Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Нелинейные электроэнергетические системы: возникновение, развитие и характеристики хаотических режимов 14
1.1 Динамическая система и ее математическая модель 14
1.2 Исследование свойств динамических систем 15
1.2.1 Колебательные системы и их свойства 15
1.2.2 Фазовые портреты типовых колебательных систем 17
1.2.3. Автоколебательные системы 23
1.2.4 Регулярные и странные аттракторы динамических систем 25
1.3 Установившиеся режимы, размерность и устойчивость предельных множеств динамических систем 28
1.4 Детерминированный хаос в динамических системах 47
1.4.1 Детерминированностьи хаос 48
1.4.2 Детерминированный хаос 51
1.4.3 Странные аттракторы 53
1.5 Исследование свойств детерминированного хаоса. Характеристики хаотических режимов нелинейных электрических систем 54
1.6 Обоснование возможности возникновения хаотических режимов в электроэнергетических системах. Идентификация хаотических и переходных хаотических колебаний 58
1.7 Нестабильность и хаос в электроэнергетических системах 67
1.7.1 Модели электроэнергетических систем 67
1.7.1.1 Модель многомашинной электроэнергетической системы — уравнения Парка-Горева в координатах (d, q) 67
1.7.1.2 Классическая модель многомашинной электроэнергетической системы 69
1.7.2 Возможные пути возникновения хаотических режимов в электроэнергетических системах 76
1.7.3 Неустойчивость и хаос 81
1.7.4 Неустойчивые режимы и хаос 83
1.8 Выводы 86
Глава 2 Анализ возникновения и развития хаотических режимов отклонений угловой частоты в электроэнергетических системах 87
2.1 Определение характеристических показателей Ляпунова и обнаружение переходных хаотических колебаний 87
2.2 Анализ и численное моделирование хаотических колебаний отклонений угловой частоты в двухмашинной НЭЭС 91
2.2.1 Хаотические отклонения угловой частоты в двухмашинной НЭЭС (случай 1) 93
2.2.2 Хаотические отклонения угловой частоты в двухмашинной НЭЭС (случай 2) 100
2.3 Анализ и численное моделирование хаотических колебаний отклонений угловой частоты в трехмашинной НЭЭС 111
2.4 Выводы 121
Глава 3 Анализ возникновения и развития хаотических режимов напряжений и отклонений напряжений в электроэнергетических системах 123
3.1 Анализ хаотических колебаний напряжений и отклонений напряжения в одномашинной НЭЭС 123
3.2 Неустойчивость и хаотические колебания напряжения и фазового угла линии электропередачи 127
3.2.1 Лавина напряжения 127
3.2.2 Фазовая нестабильность 128
3.2.3 Спектральный анализ хаотических режимов напряжений и отклонений напряжения в линии электропередачи НЭЭС при хаотической частотной модуляции 130
3.3 Неустойчивые режимы напряжения и хаос 134
3.4 Спектральный анализ хаотических режимов напряжений и отклонений напряжения на шинах генераторов в двухмашинной НЭЭС при хаотической частотной модуляции 137
3.5 Спектральный анализ хаотических режимов напряжений и отклонений напряжения на шинах генераторов в трехмашинной НЭЭС при хаотической частотной модуляции 141
3.6 Выводы 148
Глава 4 Диссипация электрической энергии (мощности) в хаотических режимах электроэнергетических систем 150
4.1 Потери мощности в нелинейных электроэнергетических системах 150
4.2 Потери мощности в генераторе Анищенко — Астахова 155
4.3 Потери мощности в системе двух связанных генераторов Чжуа 163
4.4 Выводы 168
Основные выводы по результатам научных исследований
- Колебательные системы и их свойства
- Установившиеся режимы, размерность и устойчивость предельных множеств динамических систем
- Анализ и численное моделирование хаотических колебаний отклонений угловой частоты в двухмашинной НЭЭС
- Неустойчивость и хаотические колебания напряжения и фазового угла линии электропередачи
Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы в электроэнергетических системах значительно возросла доля нелинейной нагрузки и это связано с прогрессом в производстве силовых полупроводниковых устройств (преобразователи частоты, выпрямители, инверторы и т.д.). Такие нелинейные устройства все чаще находят применение в промышленности, в сельском хозяйстве и в бытовой сфере.
