Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор 12
1.1. Единичный нейрон 13
1.1.1 Устройство и морфология нейронов 13
1.1.2 Нейрон как электрическая система 17
1.1.3 Классификация моделей единичных нейронов 21
1.2. Нейронный ансамбль 25
1.2.1. Модульная организация коры головного мозга, гиппокамп 26
1.2.2, Классификация современных моделей нейронных ансамблей 28
1.3. Заключенней постановка задачи 31
2. Построение модели ансамбля 32
2.1. Модельные нейроны Ходжкина-Хаксли, SRM и L1F 33
2.1.1. Форма и уравнения модельного нейрона Ходжкина-Хаксли 33
2.1.2. Поведение модельного нейрона Ходжкина-Хаксли 36
2.1.3. Модельные нейроны SRM и LIF 39
2.2. Сеть из модельных нейронов 43
2.2.1. Структура сети 43
2.2.2. Начальные условия, активность 44
2.3. Фазовая переменная т - предполагаемое время достижения спайка 46
2.3.1. Общие соображения 46
2.3.2. Способ вычисления, оценка состояния нейрона по переменной X 48
2.4. Модель единичного нейрона на основе переменной т 50
2.4.1. Уравнения Т -модели единичного нейрона 50
2.4.2. Функции перехода LE и L} 52
2.5. Полевая т -модель нейронного ансамбля 58
2.5.1. Нейронный ансамбль 58
2.5.2. Уравнения т -модели 59
2.5.3. Граничные и начальные условия 60
2.5.4. Активность т -модели нейронного ансамбля 61
2.6. Заключение 63
3. Исследование моделей и применение т -модели ансамбля для трактовки экспериментальных данных 64
3.1. Модель одного нейрона 65
3.1.1. Сравнение т. -нейрона и модели нейрона SRM 65
3.1.2. Сравнение точечного и распределённого нейронов Ходжкина-Хаксли 68
3.1.3. Сравнение т -модели и распределённого нейрона Ходжкина-Хаксли 71
3.1.4. Сходимость численного решения для X -нейрона и распределенного нейрона Ходжкина-Хаксли 74
3.2. Модель нейронного ансамбля... 77
3.2.1. Сравнение ПМНА на основе LIF нейрона с моделью [43] нейронного ансамбля, рассматривающей распределение по потенциалу и 77
3.2.2. О применении модели ансамбля на основе Firing Rate нейрона для описания ансамбля нейронов эмитирующих спайки 81
3.2.3. Сравнение ПМНА на основе нейронов XX с сетью нейронов XX 82
3.2.4. Сходимость численных решений ПМНА по параметрам дискретизации 86
3.3. ПМНА и гамма ритм гиппокампа 89
3.3.1. Эффект гамма активности 89
3.3.2. Моделирование гамма ритма 91
3.4. Заключение 97
Обсуждение результатов и выводы 98
Основные результаты 98
Обсуждение 99
Выводы 101
Список литературы 102
- Модульная организация коры головного мозга, гиппокамп
- Поведение модельного нейрона Ходжкина-Хаксли
- Сходимость численного решения для X -нейрона и распределенного нейрона Ходжкина-Хаксли
- Сходимость численных решений ПМНА по параметрам дискретизации
Введение к работе
В настоящее время область применения традиционных физических подходов всё больше расширяется, и предлагаемая работа тому пример. Нейрофизиология и радиофизика объединяются общими математическими подходами: уравнениями Ланжевена и Фоккера-Планка-Колмогорова. Для механических систем и радиофизики эти уравнения появляются, например, при рассмотрении броуновского движения, флуктуации в генераторах [1], замедления нейтронов [9] и плазмы, а также при описании распространения волн в случайной неоднородной среде [13]. Объектом исследования в механике, в случае броуновского движения, является ансамбль частиц (в настоящей работе под ансамблем понимается некая совокупность однотипных элементов), описываемых координатой и скоростью (Хь - \?,Kj), на которые оказывается воздействие в виде случайных толчков.
