Содержание к диссертации
Введение
1 Динамо-волна в неоднородной среде 18
1.1 Асимптотический подход в теории динамо волн 18
1.2 Вывод уравнений динамо Паркера из уравнений динамо среднего поля для модели кинематического осесим-метричного динамо в тонкой конвективной зоне Солнца 21
1.3 Асимптотическое решение в приближении больших динамо-чисел 31
1.4 Применение полученных результатов к описанию динамо-волны на Солнце. Сравнение с данными астрономических наблюдений 41
2 Исследование нелинейных динамо волн: от линейных к нелинейным моделям 49
Вводные замечания 49
2.1 Динамо-волна в тонкой оболочке 50
2.1.1 Уравнения динамо в тонкой конвективной оболочке Солнца 52
2.1.2 Кинематическая теория динамо-волн в тонкой оболочке 56
2.1.3 Асимптотическое решение для нелинейных динамо-волн 59
2.1.4 Асимптотика больших динамо-чисел для нелинейности первого типа 62
2.1.5 Асимптотика больших динамо-чисел для нелинейности второго типа 64
2.1.6 Обсуждение результатов для динамо-волн в однородном слое 72
2.2 Слабо-нелинейные динамо-волны 73
2.2.1 Вводные замечания 73
2.2.2 Линейная задача 75
2.2.3 Рост решения в слабо-нелинейном приближении 78
Двумерное асимптотическое решение для динамо волны в свете представлений о вращении внутренних областей Солнца 84
Краткое содержание главы 84
3.1 Мотивация постановки задачи 85
3.2 Основные уравнения 88
3.3 Асимптотическое решение 92
3.4 Закон Йошимуры 95
3.5 Криволинейная система координат Йошимуры . 98
3.6 Распределение источников генерации 103
3.7 Расчет асимптотического решения 106
3.8 Обсуждение результатов решения двумерной задачи . 111
3.9 Выводы главы 125
Применение моделей динамо для сравнения с наблю дениями магнитной активности Солнца и звезд 126
4.1 Динамо-волна на Солнце 126
4.1.1 Оценки динамо-числа на Солнце 126
4.1.2 Диаграмма бабочек Маундера 128
4.2 Закон полярности Хэйла и его нарушение для быст-ровращающихся звезд 133
4.3 Модели звездного динамо 135
4.4 Применение результатов для асимптотического анализа нелинейных динамо-волн для предсказания динамики солнечной активности 136
4.4.1 Основные формулы 137
4.4.2 Анализ данных 139
4.4.3 Обсуждение результатов 144
Закрученность магнитных полей в солнечных актив
ных областях 149
Краткое содержание главы 149
5.1 Предистория вопроса 150
5.2 OL эффект в теории динамо 152
5.3 Спиральность на поверхности Солнца 154
5.3.1 Выражения для спиральности и закрученности 154
5.3.2 Наблюдательная оценка токовой спиральности
и закрученности 155
5.3.3 Статистическая обработка данных о закручен
ности поля и токовой спиральности 157
5.4 Широтное распределение закрученности и токовой спиральности (влияние эффекта проекции на определение магнитного поля) 163
5.5 Эволюция средней плотности спиральности и закрученности во времени 172
5.6 Долготное распределение Otf и hc 175
5.7 Итоги анализа данных наблюдений 178
5.8 Обзор основных закономерностей пространственно-временного распределения наблюдательных признаков а-эффекта 182
5.9 Распределение признаков а-эффекта с глубиной . 185
5.10 Построение динамо-модели с учетом эволюции спи-ральности и ее сопоставление с наблюдениями . 193
5.11 Итоги исследования распределения свойств спираль-ности солнечных магнитных полей 201
Заключение 203
Литература
- Вывод уравнений динамо Паркера из уравнений динамо среднего поля для модели кинематического осесим-метричного динамо в тонкой конвективной зоне Солнца
- Кинематическая теория динамо-волн в тонкой оболочке
- Асимптотическое решение
- Применение результатов для асимптотического анализа нелинейных динамо-волн для предсказания динамики солнечной активности
Введение к работе
Актуальность проблемы. В настоящее время существу тот хорошо разработанные модели и методы исследования магнитных полей в турбулентно движущейся среде Земли, Солнца, звезд и галактик. Теория динамо средних полей описывает происхождение крупномасштабного магнитного поля галактик, Солнца, звезд, планет и других небесных тел. В последние десятилетия были получены фундаментальные результаты, позволяющие количественно описать процесс генерации крупномасштабных магнитных полей. Краузе, Рэдлером и Штеенбеком были получены уравнения генерации для среднего магнитного поля в турбулентно движущейся проводящей среде. В астрофизических задачах такой средой является межзвездная плазма, а также плазма конвективной зоны Солнца и звезд.
С физической точки зрения механизм превращения механической энергии турбулентного движения в энергию магнитного поля основан на положительной обратной связи, которая заложена в уравнениях генерации среднего магнитного поля благодаря одновременному наличию факторов дифференциального вращения и неоднородной турбулентной конвекции (а-эффекта). Поэтому, эти уравнения называются уравнениями динамо.