В системах нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих состояние нелинейных электроэнергетических систем (НЭЭС), замкнутые решения могут быть получены лишь для их небольшого числа, вследствие этого решающая роль в отыскании и анализе различных нелинейных явлений отводится методам численного моделирования.
При наличии нелинейностей существует широкий диапазон параметров элементов, при которых поведение НЭЭС может оказаться хотя и ограниченным, но непериодическим и случайным, при этом колебания переменных состояния приобретают непредсказуемый, другими словами, хаотический характер и имеют не дискретный спектр, как в периодическом случае, а широкий непрерывный спектр. Помимо этого, поведение НЭЭС оказывается столь чувствительным к начальным условиям, что долговременное прогнозирование точного решения становится невозможным, тогда как в классическом представлении считается, что если бы в некоторый момент времени состояние НЭЭС было известно с достаточной точностью, то в принципе будущее поведение НЭЭС можно было бы предсказать, а прошлое — восстановить.
В сущности, математическая модель хаотической НЭЭС представляет собой детерминированную систему нелинейных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями, решение которой ведет себя непредсказуемым и случайным образом — такой тип решения называется режимом детерминированного хаоса. Таким образом, режимы детерминированного хаоса - это новый тип и особая форма поведения НЭЭС.
Кроме того, в режимах детерминированного хаоса, которые приводят к увеличению энтропии, диссипация энергии при перемещении ее от мест производства до мест потребления возрастает, и поэтом процессы диссипации энергии (мощности) в таких режимах НЭЭС представляют интерес и требует детального изучения. Итак, режимы детерминированного хаоса вследствие своих особенностей могут вызывать непредсказуемые ситуации и аварии электрооборудования в электроэнергетических системах, ложные срабатывания устройств релейной защиты, увеличение диссипации энергии и т.д.
Таким образом, встает актуальная задача обнаружения, идентификации и численного моделирования режимов детерминированного хаоса в НЭЭС, выявления особенностей таких режимов, включая диссипацию энергии.
Цель работы. Целью диссертационной работы является анализ возникновения, идентификация и численное моделирование режимов детерминированного хаоса угловой частоты и напряжения в НЭЭС для экономичного и надежного производства электроэнергии, ее транспортировки, включая режимы детерминированного хаоса диссипации электроэнергии, и снабжения потребителей электроэнергией в необходимом количестве и требуемого качества.
Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих конкретных задач:
1. Обзор имеющихся методов и средств анализа режимов работы НЭЭС.
2. Разработка метода анализа возникновения и идентификации
хаотических режимов в НЭЭС.
3.Численное моделирование хаотических режимов в НЭЭС.
4.Разработка метода анализа диссипации энергии (мощности) в хаотических режимах в НЭЭС.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются диссипативные НЭЭС и их режимы работы. Предметом исследования являются режимы детерминированного хаоса угловой частоты, напряжения
и диссипации энергии в НЭЭС.
Методы исследований. В диссертации приведены результаты теоретических и экспериментальных исследований, полученные с использованием методов теоретических основ электротехники, теории электроэнергетических систем, вычислительной математики, прикладного пакета программ для инженерных и научных расчетов в среде Windows «MathCAD», системы схемотехнического моделирования «Micro-Cap». Научная новизна работы заключается в следующем:
- Обнаружены режимы детерминированного хаоса, касающихся
отклонений угловой частоты от номинального значения, отклонений
напряжения от номинального значения и диссипации энергии,
проистекающих из-за наличия глобальной хаотической динамики НЭЭС.
Показано, что хаотические режимы могут существовать как дополнительные
состояния в НЭЭС даже тогда, когда имеют место устойчивые режимы
функционирования.
Разработаны методы численного моделирования режимов детерминированного хаоса в НЭЭС с несколькими синхронными генераторами, касающиеся отклонений угловой частоты от номинального значения, отклонений напряжения от номинального значения и диссипации энергии. Выявлены основные отличительные особенности и закономерности, с помощью которых можно идентифицировать хаотические режимы.
- Обоснована возможность управления и стабилизации режимов
детерминированного хаоса отклонений углов поворота роторов и угловой
частоты синхронных генераторов. Показано, что с помощью управляющего
воздействия на один из синхронных генераторов можно стабилизировать
фазовую траекторию НЭЭС и свести хаотический режим к периодическим
колебаниям.