А в нейрофизиологии объектом является ансамбль нейронов, находящийся под воздействием случайных синаптических «толчков». Состояние нейрона описывается неким вектором состояния Хп. Если понимать под элементом механической системы частицу, а в нейрофизиологии нейрон, то можно записать единое уравнение Ланжевена для элемента ансамбля: = F(x,t)+Y(x,t\ где F\X,t) отражает действие регулярных сил, a Y\X,t) - случайных. При рассмотрении ансамбля частиц при броуновском движении интересуются плотностью распределения в пространстве Хь} а для нейронов в - пространстве Хп, На основании уравнения Ланжевена, можно написать уравнение Фоккера-Планка, позволяющее проследить эволюцию плотности распределения p\X,tj:
6 eP{x,t)= удл(х,і)9 i \уд2в{х,і)9 dt Y дх, 2~? dxfiXj ' где x; и Xj - компоненты вектора X , A\X,tj отражает влияние регулярного воздействия F\X,t), а В\Х,tj - случайного воздействия YyXj), Таким образом, хотя уравнение Фоккера-Планка описывает процессы разной природы (блуждание частиц и синаптическое воздействие на нейроны), вид уравнения тот же.
Броуновские частицы могут находиться в поле действия внешних регулярных сил, например, силы тяжести. А нейроны могут быть под воздействием химических веществ, например, каинат оказывает постоянное возбуждающее синаптическое действие [45]. Для плазмы со слабым взаимодействием можно ввести самосогласованную силу, действующую на данную частицу со стороны всех остальных частиц. А для нейронов эта сила эквивалентна возбуждению или торможению, действующему со стороны нейронов ансамбля, имеющих синаптические контакты от нейронов этого же ансамбля. Математически это подобным образом отражается в функции F\X,t) для уравнения Ланжевена и в функции AXJ) для уравнения Фоккера-Планка.
В работе рассматриваются электрические свойства элемента ансамбля, нейрона. Нейрон суммирует электрические сигналы, приходящие от других нейронов и может переходить в возбуждённое состояние (спайк), тогда он выдаёт сигнал, поступающий на другие нейроны. Вектор состояния Хп должен отражать внутреннее состояние нейрона и однозначно разделять возбуждённое состояние и невозбуждённое, в таком случае Хп можно называть фазовым вектором. Поскольку нейрон - сложная система, то выбор конкретного вектора состояния является неоднозначной задачей, сопровождаемой упрощениями, редукцией. Наиболее подробным вектором
Хп при рассмотрении нейрона, представляющего собой распределённый
7 проводник второго рода, погруженный в проводящую межклеточную жидкость и отделённый от наружного проводника тонкой мембраной с особыми проводящими свойствами, является вектор состояний на графе. А одним из вариантов упрощенного вектора состояний Хп является единственная переменная - разность потенциалов V на мембране (Хп = [V)).
В работе предлагается новый вариант упрощённого вектора состояний Хп -универсальная величина - предполагаемое время до спайка т.
Актуальность исследований. Разработка математических методов исследования нейронных структур является одной из актуальных проблем современной нейрофизиологии. Развитие вычислительных средств и экспериментальных методик делает актуальным построение математических моделей активности нервной ткани, в частности, модели нейронного ансамбля (под нейронным ансамблем понимается некая совокупность однотипных, возбуждающих или тормозных, нейронов).
Нервная ткань представляет собой распределённую электродинамическую систему взаимодействующих источников тока в трёхмерном пространстве слабопроводящей среды (электролита), находящуюся под воздействием детерминированного и случайного воздействия. Распределение этих источников сложно и допускает целую иерархию упрощений. Во-первых, они объединены в некие замкнутые поверхности - нейроны. Во-вторых, распределение этих нейронов в ряде случаев можно рассматривать однородным. А в-третьих, согласно современным представлениям нейрофизиологии корковой ткани, нейроны часто работают коррелированно в ансамбле (например, в колонке). Поэтому создание целостной «полевой» модели ансамбля нейронов является актуальным. «Полевое» описание нейронного ансамбля, в отличие от «многочастичного», не рассматривает активность конкретного нейрона, а
8 описывает ансамбль в терминах плотности распределения нейронов по параметрам состояния.
Среди существующих ансамблевых моделей нет общепризнанных, и задача построения вычислительно простой, но достаточно точной полевой модели нейронного ансамбля является актуальной. Решение этой задачи найдено в применении традиционных для физики (в частности, для радиофизики) математических подходов: используются уравнения Ланжевена и Фоккера-Планка, а также анализ колебательных систем для сведения модели нейрона к одномерной модели.