Еще до вывода уравнения для среднего поля уравнения для магнитного поля в турбулентно движущейся среде в различных конкретных приложениях были исследованы рядом ученых. Впервые уравнения бегущих динамо-волн были исследованы Паркером в 1955 г. Впоследствии Бабкоком и Лейтоном были пред ложены первые модели регенерации магнитных полей на Солнце. Робертсом и Йошимурой были созданы первые модели генерации крупномасштабных магнитных полей для планетарного и солнечного динамо, в работах Зельдовича были исследованы мелкомасштабные магнитные поля, Брагинским были построены модели генерации земного магнитного поля. Уравнения динамо были всесторонне исследованы численно в работах Ивановой и Рузмай-кина, Бранденбурга, Мосса и других исследователей. Большой вклад в исследования уравнений динамо внесли также работы Джонса, Буссе, Штикса и других ученых. В работах Соварда гидродинамические течения и некоторые режимы генерации крупномасштабных магнитных полей были исследованы также и асимптотически.
В теории динамо фигурируют магнитные поля, усредненные по определенным образом выбранному пространственно-временному масштабу. Этот масштаб должен быть выбран с таким расчетом, чтобы все случайные колебания величин механической скорости среды, магнитного и электрического полей были усреднены, но в то же время была выявлена структура пространственного распределения этих величин внутри астрофизических объектов. Такие уравнения часто имеют решения, сконцентрированные в окрестности максимума источников генерации магнитного поля. Проникновение магнитного поля в другие части пространства осуществляется в основном за счет турбулентной магнитной диффузии. На этих принципах основан так называемый подход максимально эффективной генерации "Maximally Efficient Generation Approach-(MEGA), который позволяет строить аналитические решения уравнений динамо, сосредоточенные в узкой пространственной области. Однако, для нахождения самого расположение максимума генерации магнитного поля необходимо дополнинельное исследование вне рамок подхода MEGA.
Для описания начальных стадий генерации магнитного поля используют линейное, или кинематическое приближение. Для последующих стадий следует рассматривать нелинейную модель динамо, поскольку магнитные поля велики и следует учитывать их обратное влияние на движение среды, т. е. на коэффициенты уравнений динамо.
Возникающие решения имеют часто осциллирующий характер, причем наблюдаются осцилляции как во времени, так и в пространстве. Типичным примером такой магнитной активности являются солнечные циклы. Уже веками ведутся наблюдения солнечной активности, начало которых восходит к работам Галилео Галилея и других итальянских, французских и английских астрономов по наблюдениям солнечных пятен. Большой вклад в систематизацию наблюдений внесли Ришар, Пикар и Ля Ир. Позднее Маун-дером были построены временные широтные диаграммы солнечной активности, так называемые баттерфляй-диаграммы ("бабочки"). В последние годы были получены точные данные наблюдений магнитного поля на поверхности Солнца (например, результаты Обридко и других исследователей). Также Макаровым были получены наблюдения полярных факелов на Солнце. Эти наблюдения укрепляют теоретические представления о природе циклов солнечной активности как о динамо-волнах.
Паркер в 1955 году впервые развил простейшую теоретическую модель динамо-волны. Дальнейшее развитие моделей динамо-волны позволило объяснить многие важные детали структуры пространственного распределения магнитной активности Солнца. Однако, даже впоследствии полученные рядом авторов более детальные модели не позволили однозначно объяснить такие явления, как изменение направления распространения динамо-волны в приполярных областях Солнца и смещение максимума магнитной активности относительно максимума источников генерации в сторону экватора.
В общем случае при решении задач расчета магнитных полей в астрофизических объектах приходится иметь дело со сложной замкнутой системой уравнений, не поддающейся аналитическому решению. В течение почти полувекового периода исследований подобных задач основным аппаратом решения являлись численные методы. В последее время были достигнуты большие успехи в численных исследованиях задач магнитной гидродинамики. Несмотря на возрастающую производительность современной вычислительной техники и постоянное усложнение численных моделей все ещё требуется дать ответы на некоторые весьма важные вопросы о строении и природе магнитных полей. Было подробно исследовано множество отдельно взятых задач, но в целом физическая картина механизма генерации магнитных полей в теории динамо средних полей самого по себе остается неясной. Для исследования этих вопросов должны применяться иные методы.
В уравнения, к которым сводятся задачи космической магнитной гидродинамики средних полей, зачастую входят большие безразмерные параметры - магнитные числа Рейнольдса, что соответствует сильной генерации магнитных полей. Это приводит к возникновению коротковолновых и погранслойных решений и делает применение асимптотических методов весьма эффективным. Использование асимптотических разложений дает часто неплохие результаты, которые проясняют физическую картину в целом и согласуются с данными наблюдений. Таким образом, асимптотические методы являются мощным дополнением численного эксперимента.