- Введен в рассмотрение и исследован эффект хаотической частотной
модуляции напряжений и отклонений напряжений на шинах синхронных
генераторов, в линиях электропередачи и на шинах нагрузки, причиной
которого является режим детерминированного хаоса отклонений угловой частоты синхронных генераторов. Выявлены основные отличительные особенности колебаний напряжений, отклонений напряжений и их спектров в режиме хаотической частотной модуляции.
- Проведен анализ и рассмотрены особенности диссипации энергии в НЭЭС в режимах детерминированного хаоса. Показано, что в режиме детерминированного хаоса потери (диссипация) энергии выше, чем в периодическом режиме, что приводит к снижению к.п.д. и ухудшению энергетических показателей НЭЭС.
Практическая ценность. Практической ценностью работы является выявление и анализ свойств режимов детерминированного хаоса угловой частоты, напряжений и диссипации энергии в НЭЭС, обоснование возможности управления и стабилизации хаотических колебаний в НЭЭС и анализ явления хаотической частотной модуляции напряжений и отклонений напряжения.
Реализация и внедрение результатов работы.
Алгоритм идентификации переходных хаотических колебаний, использующий показатели Ляпунова, и метод определения диссипации энергии в режимах детерминированного хаоса применяется на Омской ТЭЦ-4 в системах питания и управления электрических фильтров для очистки пылегазовыбросов.
Разработан и внедрен в учебный процесс лабораторный стенд, моделирующий хаотические колебания в нелинейных электрических системах, позволяющий наглядно продемонстрировать свойства и особенности хаотических режимов работы нелинейных электрических систем.
Личный вклад. Основные научные результаты и положения, изложенные в диссертации, постановка задач, методология их решения, исследование хаотических режимов в НЭЭС разработаны и получены автором самостоятельно.
Основные положения выносимые на защиту:
Методы анализа возникновения и идентификации режимов детерминированного хаоса угловой частоты, напряжений и диссипации энергии, протекающих в НЭЭС.
Результаты исследований основных свойств и особенностей функционирования НЭЭС в режимах детерминированного хаоса угловой частоты, напряжения и диссипации энергии.
Способы управления и стабилизации хаотических колебаний угловой частоты в НЭЭС.
Результаты исследований основных свойств и особенностей хаотической частотной модуляции напряжений в НЭЭС.
Достоверность результатов подтверждается корректным
применением для полученных выводов математического аппарата; качественным совпадением и достаточной сходимостью результатов вычислительных экспериментов; апробацией как предварительных, так и окончательных результатов диссертационной работы.
Апробация работы. Материалы работы докладывались и обсуждались на:
V международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2004),
65 юбилейной студенческой научно-практической конференции, посвященной 75 - летию СибАДИ (Омск, 2005),
XI Всероссийской научно - технической конференции «Энергетика. экология, надежность, безопасность» (Томск, 2005),
3-ей Международной научно-технической конференции «Энергетика, экология, энергосбережение, транспорт» (Омск, 2007)
заседаниях и семинарах кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий» Омского государственного технического университета (Омск, 2006, 2007).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 19 печатных
работ, в том числе: 1 тезис доклада на научно-технической конференции, 18 статей. В публикациях в соавторстве личный вклад соискателя составляет более 50%.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа содержит введение, четыре главы, основные выводы по результатам научных исследований, список литературы и приложение. Общий объем составляет: 178 страниц, в том числе 127 рисунков, 2 таблицы, 83 литературных источника.
Во введении обоснована актуальность проводимых исследований, сформулированы цель и основные задачи работы, научная новизна и практическая значимость результатов, представлена структура диссертации и основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе проведен аналитический обзор методов и средств теории хаотических колебаний. Дано определение явления детерминированного хаоса. Рассмотрены основные характеристики, параметры и отличительные особенности режима детерминированного хаоса. Обоснована возможность появления бифуркационных переходов типа хаос -хаос в диссипативной НЭЭС. Приведено аналитическое обоснование возможности идентификации переходных хаотических колебаний, используя характеристические показатели Ляпунова.
Показано, что в диссипативных нелинейных системах, размерность фазового пространства которых N > 3, теоретически возможен режим сложных непериодических (хаотических) колебаний. Этот тип движения детерминирован и характеризуется неустойчивостью.
В результате анализа выяснено, что основными свойствами НЭЭС, демонстрирующих режим детерминированного хаоса, являются высокая чувствительность режима функционирования к сколь угодно малым изменениям начальных условий и непрерывный широкополосный спектр.