Цель работы состояла в разработке модели нейронного ансамбля. Для этого необходим переход от многочастичного (многоэлементного) описания нейронного ансамбля к полевому, то есть к описанию в терминах плотности распределения. Эта цель достигалась путём решения нескольких производных задач.
Необходимым для полевого описания нейронного ансамбля являлось построение модели нейрона с малым числом переменных (с единственной переменной), характеризующих его состояние. Эта модель определялась выбором фазовой переменной и уравнениями для описания состояния нейрона.
На этапе разработки средств численного моделирования были разработаны компьютерные программы для моделирования единичного нейрона и многочастичного ансамбля нейронов на основе уравнений Ходжкина-Хаксли.
Была решена задача разработки уравнений для полевой модели ансамбля нейронов, и выведены формулы для связи параметров уравнений с параметрами уравнений единичного нейрона.
Проводился сравнительный анализ исследуемых моделей.
Также решалась задача моделирования экспериментально наблюдаемого гамма ритма активности участка нервной корковой ткани.
Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы статистической физики и математического моделирования.
Для вывода уравнений модели ансамбля использовался формализм Фоккера-Планка, применяемый, в частности, в статистической радиофизике.
Использовались и анализировались модели нейронов: модель Ходжкина-Хаксли, пороговый интегратор (Leaked-Integrate-and-Fire), спайковый нейрон (Spike Response Model) и нейрон - частотный генератор (Firing Rate).
Применялись численные методы, такие как: сеточный метод Эйлера для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, метод прогонки для реализации неявной численной схемы уравнения теплопроводности, метод расщепления по физическим процессам для построения численной схемы уравнения переноса, метод наименьших квадратов для решения задач оптимизации коэффициентов аппроксимационных зависимостей.
Положения, выносимые на защиту:
Предложенная модель нейрона, основанная на фазовой переменной -предполагаемом времени до спайка, достаточно точно описывает состояние нейрона между спайками.
Предложенная полевая модель ансамбля достаточно точно описывает работу совокупности одинаковых нейронов под воздействием зашумлённого синаптического стимула.
Достоверность результатов. - Достоверность модели единичного нейрона на основе фазовой переменной - предполагаемом времени до спайка - обеспечивается
10 детальным сравнением её свойств со свойствами эталонной модели распределённого нейрона Ходжкина-Хаксли.
Достоверность полевой модели нейронного ансамбля обеспечивается сравнением предлагаемой модели ансамбля и аналогичного многочастичного описания ансамбля нейронов.
Модель ансамбля даёт непротиворечивые эксперименту результаты моделирования индуцированного гамма ритма активности нервной корковой ткани.
Научная новизна. Предложена новая модель нейронного ансамбля, в основе которой лежит новая однопараметрическая модель единичного нейрона. Модель единичного нейрона отличается от известных тем, что впервые в качестве единственной фазовой переменной выбрано предполагаемое время до следующего спайка.
Научная ценность. Полученные в диссертационной работе результаты представляют собой аналитические средства описания нейронных ансамблей. Тем самым они заполняют пробел в иерархии моделей от моделей единичных нейронов к моделям ЭЭГ. В частности, приведённый в диссертации пример моделирования гамма ритма в корковой ткани показывает возможность описания сложных нейрофизических процессов с помощью предлагаемой модели.
Апробация работы. Основные результаты работы представлялись и обсуждались: на XIV Международной конференции по нейрокибернетике (Ростов-на-Дону 2005); на международной конференции «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург 2005); на пятой всероссийской научно-технической конференции «Нейроинформатика 2003» (Москва 2003); на научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ СПбГУ (Санкт-Петербург 2002); на заседании секции «Математические методы и модели в физиологии, биофизике и биохимии» физиологического общества им И.М.Сеченова (Санкт-Петербург 2002).
Краткое содержание. Работа состоит из трёх частей. В первой, обзорной, части рассказывается о моделях нейрона и нейронного ансамбля.
Вторая часть, состоящая из пяти глав, содержит сведения о новой предлагаемой т-модели нейрона и нейронного ансамбля. Первая глава второй части посвящена моделям нейрона, используемым в работе: Leaked-Integrate-and-Fire (LIF), Spike Response Model (SRM) и модели Ходжкина-Хаксли (XX). Во второй главе описывается сеть из модельных нейронов. В третьей главе представляется новая фазовая переменная т - предполагаемое время до состояния спайка, а в четвертой главе приводится модель единичного нейрона на основе этой переменной. Последняя глава второй части посвящена «полевой» т -модели нейронного ансамбля (ПМНА).