Основным методом решения задач в настоящей диссертации предлагается асимптотический метод ВКБ, который является развитием квазиклассического подхода в квантовой механике. В отличие от сложных численых моделей, в которых учтено одно временно много факторов, такие асимптотические модели позволяют выяснить частную роль отдельно взятых эффектов, всесторонне рассмотреть их свойства, хотя и не претендуют на детальное количественное сходство с наблюдательными данными.
Целью диссертационного исследования является построение асимптотической теории динамо-волн. Эта теория является составной частью общей проблемы генерации магнитных полей на Солнце и звездах. Ее результаты используются для сравнения с обширным наблюдательным материалом солнечной и звездной магнитной активности.
Перед автором стояла задача, максимально упрощая постановку задач теории динамо и отвлекаясь от несущественных деталей, выявить общую структуру решений и их свойства и прояснить физическую картину механизма генерации магнитного поля самого по себе. Данное исследование начинается с решения относительно простых задач и постепенно переходит ко все более сложным и более реалистичным. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
1. Получение асимптотических решений уравнений, описывающих генерацию среднего магнитного поля в модели динамо-волн Паркера для неоднородной среды.
2. Изучение влияния толщины оболочки конвективной зоны Солнца на процесс генерации магнитного поля в виде динамо-волн.
3. Уточнение пространственно-временной структуры солнечной динамо-волны. Для двумерной кинематической модели динамо в тонкой оболочке построение асимптотического решения с учетом современных гелиосейсмологических данных о вращении конвективной зоны Солнца. Обобщение результата на слабонелинейный по спиральности и дифференциальному вращению случай. Сравнение результатов решения с наблюдениями магнитных полей на Солнце и звездах.
4. Изучение закономерностей пространственно-временного распределения наблюдательных признаков альфа-эффекта в конвективной оболочке Солнца.
Научная и практическая значимость. Полученные в диссертационном исследовании решения являются применением методов асимптотического анализа, развитых в квантовой механике, к задачам электродинамики и магнитной гидродинамики средних полей. Результаты исследования подкрепляются сравнением теоретических предсказаний с наблюдательными данными. Это подтверждает достоверность полученных результатов и делает возможным привлечение моделей, рассмотренных в настоящем исследовании для объяснения дальнейшего наблюдательного материала.
Научная новизна. В диссертационном исследовании строится асимптотическая теория динамо волн. Автором получены следующие результаты:
На примере простейшей модели образования динамо-волн, так называемого динамо Паркера, построено асимптотическое приближение в пределе сильной генерации для модели аП-динамо в неоднородной среде. Впервые получено асимптотическое решение, сосредоточенное вне области максимума источников генерации. Исследовано влияние толщины оболочки конвективной зоны Солнца па генерацию динамо-волн.
Уточнена пространственно-временная структура солнечной динамо-волны. Впервые построено двумерное решение задачи генерации магнитного поля в главном порядке асимптотического приближения для реального распределения скорости внутреннего дифференциального вращения. Показано, что динамо волны распространяются вдоль линий постоянной скорости углового вращения (таким образом, в асимптотической модели справедливо правило Йошимуры).
Проведен анализ спиральности магнитных полей в фотосфере Солнца, на обширном статистическом материале обнаружены иолушарные изменения знака спиральности в солнечной фотосфере, обнаружены квазидвухлетние вариации в трасерах спиральности магнитных полей. При анализе распределения спиральности магнитных полей в активных областях Солнца использованы результаты гелиосейсмологических исследований внутреннего вращения конвективной зоны. Благодаря этому впервые на основе наблюдательного материала получены указания на изменение знака альфа-эффекта с глубиной. В дополнение к этому сравнены различные трассеры спиральности как характеристики пространственно-временной структуры альфа-эффекта. Впервые построена эволюционная модель динамо, опирающаяся на наблюдательные данные по спиральности.
На основе использования метода кросс-корреляционного анализа для обработки временных рядов индексов магнитной активности Солнца и сопоставления наблюдательных закономерностей с асимптотическими оценками для модели нелинейного динамо сделаны прогнозы солнечной активности. Методом сингулярного спектрального анализа обработаны данные по временным рядам чисел Вольфа, сделан прогноз амплитуды солнечного цикла более чем на один цикл пятен вперед.
Научная и практическая ценность работы. Решения задач теории динамо могут быть использованы для описания магнитных полей в астрофизических и других объектах. Полученные результаты позволяют понять физические свойства механизма динамо как такового. Это значительно облегчает задачу интерпретации данных многочисленных наблюдений регулярного магнитного поля на Солнце и крупномасштабного галактического магнитного поля. Результаты можно использовать при описании и долгосрочном прогнозе солнечных циклов, для уточнения наблюдательных данных о внутреннем строении Солнца, при объяснении магнитной активности звезд и галактик.
Результаты могут быть использованы в ГАО РАН, ИКИ РАН, ИЗМИРАН, ИНАСАН, ГАИШ и НИИЯФ МГУ, ИСЗФ СО РАН, НИРФИ РАН, ИМСС УрО РАН, КрАО НАНУ, АФИ АН Казахстана, Национальных астрономических Обсерваториях АН КНР и других научных учреждениях.