Идентификация хаотических режимов может осуществляться по
нескольким параметрам, основными из которых являются фазовые портреты колебаний (странные аттракторы), характеризующиеся дробной размерностью и характеристические показатели Ляпунова, в ряду которых должен обязательно присутствовать хотя бы один положительный показатель.
Во второй главе представлены результаты исследований хаотической динамики НЭЭС, в которых могут возникать режимы детерминированного хаоса относительно углов поворота роторов и отклонений угловой частоты от номинального значения. Детально рассмотрены двухмашинная и трехмашинная НЭЭС.
Представлены математические модели в дифференциальной форме Коши, описывающие режимы детерминированного хаоса отклонений частоты от номинального значения. Исследовано поведение НЭЭС при различных вариациях параметров НЭЭС и различных начальных условиях. Хаотические процессы в НЭЭС исследованы путем компьютерного моделирования. По результатам компьютерного моделирования построены временные зависимости отклонений углов поворота роторов генераторов и отклонений угловой частоты, фазовые портреты для этих переменных состояния и спектры хаотических колебаний.
Режимам детерминированного хаоса отклонений углов поворота роторов и отклонений угловой частоты даны качественные и количественные объяснения. Обнаружены явления угловой и частотной нестабильности и, как следствие, разрушение режимов детерминированного хаоса. Рассмотрена возможность принудительной синхронизации хаотических колебаний отклонений частоты с дальнейшей стабилизацией траекторий в фазовом пространстве.
В третьей главе представлены результаты исследований хаотической динамики НЭЭС, в которой могут возникать режимы детерминированного хаоса отклонений напряжения от номинального значения. Детально рассмотрена одномашинная НЭЭС сравнительно небольшой мощности, для
которой такие хаотические режимы наиболее характерны. Предполагается, что нагрузка в такой НЭЭС изменяется во времени.
В результате исследований одномашинной НЭЭС определены возможные пути, ведущие к хаотическим колебаниям отклонении напряжения: а) каскад бифуркаций удвоения периода, б) большое возмущение ( короткое замыкание, наброс нагрузки и т.д.).
Режимам детерминированного хаоса отклонений напряжения в НЭЭС даны качественные и количественные объяснения. Обнаружены явления лавины напряжения, фазовой нестабильности и, как следствия, разрушения режимов детерминированного хаоса отклонений напряжения.
Введена в рассмотрение хаотическая частотная модуляция напряжений и отклонений напряжения, причиной которой является режим детерминированного хаоса отклонений угловой частоты от номинального значения генераторов НЭЭС. Выявлены отличительные особенности частотно модулированных напряжений и отклонений напряжения на шинах генераторов, в линиях электропередачи, на шинах нагрузки в одномашинной, двухмашинной и трехмашинной НЭЭС.
Представлен спектральный анализ напряжений и отклонений напряжения на шинах генераторов, в линиях электропередачи и на шинах нагрузки при хаотической частотной модуляции.
Выявлены основные отличительные особенности спектров частотно модулированных напряжений и отклонений напряжения в одномашинной, двухмашинной и трехмашинной НЭЭС.
В четвертой главе проведено исследование особенностей диссипации энергии (мощности) в различных режимах детерминированного хаоса в одномашинной НЭЭС, генераторах Анищенко-Астахова и Чжуа.
Осуществлены переходы из режима детерминированного хаоса к режимам периодических колебаний в отношении диссипации энергии (мощности) и выяснен ряд особенностей НЭЭС, приводящих к увеличению потерь энергии в режиме хаотических колебаний. Поскольку потери энергии
в хаотических режимах выше, чем в периодических режимах, то это обстоятельство приводит к снижению к.п.д. и ухудшению энергетических показателей НЭЭС.
Представлены результаты спектрального анализа хаотических колебаний потерь мощности в НЭЭС. Спектральный анализ хаотических колебаний потерь мощности в НЭЭС указывает на непрерывный широкополосный характер спектра, что свидетельствует о более высокой диссипации энергии в хаотических режимах, нежели в квазипериодических режимах.
По результатам компьютерного моделирования построены частотные характеристики входных проводимостей НЭЭС и оценены возможности возникновения резонансов токов в режимах детерминированного хаоса.