Третья часть, состоящая из двух глав, содержит результаты сравнения моделей и сравнение с экспериментом по вызванному гамма ритму гиппокампа. В первой главе повествуется об исследованиях т-модели нейрона, а вторая глава - о ПМНА.
Диссертация завершается обсуждением результатов и выводами. В приложения вынесены уравнения аппроксимации потенциал-зависимых каналов Migtiore, описание известной полевой модели ансамбля,
Т - & аналитический вывод функции перехода ЬЕ - — } вывод коэффициентов уравнения т -модели нейронного ансамбля и некоторые исходные коды.
Модульная организация коры головного мозга, гиппокамп
Головной мозг животного сложен для описания его электрических свойств. Это связано с тем, что мозг состоит из множества типов нейронов, большого числа синаптических контактов. Нейроны имеют сложную, неповторимую геометрию и меняющиеся свойства мембраны. Фактором, облегчающим моделирование мозга, является модульное строение.
На основании современных морфологических и физиологических исследований принято считать, что в коре полушарий большого мозга существуют две разновидности стабильных, генетически обусловленных объединений нейронов: мини- и макроколонки [2]. В процессе жизнедеятельности из них могут формироваться функционально подвижные модули нейронов.
Миниколонки считаются основной модульной субъединицей в коре. Они представляют собою вертикально ориентированный тяж клеток, состоящий примерно из ПО нейронов и занимающий цилиндрическое пространство диаметром около 30 \хт . Количество нейронов, заключённых в этих тяжах, постоянно для разных животных и для разных участков коры. Миниколонки в количестве нескольких сотен объединяются общими афферентами в макроколонку (модуль) диаметром 110 - 1000 уип (по разным сведениям). Понятие «модуль» — скорее функциональная, нежели морфологическая характеристика группировок нейронов в коре головного мозга.
Помимо наличия особенностей строения вдоль поверхности корковой ткани следует упомянуть ещё об одном типе организации нейронов: существует послойная структура коры [14]. Таким образом, каждая колонка может рассматриваться как «стопка дисков». Количество слоев и их устройство изменяется для различных отделов мозга.
Наряду с концепцией модульной организации центральной нервной системы имеются суждения о существовании в головном мозге блоков гигантской трёхмерной сети. В них дробной гомологии противопоставляется крупномасштабная гомология. Истина, возможно, лежит где-то посередине, так как модули нейронов могут быть частью более крупных морфофункциональных объединений нервных клеток.
Следует упомянуть об одном из наиболее изученных участков головного мозга - гиппокампе. Гиппокамп - парное сегментированное подкорковое образование, расположенное в глубине медиобазального отдела височных долей головного мозга. Название получено из-за формы, напоминающей морского конька. Гиппокамп основная структура лимбической системы, принимающей основное участие в регуляции эмоционально-мотивационного поведения; связан с обработкой информации, пространственным обучением, переключением поведенческих стратегий [3].
Гиппокамп традиционно разделяют на четыре отдела, называемые СА1-СА4 (от латинского Cornu Ammonis - рог Амона). Отделы СА1 и САЗ формируют большинство свойств гиппокампа. Гиппокампу, как и другим корковым структурам, свойственна послойная структура. Выделяют три слоя: полиморфный, пирамидный и молекулярный слои.
Основные нейроны гиппокампа - пирамидные нейроны. По своему действию пирамиды являются возбуждающими. Тела клеток располагаются в пирамидном слое и имеют форму пирамиды, ориентированной вершиной к молекулярному слою (размер в основании 20 - 40 \хт, высота - 40 - 60 \im ). Размеры клеток уменьшаются от области СА4 к СА1. Каждая клетка имеет апикальный дендрит (5 - 10 \ш в диаметре), доходящий до молекулярного слоя. Кроме того, у пирамиды есть несколько базальных дендритов (3-6 цто в диаметре и длиной до 300 \мп) [20]. В гиппокампе существует несколько типов тормозных клеток [32]. Синаптические контакты в гиппокампе, в основном, аксодендрические и аксосоматические.