Апробация работы. Основные результаты, приводимые в диссертации, докладывались и обсуждались:
На семинарах Института Земного Магнетизма, Ионосферы и Распространения радиоволн РАН (ИЗМИРАН), кафедры математики физического факультета МГУ, Отдела Электродинамики и Магнитной Гидродинамики (ЛЭМГ) НИВЦ МГУ, а также ГАИШ МГУ, ИКИ РАН, ИНАСАН и ИСЗФ СО РАН, а также АФИ АН Казахстана.
На семинарах физического института NORDITA в Копенгагене, Дания; а также университетов Эксетера, Кембриджа, Ньюкасла-на-Тайне и Сент-Эндрюса (Великобритания), Катании (Италия), Потсдама, Байройта, а также Университетской обсерватории в Гётипгене и Кипенхойеровского института солнечной физики во Фрайбурге (Германия), Харвард-Смитсоновского Астрофизического центра (Массачусетс, США), Национальных Астрономических обсерваторий КНР.
На конференциях, проходивших в ГАО РАН (Пулково), КрАО (Крым) НАН Украины, Международного Астрономического Союза (IAU-Symposium No. 157) в сентябре 1992 г. в Потсдаме, Германия, по звездной и планетарной конвекции в университете им. Комен-ского, Братислава, Словакия в сентябре 1996 г., коллоквиуме Международного Астрономического Союза New Perspectives on Solar Prominences (IAU Colloquium No. 167) в Осуа, Франция, в апреле 1997 г., 10-й Кембриджской конференции по холодным звездам, звездным системам и Солнцу в Харвардском университете, Кембридж, Массачусетс, США, в июле 1997 г., 5-й международной конференции по планетарным и космическим динамо, Трешт, Чехия, в августе 1997 г., Чэпменовской конференции по магнитной спиральности в космической и лабораторной плазме, Боулдер, США, июль 1998 г., Европейской конференции по солнечной физике "Magnetic Fields and Oscillations "в Потсдаме, Германия, в сентябре 1998 г., 5-й Генеральной Ассамблее Международного Союза по геодезии и геофизике (IUGG-99), в Бирмингеме, Великобритания, в июле 1999 г., 9-й Европейской конференции по солнечной физике "Magnetic Fields and Solar Processes", Флоренция, Италия, сентябрь 1999 г., расширенном симпозиуме НАТО "Dynamo and Dynamics: а Mathematical Challenge"в Карджезе на Корсике, Франция, август 2000 г., Всероссийской астрономической конференции в Санкт- Петербурге в августе 2001 г., симпозиуме Лондонского Математического Общества по астрофизической механике жидкости, Дарем, Великобритания, июль 2002 г., 10-й Европейской конференции по солнечной физике в Праге, Чехия, в сентябре 2002 г., 25-й Генеральной Ассамблее Международного Астрономического Союза в июле 2003 г. в Сиднее, Австралия, конференции по математическим аспектам природных динамо в Карамуло, Португалия, сентябрь 2003 г.
Личный вклад автора. Проведенные исследования были выполнены автором как самостоятельно, так и в тесном сотрудничестве с коллегами из ИЗМИРАН, МГУ им. М.В. Ломоносова и других учре ждений, а также иностранными коллегами из Университетов Эксетера (Великобритания), Катании (Италия), Потсдама (Германия), Национальных Астрономических обсерваторий КНР. На протяжении всего времени работы автор принимал активное участие в проводимых исследованиях и был руководителем многих проектов по теме диссертации. Часть работ выполнена в соавторстве. В настоящей диссертации подробно изложены в основном результаты, полученные непосредственно автором.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 53 работы, при этом 19 статей в ведущих международных рецензируемых журналах, в том числе в Астрономическом сисурнале и Письмах в Астрономический журнал.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы (252 наименования). В работе приводится 53 рисунка и 5 таблиц. Общий объем диссертации составляет 238 страниц.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:
1. Построены асимптотические ВКБ-решения для одномерных динамо-волн, описывающих генерацию крупномасштабного магнитного поля в конвективной оболочке Солнца и солнцеподобных звезд. На примере простейшей модели образования динамо-волн, так называемого динамо Паркера, обнаружен новый тип асимптотического поведения решений уравнений динамо, общий для данного типа уравнений в частных производных.
2. Показано, что точка, в которой амплитуда динамо-волны максимальна, несколько смещена по направлению распространения динамо-волны от точки, в которой достигает максимума источник генерации. В приполярных областях обнаруживается зона разделения волн, от которой расходятся динамо-волны к экватору и полюсу.
3. Построено двумерное асимптотическое решение для динамо-волны в конвективной оболочке Солнца. Показано, что ранее полученное в численных моделях правило Йошимуры, согласно которому динамо-волна в конвективной зоне Солнца распространяется преимущественно по линиям постоянной угловой скорости вращения, справедливо для асимптотического решения.
