Содержание к диссертации
Введение
1. Сложная динамика распределенного параметрического генератора бегущей волны 18
1.1. Постановка задачи и основные уравнения 18
1.2. Условия самовозбуждения.. 23
1.3. Стационарные режимы одночастотной генерации 27
1.3.1. Теория 27
1.3.2. Численное моделирование стационарных режимов генерации 34
1.4. Возникновение автомодуляции 39
1.5. Численное моделирование режимов сложной динамики и хаоса 43
1.5.1. Переход к хаосу в режиме фазовой синхронизации 43
1.5.2. Переход к хаосу в центре зоны генерации. Общий случай 48
1.5.3. Переход к хаосу вблизи границ зоны генерации 52
1.6. Выводы 54
2. Нестационарная теория распределенного параметрического генератора встречной волны 56
2.1. Основные уравнения 57
2.2. Условия самовозбуждения 58
2.3. Стационарные режимы генерации. Теория 60
2.4. Результаты численного моделирования 64
2.4.1. Переход к хаосу в режиме фазовой синхронизации 64
2.4.2. Разрушение фазовой синхронизации при большой надкритичности 69
2.5. Выводы 70
3. Автомодуляция и хаос при параметрическом взаимодействии электронного потока с полями двух незамедленных электромагнитных волн 72
3.1. Основные уравнения и законы сохранения 74
3.1.1. Основные уравнения нестационарной нелинейной теории ЛСЭ-скаттрона 74
3.1.2. Приближение малой амплитуды комбинационной волны 78
3.1.3. Приближение больших пространственных зарядов 79
3.1.4. Законы сохранения 82
3.1.5. Численная схема решения нестационарных уравнений ЛСЭ 85
3.2. Линейная нестационарная теория ЛСЭ-скаттрона: коэффициент усиления усилителя и условия самовозбуждения генератора 89
3.2.1. Кинематическая модель без учета пространственного заряда 89
3.2.2. Учет влияния пространственного заряда 95
3.2.3. Линейная нестационарная теория в случае больших пространственных зарядов 97
3.3. Оценка параметров 101
3.4. Автомодуляция в ЛСЭ-усилителе 106
3.4.1. Динамика ЛСЭ-усилителя в приближении малой амплитуды комбинационной волны 107
3.4.2. Учет влияния пространственного заряда 112
3.4.3. Динамика ЛСЭ-усилителя с учетом нелинейности процессов в электронном потоке 117
3.5. Нелинейная динамика ЛСЭ-генератора 121
3.5.1. Динамика в приближении малой амплитуды комбинационной волны 121
3.5.2. Учет влияния пространственного заряда 127
3.5.3. Моделирование динамики ЛСЭ-генератора с учетом перегруппировки электронов 133
3.6. Выводы 139
Заключение 142
Благодарности 146
Литература 147
- Стационарные режимы одночастотной генерации
- Численное моделирование стационарных режимов генерации
- Разрушение фазовой синхронизации при большой надкритичности
- Линейная нестационарная теория ЛСЭ-скаттрона: коэффициент усиления усилителя и условия самовозбуждения генератора
Введение к работе
В настоящее время одной из актуальных проблем радиофизики является изучение пространственно-временного хаоса (турбулентности) в неравновесных средах [1-3]. Турбулентность в таких средах возникает за счет развития различных волновых не устойчивостей. Одним из важных примеров является трехволновая параметрическая или распадная неустойчивость [2-8], в основе которой лежит эффект усиления низкочастотных сигнальной и холостой волн за счет перекачки в них части энергии интенсивной высокочастотной волны накачки при выполнении резонансных условий частоты и волновые числа сигнала, накачки и холостой волны соответственно.