«Мозг - сложная система, слишком сложная, чтобы описать её в деталях, и слишком детальная, чтобы описать её статистически» Мозг представляет собой систему, свойства которой определяются элементами системы и способом их взаимодействия. Модель мозга можно классифицировать по элементам, составляющим систему: модель отдельного нейрона, модель нейронного ансамбля, модель участка корковой ткани, модель коры головного мозга и т.д. В работе рассматриваются только модели электрической активности нейронного ансамбля и модели единичного нейрона.
Теоретически наиболее точной моделью нейронного ансамбля можно было бы считать сеть из большого числа распределённых нейронов XX. Однако, такой подход имеет принципиальные недостатки, связанные с ограниченностью информации о структуре сети и с ограниченностью вычислительных возможностей. А для описания макроскопической активности, такой как ритмы, волны, фоновая активность, этот подход является также избыточным, поскольку значимой оказывается работа не отдельных нейронов, а ансамбля нейронов.
Другой, макроскопический подход, упрощает рассмотрение нейронного ансамбля. При построении моделей часто принимаются следующие допущения: гомогенность (нейроны и их связи одинаковы), бесконечность количества нейронов и renewal гипотеза (состояния нейрона после спайков идентичны). Основная характеристика, описываемая моделями - это активность, то есть число спайков за единицу времени. При «полевом» описании ансамбля нейронов оперируют плотностью распределения нейронов р в фазовом пространстве X = {х1,...,хк), где переменные xlt...,xK характеризуют состояние нейрона. Например, для точечного нейрона XX такими переменными являются потенциал и переменные состояния потенциал-зависимых каналов (в общепринятых обозначениях V,m,n,h; см. раздел 1.1.2. и приложение 1).
Поведение модельного нейрона Ходжкина-Хаксли
Решение нейронной сети представляет собой зависимость активности М) А от времени. Под активностью сети понимается число спайков, отнесённое к общему числу нейронов сети, в единицу времени. В работе Л \t) получается численно. Для этого решается К систем уравнений нейронов (где К - число нейронов в ансамбле). Для каждого момента времени рассчитывалась мгновенная активность, как число нейронов, имеющих спайк (например, для распределённых нейронов XX число нейронов, имеющих спайк - это число нейронов, у которых потенциал в конце аксона достигает максимального значения и V 64 т V ), поделённое на общее число нейронов К и шаг по времени. Мгновенная активность, усреднённая по малому интервалу времени 0.5 ms, принимается за активность сети нейронов.
Начальное состояние нейронов сети полагается различным в зависимости от условий эксперимента. Например, при рассмотрении сети нейронов LIF (пороговых интеграторов), состояние нейронов в начальный момент времени - покой к = 0 (см. раздел 1.1.3). В качестве примера решения для сети, на рис. 2.8 приведена зависимость активности А от времени при воздействии постоянной зашумленной синаптической проводимости gE, подаваемой, начиная с момента t = 0. Зависимость активности от времени на рис. 2.8 - это переходный процесс, сходящийся к постоянному уровню активности (объяснение хода кривой активности от времени изложено в разделе 3.2.1). Этот пример активности ансамбля послужит основой для сравнения различных моделей в третьей части диссертации.
В этом разделе рассказывается о новой фазовой переменной г, используемой при построении упрощённой модели нейрона и ПМНА. Фазовая переменная, сопоставляемая нейрону, является основой для построения упрощённой модели нейрона, отражающей фазовое состояние нейрона между спайками. А упрощённая модель нейрона служит для построения полевой модели нейронного ансамбля, что является конечной целью работы.
Фазовая переменная должна однозначно в обе стороны отражать состояние нейрона. Это означает, что каждому состоянию нейрона, характеризуемого распределением потенциала по мембране, проводимостями потенциал-зависимых каналов и синаптическими проводимостями, нужно однозначно сопоставить (прямое сопоставление) некоторое значение фазовой переменной. А также в обратную сторону: фазовой переменной и синаптическим проводимостям (синаптические проводимости для нейрона считаются заданными, поскольку являются входным воздействием на нейрон) нужно однозначно сопоставить состояние нейрона. Поскольку прямое сопоставление совершается в общем случае с потерей информации (редукция модели нейрона), то состояния нейрона после прямого и обратного сопоставлений (состояние нейрона - фазовая переменная — состояние нейрона) могут отличаться.