4. С использованием количественных данных о внутреннем дифференциальном вращении Солнца, полученным из гелиосейсмологии, обнаружено наличие двух центров генерации и двух динамо-волн. При этом в низких широтах динамо-волна распространяется к экватору, а в высоких к полюсу, что соотвествует современным наблюдательным данным.
5. В нелинейной асимптотической модели динамо-волны вычислены период, амплитуда, связи между ними и получена общая структура решения. На основании этого сделан прогноз циклической магнитной активности Солнца в 23-м и 24-м солнечных циклах, который в 23-м цикле оказался близким к наблюдениям.
6. Построены качественные асимптотические модели генерации магнитного поля быстровращающихся звезд с конвективной оболочкой, выделены общие тренды, указано на возможность нарушения закона Хэйла о смене знака полярности в цикле активности на некоторых быстровращающихся звездах.
7. Получены количественные и качественные данные о пространственно-временном распределении а-эффекта в конвективной зоне Солнца по магнитографическим трасерам (спиральности и закру-ченности магнитных полей на фотосфере Солнца), подтверждающие теоретические представления магнитной гидродинамики. Впервые по наблюдениям обнаружена зависимость трасеров а-эффекта от глубины. Установлена широтно-временная структура зависимости этих трасеров. Впервые построена модель динамо с учетом эволюции спиральности, опирающаяся на наблюдательные данные.
Вывод уравнений динамо Паркера из уравнений динамо среднего поля для модели кинематического осесим-метричного динамо в тонкой конвективной зоне Солнца
В настоящей главе мы построим обобщение динамо Паркера, включающее эффекты, связанные с конечной толщиной конвективной зоны, и рассмотрим генерацию динамо-волн в рамках этой модели в кинематическом и нелинейном режимах. При этом за основу нашего анализа будут положены асимптотические решения, которые используют малость толщины конвективной оболочки по сравнению с ее радиусом. Влияние толщины оболочки будет учитываться в качестве поправки к асимптотическим решениям, ранее полученнным в главе 1. Мы понимаем, что такое приближение лишь условно применимо к ситуации на Солнце, однако, для нашего анализа такой подход весьма эффективен.
Модель Паркера приводит к генерации динамо-волны, распространяющейся вдоль конвективной зоны. Динамо-волна обнаружи вается и при анализе наблюдательных данных о трассерах солнечного магнитного поля (например, солнечных пятен), которые визуализируют это поле на поверхности Солнца. Эта волна фиксируется на хорошо известных диаграммах "бабочек". В то же время модель Паркера дает лишь очень грубое описание солнечной динамо-волны. В ее рамках солнечная конвективная зона с одной стороны рассматривается как достаточно тонкая для того, чтобы пренебречь влиянием кривизны ее поверхности, а с другой стороны, как достаточно толстая для того, чтобы пренебречь диффузией магнитного поля поперек этой оболочки. Можно проверить, что эти предположения действительно справедливы в случае чрезвычайно сильной генерации магнитного поля (очень больших динамо-чисел), однако реальные параметры солнечной конвективной зоны вряд ли укладываются в рамки соответствующего критерия. Это значит, что динамо-число на Солнце недостаточно велико для того, чтобы модель Паркера передавала детали генерации солнечного магнитного поля. Адекватное описание солнечной динамо волны должно включать влияние диффузии магнитного поля поперек солнечной конвективной зоны.
Детальные модели генерации солнечных динамо-волн, конечно, могут быть получены в рамках численного моделирования. Известен ряд результатов в этом направлении (см., например, Бельведере и др., 1980, Глатцмайер и др., 1985, Бранденбург и Туоминен, 1988, Рэдлер и др., 1990). Тем не менее представляется желательным построить простую аналитическую модель генерации солнечной динамо-волны, учитывающую диффузионный перенос магнитного поля поперек конвективной зоны. В этой главе мы развиваем подобную модель. 2.1.1 Уравнения динамо в тонкой конвективной оболочке Солнца
Для получения уравнений для крупномасштабного среднего магнитного поля в конвективной оболочке Солнца мы воспользуемся результатами первой главы. В этой главе мы будем использовать сферическую систему координат г, ф, в, в которой угол в отсчи-тывается от полюса. Мы введем по-другому безразмерное динамо-число и функция G определяется как мера радиального градиента углового вращения в главе 1 в формуле (1.02Ь). Мы будем считать коэффициент спиральности а не зависящим от пространственных координат.
С учетом сказанного выше в обозначениях главы 1 уравнения (1.06) принимают следующий вид (здесь безразмерная переменная г радиального расстояния измеряется в единицах солнечного радиуса) В - азимутальная компонента среднего магнитного поля, A = 7П? (2-06) a A - азимутальная компонента векторного потенциала среднего магнитного поля. Отметим, что мы рассматриваем случай осесим-метричного магнитного поля (см. подробнее Соколов и др., 1994).