Радиофизические системы, в которых имеет место волновое параметрическое взаимодействие, широко используются для усиления и генерации колебаний в радио-, микроволновом и оптическом диапазонах [8-11]. Особое значение имеет параметрическое взаимодействие световых волн в нелинейном диэлектрике, которое лежит в основе действия оптических параметрических генераторов (ОПГ) [9-12]. В радиодиапазоне распределенные параметрические усилители и генераторы могут быть реализованы на отрезках нелинейных линий передачи [8]. В сверхвысокочастотном (СВЧ) диапазоне можно осуществить параметрическое усиление магнитостатических волн в ферромагнитных пленках [8,13], а также различных волн в электронных потоках [8,14] и плазменно-пучковых системах [15]. На сегодняшний день среди параметрических устройств вакуумной электроники наибольший интерес представляют лазеры на свободных электронах (ЛСЭ) [15,16]. С точки зрения теории волн [2,17], в ЛСЭ происходит параметрический распад волны накачки, роль которой играет ондулятор, па электромагнитную сигнальную волну (поперечную) и медленную волну пространственного заряда в электронном пучке (продольную). Причем, ввиду того, что в пучке возбуждается волна с отрицательной энергией, распад происходит с повышением частоты. Это открывает возможность теоретически безграничного повышения частоты излучения. В частности, в последнее время обсуждаются перспективы создания ЛСЭ вплоть до рентгеновского диапазона (см., например, [18]).
С точки зрения нелинейной динамики, волновые параметрические генераторы относятся к классу распределенных автоколебательных систем (РАС) с запаздывающей обратной связью. По сравнению с конечномерными системами успехи в изучении сложной Введение
динамики распределенных систем пока еще не столь велики, что обусловлено как техническими трудностями при проведении вычислительных и физических экспериментов, так и чрезвычайно сложной картиной различных динамических режимов в пространстве нескольких управляющих параметров. Как показывают исследования последних лет, радиофизические и электронные РАС демонстрируют богатый набор динамических режимов, включая переходы к хаосу по всем известным сценариям, характерным для конечномерных динамических систем [19-25]. Следует ожидать, что и для систем с параметрическим взаимодействием будет характерно подобное поведение. Отметим, что параметрическая неустойчивость относится к числу универсальных нелинейных феноменов и проявляется не только в радиофизике и электронике, но и в гидродинамике [6,26], физике плазмы [4,15,27,28], нелинейной оптике [10-12], в различных механических системах [29,30] и т.д. Поэтому построение полной картины сложной динамики волнового параметрического взаимодействия будет существенным шагом для выяснения общих закономерностей хаотического поведения в распределенных средах.
Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики и нелинейной динамики распределенных систем.
Стационарные режимы одночастотной генерации
Когда параметр накачки превышает пороговые значения, которые анализировались в п. , происходит самовозбуждение автоколебаний. Амплитуда колебаний начинает нарастать до тех пор, пока нелинейные эффекты не приведут к ограничению неустойчивости. В результате переходный процесс завершается установлением какого-либо стационарного (в широком смысле) режима генерации, статистические характеристики которого не меняются со временем. Эти режимы могут быть одночастотными (одномодовыми), многочастотными (многомодовьгми) или хаотическими. Согласно сложившимся представлениям о динамике РАС (и вообще автоколебательных систем) [2,3,19-25,54-57,59-63], при не слишком больших превышениях над порогом генерации устанавливаются режимы одночастотных колебаний с постоянной амплитудой. Следуя терминологии, принятой в электронике, будем называть подобные режимы стационарными. Рассмотрим их основные свойства в данном разделе. Многие важные свойства режимов стационарной генерации на основной моде можно исследовать аналитически. Перейдем в уравнениях (1,12)-(1.14) к вещественным амплитудам а, и фазам (р7, полагая Aj - ctj ехр Г/ф;). Получим где Ф = ф3 -ф2 — j p В режиме стационарной одночастотной генерации амплитуды волн не зависят от времени, а фазы зависят по линейному закону ф (,т) = П т + ф (f;), причем Q3 =&i +fi2, так чтобы от времени не зависела величина Ф. Но поскольку частота волны накачки, создаваемой внешним генератором, фиксирована, имеем Cii 0, следовательно, Ц = -Q; = П. Таким образом, уравнения (1.51)-(1.53) принимают вид Важно отметить, что поскольку Ф зависит только от координаты %, фазы взаимодействующих волн в любой точке жестко связаны, т.