Фазовая переменная должна удовлетворять важному свойству -однозначность, характеризующему «качество» фазовой переменной. Значимо разным состояниям нейрона должны соответствовать различные значения фазовой переменной. Проиллюстрируем это на примере выбора переменной, не различающей качественно разные состояния нейрона, а именно, рассмотрим Ф - время, прошедшее с момента последнего спайка.
Рассмотрим два случая воздействия постоянной возбуждающей синаптической проводимости с «треугольным» возмущением, различающихся моментом действия возмущения (см. рис. 2.9). В момент времени, обозначенный на рис 2.9 стрелкой, синаптическая проводимость и время с момента предыдущего спайка ф одинаково для обоих случаев, а состояния нейрона различны, поскольку следующий спайк случается в разное время (это видно на рисунке по зависимости потенциала от времени). Таким образом, значения переменной Ф оказываются одинаковыми для различных состояний нейрона.
Сходимость численного решения для X -нейрона и распределенного нейрона Ходжкина-Хаксли
В различных отделах корковых структур (в том числе, и в гиппокампе) экспериментально наблюдается гамма активность - продолжительные синхронизованные колебания нейронной активности в диапазоне частот (30 — S0)Hz [39]. Гамма активность гиппокампа, как предполагается, имеет важное значение в познавательных процессах и памяти [40]. Гамма активность в гиппокампе может быть вызвана с помощью химического воздействия (например, добавлением карбохола [39], открывающего возбуждающие синаптические каналы). Из экспериментальных данных [21] известно, что блокировка тормозных синапсов приводит к устранению гамма активности. Также известно, что спайки на пирамидных нейронах происходят реже, чем один раз за период колебаний активности [38], а на тормозных клетках спайки происходят чаще, чем на пирамидных нейронах [34]. Предполагаемый механизм генерации ритма [29] состоит в том, что синхронизированный тормозный ансамбль генерирует спайковую активность, колеблющуюся с частотой ритма, и модулирует активность возбуждающего ансамбля.
На рис. ЗЛ6 приведены зависимости для эксперимента с карбохол-индуцированным гамма ритмом гиппокампа [29]. На верхнем графике представлены два периода колебаний усреднённой по нейронам вероятности генерации спайка. Усреднённая по ансамблю вероятность спайка пропорциональна активности ансамбля пирамидных нейронов (возбуждающий ансамбль). На среднем графике изображен ток фиксации EPSC (Exitatory Postsynaptic Current), полученный при потенциале фиксации Uh =—70mV (отсчитываемом от потенциала на бесконечности), соответствующем потенциалу реверсии тормозных синапсов. Ток EPSC отображает влияние нейронов возбуждающего ансамбля на нейроны возбуждающего ансамбля, а ток IPSC (Inhibitory Postsynaptic Current), изображенный на нижнем графике, - влияние тормозного ансамбля на возбуждающий ансамбль. Ток IPSC получен при потенциале фиксации (отсчитываемом от потенциала на бесконечности), соответствующем потенциалу реверсии возбуждающих синапсов.
В настоящей работе гамма активность моделируется двумя ПМНА (см. уравнения (3.6) и (2.19)), связанными через синаптическую проводимость. Это означает, что изменение активности одной ПМНА приводит к изменению синаптической проводимости у другой ПМНА. Одна из моделей, переменные которой имеют индекс Е, описывает ансамбль возбуждающих нейронов, а другая - моделирует ансамбль тормозных нейронов (индекс / ). Синаптические проводимости gEE , gE} , gIE и gu (первая буква в нижнем индексе Е или / означает какое воздействие - возбуждающее или тормозное, а вторая - на какую ПМНА оказывается синаптическое воздействие) вычисляются по следующим уравнениям [16]: SIE = em ri 8 и SII ri При расчете проводимостей (3.7) используются дифференциальные уравнения второго порядка. Начальные условия при решении нулевые: В отличие от уравнений первого порядка для единичного синапса (см. формулы (1.3) и (1.4)) уравнения1 (3.7) описывают более гладкую зависимость синаптической проводимости (см. рис. 3.17). Уравнения (3.7) моделируют синаптическую проводимость набора однотипных синапсов (то есть их суммарного действия) и учитывают дисперсию расстояний от сомы до разных синапсов и электротонические свойства дендритного дерева (то есть задержку между открытием синаптических каналов и появлением тока в удалённой от синапса точке, например, на соме). Схема эволюции безразмерной проводимости для одного синапса (сплошная линия) и для набора однотипных синапсов (пунктирная линия). Для одиночного синапса медиатор в щели присутствует только в первую миллисекунду, для набора синапсов активность постоянная и ненулевая также только в первую миллисекунду. (масштаб по оси ординат различается) 1 93 При моделировании гамма ритма в работе используются две ПМНА с ОДИНаКОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ LE\Z,gE,g}), Ц\ Е еі},ХМАх(Е і), то есть тормозные нейроны принимаются такими же как возбуждающие нейроны. Это допущение принято из-за недостатка экспериментальных данных о вовлечённых в ритм тормозных клеток гиппокампа.