Колебательные системы и их свойства
Важную группу ДС представляют системы, в которых возможны колебания. Колебательные системы с точки зрения их математических моделей разделяют на определенные классы. Различают линейные и нелинейные колебательные системы, сосредоточенные и распределенные, консервативные и диссипативные, автономные и неавтономные. Особый класс представляют так называемые автоколебательные системы. Основные свойства указанных систем подробно обсуждаются в учебниках по теории колебаний.
Колебательная система называется линейной или нелинейной в зависимости от того, линейна или нелинейна описывающая ее система дифференциальных уравнений. Линейные системы являются частным случаем нелинейных. Однако, в силу принципиальной важности линейных систем при исследовании вопросов устойчивости колебаний, а также в силу возможности использования принципа суперпозиции решений такая классификация оправдана. ДС, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, называют сосредоточенными или точечными системами. Они описываются с помощью конечномерного фазового пространства и характеризуются конечным числом степеней свободы. Одна и та же система в различных условиях может рассматриваться как сосредоточенная либо как распределенная. Математические модели распределенных систем — это дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения или обыкновенные уравнения с запаздывающим аргументом. Число степеней свободы распределенной системы бесконечно, и требуется бесконечное число данных для определения ее состояния. В теории электрических колебаний систему рассматривают как сосредоточенную в тех случаях, когда длина волны колебаний существенно превышает геометрические размеры самой системы. Если размеры системы соизмеримы с длиной волны генерируемых колебаний, то систему необходимо рассматривать как распределенную.
По энергетическому признаку ДС делятся на консервативные и неконсервативные. Консервативные системы характеризуются неизменным во времени запасом энергии. В механике их называют гамильтоновыми. Для консервативных систем с п степенями свободы определяется так называемый гамильтониан системы Н(р, q), где q; —- обобщенные координаты, р; — обобщенные импульсы системы, і = 1,2,..., п. Гамильтониан полностью характеризует динамическую природу системы и с физической точки зрения в большинстве случаев представляет собой ее полную энергию. Эволюция во времени консервативных систем описывается уравнениями механики Гамильтона q dH{p,q)/dpi,pi =-dH(p,q)/dqt. (1.1)
ДС с изменяющимся во времени запасом энергии называются соответственно неконсервативными. Системы, в которых энергия уменьшается во времени из-за трения или рассеяния, называются диссипативными. В соответствии с этим системы, энергия которых во времени нарастает, называются системами с отрицательным трением или отрицательной диссипацией. Такие системы можно рассматривать как диссипативные при смене направления отсчета времени на противоположное. Принципиальной особенностью диссипативных систем является зависимость элемента фазового объема от времени. В системах с поглощением энергии фазовый объем во времени уменьшается, в системах с отрицательным трением — увеличивается.
ДС называются автономными, если они не подвержены действию внешних сил, переменных во времени. Уравнения автономных систем явной зависимости от времени не содержат.
Большинство реальных колебательных систем неконсервативны. Среди них выделяется особый класс так называемых автоколебательных систем, которые принципиально неконсервативны и нелинейны. Автоколебательной называют ДС, преобразующую энергию источника в энергию незатухающих колебаний, причем основные характеристики установившихся колебаний (амплитуда, частота, форма колебаний и т.д.) определяются параметрами системы и в некоторых пределах не зависят от выбора исходного начального состояния. [6].
Установившиеся режимы, размерность и устойчивость предельных множеств динамических систем
Установившееся состояние означает асимптотическое поведение ДС при t - со. Это состояние обязательно должно характеризоваться ограниченными значениями соответствующей функции.
Точка у является предельной точкой для х, если для каждой окрестности U точки у траектория Ft(x) неоднократно попадает в окрестность U при t-»co. Множество всех предельных точек у называется предельным множеством Цх) для х. Предельные множества являются замкнутыми и инвариантными относительно Ft(x). Множество L называется инвариантным относительно преобразования Ft, если для всех х є L и всех t значения Ft(x)eL.
Предельное множество L является притягивающим, если существует открытая окрестность U множества L, такая, что Цх) = Ьдля всех xeU. Исторически сложилось так, что термину притягивающее множество соответствует термин аттрактор, а притягивающее множество, в котором накапливаются траектории ДС с хаотическим поведением, называется странным аттрактором [14]. У каждой устойчивой линейной ДС существует лишь одно предельное множество, поведение ее в установившемся состоянии зависит от начального условрія. В типичной ДС может быть несколько предельных множеств, каждое из которых характеризуется своим отдельным бассейном притяжения. При этом окончательное установление в ДС того или иного предельного множества определяется конкретным видом начального условия.