е. в стационарном режиме имеет место синхронизация фаз. Уравнения для амплитуд (1.48)-(1.50) в стационарном случае принимают вид Что касается граничных условий (1.17), (1.18), то они будут выглядеть следующим образом 1. Сложная динамика распределенного параметрического генератора
Для величины Ф граничное условие следует выбирать в виде Ф(0) = 0, иначе производная на левой границе обращается в бесконечность. Отметим, что из уравнения (1.62) следует, что набег фазы за время прохождения сигнала по петле обратной связи остается постоянным, или, согласно терминологии работы [59], сохраняется фазовый топологический инвариант. Таким образом, мы получили систему из четырех обыкновенных уравнений (1.57)-(1.60). Следует обратить внимание, что параметр и в эти уравнения не входит, т.е. стационарные решения не зависят от расстройки групповых скоростей (в выбранной нами нормировке переменных). Далее, из уравнений для амплитуд (1.58)-(1.60) нетрудно получить законы сохранения где /2 — постоянные, определяемые из граничных условий. Эти соотношения, известные в теории параметрических колебаний и волн как соотношения Мэнли-Роу [2,4,5,8,9], показывают, что мощность волны накачки расходуется на усиление сигнальной и холостой волн, В отличие от случая параметрического усилителя, когда амплитуды всех волн на границе системы известны и постоянные 112 определяются без труда, граничные условия (1.61) позволяют найти только одну из этих величин, а именно, /2 = 1. Поэтому продвинуться далее в аналитическом решении системы стационарных уравнений не удается. Исключением является случай цг = 0, что соответствует центру зоны генерации, т.е. оптимальным условиям для самовозбуждения. Напомним, что при этом частота генерации равна нулю (в используемой здесь нормировке переменных). Тогда уравнение (1.57) принимает вид Это равенство должно выполняться при любом 4 , следовательно, нетривиальным решениям соответствует этФ-О. (1.65) Таким образом, в центре зоны генерации условие синхронизации фаз принимает простой вид ф = Фз - Фі - Фг =
Далее используем следствие из соотношений Мэнли-Роу а\ ( ) + а ( ) = 1. Полагая где введено обозначение z = u„ и подставляя эти выражения в уравнения (1.58)-(1.60), приходим к уравнению маятника Здесь и далее нижний индекс z обозначает дифференцирование по соответствующей переменной. Кроме того, из граничных условий (1.61) находим, что Обратим внимание, что уравнение (1.67) описывает маятник, который при 0 = 0 находится в неустойчивом состоянии равновесия, так что интересующим нас стационарным решениям отвечают ротационные колебания (движения с прокручиваением). Уравнение (1.67) имеет очевидный первый интеграл (интеграл энергии) где Е = const — полная энергия маятника. С учетом граничных условий (1.68), (1,69) отстода можно найти, что
Численное моделирование стационарных режимов генерации
При превышении параметром накачки а некоторого критического значения ат стационарные режимы теряют устойчивость, и возникает автомодуляция, т.е. периодические осцилляции амплитуды выходного сигнала. При этом в спектре появляется пара сателлитов, симметрично отстоящих от основной частоты. Как показали проведенные исследования, автомодуляционная неустойчивость всегда возникает в соответствии с частотным механизмом [60,61,59,66], т.е. связана с жестким возбуждением еще одной (или нескольких) собственных мод резонансной колебательной системы. Такой механизм возникновения автомодуляции характерен для многих РАС, таких, например, как ЛБВ-генераторы [24,25,60,61], пучково-плазменные генераторы с запаздыванием [62,63], ЛОВ при больших отражениях [23] и лазеры на свободных электронах [68-70]. Название «частотный» говорит о том, что на начальной стадии развития неустойчивости доминируют осцилляции фазы колебаний (конечно, это не означает, что осцилляции амплитуды отсутствуют).
