построена для , кривая 2 – для , кривая 3 – для .
Из анализа рис.4.5 можно сделать следующие выводы. С ростом от-ношения сигнал/шум вероятность общей ошибки убывает. Кроме того, как и всегда в оптических задачах, она зависит не только от отношения сиг-нал/шум, но и от интенсивности сигнального излучения. Чем больше её зна-чение , тем меньше вероятность общей ошибки при тех же значениях от-ношения сигнал/шум.
Из анализа рис.4.6 можно сделать следующие выводы. При одинако-вой интегральной интенсивности сигнала вероятность общей ошибки меньше в случае более быстрого убывания интенсивности рождения со временем.
Из анализа рис.4.7 можно сделать следующие выводы. Чем больше начальное число частиц и меньше интенсивность процесса рождения , а значит и коэффициент усиления , а также скорость затухания интенсивно-сти рождения , тем меньше зависимости отличаются от пуассонов-ской аппроксимации, так как лучше удовлетворяются предельные переходы (4.24) и (4.25). Вероятности общей ошибки при становятся сущест-венно больше, а при лишь немного отличаются от вероятности об-щей ошибки при пуассоновской статистике (кривая 4). Таким образом, алго-ритм приёма, описанный в [9], остаётся справедливым для случая наличия усилителя только в случае больших входных сигналов и небольших коэффи-циентов усиления. Как видно из сравнения кривых 1 и 4, вероятность общей ошибки будет меньше в случае более быстрого затухания усиленного сигнала (большего ) при одинаковой средней интегральной интенсивности.
Эффективность обнаружения и оценки параметров неоднородного процесса чистого рождения
Из анализа рис.4.3 следует, что вероятность общей ошибки возрас-тает с ростом параметра иммиграции фотонов . Это объясняется всё той же формулой (4.14), из которой видно, что рост параметра иммиграции соответ-ствует увеличению шума спонтанного излучения усилителя. Причем ско-рость роста вероятности общей ошибки тем больше, чем больше коэффици-ент усиления (чем меньше ). Остальные выводы аналогичны выводам к рис. 4.2.
На рис. 4.4 представлены зависимости вероятности общей ошибки от интегральной интенсивности темнового тока фотодетектора при трех различных значениях параметра поглощения . На всех кривых . Кривые 1 на этом рисунке построены для , кри-вые 2 – для , кривые 3 – для . Кроме того, на этом рисунке кри-вой 4 представлена зависимость вероятности общей ошибки от инте-гральной интенсивности темнового тока фотодетектора при отсутствии усилителя. Несложно показать, что эта вероятность описывается формулой:
Из анализа рис. 4.4 видно, что вероятность общей ошибки возраста-ет с ростом интенсивности темнового тока , т.к. увеличивается суммарный шум. Скорость возрастания вероятности тем меньше, чем больше коэффици-ент усиления, т.к. в этом случае он не влияет на скорость приращения сум-марного шума. Как и следовало ожидать, при случайном входном сигнале вероятность общей ошибки существенно больше, чем при детерминирован-ном. Остальные выводы справедливы и для этого случая. Из сравнения веро-ятностей ошибок при наличии и при отсутствии усилителя можно сделать следующие выводы. Наличие предусилителя может привести как к улучше-нию, так и к ухудшению эффективности обнаружения сигналов: все зависит от его характеристик, а точнее, от соотношения между такими его парамет-рами, как , и . Очевидно, что наличие предусилителя будет способст-вовать повышению эффективности обнаружения оптического сигнала с рос-том параметра рождения и с уменьшением параметров поглощения и иммиграции . Кроме того, результат сравнения также зависит от интенсив-ности темнового тока . Точные количественные результаты подобного сравнения видны из рис. 4.4, а также следуют из формул (4.5)-(4.7), (4.12), (4.13) и (4.15).
Алгоритмы временной обработки разрывных (скачкообразных) мар-ковских процессов, рассмотренные в 2.1-2.3 и 4.2, применимы только в случае полной априорной информации о параметрах сигнала и шума. В слу-чае же параметрической априорной неопределённости на данный момент хо-рошо исследованы алгоритмы только для пуассоновских процессов [23]. В этом параграфе, основываясь на [25], решим задачи обнаружения неоднород-ного процесса рождения с неизвестным временем прихода (моментом раз-ладки) и оценки момента разладки . Как уже отмечено ранее, такие процессы соответствуют процессу фотодетектирования оптического сигнала, предва-рительно усиленного усилителем Люиселла, в суперрегенеративном прибли-жении (т.е. в предположении о том, что поглощением фотонов в среде можно пренебречь).
Предположим, что на интервале времени наблюдается дискрет-ный случайный процесс, описываемый моделью вида где – неоднородный пуассоновский процесс с детерминированной ин-тенсивностью , – неоднородный процесс рождения с интенсивно-стью (1.31). Параметр , характеризующий момент наступления разладки, неизвестен. Задача заключается в синтезе и анализе алгоритмов обнаружения неоднородного процесса рождения и оценивания момента eго начала. Для решения поставленной задачи необходимо определить функцию правдоподобия для неоднородного процесса рождения и для суммар-ного процесса . Рассмотрим интервал времени , на котором процесс суще-ствует. Обозначим через моменты времени наступления собы-тий, соответствующих . Положим и разобьём на малые ин-тервалы времени так, чтобы их количество было равно , причём из них имело длительность , а оставшийся, примыкающий к , – длитель-ность . При этом, очевидно, . Положим и будем счи-тать, что соответствующие им подынтервалы могут содержать не более од-ного события. Тогда, аналогично [25], можно определить функционал плот-ности вероятности для интервала как произведение вероятностей по-явления либо ни одного, либо одного события на рассматриваемых малых подынтервалах. Подобные вычисления выполняются для каждого из подынтервалов . В результате функционал плотно-сти вероятности для неоднородного процесса рождения получится как произ-ведение функционалов плотности вероятности для каждого из этих интерва-лов (вследствие их независимости):