Теперь рассмотрим четыре типа поведения ДС в установившемся состоянии и начнем наше рассмотрение с наиболее простого типа, переходя затем к более сложному.
Полоэ/сение равновесия хр ДС представляет собой постоянное решение уравнения Fp (хр) = хр для всех t. Такому положению равновесия соответствует точка, в которой исчезает векторное поле, и выполнение равенства f(x) = 0 означает, что точка х представляет положение равновесия. Предельным множеством для положения равновесия является само положение равновесия.
В неавтономных ДС, поскольку векторное поле меняется со временем, обычно не имеется положений равновесия.
Рассмотрим положение равновесия хр для системы дифференциальных уравнений (1.1). Известно, что локальное поведение векторного потока, задаваемого таким уравнением, в окрестности точки хр можно определить путем линеаризации функции f в точке хр. Изменение возмущений вектора состояния вблизи положения равновесия может быть задано с помощью линейного векторного поля [21] = D-f(xp).5(x) . (1.20) dt
В линейном приближении соответствующая траектория с начальным условием хр + 5XQ задается выражением Ft(xp +5-x0) = xp +Cl -лі -e "1 +... + cn -цп -є -""1 , (1.21) , где {А,і}г=1 и {лі/iLi - собственное значение и собственные векторы фундаментальной матрицы, {С}"=1 - некоторые скалярные постоянные, выбор которых определяется требованием удовлетворения начального условия. Действительная часть числа Х-{ обуславливает скорость растяжения (если Re?ij 0) или сжатия (если ReXj 0) в окрестности положения равновесия вдоль направления, задаваемого собственным вектором гц.
Если Re?4 0 для всех собственных значений Х\, то для любых достаточно малых возмущений вектор 5(х) стремится по модулю к нулю при t — оо, а точка положения равновесия хр называется асимптотически устойчивой. Если для некоторых собственных значений выполняется условие Re Х[ 0 , то точка положения равновесия хр не является устойчивой и будет или вполне неустойчивой (в этом случае Re A,j 0 для всех собственных значений Х[), или просто неустойчивой (в этом случае для некоторых Х[ ReA,j 0, а для других ReA.; 0). Введение двух-понятий неустойчивости является полезным, поскольку при обращении времени в описании векторного потока вполне неустойчивое положение равновесия становится асимптотически устойчивым, а просто неустойчивое положение по прежнему остается просто неустойчивым. Его также называют седловой точкой. Положения равновесия, для которых все собственные значения имеют ненулевую вещественную часть, называются гиперболическими. Гиперболические положения равновесия не исчезают при малых возмущениях векторного поля, причем новое положение равновесия. получаемое в результате такого возмущения, имеет прежний тип устойчивости. Негиперболические положения равновесия обычно не обладают свойством структурной устойчивости [24].
Анализ и численное моделирование хаотических колебаний отклонений угловой частоты в двухмашинной НЭЭС
Двухмашинная нерегулируемая НЭЭС исследовалась с помощью программного комплекса MathCad . В программном комплексе MathCad НЭЭС задавалась в виде системы дифференциальных уравнений (2.10) и решение системы дифференциальных уравнений (2.10) проводилось методом Рунге-Кутта 4-го порядка с переменным шагом. Интегрирование (2.10) производилось при следующих значениях параметров НЭЭС в относительных единицах
Д = 0.39,5, = 0.6,5,2 = 0.2, Л:, = 0.6, А = 0.28, В2 - \,В1Х = 0.6, К2 = 0.6 и начальных условиях ,(0) = 0.8,col(0) = 0.\,S2(0) = 0.5,со2(0) = 0.0.
В результате обнаружены хаотические колебания отклонений углов поворота роторов Sx(t),52{t) и отклонений угловых частот сох(t),co2(t) генераторов НЭЭС, как это показано на рисунках 2.2, 2.3, 2.4. Необходимо отметить, что хаотические решения системы дифференциальных уравнений (2.10) получается лишь тогда, когда численные значения параметров НЭЭС лежат в строго определенных интервалах. Если это не выполняется, то решения системы дифференциальных уравнений (2.10) получаются нехаотическими.