Следует, однако, заметить, что в данном случае в режиме автомодуляции на начальной стадии переходного процесса по-прежнему устанавливается синхронизация фаз sint3 = 0, где Ф = Фз — ф, - ф2, так что осциллируют только амплитуды. По этой причине общепринятая терминология представляется не вполне удачной. Для определенности все представленные ниже результаты соответствуют случаю, когда \/ = 0 (центр зоны генерации), и и = -1, т.е. групповые скорости волны накачки и холостой волны одинаковы. То, какие именно моды возбуждаются на стадии автомодуляции, определяется в основном параметром запаздывания 5. В этом убеждает рис. 1.8, где приведена зависимость частоты автомодуляции П1Ш от 5. Частоты рассчитывались непосредственно вблизи порога автомодуляции asm , который слабо зависит от 5 . Кружками изображены данные численного эксперимента, сплошными линиями — собственные частоты, построенные согласно формуле (1.25). Видно, что Qsm всегда достаточно близка к одной из собственных частот резонатора (соответствие тем лучше, чем больше р, т.е., чем выше добротность). Возбуждаются моды, частота которых наиболее близка к частоте, на которой инкремент автомодуляционной неустойчивости максимален (эта частота примерно равна 2п). При малых 5 это моды с номерами и = ±1. С ростом 8 собственные частоты, как видно из формулы (1.25), уменьшаются, и инкремент неустойчивости падает. Соответственно, значение аш слегка увеличивается.
Наоборот, инкремент мод с я = ±2 увеличивается. В области б - 0.8 т 0.9 становится возможным одновременное возбуждение двух пар паразитных мод, так что автомодуляция является квазипериодической. При 5 0.9 вторая мода подавляет первую в процессе конкуренции, и авто модуляция вновь становится периодической. На рис. 1.9 изображена типичная картина переходного процесса в этом случае. На начальной стадии происходит быстрое нарастание основной (нулевой) моды, а затем — возбуждение мод с и = ±1, что приводит к глубоким осцилляциям амплитуды. Однако эти осцилляции затухают (т.е. побочные моды подавляются) и сменяются медленно нарастающими осцилляциями с более высокой частотой, что соответствует медленному возбуждению мод с п - ±2. Расчеты показывают, что дальнейшее увеличение времени запаздывания б приводит к постепенному переходу к автомодуляции на базе мод со все более высокими номерами, причем одновременно возбуждается все большее число мод (рис. 1.8). Очевидно, что это обусловлено сгущением спектра собственных частот резонатора (1.25). Автомодуляция возникает жестко, т.е. установившаяся амплитуда паразитной моды сразу принимает конечные значения. После того, как превышен порог автомодуляции, переходный процесс, изображенный на рис. 1.9, завершается формированием солитоноподобного импульса, периодически распространяющегося вдоль системы. Аналогичные режимы с образованием солитонов бьши обнаружены также в работе [44]. На рис. 1.10 приведена соответствующая картина пространственно-временной динамики, а также проекция фазового портрета и спектр выходного сигнала. Данный режим является сильно нелинейным и характеризуется появлением в спектре большого числа гармоник частоты автомодуляции Qsm, которые близки к частотам собственных мод Q„, и = 4,6,.,. В установившемся режиме амплитуды всех гармоник постоянны, а их фазы жестко связаны. Таким образом, реализуется режим самосинхронизации мод, характерный и для других резонансных генераторов, таких как оптические лазеры, ЛБВ-генераторы с ЗОС, резонансные ЛОВ, лазеры на свободных электронах и др. [3,10,23-25,68-70]. При этом одновременное возбуждение большого числа мод резонатора, частоты которых жестко связаны между собой, приводит к образованию солитона. Отметим, что процессы генерации параметрических солитонов представляют практический интерес в нелинейной оптике в связи с проблемой генерации ультракоротких импульсов [71]. Итак, в данном случае как частоты автомодуляционных сателлитов, так и жесткий характер их возникновения убедительно свидетельствуют в пользу частотного механизма. Поэтому упрощенные методы типа отображения последования (1.80) [65] не способны корректно описать режимы автомодуляции. Действительно, отображение принципиально описывает динамику только одной собственной моды, или в терминах работы [59] — режимы с сохранением фазового топологического инварианта, тогда как частотный механизм связан с возбуждением нескольких мод. При этом фазовый инвариант не сохраняется. Как известно, частотный механизм проявляется в случае, когда АЧХ усилителя вблизи основной частоты имеет вогнутый, седлообразный участок [59-61].1 Для проверки были выполнены расчеты усиления гармонического сигнала в параметрическом усилителе без обратной связи. Граничное условие для сигнальной волны задавалось в виде а, ( = 0) = а0ехр(Ют). На рис. 1.11 приведены частотные зависимости выходного сигнала при фиксированном а и при разных амплитудах входного сигнала. При малых а0 (кривая 1) АЧХ выпуклая в достаточно широкой области вблизи максимума, приходящегося на частоту точного резонанса Q = 0, и соответствует линейной теории (п. 1.2). С ростом а0 амплитуда выходного сигнала увеличивается (кривая 2), пока не достигнет максимально возможного значения .Jl + a0 , соответствующего полной перекачке энергии накачки в сигнальную волну. После этого на основной частоте начинается обратный процесс регенерации накачки и выходной сигнал падает (см. рис. 1.4), тогда как на соседних частотах, где инкремент неустойчивости меньше, этот эффект еще не сказывается. Таким образом, АЧХ становится локально вогнутой вблизи основной частоты (кривые 3,4), что подтверждает наличие частотного механизма потери устойчивости.
Разрушение фазовой синхронизации при большой надкритичности
Исследование динамики системы в общем случае, когда величины Al2i считаются комплексными, показывает, что при не слишком больших а фазовая траектория в ходе переходного процесса притягивается к многообразию sin Ф = 0, т.е. фазы взаимодействующих волн синхронизуются. После этого динамика системы становится полностью аналогичной случаю вещественных амплитуд, рассмотренному в п. 2.4,1. Вблизи порога перехода к хаосу синхронизация фаз сохраняется, и сценарий перехода к хаосу остается тем же, что и для случая вещественных амплитуд. На рис. 2.8 приведены зависимости от времени амплитуды выходного сигнала и разности фаз в точке = 0.5, иллюстрирующие данную картину. Однако при большой надкритичности, когда порог перехода к хаосу значительно превышен, амплитуды волн испытывают сильные осцилляции, что приводит к возникновению состояний с быстро меняющимися фазами и синхронизация фаз нарушается (рис. 2.9). Участки нарастания осцилляции амплитуды, когда фазы синхронизованы, чередуются с участками нерегулярных колебаний, соответствующими разрушению фазовой синхронизации. Такое поведение аналогично описанному в п. 1.5.2 для генератора попутной волны, однако в данном случае разрушение фазовой синхронизации происходит позднее перехода к хаосу. Отметим, что разрушение синхронизации при больших значениях параметра накачки характерно и для системы (2.43), на что указано в [86].
Представленные в данной главе результаты убедительно свидетельствуют о том, что в системе трех параметрически взаимодействующих волн, одна из которых является встречной, возможно возбуждение хаотических автоколебаний, имеющих детерминированную природу. Исследование показало, что по мере увеличения амплитуды волны накачки, колебания становятся хаотическими, причем переход к хаосу происходит жестко. Особый интерес вызывает тот факт, что хотя исследуемая система является распределенной и характеризуется бесконечно большим числом степеней свободы, ее динамика оказывается близкой к некоторым конечномерным системам, в частности, к системе Лоренца, которая входит в число эталонных моделей нелинейной динамики. Такая аналогия между динамикой конечномерной и распределенной системы — важный и принципиальный результат. Подобное поведение можно объяснить тем, что основную роль в организации сложной динамики играют три неустойчивых стационарных состояния: нулевое О и ненулевые С , которые соответствуют низшей собственной моде и симметричны друг другу.