Сходимость численных решений ПМНА по параметрам дискретизации
В настоящей работе изложена полевая модель нейронного ансамбля (ПМНА), представляющая собой уравнение Фоккера-Планка в фазовом пространстве т. (где т - предполагаемое время до спайка). ПМНА можно рассматривать как способ упрощения интегрирования систем уравнений Ходжкина-Хаксли (XX) в частных производных. Уравнение модели ПМНА (2.18) для нейронной плотности распределения р( ,т) связано с уравнениями XX лишь через функции перехода которые могут быть получены для модели нейрона любой сложности. В работе осуществляется два независимых класса упрощений: одно связано с приближённым описанием нейрона с помощью одной фазовой переменной т., а другое - с описанием нейронного ансамбля упрощённой структуры в терминах плотности распределения. Как показывается в работе, особенность этих упрощений состоит в том, что они не приводят к качественным несоответствиям. Кроме того, с позиции рассмотрения активности нейрона и нейронного ансамбля точное рассмотрение избыточно.
Что касается модели единичного нейрона, нейрон XX, используемый в работе, не описывает в полной мере пирамидные нейроны гиппокампа, например, не удаётся подобрать такую синаптическую проводимость, чтобы частота спайков и ток фиксации совпадали с экспериментальными (отдельно от частоты ток подбирается в работе [15]). Поэтому перспективным является создание специфичной для описываемого отдела мозга модели возбуждающего и тормозного нейронов.
т-Модель нейрона, построенная в предположении медленно изменяющейся синаптической проводимости, хорошо описывает нейрон XX даже при достаточно быстрых изменениях синаптических проводимостей и синаптических импульсах. Основным условием работоспособности для модели является непрерывное пребывание нейрона в состоянии спайковой активности, то есть синаптические проводимости должны быть из области стационарной спайковой генерации. Обойти это ограничение (и неучтенную адаптацию) можно использованием вспомогательной фазовой переменной, в качестве которой может выступать, например, время, прошедшее с момента последнего спайка.
ПМНА хорошо описывает сеть из одинаковых нейронов, находящихся под воздействием зашумлённого стимула. Пути улучшения модели связаны с совершенствованием модели единичного нейрона и уточнением структуры связей в ансамбле нейронов. Помимо этого, на основе ПМНА можно составить модель взаимодействующих ансамблей, которая может способствовать изучению распространения ритмической активности вдоль коры головного мозга [26].
ПМНА можно применять для анализа и моделирования нейронного ансамбля в условиях, когда различия фаз активности нейронов является существенным. Универсальность т -модели единичного нейрона можно использовать, например, для анализа нейронных сетей, состоящей из вычислительно сложных нейронов.
В настоящей работе предложена новая однопараметрическая модель нейрона (т-модель), построенная на новой универсальной фазовой переменной - предполагаемом времени достижения спайка (т). Показано, что т -модель достаточно точно отражает состояние нейрона.
Предложена новая полевая модель нейронного ансамбля (ПМНА), основанная на т. -модели нейрона. ПМНА представляет собой уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова. На примере сравнения с сетью распределённых нейронов показано, что ПМНА позволяет значительно упростить описание сети, состоящей из большого количества нейронов. С использованием ПМНА успешно описано физиологическое явление по вызванной гамма активности гиппокампа. ПМНА может быть использована для анализа нейросетей, а также для построения моделей более высокого уровня, например, модели участка корковой ткани.