Отсюда следует, что хаотические режимы НЭЭС возникают только при совпадении нескольких факторов, связанных с изменением численных значений параметров НЭЭС.
Фазовые портреты решений системы дифференциальных уравнений (2.10) представлены на рисунках 2.5, 2.6. Решение системы дифференциальных уравнений (2.10), отображенное на рисунке 2.4 представляет хаотические колебания отклонений угловой частоты co2(t) с ярко выраженной расходимостью получаемых решений при незначительном отличии начальных условий. При решении системы дифференциальных уравнений (2.10) обнаружено интересное явление - при превышении некоторого критического времени t tKp может происходить разрушение хаотического колебания с последующей потерей устойчивости генераторов НЭЭС. Соответствующее этому явлению решение системы дифференциальных уравнений (2.10) в виде временной зависимости и фазового портрета приведены на рисунках 2.7,2.8. Заметим, что разрушение хаотических колебаний не носит обязательного характера.
Спектральный анализ хаотических колебаний a {(t) и co2(t) подтвердил предположение о широкополосном непрерывном спектре хаотических колебаний о (/), у2(0. Этого следовало ожидать, поскольку co{{t),co2(t) есть непериодические функции времени. Спектр хаотических колебаний представлен на рисунке 2.9 и его вид лишний раз свидетельствует о том, что колебания (0,6 (0 являются хаотическими [56].
Исследование хаотических процессов НЭЭС и анализ следствий из них вытекающий, указывает на присутствие в теории детерминированного хаоса НЭЭС так называемого "эффекта бабочки". К примеру, незначительные изменения начальных условий приводит с течением времени к непредсказуемому расхождению траекторий в фазовом пространстве НЭЭС. С этим же "эффектом бабочки" связана внезапная потеря устойчивости генераторов. Чем сильнее проявляется "эффект бабочки", тем потенциально опаснее непредсказуемая ситуация, развивающаяся в НЭЭС. В сущности, обнаружена генетическая связь между "эффектом бабочки" и детерминированным хаосом и такая связь, как можно предположить, характерна не только для НЭЭС, но и в целом для нелинейных диссипативных систем любой природы.
В контексте нелинейной динамики хаотический режим означает длительно нерегулярные и случайные, но ограниченные траектории в фазовом пространстве НЭЭС, которые являются очень чувствительными к начальным условиям, и имеет широкополосный непрерывный спектр. Другими словами, траектория в фазовом пространстве, если она является хаотической, совершенно непредсказуема, даже когда траектория эволюционирует согласно детерминированной системе дифференциальных уравнений.
Трудно разграничить явление возникновения устойчивых предельных циклов и явление возникновения хаотических аттракторов (фазовых портретов), проистекающих из-за наличия глобальной хаотической динамики НЭЭС и связанных с ней глобальных хаотических режимов.
Идентифицировано существование хаотических режимов НЭЭС как дополнительного рабочего состояния НЭЭС даже тогда, когда существуют точки устойчивого равновесия. Хаотический режим может завершиться внезапной потерей устойчивости синхронных генераторов и, следовательно, НЭЭС в целом.
Хаотические режимы особенно затрудняют работу синхронных генераторов, поскольку хаотические режимы имеют широкополосный спектр частот и могут индуцировать гармоники тока и напряжения, опасные для функционирования синхронных генераторов.
Неустойчивость и хаотические колебания напряжения и фазового угла линии электропередачи
Спектральный состав хаотических колебаний отклонений частоты со (t) от номинального значения сон генератора как непериодической функции времени соответствует непрерывному широкополосному спектру. Отсюда следует, что напряжение Un(t) в конце линии электропередачи на шинах нагрузки имеет хаотическую частотную модуляцию, соответствующую спектральному составу со (t).
Необходимо отметить, что спектральный анализ напряжений в конце линии электропередачи ( на шинах нагрузки) в случае хаотической частотной модуляции — это новый аспект в теории гармонического анализа. В основу исследования гармонического состава напряжений на шинах нагрузки при хаотической частотной модуляции положен анализ режимов детерминированного хаоса отклонений угловой частоты со (t) [57].