Высшие собственные моды оказывают влияние лишь на начальную стадию переходного процесса, а отвечающие им стационарные состояния не реализуются. При увеличении параметра накачки, как и для генератора попутной волны, происходит постепенное разрушение фазовой синхронизации. Зависимость выходного сигнала от времени напоминает перемежаемость. Однако разрушение фазовой синхронизации происходит уже после того, как колебания становятся хаотическими. Следует отметить, что жесткое возникновение хаоса, наблюдаемое в данном случае, нетипично для распределенных автоколебательных систем со встречными волнами [19-23], где доминирует другой сценарий, характеризующийся мягкой потерей устойчивости стационарным режимом через возникновение автомодуляции, вызванной запаздыванием внутренней обратной связи. Среди параметрических генераторов вакуумной сверхвысокочастотной электроники наибольший интерес представляют лазеры на свободных электронах (ЛСЭ) [15,16,88]. С точки зрения теории волн [2,17] в основе принципа действия ЛСЭ лежит вынужденный параметрический распад поля накачки (ондулятора) на электромагнитную сигнальную волну и медленную волну пространственного заряда (МВПЗ) в электронном потоке. В качестве накачки может выступать как периодическое электро- или мапштостатическое поле, так и бегущая электромагнитная волна. ЛСЭ со статической накачкой называют убитроном, а ЛСЭ с накачкой в виде бегущей волны — скаттроном. На рис. 3.1 приведена дисперсионная диаграмма для ЛСЭ-скаттрона. Следует отметить две особенности. Во-первых, поскольку МВПЗ является волной с отрицательной энергией [2,17,88], в данном случае распад происходит с повышением частоты, т.е. частота сигнальной волны выше частоты накачки (в отличие от систем, рассматривавшихся в гл. 1,2). Во-вторых, волна накачки является встречной по отношению к пучку. Нетрудно получить формулу преобразования частоты «вверх», связывающую частоты сигнала и накачки. Частоты и волновые числа взаимодействующих волн удовлетворяют условиям параметрического резонанса (ср. (1.1)): Здесь и далее нижние индексы s и р относятся к волнам сигнала и накачки соответственно, индекс і — к холостой (idle) волне, роль которой играет МВПЗ. Поскольку частоты и волновые числа взаимодействующих волн связаны между собой соотношениями где с— скорость света, vh — невозмущенная поступательная скорость электронов, из резонансных условий (3.1) следует соотношение Из полученного уравнения выразим частоту сигнала через частоту волны накачки: где y0 = (1 — v /c2) — релятивистский масс-фактор. Из (3.2) видно, что имеет место преобразование частоты вверх, причем в ультрарелятивистском случае, когда у2 з 1, получаем простую формулу Таким образом, становится очевидным основное преимущество ЛСЭ — возможность теоретически безграничного повышения частоты излучения, а также возможность ее перестройки в широких пределах путем изменения напряжения электронного пучка. В связи с этим, ЛСЭ представляются особенно перспективными при продвижении в наиболее слабо освоенные на сегодняшний день диапазоны длин воли, в частности, в терагерцовый (субмиллиметровый) диапазон [40]. Отметим также, что скаттрои имеет определенное преимущество перед убитроном. Действительно, пространственный период поля ондулятора составляет обычно порядка 1-3 сантиметров, тогда как в скаттроне длина волны накачки может быть порядка миллиметра. Соответственно, для получения одной и той же частоты излучения в скаттроне требуется меньшая энергия пучка, чем в убитроне.