Уравнения (2.03)-(2.04) содержат два безразмерных параметра, D и Л, существенно отличных от единицы. Динамо Паркера основано на предположении, что генерация определяется числом D и член, пропорциональный Л-2 может быть отброшен (см. об этом подробнее Соколов и др., 1994). Здесь мы хотели бы рассмотреть более реалистическую ситуацию, когда оба параметра сравнимым образом влияют на генерацию магнитного поля.
Мы пренебрежем детальным описанием распределения магнитного поля поперек конвективной зоны и проинтегрируем уравнения (2.03) (2.04) по р. При этом мы полагаем вводим радиальное волновое число (1.
Оценим величину ц. Отметим прежде всего, что величина /І-1 является характерным размером распределения магнитного поля (также, как и его потенциала) в радиальном направлении. Этот размер не может, очевидно, превосходить толщину конвективной зоны. При уменьшении этого характерного размера увеличивается роль диффузии магнитного поля в радиальном направлении и затрудняется его генерация механизмом динамо. Поэтому при умеренных динамо-числах, характерных для солнечного динамо, рг1 порядка толщины конвективной зоны.
Кинематическая теория динамо-волн в тонкой оболочке
Перечислим еще раз, чем отличается решение в рамках рассмотренной модели при /І ф 0 от динамо Паркера. Во-первых, генерация магнитного поля происходит почти одинаково для обоих форм нелинейностей (2.09) и (2.10). Амплитуда динамо-волны имеет конечную величину, максимум волны достигается при некотором значении К, которое растет с ростом /І. Величина же этого максимума убывает с ростом ц. При ц превосходящем некоторое максимальное значение А тах — 0-55 генерация не происходит. Заметим, что для динамо-волн Паркера (см. Соколов и др., (1994) качественное поведение амплитуды динамо-волн было различным для различных форм нелинейностей (2.09) и (2.10).
Во-вторых, в рассмотренном нами приближении могут генерироваться динамо-волны только с нулевым средним значением, тогда как в модели Паркера могли существовать волны как с нулевым, так и с ненулевым средним значением. Это означает возможность генерации динамо-волн смешанной четности, нарушающих эватори альнуто симметрию в солнечном цикле.
В-третьих, в модели Паркера могли существовать волны со сколь угодно малым волновым числом К. В нашей модели супдествует нижний порог длины волны. Волны с волновым числом К К генерироваться не могут. Это и есть учет конечности толщины конвективной оболочки.
Расстотрим нелинейную задачу генерации динамо-волн в неоднородном слое. Возможно рассмотреть два предельных случая толстой и тонкой оболочек. В случае толстой оболочки решения зависят от условий на экваторе и полюсе. При этом существует взаимодействие между полушариями и следует рассматривать симметрию (дипольной, квадрупольной и смешанной четности), (см. например, Дженнингс 1991, Дженнингс и Вайс 1991). В пределе тонкой оболочки где Л — малый параметр толщины конвективной оболочки, введенный в главе 1. Согласно численным исследованиям, решение имеет малый масштаб по широте (Мосс и др. 1990). Оно было использовано в работах (Соколов и др. 1995а,Ь; Менье и др. 1996; Кузанян и Соколов 1995, 1996, 1997; Галицкий и Соколов 1997) для построения локализованного решения одномерных уравнений all-динамо, которые не чувствительны в граничным условиям. В работах Менье и др. (1997) (сокращенно М-Т) и Бассом и др. (1999) исследовались нелинейные модели динамо в одномерном случае. При этом исходные уравнения усреднялись по радиль-ному направлению в духе работы Проктор и Шпигель 1991, т.е. с помощью подстановки собственной функции диффузионного уравнения в радиальный диффузионный член. Тогда получается одномерная система, зависящая только от широты 9.
Здесь мы исследуем математические свойства уравнений нелинейной динамо-волны в пределе тонкой оболочки (2.33) где (в некоторых удобных нам единицах) t — время, В и ХдА/дв — азимутальная и радиальная компоненты магнитного поля, f(0) — мера величины ск-эффекта, д(в)/cosd — мера дифференциальноо вращения и — D/X3 — динамо-число. Заметим, что эти обозначения отличаются от использованных выше и взяты для удобства математического анализа. Для определенности мы ограничимся северным полушарием (0 9 7г/2), предположим, что f{9), д{9) и D положительны и введем отрицательное локальное дипамо-число (функцию источника генерации)
Предположим, что Т (9) ( 0) затухает как на экваторе 0 = 0, так и на полюсе 9 = 7г/2 и имеет профиль с одним максимумом d2V/d92 ( 0) между ними в точке 9м- Мы ищем осциллирующие решения с частотой ш, которые изменяются на короткой пространственной шкале А, но модулированы на шкале порядка единицы между экватором и полюсом, у которых решения затухает.
Случай однородного слоя (V = const) был исследован в работе Уорледж и др. (1997), в работе Тобаяс и др. (1997а) описан сто астрофизический смысл, а в Тобаяс и др. (1997b) — приложения к другим физическим системам. В этих работах показано, что значение частоты в нелинейной задаче определяется тем же критерием, что и в линейной (см. также Пьер и Хуер 1996). Однако, существует значительная разница между задачами с постоянным и непостоянным профилями Т . В работе М-Т нелинейная задача была сведена к решению линеаризованной задачи с эффективным динамо-числом, а выбор частоты осуществлялся так же как и в линейной задаче. Эта работа и работа Уорледж и др. (1997) взаимно дополняют и поддерживают друг друга.