Напряжение U4{t), принимая во внимание приведенные рассуждения, имеет вид: Пл(0 = U\ sin[(coH + co(t)) t + S№ (3.2) где сон- номинальное значение угловой частоты, сон =314рад/с, Uл - амплитуда в о.е. Отклонение напряжения от номинального значения в конце линии электропередачи ДсУДґ) имеет вид Un{t) = сУ іпК + w{t))t + 5л(і) - smcoHt] (3.3)
В результате получены колебания напряжения (/ДО и отклонения напряжения АІІл(і) отображенные на рисунке 3.10, 3.11.
Из вышесказанного становится ясным, что хаос может вызывать в НЭЭС лавину напряжения, угловую нестабильность или лавину напряжения с угловой нестабильностью одновременно. Поскольку хаос очень чувствителен к начальным условиям и параметрам НЭЭС, любое их изменение может привести к возникновению, либо прекращению режима хаоса. И в реальной НЭЭС все параметры изменяются с неожиданными вариациями, поэтому весьма вероятно существование хаоса в НЭЭС как промежуточной стадии явления нестабильности после большого возмущения.
Когда происходит возмущение, НЭЭС входит в переходное состояние. Если возмущение мало — может возникнуть бифуркация Хопфа, и следуют длительные колебания. Если возмущение большое, НЭЭС может входить в режим хаоса, но когда возмущение превышает некоторую критическую величину, хаотический режим может быть разрушен. Возможно появление лавины напряжения, угловой нестабильности или лавины напряжения и угловой нестабильности совместно. Если возмущение очень большое, система может прямо прийти к вышеупомянутым трем условиям нестабильности по стадиям бифуркации Хопфа, хаоса и разрушения хаоса.
Большое возмущение г- ъ, Угловая нестабильность Возникновение возмущения Бифуркация Холфа Г -s Хаос Г Разрушение хаоса Угловая нестабильность и лавина напряжения Малое Лавина напряжения возмущение Непрерывное изменение параметров Рисунок 1.4 - Место хаоса в эволюции нестабильности ЭЭС
Отсюда следует, что хаотический режим может завершиться как устойчивым, так и неустойчивым состоянием.
Для анализа неустойчивых режимов напряжения используется модель одномашинной НЭЭС (3.1), в которой параметром бифуркации является Qi„. Начальные условия переменных состояния системы принимаются равными:
Рассмотрение предельного цикла от бифуркации Хопфа проводим пс кривой АВ. Очевидно, каскад бифуркаций появляется в точке В на предельном цикле кривой АВ.
На рисунке 3.16 показан в увеличенном масштабе фрагмент рисунка 3.15. Выберем пять точек равновесия 0, 1, 2, 3, 4 около бифуркации Хопфа (точка А) показанной на рисунке 3.16, где точка 0 слева от точки А - точка устойчивого равновесия, в то время как другие четыре точки — точки неустойчивого равновесия. Если НЭЭС работает в точке 0, другие четыре точки могут рассматриваться как некоторые возможные состояния поствозмущения. Возмущение в точке 1 самое маленькое, в то время как возмущение в точке 4 максимальное. Выберем эти пять точек как начальные условия . 135 Рисунок 3.16- Увеличенный масштаб рисунка 3.15 При Qi„ 1.191, в системе существуют устойчивые колебания с периодом IT. Для 1.191 QiB 1.197, в системе появляются колебания с периодом 2Т. При QiB=1.197, 1.198..., появляются последовательно период-4Т, период-8Т.
При нарастании удвоения периодов бифуркаций (каскад бифуркаций) колебания напряжения линии электропередачи сводятся к хаотическому режиму [34].
Спектральный состав хаотических колебаний отклонений частоты co(t) от номинального значения ш„ генераторов в двухмашинной НЭЭС как непериодических функций времени соответствует широкополосному непрерывному спектру.
Отсюда следует, что напряжение Ur(t), выдаваемое генераторами двухмашинной НЭЭС в сеть, как функция времени имеет, в сущности, хаотическую частотную модуляцию и будет содержать гармоники, соответствующие спектральному составу oo(t). Гармоники напряжения на шинах генераторов в свою очередь будут порождать гармоники токов в сети такого же спектрального состава.
Необходимо отметить, что спектральный анализ напряжений в НЭЭС в случае хаотической частотной модуляции — это новый аспект в теории гармонического анализа. Нет сомнений, что в основу исследования гармонического состава напряжений в НЭЭС при хаотической частотной модуляции будут положен анализ хаотических режимов отклонения угловой частоты co(t).