Линейная нестационарная теория ЛСЭ-скаттрона: коэффициент усиления усилителя и условия самовозбуждения генератора
Прежде чем переходить к численному моделированию нелинейной динамики ЛСЭ, полезно обсудить линейную нестационарную теорию ЛСЭ, т.е. проанализировать коэффициент усиления для усилителя и условия самовозбуждения для генератора. Отметим, что строить линейную теорию для полной модели (3.22)-(3.24) и упрощенной модели в приближении малой амплитуды комбинационной волны (3.36)-(3.38) по отдельности нет необходимости, поскольку линеаризованные уравнения совпадают с точностью до переобозначений. Начнем с кинематического случая, когда силы пространственного заряда не учитываются. Линеаризуем уравнения (3.36)-(3.38), считая, что истощение накачки не сказывается, т.е. FL( ,T) = 1, а также положим Сїь-0. Получим систему двух линейных уравнений Решения этой системы будем искать в виде монохроматических колебаний на частоте Q, F„(S,T) = ($)e \ что дает Полученная система уравнений (3.79), (3.80) позволяет найти коэффициент усиления и условия самовозбуждения. Однако, в отличие от моделей, рассматривавшихся в гл. 1,2, система (3.79), (3.80) имеет третий порядок, что не позволяет решить ее аналитически. С другой стороны она с точностью до переобозначений совпадает с аналогичными уравнениям линейной теории ЛЕВ, поэтому следует прибегнуть к хорошо известному приближенному решению, которое можно получить при помощи метода последовательных приближений [43,58,88]. Рассмотрим вначале ЛСЭ-усилитель, считая, что на вход подан гармонический сигнал вида (3.30). В качестве нулевого приближения естественно выбрать бегущую волну с постоянной амплитудой и подставить это выражение в (3.79).
В результате получим Интегрируя это уравнение с учетом граничных условий (3.40), находим решение для величины F,(1J (напомним, что Fi представляет собой нормированную амплитуду основной гармоники сгруппированного тока, см. (3.39)): Подставляя выражение (3.82) в уравнение (3.80), имеем Функции, графики которых построены на рис. 3.3, определяют активную и реактивную мощности взаимодействия пучка с волной постоянной амплитуды. Они аналогичны хорошо известным выражениям теории взаимодействия О-типа [58,88,43] за исключением того, что записаны в виде функций частоты, а не угла пролета. На рис. 3.3 а заштрихованы области частот, в которых //0 и электронный поток отдает энергию электромагнитной волне. Максимальная передача энергии сигнальной волне происходит, как видно из рисунка, на частоте Пи « -0.8л . Существуют и другие области, в которых /а 0, однако эффективность энергообмена в них резко уменьшается. Параметрическое взаимодействие электронного потока с электромагнитными волнами Аналогичная картина имеет место в теории ЛВВ О-типа [58,88,43]. Следует, однако обратить внимание на одно отличие: в линейной нестационарной теории ЛБВ функция /а будет иметь противоположный знак, так что область, в которой электроны отдают энергию полю, располагается при Q 0, см. [25]. Действительно, в силу особенностей механизма фазировки пучок отдает энергию предпочтительно тем волнам, фазовая скорость которых меньше скорости пучка. В ЛБВ этот более высокочастотные волны, так как замедляющая система имеет нормальную дисперсию. С другой стороны, в ЛСЭ сигнальная волна фактически взаимодействует с синхронной волной, возбуждающейся в пучке при модуляции полем накачки (см. рис. 3.1) и фактически являющейся волной биений плотности электронных сгустков. Дисперсия этой волны задается соотношением где о± = ю (l + vbjc) — частота поперечных колебаний электрона, называемая также баунс- частотой [16]. Поэтому для эффективного взаимодействия необходимо, чтобы фазовая скорость синхронной волны была больше фазовой скорости сигнальной волны, т.е. больше с. Из рис. 3.1 хорошо видно, что это справедливо для волн, частота которых меньше cos.