Асимптотическое решение
Итак, мы получили две различные пространственно разделенные динамо волны, распространяющиеся в противоположных направлениях. Этот результат является следствием использования реального профиля внутренней угловой скорости в конвективной зоне, полученной но гелиосейсмологическим данным.
Заметим, что в наших модельных допущениях отсутствует какой-либо меридиональный ноток, который мог бы оказать существенное влияние на генерируемые магнитные поля. Место действия механизма динамо не ограничено какой-либо предпочтительной областью (например, в overshoot-слое). Единственными реалистичными допущениями являются положения а- и Г2-эффектов. Мы обнаружили, что при таких допущениях динамо волны генерируются в глубине конвективной зоны. Однако конкретный выбор а-эффекта не является критичным для качественной природы генерируемых магнитных нолей и лишь в небольшой степени влияет на количественный результат.
Действие двух основных механизмов динамо (вращение и альфа-эффект) приводит к образованию двух динамо волн. Одна из них расположена в низких и средних широтах и проявляется в иятнооб-разовательной деятельности, а другая расположена в приполярных областях, где появление солнечных пятен маловероятно (Шюсслер, 1993, 1995). Эта полярная ветвь проявляется посредством других трасеров (Макаров и Сивараман, 1983; 1989а,Ь). Частоты этих двух динамо-волн различны и зависят от локальных значений параметров, определяющих механизм динамо, вблизи областей генерации. Однако, здесь мы не рассматривали конкретные значения частот и взаимодействие между волнами, поскольку современные представления об а-эффекте носят все еще скорее качественный, чем количественный характер.
Для грубой оценки возьмем G « П/Яо, где Г2 « 2.7 10 6 с-1 угловая скорость вращения Солнца. Тогда \D\ = Ща 0,/ (З2. Возможны и другие определения , напр., Клиорин и др. (1983) использовали RQH2 вместо RQ, где h « О.ЗЯ — толщина конвективной оболочки Солнца, и тогда значение D будет на один порядок величины ниже. Другие авторы (напр., Бельведере и др., 1991) использовали dz вместо RQ, где d — толщина слоя, в котором генерируется динамо-волна, что еще тоньше, чем h.
Теория длины перемешивания дает для турбулентной диффузии (см., напр., Сируит, 1974, Зельдович и др., 1983) (3 « lvo/З, где / — длина перемешивания (пространственный масштаб), а г о — мелкомаштабная скорость турбулентных вихрей. Для характерных размеров мезогрануляции (7 108 см) для I и характерной скорости (105 см s-1) для VQ (см., напр., Ховард и др., 1991, также Клиорин и др., 1989), получим (3 2 1012 см2 с-1. Эта оценка подтверждается в более поздних работах (напр., Паркер, 1993, Пипин, 1995).
Теория длины перемешивания дает для а PQ/hg (Краузе, 1967; см. также, напр., Зельдович и др., 1983), где ho — характерный размер вертикальной стратификации плотности. В рамках стандартной гидродинамической модели Солнца (см., Кёлер, 1973, а также, Штикс, 1981, Гилман и Миллер, 1981, Де Лука и Гилман, 1991) предположим, что ho меньше наименьшего масштаба солнечной грануляции 7 107 см (напр., Рудьер и Миллер, 1986). Это приводит завышенной оценке для а 2 104 см с-1. В работе Шмитт и др. (1984) предполагается, что верхняя оценка для ho порядка 109 см, но в нашей работе мы возьмем еще большее значение ho. Расматривая верхнюю оценку ho порядка толщины конвективной зоны ho h « Ro/3 2 1010 см получим оценку а 70 см с-1. Тогда \D\ „ 9 « 102. ho Щ Большие значения \D\ можно получить, например, если брать меньшие значения размера вертикальной шкалы стратиыикации, а также если рассматривать генерацию магнитного поля в тонком слое, так называемом "overshoot 1ауег"(см., напр., Шмитт и др., 1984, или Рюдигер и Бранденберг, 1995), или же развивая более сложные модели солнечной конвекции
Также можно получить оценку D но продолжительности периода Т0 солнечного цикла для Паркеровского динамо в приближении для больших динамо-чисел \D\. В безразмерных единицах, следуя обозначениям главы 1:
Для а(9) = sinO согласно Кузаняи и Соколов (1995) имеем ІтГо 0.26, а поскольку Т0 « 22 уг, принимая данное выше значение /3 получаем
Поскольку уравнения динамо, рассмотренные в главе 1, не учитывают иных видов затухания поля кроме широтной диффузии, например, диффузии в радиальном направлении, они приводят к заниженным оценкам \D\. Следовательно, приведенные выше оценки динамо-числа являются надкритическими для динамо Паркера, но иодкритическими для более детальных моделей. Для таких моделей получаются больее высокие значения динамо-числа, а период солнечного цикла становится короче наблюдаемого. Это известная проблема моделей солнечного динамо.
Принимая во внимание оценочный характер наших расчетов, положим \D\ = 103 и будем искусственно приравнивать период динамо-волны наблюдаемой продолжительности солнечного цикла. Это предположение незначительно отличается от оценки (4.3). Мы предполагаем, что генерация магнитного поля подавляется диффузией и нелинейными эффектами, поэтому далее положим Re Го = 0.
Применение результатов для асимптотического анализа нелинейных динамо-волн для предсказания динамики солнечной активности
На основе магнитографических данных но 422 активным областям, полученных на солнечной наблюдательной станции Хуайроу в течение 10 лет с 1988 по 1997 гг., исследуются свойства закручен-ности фотосферных магнитных полей в активных областях (АО) на Солнце. Рассчитана средняя по активной области закрученность (фактор бессилового поля а/), которая сравнивается со средней по той же активной области плотностью токовой спиральности hc = Вц (у х В)ц. Анализируется распределение этих двух величин по широте и долготе и их зависимость от времени. Эти величины представляют собой два различных признака а-эффекта, используемого в теории динамо, и можно ожидать, что они обладают сходными свойствами. Тем не менее, помимо различий по определению, имеют место также различия в свойствах этих величин, связанные с методом обработки магнитографических данных и их различным физическим смыслом. Распределения обеих усредненных величин af и hc имеют асимметрию по полушариям — отрицательный (положительный) знак в северном (южном) полушарии, хотя эта закономерность более ярко выражена для hc.
Одна из причин этих различий может быть связана с процедурой усреднения, при которой закрученность противоположного знака на тех участках, где поле слабо, вносит небольшой вклад в среднее значение плотности токовой спирал ьности. Указывается, что эта трансэкваториальная закономерность находится в согласии с представлениями теории динамо. В некоторых активных областях эта трансэкваториальная закономерность для средних значений а/ и hc нарушается. Результаты показывают, что, в целом, средняя величина закрученности магнитного поля в активной области а/ мало меняется в течение солнечного цикла. Мы установили, что активные области, в которых вышеупомянутая закономерность нарушается в отношении а/, не имеют тенденции группироваться на определенных долготах в противоположность такой тенденции, установленной в предыдущих работах для hc. Мы анализируем сходства и различия в распределении этих величин. Можно сделать вывод, что подход к выявлению признаков а-эффекта, основанный только на одном из этих трасеров (например, а/), имеет недостатки, которые должны быть учтены в последующих работах.
Предистория вопроса
Исследование конфигурации солнечных магнитных нолей на поверхности Солнца и их эволюции имеет большое значение. В соответствии с представлениями теории динамо, магнитное поле генерируется механизмом динамо в основании конвективной зоны и затем всплывает на поверхность. В активных областях (АО) на Солнце часто наблюдается сильная закрученность фотосферного магнитного ноля, которая может содержать информацию об «-эффекте как о движущей силе солнечного динамо. В последнее время для описания закрученности магнитного поля в солнечных активных областях используется магнитная сииралыюсть. Трансэкваториальная закономерность при смене знака магнитной токовой сниральности исследовалась в ряде работ [Зеехафер 1990, Певцов и др. 1995, Абраменко и др. 1996, Бао и Жанг, 1998, Кузанян и др., 2000]. Долготное распределение магнитной сниральности в АО анализировалось в работах [Кэнфилд и Певцов 1998, Жанг и Бао 1999]. Бао и Жанг [Бао и Жанг, 1998] обнаружили связь между среднемесячным числом солнечных пятен и токовой сииральностыо в 22-м цикле солнечной активности. Временная и пространственная зависимость усредненного коэффициента бессилового поля рассмотрена в работе Кузаняна [Кузанян и др., 2000].
Косвенные данные, свидетельствующие о закручености магнитного ноля, можно также получить из наблюдений в Но; хромосферных структур вокруг солнечных пятен [Хэйл 1927, Ричардсон 1941], распределения спокойных волокон [Мартин и др. 1994] и изображений в мягком рентгеновском излучении [Раст и Кумар 1996]. Однако эти наблюдения дают информацию о закрученности поля над фотосферой. Вопрос же заключается в том, чем именно закручивается магнитное иоле на поверхности Солнца. Мы надеемся, что изучение закрученности позволит получить дополнительную информацию о свойствах турбулентной конвекции на Солнце, а также и о механизме генерации солнечного магнитного поля.
Прежде закрученность и токовая сииральность исследовались отдельно. В настоящей работе мы рассчитываем обе эти величины, используя один и тот же набор данных, и сравниваем их пространственную и временную структуру. Эти параметры представляют собой два различных признака а-эффекта, используемого в теории динамо, и можно ожидать, что они обладают сходными свойствами. Цель нашей статьи — установить, насколько велико сходство или различие между этими величинами.
